ππσπθ γγ εξετάσεις 2013

Προβλήματα απεικονίσεων ευθείας και κωνικών
τομών μέσω μετασχηματισμών Möbius.
Στέφανος Ασωνίτης
Μαθηματικός
MSc στην Επιστήμη της Πληροφορίας
asostef@gmail.com
Παράρτημα ΕΜΕ Κέρκυρας
7η Διάλεξη 2012-2013
Παρασκευή 25 Ιανουαρίου 2013
Αμφιθέατρο τμήματος Αρχειονομίας – Βιβλιοθηκονομίας
Κέρκυρα
Παράσταση λύσεων με το λογισμικό GeoGebra

Η έννοια του Προβλήματος στη γεωμετρία
Ευκλείδου Γεωμετρία. Στοιχεία. Βιβλία 1.2.3.4. Τόμος Ι
Σταμάτη, Ε., 1975
Πρόβλημα: η κατασκευή ορισμένου γεωμετρικού
σχήματος  «όπερ έδει ποιήσαι»
Πάπυρος Rhind (εμπειρική
λύση δίχως απόδειξη)
Ahmes, 1700 π.χ.

Εισαγωγή στη Γεωμετρία.
Στεφανίδης, 1989
Κατασκευές με κανόνα και διαβήτη
Έχω ένα αρχικό σύστημα σημείων.
Επιτρεπτές πράξεις:
1. Φέρω ευθεία που ορίζεται από δύο σημεία.
2. Γράφω περιφέρεια κύκλου, όπως ορίζεται από
δύο σημεία (το ένα σημείο είναι κέντρο του
κύκλου ο οποίος διέρχεται από το άλλο σημείο)
3. Επιλέγω ένα ακριβώς νέο σημείο ως τομή
ευθειών/κύκλων και το προσθέτω στο αρχικό
σύστημα σημείων.
Κατασκευή είναι η διεύρυνση του αρχικού
συστήματος σημείων μέσω μια πεπερασμένης
ακολουθίας κατασκευαστικών βημάτων με
χρήση των ανωτέρω πράξεων.

Γεωμετρικοί τόποι στο ευκλείδειο επίπεδο E2
Μεσοκάθετος
ευθυγράμμου τμήματος
Διχοτόμος γωνίας
«Κύκλος»
Έλλειψη
Παραβολή
Υπερβολή
Βασικοί γεωμετρικοί τόποι
Κωνικές
τομές

Κωνικές Τομές
Πηγή: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Conic_sections_with_plane.svg
1 παραβολή
2 έλλειψη, κύκλος
3 υπερβολή

Η αφορμή
Elementary Mathematics.
Dorofeev, Potapov and Rozov, 1976
Να προσδιορίσετε(*) το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των
μιγαδικών αριθμών z που ικανοποιούν την ισότητα: 21 z
Παράδειγμα
Λύση (β’ τρόπος)
1wzθεωρήσουμεναμπορούμεεπιπλέον
2wάρα1-zwΘέτουμε


1)(  wwfz
w z
(*)λόγω της
φύσης του μέσου
πέραν του
προσδιορισμού
θα κάνουμε και
παράσταση του
γεωμετρικού
τόπου.
Τα σχήματα δημιουργήθηκαν με το λογισμικό GeoGebra

Το ταξίδι αρχίζει… Μετασχηματισμοί
1)(  wwfz
Μετασχηματισμός στο μιγαδικό επίπεδο C
Ως μετασχηματισμό του X ορίζουμε μια ένα προς ένα και επί
απεικόνιση XX: f
Μετασχηματισμοί

Γεωμετρικοί μετασχηματισμοί στο που αποτελούν τα
δομικά στοιχεία των μετασχηματισμών Möbius
Μεταφορά
Στροφή
Αφφινικοί
Μετασχηματισμοί
Ομοιοθεσία
Αντιστροφή
Ισομετρίες
(ή στέρεες κινήσεις)
2


είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν η ορίζουσά του 0det A
τότε:











