More Related Content More from Gawewat Dechaapinun
More from Gawewat Dechaapinun (20) 1. šš¸É3
ไฟฟ้ าสถติ
Äœšœ¸ÊÁ¦ µ‹³«¹„¬µÁ„¸É¥ª„´ ¤´˜·šµŠÅ¢¢µ…°Šž¦ ³‹»Å¢¢µš¸É°¥¼nœ·ÉŠŽ¹ÉŠ้ ้ ž¦ ³‹»š¸É„¨ nµª™¹Š
œ¸Ê‹³ÁžÈœ‹»—ž¦ ³‹»Â¨ ³ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥Äœ¦ ¼žš¦ Š˜nµŠÇ‹³Á¦ ·É¤ศึกษาจากประจุ แรงระหว่างประจุ
ตามกฎของคูลอมบ์ สนามไฟฟา้ สนามไฟฟาจากประจุกระจายเชิงเส้น เชิงผิว้ และ ปริมาตร
กฎของ เกาส์ ไดโพลไฟฟา้ ความสัมพันธ์ระหว่างสนามกับกฎของเกาส์ ศักย์ไฟฟา้
ความสัมพันธ์ระหว่างสนามไฟฟา และศักย์ไฟฟา้ ้
3.1 ประจุไฟฟ้ า
นาน¤µÂ¨ oªš¸É¤¸„µ¦ ‡oœ¡ ž¦ ³‹»Å¢¢µ้ และพบว่าในธรรมชาติ มีประจุไฟฟา้ 2 ชนิด คือ
ประจุไฟฟาบวก กับประจุไฟฟาลบ ประจุไ้ ้ ¢¢µÁžÈœ°Š‡rž¦ ³„° ¡ ºÊœ“µœ…° Š° ³˜° ¤…°Š µ¦ ้
ประจุไฟฟาลบ้ เรียกว่าอิเล็กต¦ °œÁ‡¨ ºÉ°œš¸É° ¥¼n¦ ° ๆ œ·ªÁ‡¨ ¸¥ …° Š° ³˜°¤š¸É„œ„¨ µŠ…° Š
อะตอม ‹³¤¸°œ»£µ‡Ãž¦ ˜°œÂ¨ ³œ·ª˜¦ °œ¦ ª¤„´œ°¥¼nš¸É„œ„¨ µŠÁ¦ ¸¥„ªnµ นิวเคลียส แต่อนุภาค
โปรตอนจะแสดงสมบัติของประจุไฟฟาบวก้ สมบัติของอะตอมแสดงค่าประจุ และมวล ดังตาราง
š¸É3.1 ในสภาวะปกติของสสารจะมีสภาพเป็นกลางทางไฟฟา ค่าประจุลบของ้ อิเล็กตรอนกับค่า
ประจุไฟฟาบวกของโปรต้ อนจะมีจํานวนเท่ากัน
—´Šœ´Êœ‡Îµªnµ “ประจุ” จึงหมายถึง ประจุสุทธิ nªœš¸ÉÁ„·œ…¹Êœ¤µœ„o°œ…°Š µ¦ °µ‹‹³
เกิดจาก„µ¦ …´— ¸®¦ º°„µ¦ Á®œ¸Éยวนํา ถ้าก้อนสสารมีอนุภาคอิเล็ก˜¦ °œÁ„·œ µ¦ œ´Êœ‹³¤¸ž¦ ³‹»
Å¢¢µÁžÈœ¨ nªœ µ¦ š¸É¤¸‹ÎµœªœÃž¦ ˜°œÁ„·œ้ สสµ¦ œ´Êœ‹³Â —Šž¦ ³‹»Å¢¢µÁžÈœª„ž¦ ·้ มาณ
ประจุไฟฟามีหน่วยเป็น คูลอมบ์้ (C )
‹µ„„µ¦ š—¨ ° Š¡ ªnµž¦ ³‹»Å¢ ¢µÅ¤n µ¤µ¦ ™ ¦ oµŠ…¹ÊœÄ®¤n®¦ º° šÎµ¨ µ¥Å—oŸ้ ลรวมของ
ประจุ Å¢¢µÄœ¦ ³‹³¤¸‡nµ‡Šš¸É้ หรือกล่าวได้ว่า “ ในระบบปิดใด ๆ ผลรวมประจุไฟฟาสุทธิ้
‹³¤¸‡nµ‡Šš¸É”
˜µ¦ µŠš¸É3.1 แสดงค่าประจุและมวลของอิเล็กตรอน โปรตอน และนิวตรอน
อนุภาค ประจุ )(C มวล )(kg
โปรตอน( )p
อิเล็กตรอน( )e
นิวตรอน )(n
19
10602191.1
19
10602191.1
0
27
1067261.1
31
101095.9
27
1067492.1
2. 46
o21F
12F
2q
1q
12R
2r
1r
3.2 กฎคูลอมบ์
จากผลการทดลองศึกษาแรงระหว่างประจุไฟฟา้ สรุปเป็นกฎของคูลอมบ์ (Coulomb’s
law) ได้ว่า ประจุไฟฟาจะมีแรงกระทําต่อกัน้ ในระหว่างคู่ประจุ ค่าของแรงจะแปรผันตรงกับผล
‡¼–…°Š…œµ—…°Šž¦ ³‹»š´ÊŠ °ŠÂ¨ ³Âž¦ Ÿ„Ÿ´œ„´¦ ³¥³®nµŠ¦ ³®ªnµŠž¦ ³‹»¥„„ε¨ ´Š °Š
ถ้ามีประจุไฟฟา้ 1q และ 2q วางœ·ÉŠ° ¥¼nÄœž¦ ·£¼¤·และมีเวกเตอร์บอกตําแหน่งเป็น 1r
และ 2r
ตามลําดับ แสดงดังรูปš¸É3.1¦ Šš¸É„¦ ³šÎµ˜n° ž¦ ³‹»1q จาก ประจุ 2q เขียน
สมการตามกฎคูลอมบ์ ได้เป็น
¦ ¼žš¸É3.1 แรงระหว่างจุดประจุ 2 ประจุ
122
12
21
12
ˆr
R
qkq
F
(3.1)
Á¤ºÉ° 1q และ 2q ÁžÈœ…œµ—…°Šž¦ ³‹»Å¢¢µ˜´ªš¸É®œ¹ÉŠÂ¨ ³˜´ªš¸É °Š˜µ¤¨ ε—´้
12F
เป็นขนµ—…°ŠÂ¦ Šš¸É„¦ ³šÎµœž¦ ³‹»1q ÁœºÉ°Š‹µ„ž¦ ³‹»2q
12R เป็นระยะห่างระหว่างประจุ 1q และประจุ 2q
12ˆr เป็นเวกเต°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥¤¸š·«¸Ê‹µ„ž¦ ³‹» 2q ไปยังประจุ 1q
การกระจัด จาก 2q ไป 1q เป็น
12R
= 1212 ˆrR = 21 rr
(3.2)
Á¤ºÉอ k ÁžÈœ‡nµ‡Šš¸É…° Š„µ¦ ž¦ Ÿ´œ…¹Êœ° ¥¼n„´®œnª¥„µ¦ ª ´—‹µ„ ¤„µ¦ (3.1) ถ้า
กําหนด ประจุในหน่วย คูลอมบ์ (C ) ขนาดของแรง ในหน่วย นิวตัน ( N ) และระยะทาง
ระหว่างประจุ เป็น เมตร (m ) ¨ ³Á¤ºÉ°ž¦ ³‹»š´ÊŠ °Š°¥¼nÄœสุญญากาศ‡nµ‡Šš¸Ék จะสัมพันธ์
กับ สภาพยอมทางไฟฟา้ ของสุญญากาศ (permittivity of free space) เป็น
3. 47
04
1
k
Á¤ºÉ°0 แทนสภาพยอมทางไฟฟาของ้ สุญญากาศ
0 12
1085.8
22
NmC ‹³Å—o‡nµ‡Šš¸É 9
1099.8 k 22
CNm
จากสมการ (3.1) แทนค่า k เขียนใหม่ได้เป็น
122
12
21
0
12
ˆ
4
1
r
R
qq
F
(3.3)
หรือ 3
21
2121
0
12
)(
4
1
rr
rrqq
F
(3.4)
จากสมการ (3.1) ™oµÂ¦ Šš¸ÉšÎµ˜n°ž¦ ³‹» 2q ÁœºÉ°Š‹µ„ž¦ ³‹» 1q จะมีขนาดของแรง
Ášnµ„´œ„´Â¦ Šš¸Éž¦ ³‹» 1q กระทําต่อประจุ 2q แต่มีทิศทางตรงกันข้ามกัน สมการของแรง
จะเขียนได้โดยกลับตัวห้อย เช่น จาก 12F
เป็น 21F
¨ ³Â¦ Šš¸É„¦ ³šÎµ‹³° ¥¼nในแนวเส้นตรง
¦ ³®ªnµŠ‡¼nž¦ ³‹»š´ÊŠ °Š
หรือ 1221 FF
(3.5)
สมการ(3.5)‹³ ° —‡¨ o° Š„´Â¦ Š˜µ¤„‘…o° š¸É3 ของนิวตัน และแรงตามกฎของคู
ลอมบ์š¸É„¨ nµª ™¹Šœ¸Ê‹³¤¸¦ ³¥³ ´Êœž¦ ³¤µ– 14
10
เมตร เป็นระยะทางระหว่างนิวเคลียสกับ
