1. Д.Оюунбилэг Физик-I
Семинар №4
Сэдэв.Ньютоны динамикийн хуулийн бодлогууд
Агуулга:
 Өгөгдсөн хөдөлгөөнөөр хүчийг тодорхойлох материал цэгийн динамикийн
шууд бодлогууд
 Өгөгдсөн хүчээр хөдөлгөөнийг тодорхойлох материал цэгийн динамикийн
урвуу бодлогууд
Зорилго:
 Ньютоны хуулиудыг практик тооцоололд хэрэглэж, материал цэгийн
динамикийн дифференциал тэгшитгэлүүдээр үндсэн хоѐр(шууд, урвуу) төрлийн
бодлогыг бодох
Үндсэн томъѐо, тодорхойлолтууд:
 Материал цэгийн дифференциал тэгшитгэлүүд:
1. Тэгш өнцөгт координатын системийн тэнхлэгүүд дээр:
2. Циллиндр координатын системийн тэнхлэгүүд дээр:
3. Хавтгайн хөдөлгөөний үед туйлын координатын системд:
Аргачлал:
 Динамик нь биеийн хөдөлгөөнийг үүсэх шалтгаанаас хамааруулан судалдаг тул
биед үйлчилж байгаа хүчнүүдийг тооцсоны үндсэн дээр бодлогын бодолт
хийгддэг
Материал цэгийн динамикийн шууд бодлогыг бодохдоо:
 Бүх инерциал тооллын системд механикийн үзэгдлүүд ижил явагддаг тул
тухайн бодлогыг бодоход хамгийн зохимжтой байх инерциал тооллын
системийг сонгох
 Биеийн байрлал, түүнд үйлчлэх хүчнүүд, хурдатгалын чигийг заана. Өөрөөр
хэлбэл биед үйлчилж байгаа хүчнүүдийг бүрэн гаргаж тооцох шаардлагатай
бөгөөд тэнцүү үйлчлэгч хүчний дагуу хурдатгалын чиг байна.
 Хөдөлгөөний боломжит чиглэл бүрийн хувьд Ньютоны II хуулийг тэр чиглэлд
үйлчилж байгаа бүх хүчийг тооцон бичих хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл динамикийн
үндсэн тэгшитгэлийг вектор хэлбэрээр бичнэ. Дараа нь бүх векторыг түүний
координатын тэнхлэг дээрх проекцуудаар сольж скаляр тэгшитгэл бичнэ.
 Хэрэв биеийн байр, хурд тодорхойлох бодлого бол кинематикийн
тэгшитгэлүүдийг нэмж бичнэ.
 Хэд хэдэн биеийн хөдөлгөөнийг авч үзэж байгаа үед бие тус бүрийн хувьд
хөдөлгөөний кинематик, динамикийн хуулийг бичих нь зүйтэй

2. Д.Оюунбилэг Физик-I
 Холбоотой юм уу шууд үйлчилцэж байгаа биесийн хөдөлгөөний хуулиудыг
бичихдээ Ньютоны III хуулийг үндэслэн тэдгээрийн хоорондох үйлчлэлийг
тооцох хэрэгтэй
 Хэрэв үрэлтийн хүч байвал энэ нь биеийг байрлалаас нь хөдөлгөж чадах эсэхийг
тооцно. Өөрөөр хэлбэл тайвны үрэлтийн хүчийг үйлчлэх хүчтэй нь харьцуулна.
Материал цэгийн хөдөлгөөн янз бүрийн аргаар өгөгдсөн тохиолдолд хүчийг дараахь
замаар тодорхойлдог.
 Хэрэв m масстай материал цэгийн хөдөлгөөн тэгш өнцөгт координатын
системд: хэлбэртэй өгөгдсөн бол энэ хөдөлгөөнийг
бий болгож байгаа хүчний тэнхлэгүүд дээр
проекцууд: гэж тодорхойлогдох ба эндээс
хүчний хэмжээ: Чиглэл нь:
 Траектор дээр тооллын эх болгон сонгосон цэгээс хэмжсэн нумын координатыг
S гэвэл материал цэгийн хөдөлгөөний тэгшитгэл: S=S(t) хэлбэртэй өгөгдсөн үед
F хүчний проекцууд нь: ;
Хэмжээ нь: чиглэл нь:
болно.
