1. 1
ПРАКТИЧНІ ЗАНЯТТЯ №3та№4. (завдання №3). Розрахуноккола
трифазного синусоїдного струму.
3.1 Обсяг завдання
Розрахувати електричне коло (рис.3.1) трифазного синусоїдного струму (f=50 Гц)
живлення споживачів якого (активні r, індуктивні L та ємнісні C), з’єднані за схемами
зірка та трикутник, здійснюється від спільного джерела симетричної лінійної напруги Uл.
При чому, у парному році брати rn = 0, непарному – Ln = 0
Рис.3.1 Схема кола трифазного синусоїдного струму.
1) Намалювати схему варіанту електричного кола, включивши в нього тільки ті
споживачі, значення яких за варіантом задано в табл.3.1;
2) Визначити лінійні і фазні струми споживачів та джерела;
3) Правильність обчислення струмів підтвердити складанням балансу потужностей
джерела та споживачів;
4) На комплексній площині побудувати суміщенні векторні діаграми струмів та
напруг трикутника, зірки та схеми у цілому;
5) Проаналізувати види навантажень фаз трикутника, зірки та схеми у цілому.
C(L3)A(L1) B(L2) N
CcCa Cb
LNLcLbLa
rc rNrbra
n
Lab
rab Cbc
Lbc
rbcCab
rca Lca Cca
3. 3
Lbc=57,32 мГн, Lca=58 мГн, Cab=0 мкФ, Cbc=106,2 мкФ, Cca=0 мкФ), підключені до джерела
трифазного струму з лінійною напругою Uл=380В.
1) Намалювати схему заданого електричного кола, включивши в нього тільки ті
елементи, значення яких відомі
2) Визначити лінійні і фазні струми споживачів і джерела розрахункової схеми;
3) Правильність обчислення струмів підтвердити складанням балансу потужностй
джерела та споживачів;
4) На комплексній площині побудувати векторні діаграми симетричнихнапруг джерела та суміщені векторні діаграми струмів та
напруг з’єднань споживачів, а також лінійних струмів чотирипровідної мережі живлення (фазних струмів джерела);
5) Використовуючи векторні діаграми, охарактеризувати навантаження фаз кожного з’єднання.
Рис.3.2. Коло трифазного синусоїдного струму.
Методичні рекомендації до розрахунку кола трифазного синусоїдного струму.
Багатофазна електрична система – це сукупність кількох електричних кіл (фаз), де діють
створені спільним джерелом синусоїдні ЕРС однакової частоти, що зсунуті між собою за
фазою. Найбільше поширення серед багатофазних отримала зв`язана трифазна система
симетричних ЕРС, де діючі ЕРС зсунуті одна відносно другої на кут 120°.
Фази джерела (трифазного синхронного генератора) звичайно з’єднують за схемою
зірка. Фази споживача, куди можуть бути включені однакові або різні за величиною і
фізичною суттю опори (відповідно симетричне або несиметричне навантаження), залежно
від обставин з’єднують між собою за схемою зірка або трикутник.
Струми, що діють у фазах джерела ( CBA III ,, ) або у фазах споживача(
cвa III ,, ), називають фазними фI. Струми ( CBA III ,, ), які діють у лінійних
проводах, називають лінійними лI.
При з’єднанні у зірку відповідні лінійні і фазні струми дорівнюють один
одному( aA II , вB II , cC II , фл II ), а струм NI , що діє у нейтральному
проводі, може бути визначенийна підставі першого закону Кірхгофа:
Ncвa IIII .
Ca Cb
LNLbLa
rc rNra
n
rab Cbc
Lbc
rbc
rca Lca
C(L3)A(L1) B(L2) N
4. 4
Напругу між початком і кінцем фази джерела ( CNBNAN UUU ,, ) або споживача(
cnвnan UUU ,, ) називають фазною фU . Але, для зручності, букви N і n в
індексах фазних напруг джерела та споживачазвичайно не вказують і
записують ці напруги так: CBA UUU ,, та cвa UUU ,, . Якщо вважати, що опори
лінійних і нульового проводів дорівнюють нулю, то фU може бути визначена
як напруга між відповідним лінійним та нейтральним проводами.