°³˜°¤Â˜n™oµ¦ ³¥³šµŠ ´Êœ„ªnµ 14
10
เมตร แรงนิวเคลียร์จะมีผลมากกว่า
ตัวอยาง่ 3.1 ประจุ 2 ประจุ มีขนาด 6
107.0
C และ 3
106.5
C อยู่ในปริภูมิใน
¦ ³¡ ·„´—Œµ„š¸É˜ÎµÂ®œnŠ kji ˆ6ˆ3ˆ2 m ¨ ³š¸É‹»—„εÁœ·—(origin) ตามลําดับ จงคํานวณ
หาแรงกระทําต่อประจุขนาด 6
107.0
C
วธีทําิ เวกเตอร์บอกตําแหน่ง จากประจุ 3
106.5
C ไปยังประจุ 6
107.0
C เป็น
12R
= 21 rr
= kji ˆ6ˆ3ˆ2
12R = 2/1222
]632[ = 7 m
จาก 3
21
2121
0
12
)(
4
1
rr
rrqq
F
แทนค่า F
= )ˆ6ˆ3ˆ2(
7
106.5107.0109
3
639
kji
kji ˆ62.0ˆ31.0ˆ21.0
…œµ—…°ŠÂ¦ Šš¸É„¦ ³šÎµ˜n°ž¦ ³‹»เป็น 72.0 N
ตอบ
4. 48
iq
2q
1q
nq
q
tF
ถ้าระบบประจุประกอบด้วยประจุไฟฟาแบบจุดมากกว่า้ 2 ž¦ ³‹»…¹ÊœÅžแรงร่วมระหว่าง
คู่ประจุ หาได้จากสมการ (3.4) ¨ oªœÎµÂ¦ Šš´ÊŠ®¤—¤µ¦ ª¤„´œแบบเวกเตอร์ และถ้าระบบประจุ
¦ ³®œ¹ÉŠ¤¸ž¦ ³‹»Å¢¢µ้ n ประจุ แรงไฟฟา้ สุทธิš¸É„¦ ³šÎµ˜n° ž¦ ³‹»q ÁœºÉ° Š‹µ„
ž¦ ³‹»˜´ª° ºÉœÇดัง¦ ¼žš¸É3.2 เขียนได้เป็น
tF
=
n
i i
ii
rr
rrq
q
1
3
04
)(
(3.6)
Á¤ºÉ°r
และ ir
เป็นเวกเตอร์ของตําแหน่งของประจุ q และ iq
¦ ¼žš¸É3.2 ¦ Šš¸É„¦ ³šÎµ„´ž¦ ³‹»q ÁœºÉ°Š‹µ„¦ ³ž¦ ³‹»n ประจุ
3.3 ความเข้มสนามไฟฟ้ า
สนามไฟฟา้ เป็น¦ ·Áª–š¸É¤¸Â¦ ŠšµŠÅ¢¢µ„¦ ³šÎµ˜n°ž¦ ³‹»Å¢¢µš¸É°¥¼nÄœ¦ ·Áª–œ´Êœ้ ้
ความเข้มสนามไฟฟา้ นิยามได้ªnµÁžÈœ° ´˜¦ µ nª œ…° ŠÂ¦ ŠÅ¢ ¢ µš¸É„¦ ³šÎµ˜n° ž¦ ³‹»้
ทดสอบ tq Á¤ºÉ°ž¦ ³‹»š— °¤¸‡nµœo°¥Ç( 0tq ) Ž¹ÉŠ™º°ªnµÅ¤nมีผลกระทบกับประจุ q เป็น
E
=
t
q q
F
t
0
lim
(3.7)
เ¤ºÉ°F
ÁžÈœÂ¦ Šš¸É„¦ ³šÎµ˜n°ž¦ ³‹»tq
ถ้า E
เป็นความเข้มสนามไฟฟา้ š¸É‹»—P ในปริภูมิ —´Šœ´ÊœÂ¦ ŠÅ¢¢µš¸É„¦ ³šÎµ˜n°ž¦ ³‹»้
ทดสอบ tq เป็น
F
= Eqt
(3.8)
สมการ (3.8)‹³Äo‡Îµœª–®µ‡nµÂ¦ ŠÅ¢¢µš¸É„¦ ³šÎµ˜n° ž¦ ³‹»Á¤ºÉ°้ ประจุวางอยู่ในสนาม
ไฟฟา้
Á¤ºÉ°ประจุ q ÁžÈœž¦ ³‹»š¸Éทําให้เกิดสนามไฟฟา จะ้ เรียกประจุ q œ¸ÊªnµÁžÈœž¦ ³‹»
กําเนิด (source charge) ประจุจะส่งแรงไฟฟาออกไปรอบ ๆ ประจุ้ ความเข้ม œµ¤Å¢¢µš¸É้
จุด P ใด ๆ ในปริภูมิ Á¤ºÉ°ž¦ ³‹»q °¥¼nš¸ÉS —´Š¦ ¼žš¸É3.3 เป็นตามสมการ
5. 49
O
P
S
q
tq
rRˆ
1r
2r
E
= 3
21
21
0
)(
4 rr
rrq
(3.9)
E
= r
R
q
ˆ
4 2
0
(3.10)
Á¤ºÉ°rˆ ÁžÈœÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥¤¸š·«¸Ê‹µ„¸Ê‹µ„S ไปยังจุด P
ความเข้มสนามไฟฟา มีหน่วยเป็นนิวตันต่อ้ คูลอมบ์ )(
C
N
¦ ¼žš¸É3.3 สนามไฟฟาจากประจุ้ q กระทําต่อประจุทดสอบ tq š¸É‹»—P
ถ้าระบบประจุไฟฟาประกอบด้วย้ ประจุ n ประจุ ความเข้มสนามไฟฟา้ จะเป็นผลรวม
ÂÁª„Á˜° ¦ r…° Š‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µš¸ÉÁ„·—‹µ„¦ ŠÅ¢¢µ„¦ ³šÎµœž¦ ³‹»®œ¹ÉŠ®œnª¥–‹»—้ ้
œ´Êœ
E
= 3
1 0
)(
4 i
i
n
i
i
rr
rrq
(3.11)
Á¤ºÉ°ir ÁžÈœ¦ ³¥³šµŠ‹µ„ž¦ ³‹»š¸Éi มีประจุ iq และ irˆ ÁžÈœÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥¤¸š·«
จาก iq ไปจุด P
ตัวอยาง่ 3.2 จุดประจุ 2 ประจุขนาด 9
1050
C และ 9
1050
C ªµŠœ·ÉŠใน
ปริภูมิ °¥¼nš¸Éiˆ2 m และ jˆ2 m ˜µ¤¨ ε—´‹Š®µ‡nµ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µš¸É้ kˆ2 m
วธีทําิ ¦ ³¥³šµŠ…°ŠÁª„Á˜°¦ rš´ÊŠ °Š
1R
= 1rr
= ki ˆ2ˆ2 , 11 rrR
= 83.2 m
2R
= 2rr
= kj ˆ2ˆ2 , 22 rrR
= 83.2 m
E
= 3
1 0
)(
4 i
i
n
i
i
rr
rrq
แทนค่า จะได้
6. 50
E
=
)ˆ2ˆ2(
)83.2(
1050
)ˆ2ˆ2(
)83.2(
1050
109 3
9
3
9
9
kjki
E
= )ˆˆ(71.39 ji N
ตอบ
3.4 ความหนาแนนประจุ่
ในกรณีประจุเป็นประจุไฟฟา้ š¸É¤¸¨ ´„¬–³แบบกลุ่มประจุš¸É„¦ ³‹µ¥อย่าง˜n°ÁœºÉ°Šค่าของ
ปร³‹»‹µ„„µ¦ „¦ ³‹µ¥…° Šž¦ ³‹»Á®¨ nµœ¸Ê‹³¡ ·‹µ¦ –µÄœ¦ ¼ž…° Š‡ª µ¤®œµÂœnœ…° Šž¦ ³‹»š¸É
กระจายอยู่บนรูปร่างของผิวชนิดต่าง ๆ โดยการหµ‡nµ¨ ·¤·˜…°Šž¦ ³‹»˜n°¦ ¼ž…°Š„µ¦ „¦ ³‹µ¥Á¤ºÉ°
รูปของการกระจายš¸Éพิจารณามีขนาดเข้าใกล้ศูนย์ และถือว่าประจุไฟฟาเป็นหน่วยเล็ก ๆ มี้ การ
กระจายเป็นฟงก์ชันเชิงจุดั
„µ¦ „¦ ³‹µ¥…°Šž¦ ³‹»Äœš¸Éœ¸Ê‹³พิจารณา การกระจายใน 3 ลักษณะ คือ ความหนาแน่น
เชิงเส้น ความหนาแน่นเชิงผิว และ ความหนาแน่นเชิงปริมาตร
1. ความหนาแน่นประจุเชิงเส้น
ให้ l เป็น ความหนาแน่นของประจุไฟฟาต่อหน่วย้ ความยาว
l
q
l
l
0
lim (3.12)
Á¤ºÉ°q เป็นประจุบนส่วนย่อยของเส้นยาว l
2. ความหนาแน่นประจุเชิงผิว
