This document introduces the Method of Least Squares (or Minimum Squares) for fitting curves to data points. It explains that this method finds the coefficients of a function that best approximates the relationship between x- and y-values in a dataset by minimizing the sum of squared residuals between the actual and predicted y-values. The document provides an example of using a linear and quadratic function to fit a dataset, showing how to set up and solve the normal equations to determine the coefficients. It also discusses evaluating the quality of fit using the R-squared value.

1. Método dos Quadrados Mínimos
Lista 4 no Canvas

2. Método dos Quadrados Mínimos (ou Mínimos
Quadrados)
Vimos que a interpolação polinomial pode ser usada
para aproximar uma função por outra. Usamos quando:
1) não temos a expressão da função (só um conjunto de
pontos tabelados) ou
2) temos a expressão mas ela é bem complicada
E queremos obter valores dentro do intervalo de
tabelamento.
A interpolação polinomial respeita a igualdade
pn(xi) = f(xi) onde xi são os pontos escolhidos para a
aproximação.

3. Porém a interpolação não é aconselhável quando:
a) queremos prever um valor fora do intervalo de tabelamento ou
b) queremos por exemplo usar 10 pontos para aproximar por uma reta.
Como fazer isso? Se a reta só precisa de 2 pontos?
Nesses casos vamos usar M.Q.M. → método de ajuste de curvas
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 2 4 6 8 10 12
x f(x)
1 1,3
2 3,5
3 4,2
4 5
5 7
6 8,8
7 10,1
8 12,5
9 13
10 15,6

4. Caso Discreto:
Dados os pontos tabelados (x1,f(x1)), (x2,f(x2)) , ..., (xm,f(xm)) queremos determinar os
coeficientes 1, 2,..., n tal que g(x) se aproxime ao máximo de f(x) nos pontos k = 1, .., m
sendo g x = 𝛼1. 𝑔1 𝑥 + 𝛼2. 𝑔2 𝑥 + ⋯ + 𝛼𝑛. 𝑔𝑛 𝑥
• E quem são essas funções gi(x)? São as funções que iremos escolher para aproximar pelo
M.Q.M.
• Como escolher? Na maioria dos casos olhando o gráfico de dispersão e em alguns casos, se já
soubermos o comportamento dos dados, usamos a função pré-escolhida para aproximar.
• Olhando o exemplo anterior conseguimos ver que o comportamento do gráfico se parece
com uma reta. Nesse caso teremos g(x) = 𝛼1. 𝑥 + 𝛼2. 1 ou seja,
g1(x) = x e g2(x) = 1.
• E como achar os ’s?
• A ideia do M.Q.M. é que g(x) seja o mais próximo possível de f(x) nos pontos tabelados. Isso
significa que a diferença entre g(x) e f(x) em cada ponto xk deve ser mínima, ou seja,
𝑑𝑘 = f 𝑥𝑘 − g 𝑥𝑘 deve ser mínima.
• O M.Q.M. consiste em minimizar a soma dos quadrados dessas diferenças, isto é:

5. ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑔(𝑥𝑘) 2
Vamos chamar essa diferença de F(1, 2,..., n). Então:
F(α1, α2, … , α𝑛) = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝑔(𝑥𝑘) 2
F(α1, α2, … , α𝑛) = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝛼1. 𝑔1 𝑥𝑘 − 𝛼2. 𝑔2 𝑥𝑘 − ⋯ − 𝛼𝑛. 𝑔𝑛 𝑥𝑘
2
Sabemos que para obter um ponto de mínimo de F(1, 2,..., n) temos que
determinar seus pontos críticos, isto é,
𝜕𝐹 𝛼1,𝛼2,…,𝛼𝑛
𝜕𝛼𝑖
= 0 para i = 1,2,...,n [1]

6. • Ao desenvolvermos [1] para cada derivada parcial de i (usando regra da cadeia)
teremos:
𝜕𝐹 𝛼1,𝛼2,…,𝛼𝑛
𝜕𝛼𝑖
= 2. σ𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝛼1. 𝑔1 𝑥𝑘 − ⋯ − 𝛼𝑛. 𝑔𝑛 𝑥𝑘 . (−𝑔𝑖(𝑥𝑘))