Напругу між початками двохбудь–якихфаз джерела ( CABCAB UUU ,, ) або
споживача( caвcaв UUU ,, ) називають лінійною лU. Якщо вважати, що опори
лінійних проводів дорівнюють нулю, то лінійні напруги джерела будуть
дорівнювати відповідним лінійним напругам споживача( aвAB UU , вcBC UU ,
caCA UU ) і лU при цьому може бути визначена як напруга між двома
лінійними проводами.
Співвідношення між лінійними і фазними напругами можна визначити за
другим законом Кірхгофа. Наприклад для джерела:
BAAB UUU ; CBBC UUU ; ACCA UUU .
Аналіз трифазних систем символічним методом звичайно починають з
запису комплексів фазних і лінійних напруг джерела електричної енергії,
прийняті значення яких залишають незмінними до повного завершення
розрахунку. Так, сумістивши з дійсною віссю вектор будь–якоїз фазних напруг
джерела, наприклад AU , будують векторну діаграму фазних напруг (зірку
фазних напруг – рис.3.3) джерела і записують значення їх комплексів:
Ф
0
ф UeUU j
A
;
120
ф
j
B eUU
;
120
ф
j
С eUU .
Значення комплексів лінійних напруг джерела при цьому будуть:
30
л
120
ф
0
ф
jjj
AB eUeUeUU
;
90
л
120
ф
120
ф
jjj
BC eUeUeUU
;
150
л
0
ф
120
ф
jjj
СA eUeUeUU
.
5. 5
Виконані алгебраїчнідії стосовновизначення лінійних напруг джерела
показані на векторній діаграмі (рис.3.4). Так, для отримання ABU з кінця
вектору AU відкладемо вектор BU , змінивши його напрям на протилежний.
З’єднавшипочаток AU з кінцем BU отримують:
ABBABA UUUUU .
Аналогічним чином знаходять BCU і CAU .
Зі записів значень комплексів фазних і лінійних напруг джерела та векторної
діаграми видно, що зірка лінійних напруг джерела повернута відносно зірки
його фазних напруг на кут 30 в додатномунапрямку. Інколи лінійні напруги на
векторній діаграмі розміщують у вигляді трикутника (на рис.3-4.4 показані
пунктиром), з центру тяжіння якого (нейтральної точки N) виходять вектори
фазних напруг.
Оскільки у симетричноготрифазногоджерела всі фазні напруги за модулем
дорівнюють одна одній і всі лінійні напруги також, то неважко переконатися,
що для рівнобедреного трикутника зі сторонами, наприклад ABBA UUU ,, , у
якого кути при основанідорівнюють 30, Фл 3 UU . Звідси випливає, що
при лінійній напрузі джерела 660, 380 або 220 В його фазні напруги відповідно
будуть: 380, 220 або 127 В.
Рис.3.4. Векторна діаграма фазних та
лінійних напруг джерела з’єднаного у зірку
+–
ŮC
-120o
ŮB
+j
ŮA
-ŮC
ŮAB
-ŮB
+120o
B
ŮBC
ŮCA
-ŮA
ŮBC
30o
ŮCA
ŮAB
С
Рис.3..3.Зірка фазних напруг
джерела
+
– j
–
ŮC
120o
-120o
ŮB
+j
ŮA
6. 6
За симетричного навантаження фаз споживача незалежно від схеми їх включення
(зірка або трикутник), методика розрахунку системи по суті не відрізняється від методики
розрахунку кола однофазного змінного струму.
Вище було зазначено, що зірка комплексів лінійних лU напруг ( ,,, CABCAB UUU що
зсунуті між собою на кут 120°) джерела повернута відносно зірки комплексів його фазних
ФU напруг ( ,,, CBA UUU що також зсунуті між собою на кут 120°) на кут 30° та між модулями
комплексів лінійних і фазних напруг (Uл і Uф) діє співвідношення фл UU 3 .