ให้ s ÁžÈœ‡ªµ¤®œµÂœnœ…°Šž¦ ³‹»Å¢¢µ˜n°®œ¹ÉŠ®œnª¥¡ ºÊœ้
s
q
s
s
0
lim (3.13)
Á¤ºÉ°q ÁžÈœž¦ ³‹»œ nªœ¥n°¥…°Š¡ ºÊœŸ·ªs
3. ความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร
ให้ v เป็น ความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร
v
q
v
v
0
lim (3.14)
Á¤ºÉ°q เป็นประจุบนส่วนย่อยของปริมาตร v
3.4.1 ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µ‹µ„ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°้
Á¤ºÉ°มีประจุกระจาย°¥nµŠ˜n°ÁœºÉ°Šตามเส้น ดัง¦ ¼žš¸É3.4 ก. ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µš¸É‹»—้
),,( zyxP ‹µ„ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥œ¸Êหาได้โดยแบ่งส่วนของการกระจายของประจุเชิงเส้น ออกเป็น
7. 51
O
P
sP
iis
irr
ir
r
O
P
vP
iis
irr
ir
r
ค.
ส่วนย่อย n nªœÂ¨ ³™º° ªnµ nªœ¥n° ¥œ¸Ê¤¸‡nµÁ…oµÄ„¨ o«¼œ¥rให้ส่วนย่อยของเส้นยาว il และมี
ประจุ ili lq ค่าความเข้มสนามไฟฟา้
¦ ¼žš¸É3.4 แสดง‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µš¸É‹»—้ P เกิดจาก ก. ประจุกระจายเชิงเส้น ข. ประจุ
กระจายเชิงผิว ค. ประจุกระจายเชิงปริมาตร
E
=
n
i i
ii
n
rr
rrq
1
3
0
)(
4
lim
(3.15)
Á¤ºÉ°r
เป็นเวกเตอร์บอกตําแหน่งของ จุด P
ir
เป็นเวกเตอร์บอกตําแหน่งของจุด P ของส่วนย่อย il
เขียนในรูปอินทิกรัล
E
=
c
l
ld
rr
rr
3
0
)(
4
1
(3.16)
ทํานองเดียวกัน ความเข้มสนามไฟฟา จาก ความหนาแน่นประจุกระจาย้ °¥nµŠ˜n°ÁœºÉ°Š
เชิงผิว ดัง¦ ¼žš¸É3.4 ข.
O
Pl
Pil
irr
ir
r
ข.
ก.
8. 52
E
=
s
s
sd
rr
rr
3
0
)(
4
1
(3.17)
และ ความเข้มสนามไฟฟา จาก ความหนาแน่นประจุกระจายเชิ้ งปริมาตร ดังรูปš¸É3.4 ค.
E
=
v
s
vd
rr
rr
3
0
)(
4
1
(3.18)
ตัวอยาง่ 3.3 โลหะตัวนํารูปวงแหวนรัศมี b ¤¸ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°˜¨ °—˜´ªœÎµ ดังรูปš¸É3.5
จงคํานวณหาความเข้มสนามไฟฟาจุดใด้ ๆ บนแกนของวงแหวน
วิธีทํา แบ่งวงแหวนออกเป็นส่วนย่อย ๆ มีประจุ ในพิกัดทรงกระบอก เป็น bd
การกระจัดจากส่วนย่อยของประจุถึงจุดสังเกต P บนแกน z , ),0,0( zP เป็น
R
= ˆb + zzˆ
¦ ¼žš¸É3.5 ความเข้ม œµ¤Å¢¢µš¸É‹»—้ P จากประจุกระจาย°¥nµŠ ¤ÎɵÁ ¤อรูปวงแหวน
E
=
2
0 22
0
)ˆˆ(
][4
2/3
zzb
zb
bdl
=
2
0
2
02/322
0
ˆˆ
][
1
4
zdzdb
zb
bl
Á¤ºÉ° sinˆcosˆˆ yx
‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤ œµ¤Å¢¢µš¸É‹»—้ P บนแกนของวงแหวน
R
Ed
kˆ
ˆ
zP ,0,0
z
l
ˆ
bd
x
y
9. 53
ds
+ + ++
+ + ++
+
+ + +
+ + +
+ +
+ ++ +
+ +
+
+ ++ + +
+ + +
+ + +
+ + ++ + +
y
x
z
Ed
R
ˆ
P
kˆ
a
b
E
= z
zb
bzl
ˆ
][
1
4 2/322
0
ตอบ
ตัวอยาง่ 3.4 แผ่นตัวนําบางรูปวงแหวนมีรัศมีวงใน เป็น a รัศมีวงนอกเป็น b มีประจุ
„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°˜¨ °—Ÿ่น มีความหนาแน่น เป็น s ‹Š®µ‡nµ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µš¸É‹»—Ä—้
ๆ บนแกน z
วธีทําิ ÂnŠ¡ ºÊœš¸ÉªŠÂ®ªœ°°„ÁžÈœ nªœ¥n°¥sd —´Š¦ ¼žš¸É3.6 จะมีประจุเป็น dds
¦ ¼žš¸É3.6 ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µš¸É‹»—้ P ‹µ„ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°นแผ่นตัวนํารูปวงแหว
เวกเตอร์บอกตําแหน่งจาก ประจุ ถึง จุด P บนแกน z เป็น
R
= kz ˆˆ
R = 2/122
][ z
‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µš¸É‹»—้ ),0,0( zP จากสมการ
E
=
s
s
sd
rr
rr
3
0
)(
4
1
แทนค่า E
=
b
a
s
kz
z
dd
2
0 2/322
0
)ˆˆ(
][4
จาก
2
0
0ˆd
10. 54
องค์ประกอบของความเข้มสนามไฟฟา้ E
ตามแนวแกน (เส้นรอบวง) สุทธิเป็น
ศูนย์ÁœºÉ°Š‹µ„ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤¤µ˜¦
จะมีความเข้มสนามไฟฟา้ E
เฉพาะองค์ประกอบตามแนวแกน z —´Šœ´Êœ
E
=
b
a
s
kz
z
dd
2
0 2/322
0
ˆ
][4
จะได้ E
= k
zbza
zs ˆ
)(
1
)(
1
2 2/1222/122
0
ถ้าแผ่นประจุวงแหวนมีขนาดใหญ่มาก ๆ ( b ) —´Š¦ ¼žš¸É3.7 ก. จะได้ ความ
เข้มสนามไฟฟา เป็น้
E
= k
za
zs ˆ
)(
1
2 2/122
0
ถ้าแผ่นตันวงแหวนรัศมี b —´Šœ´Êœ¦ ´«¤¸ª ŠÄœ 0a —´Š¦ ¼žš¸É3.7 ข. จะได้ ความเข้ม
สนามไฟฟา เป็น้
E
= k
zbz
zs ˆ
)(
11
2 2/122
0
ถ้าแผ่นประจุขนาดใหญ่ 0a และ b —´Š¦ ¼žš¸É3.7 ค. จะได้ ความเข้มสนามไฟฟา้
เป็น
E
= ks ˆ
2 0
ตอบ
ก. ข. ค.