A
A
det
11
Ο πίνακας 








A
Ένας μετασχηματισμός του επιπέδου της μορφής
όπου ο πίνακας Α είναι ένας (2x2) αντιστρέψιμος πίνακας,
ονομάζεται αφφινικός μετασχηματισμός του επιπέδου.
f bxAxf

)(
Αφφινικοί μετασχηματισμοί στο 2

Ορισμός

Όπου: και με Γ: αντιστρέψιμο.
Είναι
και ομοίως άρα:
•Η σύνθεση δύο αφφινικών μετασχηματισμών είναι αφφινικός
μετασχηματισμός .
Πράγματι,
Έστω: καιaxAxf

)( 

 xBxg )(


  xaBxaxABxfgxfg )())(())((
AB 


2
1
2
11111
)())((  
2
11
))(( IBABA  111
)( 
 BABA
Αν f ,g, h είναι αφφινικοί μετασχηματισμοί του
επιπέδου τότε:


•Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα:
Συνεπώς
Το σύνολο όλων των αφφινικών μετασχηματισμών του επιπέδου
σχηματίζουν ομάδα.
•Προφανώς και κάθε αφφινικός μετασχηματισμός του επιπέδου (με
πίνακα Α) έχει αντίστροφο μετασχηματισμό (με πίνακα ), ο
οποίος είναι και αυτός αφφινικός.
)()( hgfhgf  
•Ο αφφινικός μετασχηματισμός με πίνακαIf 






10
01
I
έχει την ιδιότητα: fffff II  
για κάθε αφφινικό μετασχηματισμό f
1
A


Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι η μελέτη των ιδιοτήτων των
σχημάτων που παραμένουν αναλλοίωτες ως προς την ομάδα
των αφφινικών μετασχηματισμών του επιπέδου όπου ο
πίνακας Α είναι ορθογώνιος
Τι είναι η γεωμετρία;
Η μελέτη ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων που παραμένουν
αναλλοίωτες ως προς μια ομάδα μετασχηματισμών
2

Felix Klein – Erlangen Program
Κάθε στοιχείο της ομάδας μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση
μιας στροφής ή ανάκλασης και μιας μεταφοράς
Τι είναι ευκλείδεια γεωμετρία;


1. Μεταφορά (Translation)
CaC,za,zT(z): T
Μια μεταφορά είναι ένας αφφινικός μετασχηματισμός της
μορφής axaxIxf

 2)(
Ο πίνακας του μετασχηματισμού είναι ο 






10
01
2I












































2
1
2
1
2
1
10
01
'
'






y
x
y
x
y
x
y
x
Η απεικόνιση
Στο μιγαδικό επίπεδο:


2. Στροφή (Rotation)
 θC,zz,Τ(z): i
e
Μια στροφή κατά τη θετική φορά γύρω από την αρχή Ο είναι
ένας αφφινικός μετασχηματισμός της μορφής )()( xRxf
 

Ο πίνακας του μετασχηματισμού είναι ο
Η απεικόνιση





 



R



















 










yx
yx
y
x
y
x
'
'
Τύπος του Euler (1740): 
iei



3. Ομοιοθεσία (Homothety)
Μια ομοιοθεσία με κέντρο την αρχή Ο είναι ένας αφφινικός
μετασχηματισμός της μορφής *
λ),()(  xHxf O
 
Ο πίνακας του μετασχηματισμού είναι ο 








0
0
OH
Η απεικόνιση 

























y
x
y
x
y
x




0
0
'
'
*
λC,zz,T(z):  T


Απεικονίσεις μέσω αφφινικών μετασχηματισμών
στο
Σχήμα Εικόνα μέσω αφφινικού
μετασχηματισμού
Ευθεία Ευθεία
Έλλειψη Έλλειψη (*)
Παραβολή Παραβολή
Υπερβολή Υπερβολή
2

(*) ο κύκλος και η έλλειψη είναι σχήματα αφφινικά ισοδύναμα και
λαμβάνουν την κανονική μορφή
The affine invariance and line symmetries of the conics.
Villiers, M. ,1993
122
 yx
Oι αφφινικοί μετασχηματισμοί απεικονίζουν ευθείες σε ευθείες και
κάθε κωνική τομή σε κωνική τομή του ίδιου είδους:

Απεικονίσεις μέσω μεταφοράς/στροφής/ομοιοθεσίας
στο 2

Οι μετασχηματισμοί μεταφοράς, στροφής και ομοιοθεσίας, καθώς και
οι συνθέσεις αυτών απεικονίζουν ευθείες σε ευθείες και κάθε κωνική
τομή σε κωνική τομή του ίδιου είδους:
Σχήμα Εικόνα
Ευθεία Ευθεία
Κύκλο Κύκλο
Έλλειψη Έλλειψη
Παραβολή Παραβολή
Υπερβολή Υπερβολή

Αν οι εικόνες του μιγαδικού z κινούνται στην ευθεία y=x
Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με
α)
β)
γ)
Παραδείγματα μεταφοράς/στροφής/ομοιοθεσίας [1/6]
Στροφή ευθείας
iziw
2
1
2
1

zezizfw
i


2
)(

Στροφή & μεταφορά ευθείας
ziw 
1 ziw
rotation_line
rotation_translation_line

Αν οι εικόνες του μιγαδικού z κινούνται έλλειψη με εξίσωση:
Στροφή & μεταφορά έλλειψης
1
1625
22

yx
α)
β) iziw  1
ziw 
Στροφή & μεταφορά κύκλου
Αν οι εικόνες του μιγαδικού z κινούνται στον κύκλο με εξίσωση:
1)3()3( 22
 yx
α)
β) iziw  1
ziw  rotation_circle
rotation_ellipse
rotation_translation_ellipse

Αν για τους μιγαδικούς z είναι:
Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με:
α)
β)
γ)
δ)
122  iz
zw 3
Ομοιοθεσία κύκλου
zw
3
1

α)
β) zw 2
Ομοιοθεσία ευθείας
zw
2
1

zw 3
zw
3
1

homothety_line
homothety_circle

Ομοιοθεσία/στροφή κύκλου
α)
β)
ziw 
2
1
zezfw
i
 2
3
2)(

ziw  2
1z
homothety_rotation_circle

Ομοιοθεσία/στροφή & μεταφορά κύκλου
α)
β)
γ)
δ)
zw
2
1

1z
1
2
1
 zw
zw 2
izw  12
homothety_rotation_translation_circle

Ομοιοθεσία έλλειψης
Αν οι εικόνες του μιγαδικού z κινούνται έλλειψη με εξίσωση:
1
1625
22

yx
Να βρεθούν οι εικόνες των μιγαδικών w με zw 2
homothety_ellipse

Γεωμετρική Αντιστροφή
Γεωμετρική αντιστροφή ως προς το μοναδιαίο κύκλο
)(1' 2
rOAOA 
(0,0)y)(x,),
x
y
,(),( 2222

 yyx
x
yx 
*
Cz,
1
T(z): 
z
T
(0,0)y)(x,,
11
2222






 i
yx
y
yx
x
yixz
(0,0)y)(x,),,( yxA
Η Γεωμετρία της Αντιστροφής: Ιστορική Αναδρομή, Διδακτικές
προεκτάσεις και Εφαρμογές, Κακούρης, Μ. ,2008
Τα σχήματα δημιουργήθηκαν με το λογισμικό Geogebra

Μιγαδική Αντιστροφή(*) στο
Γεωμετρική αντιστροφή ως προς το μοναδιαίο κύκλο
και ανάκλαση ως προς τον x-άξονα.
(0,0)y)(x,),
x
y-
,()
x
y
,(),( 22222222

 yyx
x
yyx
x
yx 
*
Cz,
1
T(z): 
z
T
(0,0)y)(x,,
11
2222






 i
yx
y
yx
x
yixz
''' AAA 
αντιστροφή
ανάκλαση
C
(*)Visual Complex Analysis. Tristan Needham , 1997
Τα σχήματα δημιουργήθηκαν με το λογισμικό Geogebra