Оскільки за умовою задачі Uл=380 В, то модуль фазних напруг (В) джерела буде:
.22065,21973,1/3803/ лф UU
Розрахунок трифазного кола починають з запису комплексів фазних і лінійних напруг
джерела трифазного струму.
Прийнявши, що комплекс однієї з напруг джерела, наприклад напруги фази А,
збігається з віссю дійсних чисел комплексної площини, знаходять для розрахункової схеми
комплекси фазних і лінійних напруг (В):
);0220(220
0
0
jeU j
A );1901,329(380
0
30
jeU j
AB
);52,190110(220
0
120
jeU j
B );3800(380
0
90
jeU j
BC
);52,190110(220
0
120
jeU j
C ).1901,329(380
0
150
jeU j
CA
Розрахунок з’єднання споживача у зірку. За заданими значеннями індуктивностей Lф
і ємностей Cф у фазах зірки споживача аналогічно розрахунку кола однофазного струму
визначаємо реактивні індуктивні fLX L 2 та ємнісні 1
)2(
fCXC опори (Ом), після чого
записують комплекси повних опорів Zф = rф jXф (Ом) фаз (a, b, c) і нейтрального проводу
(n).
;2;25;20 LnLbLa XXX ;15;15 CbCa XX
;18,11510)( 56,26j
CaLaaa ejXXjrZ
;10100)( 90j
CbLbbb ejXXjrZ
;150150 0j
cc ejjrZ
43,63
4,221 j
Lnnn ejjXrZ .
Оскільки розрахункова зірка має несиметричне навантаження фаз ( cba ZZZ ), то
у нейтральному проводі з’єднання діятиме струм (струм нейтрального проводу – 0nI ). До
того ж, оскільки нейтральний провід має опір )0( nZ , то нейтральні точки джерела N і
споживача n матимуть не однакові потенціали. Різниця цих потенціалів визначає величину
вузлової напруги – напруги зміщення нейтралі зіркі:
ncba
cCbBaA
nnNn
YYYY
YUYUYU
IZU
.
Наявність напруги зміщення нейтралі, у свою чергу, призводить до так званого
„перекосу” фазних напруг зіркі споживача – коли комплекс фазної напруги споживача не
дорівнює відповідному комплексу фазної напруги джерела. Комплекси фазних напруг
споживача при цьому розраховують за так:
Nnджфспф UUU .. .
Зверніть увагу: за симетричного навантаження фаз зірки cba ZZZ струм у
нейтральному проводі дорівнює нулю 0nI ; при відсутності опору нейтрального проводу
7. 7
)0( nZ напруга зсуву нейтралі дорівнює нулю )0( NnU , і комплекси фазних напруг
споживача дорівнюють відповідним комплексам фазних напруг джерела )( .. джфспф UU .
Для розрахункової схеми комплекс напруги зсуву нейтралі та комплекси фазних
напруг зірки споживача дорівнюють (В):
)24,2/1()15/1()10/1()18,11/1(
)15/220()10/220()18,11/220(
43,6309056,26
1209012056,260
jjjj
jojjjjj
Nn
eeee
eeeeee
U
);5,31j52,52(e24,61 95,30j
;42,170)5,3148,167()5,3152,52()0220( 65,10j
a ejjjU
;15,275)02,22252,162()5,3152,52()52,190110( 8,233j
b ejjjU
.38,227)02,15952,162()5,3152,52()52,190110( 62,135j
c ejjjU
У разі з’єднання у зірку комплекс фазного струму дорівнює комплексу відповідного
лінійного струму )II( YлYф
. Для розрахункової схеми комплекси фазних (лінійних) струмів
та комплекс струму нейтрального проводу nI (А) визначають за законом Ома:
);22,908,12(17,15)18,11/(42,170/ 21,3756,2665,10
jeeeZUII jjj
aaYAa
);25,1619,22(51,27)10/(15,275/ 8,323908,233
jeeeZUII jjj
bbYBb
);6,1084,10(16,15)15/(38,227/ 62,135062,135
jeeeZUII jjj
cYCc c
).79,1425,23(34,27)24,2/(24,61/ 48,3243,6395,30
jeeZUI jjj
nNnn
Правильність визначення струмів зірки перевіряють за першим законом Кірхгофа:
)86,1443,23()6,1084,10()25,1619,22()22,908,12( jjjjIIII cba
Якщо відносні розбіжності сум активних і реактивних складових суми комплексів
фазних струмів та струму нейтрального проводу не перебільшують ±1,0 %:
;%10,072523,25)/23,100(23,43)/II100(IΔI a.na.na.Σa
,%10,0414,79)14,79))/((14,86100()/II100(IΔI p.np.np.Σp
розрахунок схеми можна продовжувати далі. У іншому випадку потрібно зробити перевірку
раніше виконаних дій.