¦ ¼žš¸É3.7 ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µš¸É…°Šž¦ ³‹»š¸É‹»—้ P จาก ก. แผ่นกลวงขนาดใหญ่ ข. แผ่น
ตันวงแหวนขนาดใหญ่ ค. แผ่นประจุขนาดใหญ่
kz ˆ
ˆ
11. 55
ก. ข.
ง
3.5 ฟลักซ์ไฟฟ้ าและกฎของเกาส์
สนามไฟฟาเป็นสนามเวกเตอร์้ š¸Éแทนš´ÊŠ…œµ—¨ ³š·«šµŠ…°Š œµ¤š¸É‹»—œ´Êœทิศของ
สนามไฟฟา้ จะเป็นแนวš·«…° Š œµ¤Å¢ ¢µš¸É‹»—˜nµŠ้ ๆ Ž¹Éงกําหนดตามทิศของแรงกระทําต่อ
ประจุทดสอบ ถ้าต่อกันเป็นจะแนวเส้นสัมผัส เรียกว่า เส้นแรงไฟฟา้ (line of force ) เส้นแรง
Å¢¢ µš¸É˜ÎµÂ®œnŠÄ—‹³° „š·้ «šµŠ…° Š œµ¤Å¢¢ µš¸É˜ÎµÂ®œnŠœ´Êœ้ โดยเวกเตอร์ของความเข้ม
ของสนาม ไฟฟา้ ‹³ÁžÈœÁ oœ ´¤Ÿ´ „´Á oœÂ¦ ŠÅ¢ ¢ µ–‹»—œ´ÊœÇ้ —´Šœ´Êœเส้นแรงไฟฟาของ้
ž¦ ³‹»ª„‹³¤¸š·«¡ »nŠ°°„‹µ„ž¦ ³‹»—´Š¦ ¼žš¸É3.8 ก. ส่วนประจุไฟฟาลบเส้นแรงจะมีทิศพุ่งเข้า้
®µž¦ ³‹»—´Š¦ ¼žš¸É3.8 ข. สําหรับคู่ประจุไฟฟาบวกลบ เส้นแรง้ ไฟฟา้ จะมีทิศทางพุ่งออกจาก
ประจุบวกเข้าหาประจุลบ —´Š¦ ¼žš¸É3.8 ค. และประจุไฟฟาชนิดเดียวกันเส้้ นแรงจะเบนออกจาก
„´œ—´Š¦ ¼žš¸É3.8 ง.
¦ ¼žš¸É3.8 แสดงเส้นแรงไฟฟา จาก ก้ . ประจุบวก ข. ประจุลบ ค. คู่ประจุบวกลบ
ง. คู่ประจุบวก
š¸É¤µ(Raymond A. Serway Robert J. Beichner, 2000 หน้า 726 -728 )
ค.
12. 56
isd
iE
เส้นแรงไฟฟานอกจากจะแสดงทิ้ ศทางของความเข้มสนามไฟฟาแล้วยังแสดงขนาดของ้
‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µ—oª¥ÁœºÉ°Š‹µ„‹ÎµœªœÁ oœÂ¦ Š‹³…¹Êœ°¥¼n„´…œµ—…°Šž¦ ³‹»Â¨ ³‹ÎµœªœÁ oœ้
แรงไฟฟา้ š¸É˜´—˜´ÊŠŒµ„„´¡ ºÊœš¸É®œ¹ÉŠ®œnª¥ เรียกว่า ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟา สั้ ญลักษณ์ D
มีหน่วยเป็น คูลอมบ์ต่อตารางเมตร ( 2
/ mC )
D
= E
0 (3.19)
Á¤ºÉ°ÂšœE
ด้วยสนามไฟฟาจากจุดประจุ ความหนาแน่น้ ฟลักซ์ไฟฟา้ ตามแนวรัศมีเป็น
D
= r
r
q
ˆ
4 2
(3.20)
¦ ¼žš¸É3.9 Á oœÂ¦ ŠÅ¢¢µš¸É¡ »nŠŸnµœ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ªž·—้
3.5.1 ฟลักซ์ไฟฟา้
™oµ¤¸Ÿ·ª ¤¤˜·° ´œ®œ¹ÉŠŽ¹ÉŠ° µ‹‹³ÁžÈœŸ·ªž·—®¦ º°Ÿ·ªÁž·—°¥¼nÄœ œµ¤Å¢¢µÂ¨ ³¤¸Á oœÂ¦ Š้
Å¢¢µ¡ »nŠŸnµœÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„„´¡ ºÊœŸ·ªž¦ ·¤µ–Á oœÂ¦ ŠÅ¢¢µš¸ÉŸnµœŸ·ª ¤¤˜·œ¸Ê้ ้ จะเป็นสัดส่วน
×¥˜¦ Š„´Ÿ¨ ‡¼–…° Š‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µ„´¡ ºÊœš¸ÉŸ·ªÁ¦ µÁ¦ ¸¥„ªnµ¢¨ ´„ŽrÅ¢¢µ้ ้ (Electric
Flux) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ มีหน่วยเป็น นิวตันเมตร2
ต่อคูลอมบ์ ( CmN /2
)
เขียนในรูปสมการ จะได้
=
s
sdE
(3.21)
Á¤ºÉ°sd
ÁžÈœ nªœ¥n°¥Ç…°Š¡ ºÊœŸ·ªs แสดง—´Š¦ ¼žš¸É 3.9¢¨ ´„Žrš¸ÉŸnµœŸ·ªs จะมี
‡nµ¤µ„ »—Á¤ºÉ°Áª„Á˜°¦ rE
และ sd
มีทิศไปทางเดียวกัน
3.5.2 กฎของเกาส์
‡ªµ¤ ´¤¡ ´œ›r¦ ³®ªnµŠ° ·œš·„¦ ´¨ …°Š°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°Š œµ¤Å¢¢µ้
บนผิวปิดกับประจุสุทธิภายในผิวปิด
13. 57
q
x
y
z
E
P
s
O
nˆ
d
ds
¦ ¼žš¸É3.10 ฟลักซ์ไฟฟาผ่านผิวปิด้ s จากประจุ q อยู่ภายในผิวปิด
จากรูปš¸É3.10 ให้ประจุไฟฟา้ บวก q อยู่ภายในš¸Éจุด 0 Ž¹ÉŠถูกล้อมรอบด้วยผิว
ปิด s สนามไฟฟา้ š¸É‹»—P Ž¹ÉŠ°¥¼nœŸ·ª s เป็น
E
= r
R
q
ˆ
4 2
0
Á¤ºÉ° rRrrR ˆ
เป็น เป็นการกระจัด จาก O ถึง P