C
Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων
μπορεί να πάρει τη μορφή: (1)0α,0 22
  yx
Έστω ότι ζητάμε την εικόνα του
iz  0 yixz 
Τότε η (1) γράφεται: 0)Re( 0 zz
0z),(
1
 zA
z
w
Έχουμε:  0)
1
Re(z0)
1
Re(z0)Re( 0
2
00
w
w
w
zz
0)Re(z0)Re(z0)Re( 00
2
0  w
w
ww
w
w
z
A Διδακτικές σημειώσεις στα Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων,
Δανίκας, Ν., 1991
Ευθεία/Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο

Το οποίο σημαίνει ότι κατά την μιγαδική αντιστροφή αν οι εικόνες του
κινούνται σε ευθεία ε «διατρυπημένη»(*) στην αρχή Ο των αξόνων
τότε και ο συζυγής μιγαδικός της εικόνας
Θα κινείται σε ευθεία «διατρυπημένη» στο Ο. Συνεπώς και ο μιγαδικός
(λόγω συμμετρίας με τον συζυγή του ως προς τον άξονα θα βρίσκεται και
αυτός σε ευθεία «διατρυπημένη» στην αρχή Ο.
0z
w 0,
1
 w
z
w
w
xx'
Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο C
Η ευθεία διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
A
(*) Η Γεωμετρία της Αντιστροφής: Ιστορική Αναδρομή, Διδακτικές προεκτάσεις και
Εφαρμογές, Κακούρης, Μ. ,2008

Το επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο: Cˆ

Μιγαδική Αντιστροφή στο Cˆ
Στο επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο:











z0,
0z,
0z,
1
)(:
z
zTT
1
2
3
0
0
Μια ευθεία «διατρυπημένη» στο
Ο απεικονίζεται σε
«διατρυπημένη» στο Ο ευθεία.
Μια ευθεία η οποία
διέρχεται από την αρχή
Ο στο επεκτεταμένο
μιγαδικό απεικονίζεται
σε ευθεία που διέρχεται
από το Ο
Α Ευθεία που
διέρχεται από το Ο
Ευθεία που διέρχεται
από το Ο
Απεικονίζεται σε
Επομένως για το μετασχηματισμό της μιγαδικής αντιστροφής στο
επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο, ισχύει ότι:

Β
Δ
Γ
Ευθεία που δεν
Κύκλος που
Κύκλος που δεν
Κύκλος που διέρχεται
από το Ο
Κύκλο
Ευθεία
Διδακτικές σημειώσεις στα Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων,
Αποδεικνύεται ότι για τον μετασχηματισμό της μιγαδικής
αντιστροφής στο επεκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο, ισχύει ότι:
Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο Cˆ

Επομένως:
Το σύνολο των ευθειών και κύκλων στο επεκτεταμένο
μιγαδικό επίπεδο απεικονίζεται μέσω της μιγαδικής
αντιστροφής στον εαυτό του.
Αν θεωρήσουμε την ευθεία ως κύκλο (γενικευμένος κύκλος ) που
διέρχεται από το απ’ άπειρο σημείο του επεκτεταμένου μιγαδικού
επιπέδου, τότε μέσω της μιγαδικής αντιστροφής :
Γενικευμένος Κύκλος
Circline
Γενικευμένο Κύκλο
Circline
Γενικεύοντας:

Μεθοδολογία για τη λύση ασκήσεων
εξετάζουμε αν υπάρχει
 Τ(z)μεKz/z
ΝΑΙ ΌΧΙ(*)
Η εικόνα περιλαμβάνει το επ’
άπειρο σημείο του μιγαδικού
επιπέδου και αναγκαστικά θα
είναι ευθεία.
Η εικόνα είναι κύκλος.
Kzή,T(z)  z(*)

Ευθεία/ Κύκλος μέσω Μιγαδικής Αντιστροφής στο
Παραδείγματα
Cˆ
Παράδειγμα A
Να βρείτε την εικόνα της ευθείας μέσω της
μιγαδικής αντιστροφής.
xy :
i
i
i
iT
2
1
2
1
2
1
1
1
)1( 