Комплекси повної потужності YфS (ВА), активні YфР (Вт) і реактивні YфQ потужності
(вар) фаз споживача, а також нейтрального проводу і з’єднання у зірку в цілому визначають
за формулами:
;2
YфYфYфYфYф jQPIZS
;2
nnnnn jQPIZS
.YYYфnY jQPSSS
Для розрахункової схемизначення цих величин будуть такі (ВА):
.j4912)(6517
j14,95)(3447j7568)(0j1161)(2323j1495)(747S
j1495);(7471671e27,562,24eS
j0);(34473447e15,1615eS
j7568);(07568e27,5110eS
j1161);(23232597e15,1711,18eS
Y
j63,432j63,43
n
j02j0
b
j902j90
b
j26,562j26,56
a
За результатами розрахунків будують суміщену векторну діаграму струмів та напруг
зірки (рис.3.5). Порядок побудови діаграми такий:
8. 8
Спочатку у масштабі Мu будують зірку векторів фазних (як на рис.3.4) і трикутник
лінійних напруг джерела. Далі з центра координат комплексної площини (з нейтральної
точки N джерела) будують вектор зсуву нейтралі зірки і з’єднавши кінець вектора
(нейтральну точку n споживача) з вершинами А, В, С трикутника лінійних напруг джерела
(споживача), одержують вектори фазних напруг споживача.
Вектори фазних струмів споживача будують з точки n приймача, а вектор струму
нейтрального проводу – із точки N джерела. На завершення – показують кути зсуву фаз у
фазах зірки.
Зверніть увагу: за правильно виконаних розрахунків та правильно побудованої діаграми
кут між вектором фазного струму і вектором відповідної фазної напруги споживача (кут
зсуву фаз ф ) дорівнює аргументу комплексу повного опору цієї фази.
З аналізу векторної діаграми випливає, що фази споживача з’єднаного у зірку мають
навантаження:
фаза а – активно–індуктивне, оскільки кут зсуву додатний:
056,26)21,37(65,10
abiabuab ;
фаза b – ємнісне, оскільки кут зсуву фаз від’ємний:
0908,3238,233 bibub ;
фаза с – активне, оскільки кут зсуву фаз дорівнює нулю:
062,13562,135 cicuc .
За правильно виконаних розрахунків та правильно побудованої діаграми кут між
вектором фазного струму і вектором відповідної фазної напруги споживача (кут зсуву фаз )
дорівнює аргументу комплексу повного опору цієї фази.
Розрахунок з’єднання споживача у трикутник. За заданими значеннями
індуктивностей Lф і ємностей Cф у фазах трикутника споживача, аналогічно розрахунку кола
однофазного струму, розраховуємо реактивні опори ффL fLX 2 та 1
)2(
ффC fCX , після
чого записують комплекси повних опорів Zф фаз (ab, bc, ca) трикутника (Ом):
;18bcLX ;30bcCX ;8caLX
.12,16814
;13125)(
;100100
74,29
38,67
0
j
caLcaca
j
bcCbcLbcbc
j
abab
ejjXrZ
ejXXjrZ
ejjrZ
За законом Ома розраховуємо комплекси фазних струмів (А) трикутника:
;)1991,32(38)10/(380/
000
30030
jeeeZUI jjj
ababab
;)24,1198,26(23,29)13/(380/
000
52,2238,6790
jeeeZUI jjj
bcbcbc
.)36,2088,11(57,23)16/(380/
000
26,12074,29150
jeeeZUI jjj
cacaca
Комплекс лінійного струму з’єднання у трикутника визначають як різницю
комплексів відповідних фазних струмів:
.;; bccaCabbcBcaabA IIIIIIIII
Для розрахункової схеми комплекси лінійних струмів будуть (А):
;81,4436,179,44)36,2088,11()1991,32(
0
74,1j
A ejjjI
;82,3024,3093,5)1991,32()24,1198,26(
0
9,258j
B ejjjI
.09,506,3187,38)24,1198,26()36,2088,11(
0
88,140j
C ejjjI
9. 9
Рис.3.5.Суміщена векторна діаграма напруг та струмів зірки споживча.