¢¨ ´„ŽrÅ¢¢µš¸ÉŸnµœ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ªž·—้ s เป็น
=
s
sdE
=
s
ds
R
nrq
2
0
ˆˆ
4
(3.22)
ปริมาณ
s
ds
R
nr
2
ˆˆ
เป็นค่ามุมตัน (solid angle) เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ d š¸É™¼„ž·—¨ o°¤
—oª¥¡ ºÊœš¸Éds š¸É‹»—O
จากสมการ (3.22) จะเขียนใหม่ เป็น
=
s
sdE
=
s
d
q
04
(3.23)
s
d = 4
=
s
sdE
=
0
q
(3.24)
จากสมการ (3.24) จะได้ว่า ฟลักซ์ไฟฟา้ สุทธิš¸ÉŸnµœ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ªž·—‹³Ášnµ„´ž¦ ³‹» »š›·š¸É
ถูก ล้°¤¦ °°¥¼nÄœŸ·ªž·—œ´Êœ®µ¦ —oª¥0
ระบบประจุไฟฟาประกอบด้วย้ 1q , 2q , 3q ,…, nq อยู่ภายในผิวปิด s —´Š¦ ¼žš¸É3.11
สนามไฟฟาจะมีค่าตามสมการ้ (3.24) และทุก ๆ ประจุ จะถูกปิดล้อมด้วยมุมตัน 4
—´Šœ´Êœ
จะได้
=
s
sdE
=
n
i
iq
10
1
(3.25)
14. 58
1q
2q
3q
nq
s
¦ ¼žš¸É3.11 แสดงประจุ nqqq ,..., 21 อยู่ภายในผิวปิด s
ในกรณีประจุกระจาย ¤ÎɵÁ ¤อตลอดปริมาตร ด้วยความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร
เป็น dvv ถูก¨ o°¤¦ °ž¦ ·¤µ˜¦ œ¸Ê—oª¥Ÿ·ªž·—s จะพิจารณาค่าฟลักซ์ไฟฟาคล้ายกับ้
กรณีของจุดประจุ จะได้
s
sdE
= v
v dv
0
1
(3.26)
จากสมการ (3.24) สมการ (3.25) และ (3.26 จะคล้ายกัน เรียกว่า รูปอินทิกรัล
ของกฎของเกาส์ (integral form of Gauss’s law)
„‘…°ŠÁ„µ r µ¤µ¦ ™š¸É‹³Äo®µž¦ ³‹»š´ÊŠ®¤—š¸É° ¥¼nภายในผิวปิดได้ ถ้าทราบความเข้ม
สนามไฟฟา้ หรือความหนาแน่œ¢¨ ´„ŽrÅ¢¢µ¡ »nŠŸnµœŸ·ªž·—œ´Êœ้ อย่างไรก็ตาม ถ้าประจุกระจาย
อย่างสมมาตร ความหนาแœnœ¢¨ ´„ŽrÅ¢¢µš¸ÉŸnµœŸ·ª‹³‡Šš¸É้ และการใช้กฎของเกาส์ในการหา
ค่าสนามไฟฟา้ จะช่วยลดความ Ž´Žo°œ…°Šž®µš¸ÉÁ„¸É¥ª…o°Š¨ Šั
จากสมการ (3.26) โดยใช้ทฤษฎีไดเวอร์เจนซ์ จะเขียนสมการ (3.26) ได้เป็น
v
dvE
= v
v dv
0
1
(3.27)
สมการ (3.27) จะเป็นจริงทุก ๆ ปริมาตร v š¸É™¼„®n° ®»o¤—oª ¥Ÿ·ª s —´Šœ´Êœค่า
° ·œš·„¦ ´¨ š´ÊŠ °ŠÄœ ¤„µ¦ ‹ะเท่ากัน š¸É‹»—Ä—ÇÄœž¦ ·£¼¤·‹³Å—o
E
=
0
v
(3.28)
หรือ D
= v (3.29)
สมการ (3.28) และ (3.29) เป็นค่าดิฟเฟอร์เรนเชียลของกฎของเกาส์ (differential
form of Gauss’s law)
15. 59
rˆ
R
P
q
ตัวอยาง่ 3.5 จงหาขนาดของความเ…o¤…° Š œµ¤Å¢¢µš¸É‹»—้ P š¸É‹»—ใด ๆ ในสนามของจุด
ประจุ q โดยใช้กฎของเกาส์
วธีทําิ สร้างผิวเกาส์เซียนรูปทรงกลมรัศมี r ผ่านจุด P ล้อมรอบประจุ ให้ประจุ q °¥¼nš¸É
จุดศูนย์กลาง—´Š¦ ¼žš¸É3.12 ความเข้มสนามไฟฟา้ E
š¸ÉŸnµœŸ·ª…° Šš¦ Š„¨ ¤‹³˜´ÊŠŒµ„กับผิว
ของทรงกลมมีทิศตามแนวรัศมี
¦ ¼žš¸É3.12 ผิวเกาส์เซียนล้อมรอบประจุ q Ž¹ÉŠªµŠ°¥¼nš¸É‹»—«¼œ¥r„¨ µŠ
E
= rEr ˆ
จากกฎของเกาส์
s
sdE
=
0
q
s
sdE
=
0
2
0
2
sin ddrEr = rEr2
4
2
04 r
q
E
ตอบ
3.6 ศักย์ไฟฟ้ า
จากš¸ÉŸnµœ¤µ ได้ศึกษาผลของสนามไฟฟาในรูปของสนาม้ Áª„Á˜°¦ rÄœ˜° œœ¸Ê‹³«¹„¬µ
«´„¥rÅ¢ ¢ µš¸É° ¥¼n้ ในรูปของสนามสเก¨ µ¦ rŽ¹ÉŠปริมาณสเกลาร์จะช่วยให้การหาค่าž¦ ·¤µ–š¸É
Á„¸É¥ª…o°ŠšÎµได้ง่ายกว่าปริมาณเวกเตอร์
Á¤ºÉ° ª µŠž¦ ³‹»š— ° q ในสนามไฟฟา้ E
¦ Š‹µ„ œµ¤Å¢ ¢ µš¸É„¦ ³šÎµ„´ž¦ ³‹»้
ทดสอบ มีค่า เป็น Eq
šÎµÄ®ož¦ ³‹»Á‡¨ ºÉ°œš¸ÉÁžÈœ¦ ³¥³šµŠ ´ÊœÇld
ดังรูปš¸É3.13 Á¤ºÉ°ž¦ ³‹»
16. 60
a
b
E
ld
เส้นแรงไฟฟ้า
ก.
a
b
เส้นแรงไฟฟ้า
ld
extF
qEq
ข.