 Хавтгайн хөдөлгөөний үед хэрвээ материал цэгийн хөдөлгөөн туйлын
координатын системд хэлбэртэй өгөгдсөн бол F хүчний
тэнхлэгүүд дээрх проекцууд нь:
2 (10) хэмжээ нь: = 2+ 2 (11) чиглэл нь: cos Λ = ;
болно.
Материал цэгийн динамикийн урвуу бодлогыг бодохдоо:
m масстай материал цэгт үйлчилж байгаа хүчнүүд мэдэгдэж байхад
материал цэгийн хөдөлгөөний хуулийг тодорхойлох асуудал тавигддаг. Үүний тулд
тухайн сонгож авсан тооллын системд харгалзах хөдөлгөөний дифференциал
тэгшитгэлийн системийг бодох (интегралчлах) шаардлага гарна.
Жишээлбэл: бодлого тэгш өнцөгт координатын системд бодогдож байгаа бол: (1)
гэсэн дифференциал тэгшитгэлийн системийг интегралчилж хөдөлгөөний хуулийг
хэлбэртэй гаргаж авна.
Тэгшитгэлийн систем (1) нь хоѐрдугаар эрэмбийн гурван дифференциал
тэгшитгэлээс тогтох тул интегралчлалтаар 6 тогтмол: гарч ирнэ.
Эдгээр тогтмолуудыг тодорхойлохын тулд бодлогын нөхцөлд хөдөлгөөний анхны
нөхцлүүд гэж нэрлэгддэг нэмэлт өгөгдлүүдийг оруулж өгдөг. Хөдөлгөөний анхны
нөхцөлүүд нь хугацааны тодорхой агшинд цэгийн байрлал ба хурдыг тодорхойлж
байдаг. Анхны нөхцлүүд дараахь хэлбэртэй байдаг.
(Ихэвчлэн энэ нөхцөл: t=0 агшинд өгөгддөг)

3. Д.Оюунбилэг Физик-I
Хөдөлгөөний анхны нөхцлүүдийг тэгшитгэлийн систем (1)-ийн нэгдэгч, хоѐрдогч
интегралуудад орлуулан тавьж зургаан тэгшитгэлийн систем үүсгэн интегралчлалын
тогтмол г тодорхойлно.
1. Координатын системийг дүрсэлнэ
2. Материал цэгийн хөдөлгөөний анхны нөхцлийг бичнэ
3. Материал цэгт үйлчилж байгаа идэвхтэй ба реакцын хүчийг зураг дээр дүрсэлнэ
4. Материал цэгийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлүүдийг зохионо
5. Хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийн системийг интегралчилж анхны
нөхцөлүүд ашиглан тогтмолуудыг тодорхойлно
6. Материал цэгийн хөдөлгөөн янз бүрийн аргаар өгөгдсөн байх үеийн дээр
өгөгдсөн дифференциал тэгшитгэлүүд ашиглана.
Жишээ бодлогууд, тайлбар
1. 3т жинтэй ачааг босоо чиглэлийн дагуу каранаар хуулиар
өргөж байгаа бол караны татах хүчийг ол.
Бодолт: Хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийг бичвэл:
. Хурдатгал нь:
Татах хүч: . Хугацааны дурын агшинд татах хүчийг
тодорхойлж болно.
2. m=2кг масстай материал цэг хуулиар муруй замаар
хөдөлнө. Материал цэгийн хурд U=3м/с, энэ агшин дэх муруйлтын радиус нь
r=6м бол материал цэгт үйлчилж байгаа хүчийг тодорхойл.
Бодолт: Материал цэгийн хурд, хурдатгалын траекторын шүргэгч ба гол
нормаль дээрх проекцууд нь: ; .