Правильність визначення комплексів струмів з’єднання трикутник перевіряємо за
першим законом Кірхгофа :)0( CBA III
.)0j0()6,31j87,38()24,30j93,5()36,1j79,44(
У разі, його невиконання требаперевірити розрахунок напругі струмів з’єднання.
Комплекси повної потужності фS (ВА) активні фР (Вт) та реактивні фQ (вар)
потужності фаз трикутника, а також з’єднання в цілому, відповідно QPS ,, визначають
за такими формулами:
;2
ффффф jQPIZS
. jQPSS ф
Для розрахункової схемиці величини мають такі значення:
);014440(144403810 020
jeeS jj
ab
);102534272(1110723,2913 37,67237,67
jeeS jj
bc
);44447778(895557,2312,16 74,29274,29
jeeS jj
ca
.)580926490(
)44447778()102534272()014440(
j
jjjS
Зверніть увагу: оскільки за умовою розрахункової задачі до одного джерела
підключені кілька споживачів („зірка” і „трикутник”), то комплекс лінійного струму
трикутника не дорівнює комплексу відповідного фазного струму джерела і, отже, у цьому
разі не можна визначати потужності фаз джерела і потужність джерела в цілому. Коли ж до
джерела підключений лише один „трикутник” потужність джерела визначаємо за формулою:
.UСА
.UС
+j
.Ua
.Uc
.Іc
.UA
B
.UВС
.UB
.UA +
.Ub
.UNn
.ІN
.Іa
.Іb
10. 10
;
*
джфджфлджфджф jQPIUS
.jQPSS джджджфдж
За результатами розрахунків на комплексній площині будують суміщену діаграму
струмів і напруг трикутника (рис.3.6.) у такому порядку:
1) у масштабі, аналогічному рис.3-4.4, будують зірку векторів фазних, вона же зірка
векторів лінійних напруг споживача (джерела);
2) з центра координат площини у масштабі (Мі), з урахуванням напрямків (кутів)
відкладають вектори лінійних ),,( CBA III і фазних ),,( cabcab III струмів з’єднання;
3) з кінців векторів ,,, cabcab III змінивши напрямок на зворотний, відкладають і
показують пунктирно вектори відповідно: .,, bcabca III
4) на діаграмі показують кути зсуву фаз Ф у фазах трикутника (кути між фазним
струмом ),,( cabcab III і відповідною фазною напругою споживача).
За правильно виконаних розрахунків струмів і правильної побудови їх векторів на
діаграмі отримують три трикутника струмів. Однією стороною кожного з цих трикутників є
вектор лінійного струму. Дві інші сторони кожного з трикутників утворені векторами фазних
струмів, один з яких має зворотний напрямок і поданий пунктиром.
З аналізу векторної діаграми випливає, що фази споживача з’єднаного в „трикутник”
мають навантаження:
фаза аb – активне, оскільки кут зсуву дорівнює нулю:
03030 abiabuab ;
фаза bс – активно–ємнісне, оскільки кут зсуву фаз від’ємний:
038,67)62,22(90 bcibcubc ;
фаза са – активно–індуктивне, оскільки кут зсуву фаз додатний:
074,2926,120150 caicauca .