a
b
E
c
เส้นแรงไฟฟ้า
cq
Á‡¨ ºÉ°œ‹³Á„·—ŠµœÁœºÉ° Š‹µ„ œµ¤Å¢¢µ้ Šµœš¸ÉšÎµÄ®ož¦ ³‹»Á‡¨ ºÉ° œš¸ÉÄœ¦ ³¥³šµŠ ´ÊœÇdl มี
ค่าเป็น
ldFdWe
= ldEq
(3.30)
eW šœŠµœš¸ÉÁ„·—‹µ„ œµ¤Å¢¢µ้ E
รูปš¸É3.13 „µ¦ Á‡¨ ºÉ° œš¸É…° Šž¦ ³‹»ทดสอบในสนามไฟฟา้ จาก ก. สนามไฟฟา ข้ . แรง
ภายนอก
™oµž¦ ³‹»š— °Á‡¨ ºÉ°œš¸É˜oµœÂ¦ Šš·« œµ¤Å¢¢µ—oª¥้ แรงภายนอก extF
งานย่อย ๆ
š¸ÉÁ„·—‹µ„¦ Š£µ¥œ°„
dW = - ldFext
(3.31)
Á‡¦ ºÉ°Š®¤µ¥¨ šœš·«ž¦ ³‹»Á‡¨ ºÉ°œš¸ÉÄœš·«šµŠ˜¦ Š…oµ¤„´ œµ¤Å¢¢µÁ¤ºÉ°ž¦ ³‹»Á‡¨ ºÉ°œ—oª¥้
‡ªµ¤Á¦ Ȫ‡Šš¸É
dW = ldEq
(3.32)
—´Šœ´ÊœŠµœš´ÊŠ®¤—Äœ„µ¦ Á‡¨ ºÉ°œž¦ ³‹»š— °‹µ„‹»—Á¦ ·É¤˜oœb ถึงจุดสุดท้าย a
a
b
AB ldEqldFW
(3.33)
¦ ¼žš¸É3.14„µ¦ Á‡¨ ºÉ°œž¦ ³‹»˜µ¤ª ·™¸ž·—c ในสนามไฟฟา้
17. 61
™oµÁ‡¨ ºÉ°œž¦ ³‹»¦ °Á oœšµŠž·——´Š¦ ¼žš¸É3.14 ค่าของงานจะเป็นศูนย์ เขียนในรูปสมการ
c
ldE
= 0 (3.34)
สนามไฟฟา้ ถ้าเป็นตามÁŠºÉ° œÅ……°Š ¤„µ¦ œ¸Ê‹³Å—oªnµ œµ¤Å¢¢µ้ เป็นสนามของแรง
อนุรักษ์ (conservative)
Á¤ºÉอ สนามไฟฟา้ จะเป็นสนามของแรงอนุรักษ์ จะได้
E
= 0 (3.35)
และถ้าเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ เป็นศูนย์แล้ว สนามเวกเตอร์จะเขียนในเทอมเกร
เดียนต์ ของสนามสเกลาร์ได้ —´Šœ´Êœค่าสนามไฟฟา้ E
จะเขียนในเทอมของสนามสเกลาร์ V
ได้เป็น
E
= V
(3.36)
สมการ (3.33) จะเป็น
-
a
b
ldEq
=
a
b
ldVq
(3.37)
แทนค่า ldV
= dV
จะได้ abW =
a
b
ldEq
=
a
b
V
V
dVq (3.38)
abW = )( ba VVq = abqV (3.39)
Á¤ºÉ° aV และ bV เป็นค่าของสนามสเกลาร์ V š¸É‹»—a และ b หรือกล่าวได้ว่า aV
และ bV ÁžÈœ«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ a และ b ตามลําดับ
Á¤ºÉ°abV = aV - bV ‹³ÁžÈœ‡nµ«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ a Áš¸¥„´«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ b หรือ
เป็นค่าความต่างศักย์ระหว่างจุด 2 จุดในสนามไฟฟา้
จากสมการ (3.39) จะได้ว่างµœÄœ„µ¦ Á‡¨ ºÉ° œž¦ ³‹»สนามไฟฟา้ จะมีค่าเป็นบวก Á¤ºÉ°
«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ a ¼Š„ªnµ«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ b หรือ กล่าวได้ว่า ŠµœÁœºÉ°Š‹µ„¦ Š£µ¥œ°„Äœ
„µ¦ Á‡¨ ºÉ°œž¦ ³‹»ª„˜oµœ œµ¤Å¢¢µ‹³šÎµÄ®o‡nµ¡ ¨ ´ŠŠµœ«´„¥rÁ¡ ·É¤…¹Êœ้ หรือ งานในกµ¦ Á‡¨ ºÉ° œ
ประจุบวกในสนามไฟฟามีค่าเท่ากับค่าพลังงานศักย์้ ของประจุš¸ÉÁ¡ ·É¤…¹Êœ
3.6.1 ความต่างศักย์ไฟฟา้
ความต่างศักย์จะเป็น„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ‡nµ¡ ¨ ´ŠŠµœศักย์ไฟฟาต่อหน่วยประจุ้
abV =
q
Wab
q 0
lim
=
a
b
ldE
(3.40)
จากสมการศักย์ไฟฟาจะมีหน่วยเป็น จูลต่อ้ คูลอมบ์ )/( CJ หรือ โวลต์ )(V
ศักย์ไฟฟา จากจุดประจุ้ ถ้า œµ¤Å¢¢µÁœºÉ°Š‹µ„ž¦ ³‹»้ q š¸É¦ ³¥³šµŠ˜µ¤Âœª¦ ´«¤¸
r เป็นตามสมการ
18. 62
r
r
q
E ˆ
4
1
2
0
ระยะทาง˜µ¤Âœª¦ ´«¤¸š¸É‹»— ° Š‹»—a และ b จากจุดกําเนิด (origin) เป็นระยะ 1r
และ 2r ตามลําดับ
จากสมการ (3.40) จะได้
1
2
2
0
1
4
r
r
ab dr
r
q
V
)
11
(
4 210 rr
q
Vab
(3.41)
ถ้าให้ 2r ° ¥¼nš¸É˜ÎµÂ®œnŠ° œ´œ˜r(infinity) ‹³Å—o‡nµ«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ a หรือเรียกว่า
ศักย์ไฟฟาสัมบูรณ์้ (absolute potential) ให้ Rr 1 จะได้
aV =
R
q
04
(3.42)
ค่าความเข้มสนามไฟฟาในเทอมของความหนาแน่นประจุเชิงเส้น ความหนาแน่นประจุ้
เชิงผิว และ ความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร จะหาค่าศักย์ไฟฟาได้ทํานองเดียวกันกับจุดประจุ้
‹³Å—o ¤„µ¦  —Š«´„¥rÅ¢¢µš¸É„¦ ³‹µ¥ ¤ÎÉ้ าเสมอเป็น
ความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร
V =
v
v
rr
vdr
)(
4
1
0
(3.43)
ความหนาแน่นประจุเชิงผิว
V =
v
s
rr
sdr
)(
4
1
0
(3.44)
ความหนาแน่นประจุเชิงเส้น
V =
v
l
rr
ldr
)(
4
1
0
(3.45)
ตัวอยาง่ 3.6 ตัวนํารูปวงแหวน รัศมี a ¤¸ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°‹Š®µ«´„¥rÅ¢¢้า และความเข้