Өгөгдсөн нөхцлөөр хурд U=3м/с буюу болно. Хугацааг орлуулж
тухайн агшин дэх шүргэгч хурдатгалыг олбол: ; Нормаль
хурдатгал нь: Томъѐо (7)-аар хүчний шүргэгч ба гол нормаль дээрх
проекцуудыг олбол: ; . Хүчний хэмжээг олбол:
3. хуулиар хэлбэлзэж байгаа ℓ-урттай, P-
жинтэй математик дүүжингийн утасны татах хүчийг ол. Энд:
φ-дүүжингийн босоо чиглэлээс хазайх өнцөг, φ0, к-нь тогтмол
хэмжигдэхүүнүүд
Бодолт: Дүүжинг босоо чиглэлтэй φ-өнцөг үүсгэж байгаа
завсрын байрлалд дүрсэлж тэнхлэг n-ийг(гол нормаль) утасны
дагуу, тэнхлэг τ-г (шүргэгч) φ-өнцгийн ихсэлтийн дагуу n-д
перпендикуляр чиглүүлье. Дүүжинд үйлчилж байгаа хүчнүүд:
дүүжингийн жин P, утасны татах хүч T, дүүжингийн
хурдатгал: нормаль хурдатгал an, тангенциал хурдатгал aτ-г
дүрсэлье. Утасны татах хүчийг олохын тулд материал цэгийн хөдөлгөөний
дифференциал тэгшитгэлийг гол нормаль дээр проекцлож хэрэглэвэл:

4. Д.Оюунбилэг Физик-I
Бидний тохиолдолд: тул
энд: г орлуулбал: .
Өөр аргаар бод.
4. υ0 анхны хурдтайгаар шидэгдсэн бие m-масстай бие ямар хэмжээний өндөрт
ямар хугацаанд хүрэх вэ? Агаарын эсэргүүцлийг тооцохгүй.
Бодолт: Тооллын эхлэлийг шидэгдсэн цэг дээр авч тэнхлэгийг биетийн
хөдөлгөөний дагуу эгц дээш чиглүүлье. Бодлогын өгөгдлөөр анхны нөхцлүүд нь:
үед болно. Биетэд хүндийн хүч P эгц доош үйлчилнэ.
Хөдөлгөөн y-тэнхлэгийн дагуух шулуун шугамын хөдөлгөөн ба хөдөлгөөний
дифференциал тэгшитгэлийг бидний тохиолдолд бичвэл: буюу
. Хамгийн их өндөрт хүрэхэд биетийн хурд тэг болох учир хурд ,
шилжилт хоѐрын хамаарлаас хамгийн их өндрийг олж болно. Үүний тулд
тэгшитгэл (1)-т гэж бичин хувьсагчийг ялгавал:
Тэгшитгэл (2)-ийн хоѐр талыг интегралчилж: анхны нөхцлийг
авч орлуулбал: тэгвэл . Дээр дурдсан ѐсоор үед
тул: . Ийм өндөрт хүрэх T хугацааг олохын тулд тэгшитгэл (1)-д
гэж бичин хувьсагчийг ялгавал: . Интегралчилбал: ;
үед тул ба орлуулбал: . Хамгийн их өндөрт
хүрэхэд болох ба үүнд харгалзах хугацаа t=T болно. Эндээс:
5. α=300-ын өнцөг бүхий налуу хавтгай дээгүүр υ0=2м/с анхны хурдтайгаар тоосго
гулсаж эхэлжээ. Хэрвээ үрэлтийн коэффициент μ=0.4 бол t=2с хугацаанд
тоосгоны явах замыг ол.
Бодолт:Тооллын эхийг тоосгоны хөдөлж эхлэх цэг дээр, x-тэнхлэгийг налуу
хавтгайн дагуу доош авъя. Анхны υ0
хурд x тэнхлэгийн дагуу доош чиглэж
байгаа тул анхны нөхцөл t=0 үед
хэлбэртэй бичигдэнэ.
Тоосгонд идэвхтэй хүч зөвхөн
түүний жин P үйлчилж байна. Энэ
хүндийн хүч нь хоѐр байгуулагчтай ба
нэг нь налуу хавтгайд перпендикуляр
нормаль байгуулагч Pу, нөгөө нь налуу
хавтгайд параллель тангенциаль
байгуулагч Pх. Тоосгонд мөн реакцын хүч N, налуу хавтгай тоосго хоѐрын үрэлтийн
хүч Fүр ба тэр нь хөдөлгөөний эсрэг чиглэнэ. Тооцоо хийхийн тулд материал
цэгийн хүчний дифференциал тэгшитгэлүүдээ зурагт үзүүлсэн x, y тэнхлэгүүд дээр
проекцлон бичвэл:
Проекцийн утгуудыг олж бичвэл:

5. Д.Оюунбилэг Физик-I
хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийг интегралчлахын тулд ыг
гэж сольж хувьсагчийг ялгавал: , интегралчилбал:
. Хамаарал (2) нь хөдөлгөөний дифференциал
тэгшитгэлийн нэгдэгч интеграл болох ба интегралчлалын тогтмол ийг олохын
тулд (2)-т анхны нөхцлийг орлуулбал . Иймд
. Тоосгоны хөдөлгөөний хуулийг тодорхойлохдоо тэгшитгэл (3)-д
г, ээр сольж хувьсагчийг ялгавал: ,
интегралчилбал:
д анхны нөхцлийг орлуулбал болж тэгшитгэл (4) дараах хэлбэртэй
бичигдэнэ.