)
2
1
,
2
1
()1,1( 
Συνεπώς η εικόνα είναι η ευθεία: xy 
Παρατηρώ ότι για είναι 0z )(zT
Άρα η εικόνα είναι ευθεία που διέρχεται από Ο)(T
Αρκεί να προσδιορίσω ένα ακόμη σημείο.
inversion_line_origin

Παρατηρώ ότι για κάθε είναιz )(zT
Να βρείτε την εικόνα της ευθείας μέσω της μιγαδικής
αντιστροφής.
Παράδειγμα B
Άρα η εικόνα είναι κύκλος)(T
1:  xy
Cˆ
Για να προσδιορίσω τον κύκλο, αρκεί να προσδιορίσω τρία
σημεία από τα οποία διέρχεται.
1
1
1
)1( 

T i
i
iT 
1
)( 0)( T
Το κέντρο του κύκλου προσδιορίζεται ως η τομή των δύο μεσοκαθέτων των
χορδών. Η ακτίνα ως η απόσταση του κέντρου από ένα από τα σημεία.Τελικά η
εικόνα είναι ο κύκλος:
2
1
)
2
1
()
2
1
( 22
 yx
inversion_line_no_origin

Παρατηρώ ότι για είναι 0z )(zT
Να βρείτε την εικόνα του κύκλου μέσω της μιγαδικής
Παράδειγμα Γ
Άρα η εικόνα είναι ευθεία .)(KT
11: zK
Cˆ
Παρατηρώ ότι ο κύκλος Κ είναι σχήμα συμμετρικό ως προς
τον άξονα x’x, άρα:
Συνεπώς και η εικόνα είναι η εικόναΤ(Κ) είναι σχήμα συμμετρικό ως προς τον
x-άξονα. Επομένως για να προσδιορίσω την ευθεία T(K) χρειάζομαι μόνο ένα
σημείο από το οποίο διέρχεται.
(Διδακτικές σημειώσεις στα
Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων,
Kzz  Επιπλέον αν :
)()( KTzfw  Είναι και :
)()(
1
)
1
()( KTzf
zz
zfw 
2
1
)2( T )0,
2
1
()0,2(  Συνεπώς η εικόνα είναι η ευθεία:
2
1
x
inversion_circle_origin

Να βρείτε την εικόνα του κύκλου μέσω της μιγαδικής
Παράδειγμα Δ
Άρα η εικόνα είναι κύκλος)(KT
12: zK
Cˆ
Συνεπώς και η εικόνα είναι η εικόναΤ(Κ) είναι σχήμα συμμετρικό ως προς τον
x-άξονα. Επομένως για να προσδιορίσω τον κύκλο T(K) χρειάζομαι μόνο τα
δύο σημεία στα οποία τέμνει τον χ-άξονα.
Παρατηρώ ότι για κάθε είναιKz )(zT
Παρατηρώ ότι ο κύκλος Κ είναι σχήμα συμμετρικό ως προς
τον άξονα x’x, άρα:
(Διδακτικές σημειώσεις στα
Στοιχεία Μιγαδικών Συναρτήσεων,
Kzz  Επιπλέον αν :
)()( KTzfw  Είναι και :
)()(
1
)
1
()( KTzf
zz
zfw 
1
1
1
)1( T
3
1
)3( T Συνεπώς η εικόνα είναι ο κύκλος:
9
1
)
3
2
( 22
 yx
inversion_circle_no_origin

Παράδειγμα E
Να βρείτε την εικόνα του μοναδιαίου τετραγώνου μέσω της μιγαδικής
Cˆ
inversion_unit_square