7. • Ao desenvolvermos [1] para cada derivada parcial de i (usando regra da cadeia) teremos:
𝜕𝐹 𝛼1,𝛼2,…,𝛼𝑛
𝜕𝛼𝑖
= 2. σ𝑘=1
𝑚
𝑓 𝑥𝑘 − 𝛼1. 𝑔1 𝑥𝑘 − ⋯ − 𝛼𝑛. 𝑔𝑛 𝑥𝑘 . (−𝑔𝑖(𝑥𝑘))
Fazendo para todos os ’s e agrupando teremos um sistema linear em  com n equações e n
incógnitas (os ’s )
A. = b onde A = [aij]nxn e b = [bi] são dados por:
𝑎𝑖𝑗 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑔𝑖 𝑥𝑘 . 𝑔𝑗 𝑥𝑘 = 𝑎𝑗𝑖
(matriz A é simétrica)
𝑏𝑖 = ෍
𝑘=1
𝑚
𝑔𝑖 𝑥𝑘 . 𝑓(𝑥𝑘)

8. • E os ’s serão obtidos resolvendo um sistema linear por algum método que já conhecem.
• Vamos ver um Exemplo.
• Exemplo: Considere a tabela:
Aproximar f(x) usando M.Q.M.
a) uma reta
b) um polinômio de grau 2 completo (ou parábola completa)
130
135
140
145
150
155
160
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
f(x)
x f(x)
0 132
0,2 148
0,3 157

9. a) para o caso da reta temos que g(x) = 1.x + 2.1 então g1(x) = x e g2(x) = 1
Vamos montar um sistema 2x2 (sempre é um sistema quadrado)
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
.
1
2
=
𝑏1
𝑏2
Vamos calcular
𝑎11 =
𝑎12 =
𝑎22 =

10. b1 =
b2 =

11. a) para o caso da reta temos que g(x) = 1.x + 2.1 então g1(x) = x e g2(x) = 1
Vamos montar um sistema 2x2 (sempre é um sistema quadrado)
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
.
1
2
=
𝑏1
𝑏2
Vamos calcular
𝑎11 = ෍
𝑘=1
3
𝑔1 𝑥𝑘 . 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
3
𝑥𝑘. 𝑥𝑘 = 0.0 + 0,2.0,2 + 0,3.0,3 = 0,13
𝑎12 = ෍
𝑘=1
3
𝑔1 𝑥𝑘 . 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
3
𝑥𝑘. 1 = 0.1 + 0,2.1 + 0,3.1 = 0,5 = 𝑎21
𝑎22 = ෍
𝑘=1
3
𝑔2 𝑥𝑘 . 𝑔2 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
3
1. 1 = 1.1 + 1.1 + 1.1 = 3

12. b1 = ෍
𝑘=1
3
𝑓 𝑥𝑘 . 𝑔1 𝑥𝑘 = ෍
𝑘=1
3
𝑓 𝑥𝑘 . 𝑥𝑘 = 132.0 + 148.0,2 + 157.0,3 = 76,7
b2 = σ𝑘=1
3
𝑓 𝑥𝑘 . 𝑔2 𝑥𝑘 = σ𝑘=1
3
𝑓 𝑥𝑘 . 1 = 132.1 + 148.1 + 157.1 = 437
0,13 0,5
0,5 3
.
1
2
=
76,7
437
Resolvendo o sistema linear:
0,13. 1+0,5. 2 = 76,7
0,5. 1+ 3. 2 = 437
Por adição (L1 *-6 + L2) -0,28. 1 = -23,2  1=82,86 e 2=131,86.
Então a reta que melhor aproxima aqueles pontos é g(x) = 82,86.x + 131,86

13. b) para o caso da parábola completa temos que g(x) = 1.x2 + 2.x + 3.1 então
g1(x) = x2 , g2(x) = x e g3(x) = 1
Vamos montar um sistema 3x3
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
.
1
2
3
=
𝑏1
𝑏2
𝑏3
E calcular cada valor
0,0097 0,035 0,13
0,035 0,13 0,5
0,13 0,5 3
.
1
2
3
=
20,05
76,7
437
Atenção: o número de casas decimais influencia muito na resposta. Usando 4
casas decimais o resultado é: g(x) = 27,4217.x2 + 75,1006.x + 131,9653
Vamos ver usando Excel

14. Excel – monta tabela/marca os dados/ inserir gráfico de
dispersão/clicar em um dos pontos do gráfico com lado direito do
mouse/adicionar linha de tendência + escolher modelo de ajuste +
mostrar equação no gráfico + mostrar R2.
R2 – coeficiente de determinação. Mede a qualidade do ajuste
obtido, ou seja, mede o ajustamento de um modelo em relação aos
valores plotados. Varia de 0≤R2≤1. Quanto mais perto de 1 melhor o
ajuste!!
Vejam que no Excel o item b) do exemplo vai dar
g(x) = 33,333.x2 + 73,333.x + 132
Temos vários tipos de ajuste no Excel.
Obs: Exs da Lista 4 - com parábola incompleta só usaremos 2
alfas (Ex1, Ex2 b), Ex 4)