Тоосгоны t=2с хугацаанд явсан замыг олохын тулд (5) тэгшитгэлд тоон
утгуудыг орлуулбал S=7.02м гарна.
Семинар-бие даалтын бодлогууд
1. xy-ийн хавтгай дээр m-масстай материаллаг цэг y=bt-ct2, x=at (a, b, c-
тогтмолууд) хуулиар хөдөлж байна. Материал цэгт үйлчилж байгаа хүчийг
тодорхойл.
2. m-масстай материаллаг цэг a-радиустай тойргоор s=ct3 хуулиар хөдөлж байгаа
бол цэгт үйлчилж байгаа хүчийг тодорхойл. Хариу:
3. Хэвтээ хавтгайтай α-өнцөг үүсгэсэн үрэлттэй налуу хавтгайгаар биет x=bgt2
хуулиар уруудаж байна. Биет налуу хоѐрын үрэлтийн хүчийг ол. X-тэнхлэгийн
налуугийн дагуу авна. Хариу:

6. Д.Оюунбилэг Физик-I
4. 12000н жинтэй автомашин 36км/ц тогтмол хурдтайгаар жалгын ѐроолд хөдөлж
байна. Жалгын хамгийн доод цэгийн муруйлтын радиус 50м бол энэ цэгт
автомашины дарах даралтыг ол. (Автомашиныг цэг гэж үзэх ба хөдөлгөөнд
үзүүлэх эсэргүүцлийг тооцохгүй) Хариу: 14.5*103н
5. m масстай материаллаг цэг oxy-ийн хавтгайд төв рүү татах тэй
тэнцүү хүчний үйлчлэлд эсэргүүцэлтэй орчинд хөдөлж байна. Хэрвээ
хөдөлгөөний хууль нь гэж
өгөгдсөн бол орчноос үзүүлэх эсэргүүцлийн хүчийг тодорхойл.
цэгийн радиус вектор, болно. Хариу:
6. P жинтэй биет ямар нэг өндрөөс анхны хурдгүйгээр унаж байна. Агаарын
эсэргүүцлийн хүч бол биеийн хурдыг 1-рт хугацаанаас, 2-рт зайнаас
хамааруулж ол. Хариу: энд,
7. Хэвтээ хавтгай дээр байгаа 2кг жинтэй ачааг 10кг таталтын хүчийг тэсвэрлэж
чадах хэвтээ утсанд бэхэлжээ. Хавтгай, ачаа хоѐрын үрэлтийн коэффициент 0.1
бол энэ утсаар ачаанд өгч болох хамгийн их хурдатгалыг тодорхойл. Хариу:
40.28м/с2
8. Сумны анхны хурд 490м/с бол сумыг x=700м, y=680м цэгт тусгахын тулд
координатын эхнээс ямар өнцгөөр буудах вэ? Хариу: 450, 890

7. Д.Оюунбилэг Физик-I
9. m масстай М материал цэг хөдөлгөөнгүй О төврүү хүчээр
татагдана. Анхны агшинд ОМ зай хурд ОМ0-ын чиглэлтэй, α өнцөг
үүсгэж байгаа бол x тэнхлэгийг ОМ0-ын дагуу авч цэгийн хөдөлгөөний
тэгшитгэл, траекторыг ол.
10. Бөмбөлөг 20м өндрөөс хэвтээ тэнхлэгт 300 өнцгөөр 10м/с хурдтайгаар
шидэгджээ. X тэнхлэгийг бөмбөгний хөдөлгөөний дагуу баруун тийш, Y
тэнхлэгийг эгц дээшээ чиглэлтэй авч x=x(t) y=y(t) хугацааны хамаарлын
тэгшитгэлүүдийг мөн y=y(x) хөдөлгөөний шугаман тэгшитгэлийг бич