สนามไฟฟา้ š¸É‹»—ėǜ„œ…°ŠªŠÂ®ªœ
วธีทําิ Á¤ºÉ° ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°—´Š¦ ¼žš¸É3.15 «´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ ),0,0( zP บนแกน z
จากสมการ (3.42) จะได้
19. 63
2/122
)( za
d
zP ,0,0
z
l
x
y
0,,aP
¦ ¼žš¸É3.15ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤°˜¨ °—ªŠÂ®ªœ
)(zV =
2
0 2/122
0 ][4
1
za
adl
)(zV = 22
02 za
al
«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—«¼œ¥r„¨ µ้ งของวงแหวน ( 0z )
)0(V =
02
l
ความเข้มสนามไฟฟา จากสมการ จะได้้
E
= V
= k
z
zV ˆ)(
E
= k
za
zl ˆ
)(2 2/322
0
¨ ³‡ª µ¤Á…o¤ œµ¤Å¢ ¢ µš¸É‹»—«¼œ¥r„¨ µŠ…° Šª ŠÂ®ª œ้ ( 0z ) จะมีค่าเป็นศูนย์
Á®˜»Ÿ¨ ‹µ„‡ªµ¤ ¤¤µ˜¦ …°Šž¦ ³‹»š¸É„¦ ³‹µ¥˜¨ °—ªŠÂ®ªœ
ตอบ
20. 64
P
1r
2r
q
q
2
d
-
2
d
y
z
x
3.7 ไดโพลไฟฟ้ า
ŗá ¨ Å¢¢µÁžÈœ‡¼nž¦ ³‹»š¸É¤¸…œµ—้ เท่ากันแต่เป็นประจุชนิดตรงกันข้าม และวางอยู่ใกล้
ๆ กัน ให้ประจุมีขนาดเป็น q และ -q วางห่างกันเป็นระยะ d —´Š¦ ¼žš¸É3.16 จะ
พิจารณาค่าศักย์Å¢¢µÂ¨ ³‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µ‹µ„ŗá ¨ š¸É‹»—้ ้ ),,( zyxP ในปริภูมิ ได้
—´Šœ¸Ê
Ä®ož¦ ³‹»š´ÊŠ °Š°¥¼n®nµŠ‹µ„„´œÁžÈœ¦ ³¥³šµŠ ´Êœ¤µ„Á¤ºÉ°Áš¸¥„´¦ ³¥³šµŠ…°ŠŸ¼o ´ŠÁ„˜
«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ P ‹µ„ž¦ ³‹»š´ÊŠ °Šเป็น
V =
210
11
4 rr
q
V =
21
12
04 rr
rrq
Á¤ºÉ°1r และ 2r เป็นระยะทางจากจุด ถึงจุด P —´Š¦ ¼žš¸É3.16
ถ้าประจุš´ÊŠ °Š ¤¤µ˜รกัน ตามแนวแกน z ¨ ³‹»—š¸É ´ŠÁ„˜š¸Ér มีระยะไกล มาก
ๆ Á¤ºÉ°Áš¸¥„´¦ ³¥³¦ ³®ªnµŠž¦ ³‹»š´ÊŠ °Š dr ดังรูปš¸É3.17 จะประมาณระยะทางของ
1r และ 2r ได้เป็น
cos5.01 drr
cos5.02 drr
และ 222
21 )cos5.0( rdrrr
¦ ¼žš¸É3.16 ไดโพลไฟฟา้
21. 65
1r
r
q
q
2r
x
z
y
cos5.0 d
d5.0
¦ ¼žš¸É3.17 แสดงระยะทาง P š¸É°¥¼nÅ„¨ ¤µ„Ç‹µ„ŗá ¨ )( dr
«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ P จะเขียนใหม่ได้เป็น
V =
2
0
cos
4 r
dq
(3.46)
จากสมการจะได้ข้อสังเกตว่า ศักย์ไฟฟา้ š¸É‹»—˜´—…°Š¦ ³œµ…°ŠÅ—á ¨ ‹³ÁžÈœ0 Á¤ºÉ°
90 —´Šœ´ÊœÁ¤ºÉ°Á‡¨ ºÉ°œž¦ ³‹»Äœ¦ ³œµœ¸Ê‹³Å¤n ¼Á ¸¥¡ ¨ ´ŠŠµœ
ให้ p
เป็นไดโพลโมเมนต์เวกเตอร์ (dipole moment vector) และ มีขนาดเป็น
qdp ¨ ³¤¸š·«¸Ê‹µ„ž¦ ³‹»¨ Åžž¦ ³‹»Åžž¦ ³‹»ª„
—´Šœ´Êœ kqdp ˆ
«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ P จะเขียนได้เป็น
V = 2
04
cos
r
p
= 2
04
ˆ
r
rp
(3.47)
จากสมการ(3.47) จะพบว่าศักย์ไฟฟาของไดโพล้ จะแปรผกผันกับระยะทางยกกําลัง
สอง )( 2
r ของไดโพล ˜nÄœ„¦ –¸…°Šž¦ ³‹»Á—¸É¥ª«´„¥rÅ¢¢µ‹³Âž¦ Ÿ´œ„´¦ ³¥³šµ้ ง ( )r
ค่าของ‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µš¸É‹»—้ P ของไดโพล
Á¤ºÉ°š¦ µ‡nµ«´„¥rÅ¢¢µÂ¨ oª œµ¤Å¢¢µ‹³®µÅ—o้ ้ โดยใช้สมการ
VE
ในระบบพิกัดทรงกลม
จะได้ E
= ]ˆsinˆcos2[
4 3
0
r
r
p
Á¤ºÉ° ˆsinˆcos2 r = )ˆsinˆ(cosˆcos3 rr
22. 66
= kr ˆˆcos3
šœ‡nµ‹³Å—o‡ªµ¤Á…o¤ œµ¤Å¢¢µš¸É‹»—้ P เป็น
E
= 5
0
2
4
ˆ)ˆ(3
r
prrrp
(3.48)
จากสมการ (3.48) จะได้ว่าความเข้มสนามไฟฟาจะลดล้ งเป็นระยะทางยกกําลังสาม
และ š¸Éจุดตัดของระนาบ ( 2/ ) ทิศของเส้นแรงสนามไฟฟาจะมีทิศตามแกน้ z Á¤ºÉ°
kˆ
—´Šœ´Êœสนามไฟฟา้ จะได้
E
= 3
04 r
p
Á¤ºÉ° 2/ (3.49)
¨ ³Á¤ºÉ° 0 หรือ เส้นของสนามของไดโพลจะขนานกับไดโพลโมเมนต์ p
‹µ„š¸É„¨ nµª¤µÂ¨ oªจะได้ว่า ไดโพลไฟฟา้ เป็นคู่ประจุขนาดเท่ากันแต่เป็นประจุชนิดตรง
กันข้ามวางอยู่ใกล้กัน ทุก ๆ คู่ของไดโพล จะมีเวกเตอร์ของไดโพลÁ„·—…¹Êœเรียกว่า ไดโพล
โมเมนต์ (dipole moment) และถ้าประจุ q ÁžÈœ…œµ—…°Šž¦ ³‹»š´ÊŠ °ŠªµŠ®nµŠ„´œÁžÈœ¦ ³¥³
d
จะได้ไดโพลโมเมนต์มีค่าเป็น dqp
š·«…° ŠÁª„Á˜° ¦ r‹³¤¸š·«¸Ê‹µ„ž¦ ³‹»¨ Åžž¦ ³‹»
ª„Ž¹ÉŠÂœª‡·—Á„¸É¥ª„´Å—á ¨ äÁ¤œ˜rœ¸Ê‹³œÎµÅžใช้อธิบายไดอิเล็กท¦ ·„Á¤ºÉ°°¥¼nÄœ œµ¤Å¢¢µ้
