Εδώ βλέπουμε 3 παρεμφερείς ασκήσεις στις αναδρομικές εξισώσεις, τις οποίες λύνουμε με το δέντρο της αναδρομής

1. –
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Επίλυση αναδρομικών εξισώσεων
Το δέντρο της αναδρομής
Άσκηση 1
Να λυθεί η αναδρομική εξίσωση 𝑇(𝑛) = 𝑇 (
𝑛
5
) + 𝑇 (
𝑛
10
) + 𝑛 με την χρήση του δέντρου της αναδρομής
Λύση
Αρχικά θέτουμε 𝑘 το ύψος του δέντρου.
Η λύση της αναδρομικής εξίσωσης προκύπτει αν αθροίσουμε τη συνεισφορά κάθε επιπέδου. Το ύψος του
δέντρου θα προσδιοριστεί από τον αριθμό των μειώσεων στο μέγεθος του μεγαλύτερου υποπροβλήματος.
Έχουμε λοιπόν
𝛵(𝑛) = ∑ (
3
10
)
𝑖
𝑛
𝑘
𝑖=0
Κάτω φράγμα
Ισχύει
𝛵(𝑛) = ∑ (
3
10
)
𝑖
𝑛
𝑘
𝑖=0
= 𝑛 + ∑ (
3
10
)
𝑖
𝑛
𝑘
𝑖=1
≥ 𝑛
Άρα 1 ⋅ 𝑛 ≤ 𝑇(𝑛) για 𝑛 ≥ 1 δηλαδή 𝜯(𝒏) = 𝜴(𝒏)

2. –
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Άνω φράγμα
Έχουμε ακόμη
∑ (
3
10
)
𝑖
𝑛
𝑘
𝑖=0
≤ ∑ (
3
10
)
𝑖
𝑛
∞
𝑖=0
= 𝑛 ⋅
1
1 −
3
10
= 𝑛 ⋅
1
7
10
=
10
7
𝑛
Άρα 𝑇(𝑛) ≤
10
7
𝑛 για 𝑛 ≥ 1 δηλαδή 𝜯(𝒏) = 𝑶(𝒏)
Άρα 𝜯(𝒏) = 𝜣(𝒏)

3. –
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Άσκηση 2
Να λυθεί η αναδρομική εξίσωση 𝑇(𝑛) = 𝑇 (
𝑛
7
) + 𝑇 (
𝑛
49
) + 𝑛με την χρήση του δέντρου της αναδρομής
Λύση
Σημείωση: Στο παρακάτω δέντρο, με μαύρο χρώμα σημειώνεται το μέγεθος των δεδομένων και με κόκκινο
χρώμα ο χρόνος. Εδώ τυχαίνει να συμπίπτουν, επομένως το κόκκινο χρώμα στους κόμβους χρησιμοποιείται
ενδεικτικά.
Συμβολίζουμε ℎ το ύψος του δέντρου και έχουμε:
𝛵1(𝑛) = ∑ (
8
49
)
𝑖
𝑛
ℎ
𝑖=0
Κάτω φράγμα:
𝑛 ≤ ∑ (
8
49
)
𝑖
𝑛
ℎ
𝑖=0

4. –
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Άνω φράγμα:
∑ (
8
49
)
𝑖
𝑛
ℎ
𝑖=0
≤ ∑ (
8
49
)
𝑖
𝑛
∞
𝑖=0
=
1
1 −
8
49
𝑛 =
1
41
49
𝑛 =
49
41
𝑛
Άρα
𝑛 ≤ ∑ (
8
49
)
𝑖
𝑛
ℎ
𝑖=0
≤
49
41
𝑛
Επομένως 𝜯(𝒏) = 𝜣(𝒏)

5. –
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Άσκηση 3
Να λυθεί η αναδρομική εξίσωση 𝑇(𝑛) = 𝑇 (
𝑛
3
) + 𝑇 (
𝑛
6
) + 𝑇 (
𝑛
9
) + 𝑛 με την χρήση του δέντρου της αναδρομής
Ανακαλύπτουμε το μοτίβο:
Στο κόκκινο επίπεδο έχουμε:
Στο πορτοκαλί επίπεδο έχουμε:
Άρα είναι:

6. –
Άννα Κορφιάτη | korfiati.an@gmail.com | https://www.facebook.com/mathwithcoding | 6974 12 9730
Αρχικά θέτουμε 𝑘 το ύψος του δέντρου.
Η λύση της αναδρομικής εξίσωσης προκύπτει αν αθροίσουμε τη συνεισφορά κάθε επιπέδου. Το ύψος του
δέντρου θα προσδιοριστεί από τον αριθμό των μειώσεων στο μέγεθος του μεγαλύτερου υποπροβλήματος.
Έχουμε λοιπόν
𝛵(𝑛) = ∑ (
11
18
)
𝑖
𝑛
𝑘
𝑖=0
Κάτω φράγμα
Ισχύει
𝛵(𝑛) = ∑ (
11
18
)
𝑖
𝑛
𝑘
𝑖=0
= 𝑛 + ∑ (
11
18
)
𝑖
𝑛
𝑘
𝒊=𝟏
≥ 𝑛
Άρα 1 ⋅ 𝑛 ≤ 𝑇(𝑛) για 𝑛 ≥ 1 δηλαδή 𝜯(𝒏) = 𝜴(𝒏)
Άνω φράγμα
Έχουμε ακόμη
∑ (
11
18
)
𝑖
𝑛
𝑘
𝑖=0
≤ ∑ (
11
18
)
𝑖
𝑛
∞
𝑖=0
= 𝑛 ⋅
1
1 −
11
18
= 𝑛 ⋅
1
7
18
=
18
7
𝑛
Άρα 𝑇(𝑛) ≤
18
7
𝑛 για 𝑛 ≥ 1 δηλαδή 𝜯(𝒏) = 𝑶(𝒏) Άρα 𝜯(𝒏) = 𝜣(𝒏)