Зверніть увагу: за правильно виконаних розрахунків та правильно побудованої
діаграмі кут між вектором фазного струму і вектором відповідної фазної напруги споживача
(кут зсуву фаз ) дорівнює аргументу комплексу повного опору цієї фази.
11. 11
Рис.3.6. Суміщена векторна діаграма напруг та струмів
трикутника споживча.
Розрахунок струмів мережі. Оскільки за умовою задачі до одного джерела
підключені зірка та трикутник споживачів, то згідно з першим законом Кірхгофа, комплекс
струму кожної з фаз мережі (фаз джерела) є сумою комплексів відповідних лінійних струмів
споживачів:
лYлджф III .
Для розрахункової схеми комплекси фазних струмів джерела (мережі) дорівнюють
(А):
;9,57)58,1087,56()36,179,44()22,908,12(
0
53,10j
A ejjjI
;25,49)49,4626,16()24,3093,5()25,1619,22(
0
71,70j
B ejjjI
.2,65)2,4271,49()6,3187,38()6,1084,10(
0
67,139j
C ejjjI
Правильність розрахунку комплексів струмів джерела перевіряють за першим
законом Кірхгофа ( CBAn IIII ). Якщо відносні розбіжності сум активних і реактивних
складових суми комплексів фазних струмів джерела
)84,1442,23()2,4271,49()49,4626,16()58,1087,56( jjjjIIII CBA
та струму нейтрального проводу не перебільшують ±1,0 %
;%17,025,23/)25,2342,23(100/)(100 ... naknakakak III
,%13,0)79,14/())79,14(84,14(100/)(100 ... npnppp III
розрахунок струмів мережі виконанийправильно. У іншому разі требаперевірити виконані дії.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.UАВ
+
+j
Іаb
Іa
.
UСА
.
UВС
Іbc
Іb
-Іab
Іca
Іc
-Іbc
12. 12
За отриманими даними будують суміщену діаграму струмів та напруг (рис.3.7)
розрахункової схеми . Порядок побудови векторної діаграми схеми такий:
1) у масштабі Мu, будують векторну діаграму напруг джерела;
2) у масштабі Мі, з центра координат комплексної площини відкладають вектори
струмів джерела;
3) на діаграмі показують кутизсуву фаз у фазах джерела (кути міжструмом і відповідною напругою джерела фаз джерела).
З аналізу векторної діаграми схеми випливає, що у фази джерела включене
навантаження:
у фазу А – активно–індуктивне, оскільки
053,40)53,10(30
AiABuA ;
у фазу В – активно–ємнісне, оскільки
029,19)71,70(90 BiBCuB ;
у фазу С – активно–індуктивне, оскільки
003,1097,139150 CiCAuC .
Баланс потужностей розрахункової схеми. Оскільки до одного джерела підключені зірка і
трикутник споживача, то комплекс повної потужності Scn (BA), активну Pcn (Bт) та реактивну
Qcn (вар) потужності фаз і навантаження в цілому можна визначити так:
.347041072033007
58092649049126517
0
99,17j
cncnYсп
ej
jjjQPSSS
Комплекс повної потужності Sф дж (ВА), активну Pф дж (Вт) та реактивну Qф дж (вар)
потужності фаз джерела, а також джерела в цілому Sдж (ВА) розраховують за формулами:
;джфджфджфджфджф jQPIUS
. джджджфдж jQPSS
Для розрахункової схеми ці величини дорівнюють:
;)232812523(127389,57220 53,1051,100
*
jeeeIUS jjj
AAA
;)82137067(1083525,49220 29,4971,70120
jeeeIUS jjj
BBB
;)482813507(143442,65220 67,1967,139120
jeeeIUS jjj
CCC
.347881071333097
48281350782137067232812523
94,17j
дж
ej
jjjS
Похибку розрахунку трифазного кола оцінюють за такою самою методикою, як і для
кола однофазного змінного струму:
%;27,033097/)3309733007(/)(100 джджcnak РPP
%.065,0)10713/())10713(10720(/)(100 джджcnp QQQ
При %1ak та %1p задача розв’язана правильно.