˜´ª ° ¥µŠš¸É่ 3.7 อิเล็กตรอนและโปรตอน วางห่างกันเป็นระยะ 11
10
m และสมมาตรตาม
แกน z š¸Éจุด 0z Ž¹ÉŠเป็นจุดแบ่งระนาบ‹Š‡Îµœª–®µ«´„¥rÅ¢¢µÂ¨ ³ œµ¤Å¢¢µš¸É‹»—้ ้ P (
kji ˆ5ˆ4ˆ3 )
วธีทําิ เวกเตอร์บอกตําแหน่ง r
= kji ˆ5ˆ4ˆ3 และ 1.7r m
ไดโพลโมเมนต์ kdqp ˆ10106.1 1119
«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ P จากสมการ V = 3
04 r
rp
= 3
309
)1.7(
5106.1109
= 22
100.2
V
«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—้ P จากสมการ E
= 5
0
2
4
ˆ)ˆ(3
r
prrrp
= ]ˆ)1.7()ˆ5ˆ4ˆ3(53[
)1.7(
106.1109 2
5
309
kkji
= kji ˆ03.7ˆ14.17ˆ85.12[ mV /
ตอบ
23. 67
3.8. บทสรุป
ประจุไฟฟามี้ 2 ชนิดคือประจุบวกและประจุลบ ประจุจะมีแรงกระทําต่อกันตามกฎของ
คูลอมย์ 122
12
21
12
ˆr
R
qkq
F
œµ¤Å¢¢µÁžÈœ° ´˜¦ µ nªœ…°ŠÂ¦ ŠÅ¢¢µš¸É„¦ ³šÎµ˜n°ž¦ ³‹»š— °้ ้ E
=
t
q q
F
t
0
lim
ฟลักซ์Å¢¢ µÁžÈœÁ oœÂ¦ ŠÅ¢¢ µš¸É¡ »nŠŸnµœŸ·ª ¤¤˜·ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„¨ ³¢¨ ´„ŽrÅ¢ ¢µš¸É้ ้ ้
Ÿnµœ¡ ºÊœŸ·ªž·—‹³Ášnµ„´ž¦ ³‹» »š›·š¸É™¼„¨ o°¤¦ °°¥¼nÄœŸ·ªž·—œ´Êœ®µ¦ —oª¥0 ตามกฎของเกาส์
=
s
sdE
=
0
q
พลังงานศักย์Å¢¢µÁžÈœŠµœÄœ„µ¦ Á‡¨ ºÉ°œž¦ ³‹»‹µ„‹»—®œ¹ÉŠÅž° ¸„‹»—®œ¹ÉŠÄœ œµ¤Å¢¢µ้ ้
และพลังงานศั„¥rÅ¢¢µ˜n°‡nµ…°Šž¦ ³‹»Å¢¢µš¸É‹»—Ä—Ç‹³ÁžÈœ‡nµ«´„¥rÅ¢¢µš¸É‹»—œ´Êœ้ ้ ้
abV =
q
Wab
q 0
lim
=
a
b
ldE
ไดโพลไฟฟาเป็้ นคู่ประจุต่างชนิดกันวางอยู่ใกล้กันมาก ๆ จะได้ศักย์ไฟฟาของไดโพล้
แปรผกผันกับระยะทางยกกําลังสอง และมีเวกเตอร์ของไดโพลเรียกว่าไดโพลโมเมนต์
V = 2
04
cos
r
p
= 2
04
ˆ
r
rp
3.8 แบบฝึกหัด
1. ประจุไฟฟา้ 2 ประจุมีมวลเท่ากันเป็น m และมีประจุเป็น q และ q2 ตามลําดับ
แขวนด้วยเชือกยาว l š¸É‹»—¦ nª¤„´œ‹»—®œ¹ÉŠ‹Š®µ¤»¤ …° ŠÁº°„š¸É„µŠ° °„Áš¸¥„´
Âœª—·ÉŠ( )8/ 2
0
2
mglq
2. กําหนดให้ D
= ˆcos2ˆsin10 r จงหาค่าความหนาแน่นประจุ
( )cot218(
5
sin 2
3. จุดประจุ 3 ประจุขนาด 9
104 C ªµŠ° ¥¼nš¸É¤»มของÁ®¨ ¸É¥¤จัตุรัส มีความยาวด้านละ
15 cm จงหาขนาดและทิศทางของสนามไฟฟา้ š¸É¤»¤š¸ÉŤn¤¸ž¦ ³‹»ªµŠ°¥¼n
( mVE /3061
ในทิศตามแนวเส้นทแยงมุม)
4. จานกลมรัศมี R ¤¸ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤° —oª¥‡ªµ¤®œµÂœnœž¦ ³‹»Á·ŠŸ·ª จงหา
œµ¤ Å¢ ¢ µš¸É‹»—œÂ„œ…° Š‹µœš¸É¦ ³ ¥ ³ ®nµŠ้ จากระนาบจานเป็น z
( )1(
2
(
22
0 Rz
z
E
)
24. 68
5. ž¦ ³‹»„¦ ³ ‹µ¥œš¦ Š„¨ ¤¤¸‡ª µ¤®œµÂœnœž¦ ³ ‹»Á·Šž¦ ·¤µ˜¦ …¹Êœ„´¦ ´«¤¸r เป็น
= )(r จงหาศักย์ไฟฟาสถิต้ )(rV Á¤ºÉ°
r
A
, A ÁžÈœ‡nµ‡Šš¸ÉÁ¤ºÉ° Rr 0
= 0 Á¤ºÉ° Rr
(V = )2/)(/( 0 rRA Á¤ºÉ° Rr )
( rARV 0
2
2/ Á¤ºÉ° Rr )
6. œµ¤Å¢¢µÄœ¦ ¦ ¥µ„µ«š¸ÉŸ·ªÃ¨ „¤¸‡nµž¦ ³¤µ–้ 200 mV / Äœš·«šµŠ¨ Š˜µ¤Âœª—·ÉŠ
š¸É1400 m เหนือผิวโลก สนามไฟฟาในบรรยากาศมีค่าเพียง้ 20 mV / ในทิศทาง
Á—¸¥ª„´œ‹Š®µ‡ªµ¤®œµÂœnœÁŒ¨ ¸É¥…° Šž¦ ³‹»Å¢¢µÄœ¦ ¦ ¥µ„µ«š¸É¦ ³—´˜Îɵ„ªnµ้ 1400
m และอนุภาคส่วนใหญ่เป็นไออนบวกหรือไออนลบ
( 312
/101.1 mC
ไอออนบวก)
7. ‹Š‡Îµœª –®µ¡ ¨ ´ŠŠµœ…° Š¡ ºÊœŸ·ª š¸É¤¸ž¦ ³‹»„¦ ³‹µ¥° ¥¼n° ¥nµŠ ¤ÎɵÁ ¤° œ´Êœš¦ Š„¨ ¤
° ´œ®œ¹ÉŠ¤¸¦ ´«¤¸R ¤¸ž¦ ³‹»š´ÊŠ®¤—q (
R
q2
08
1
)
8. ´Êœš¦ Š„¨ ¤(spherical shell) „¨ ªŠ° ´œ®œ¹ÉŠ¤¸‡ªµ¤®œµœÂœnœ…°Šž¦ ³‹»Á·Šž¦ ·¤µ˜¦
= 2
r
k
บริเวณ bra Á¤ºÉ° a เป็นรัศมีวงใน และ b เป็นรัศมีวงนอก จง
คํานวณ ®µ œµ¤Å¢¢µÄœ¦ ·Áª–˜nµŠÇ—´Šœ¸Ê้
ก. ar ( 0 )
ข. bra ( rar
r
k
ˆ)(2
0
)
ค. br ( rab
r
k
ˆ)(2
0
9. จงหาแรงค่าของแรงไฟฟา้ ‹Š‡Îµœª–®µ‡nµ œµ¤Å¢¢µš¸ÉÁ„·—‹µ„Á oœ¨ ª—˜¦ Š¥µª้ L2
วางตัวอยู่ตามแนวแกน x ¤¸ž¦ ³ ‹»„¦ ³ ‹µ¥ ¤ÎɵÁ ¤° Á·ŠÁ oœÁžÈœ š¸É¦ ³ ¥³ ˜µ¤
แนวแกน z เป็นระยะ d ( k
d
ˆ2
4
1
0
)
10. จุดประจุ 3 ประจุวางอยู่ห่างกันเป็นระยะ d จากจุดกําเนิด จงคํานวณหาสนามไฟฟา้
×¥ž¦ ³¤µ–š¸É‹»—Å„¨ ¤µ„‹µ„‹»—„εÁœ·—( ))ˆsinˆcos2(ˆ
1
(
4 32
0
r
r
d
r
r
q
q