Εικόνα της
μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [1/3]
Να βρεθεί η εικόνα της παραβολής 0p,22
 pxy
Μέσω της μιγαδικής αντιστροφής
(0,0)y)(x,),(),()
x
y
-,(),( 2222


 zfYX
yyx
x
yxz 
2222222
22
)()(x xXyxxXy
yx
x
X 


2222222
22
)()(x yYyxyYy
yx
y
Y 



Διαιρώντας κατά μέλη έχουμε:
x
p
x
px
x
y
X
Y 22
22
2
2
2

Ισχυριζόμαστε ότι:
X
p
X
x
p


2
1
2
0p,22
 pxy
Cˆ











z0,
0z,
0z,
1
)(:
z
zTT

(που ισχύει).





xx
x
2p-12
2
1
2 2222
y
x
x
y
xXpX
p
p
1
x
1 22
22
22
2
22
2








yx
y
yx
x
yx
y
συνεπώς η (1) γράφεται:
(2)
2
1
Y
2
1
22
2
2
X
p
X
X
X
p
X
X
Y




Για την παραβολή έχουμε άρα και επομένως και0p 0x 022



yx
x
X
Από τη σχέση (2) προκύπτει ότι: 0
2
1
 X
p
συνεπώς:
X
p
X
XY


2
1
Η εξίσωση αυτή περιγράφει την κισσοειδή του Διοκλή (Cissoid of Diocles)
0p,22
 pxy
Cˆ
Εικόνα της
0
0

0p,22
 pxy
Cˆ
Εικόνα της
inversion_parabola

Εικόνα της
Να μελετηθεί η εικόνα της έλλειψης: 12
2
2
2


yx
12
2
2
2


yx
Cˆ
Ellipses in the Inversive Plane,
Coffman, A. & Frantz, M. ,
Θεώρημα: Αν Ε είναι μια έλλειψη με κέντρο και
Τότε η εικόναΤ(Ε) δεν είναι έλλειψη.
C0
z
zT
1
)( 











z0,
0z,
0z,
1
)(:
z
zTT

Εικόνα της
12
2
2
2


yx
Cˆ
Η απόδειξη είναι στοιχειώδης όταν η εκκεντρότητα της
έλλειψης είναι μεγάλη. Δηλαδή όταν (π.χ. για α > β) είναι:
2

 
Τότε ο κύκλος με κέντρο τέμνει την έλλειψη σε τρία
σημεία, προφανώς το ένα από αυτά είναι το . Ο κύκλος αυτός
διέρχεται από την αρχή Ο, άρα η εικόνα του μέσω της μιγαδικής αντιστροφής
είναι ευθεία.
Στην εικόνα αυτή (ευθεία) ανήκουν και οι εικόνες των τριών κοινών
σημείων της έλλειψης με τον κύκλο. Άρα η εικόνα της έλλειψης είναι ένα
σχήμα το οποίο έχει τρία κοινά σημεία με μία ευθεία και συνεπώς δεν μπορεί
να είναι έλλειψη.
)0,
2
(
a
K)
2
,(
a
K
)0,(aA
inversion_ellipse

Εικόνα της
(0,0)y)(x,),(),()
x
y
-,(),( 2222


 zfYX
yyx
x
yxz 
2222
2
2
2
222
2
2
22
)()( yxa
x
a
X
yx
x
X
yx
x
X






2222
2
2
2
222
2
2
22
)()( yx
xY
yx
y
Y
yx
y








Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε:
(1)
)(
1
)(
)(
1
2222
2
2
2
2222
2
2
2
yx
yx
yx
YX





12
2
2
2


yx
Coffman,A. & Frantz, M. ,
Η γενική απόδειξη, μας οδηγεί σε μελέτη καμπύλης 4ου βαθμού
Cˆ

Παρατηρούμε ότι:
(2)
)(
1
)(
)(
)(
2
)(
)(
)(
)(
)( 222422
222
422
22
422
22
422
22
222
yxyx
yx
yx
yx
yx
y
yx
x
YX











Από τις (1) και (2) έχουμε:
 )( 222
2
2
2
2
YX
YX

0)(-)( 2
2
2
2
222


YX
YX
12
2
2
2


yx
Εικόνα της
μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [3/3]Cˆ
Η εικόνα δεν είναι έλλειψη,
αλλά ένα «οβάλ» (oval) σχήμα.
inversion_ellipse_2

Να βρεθεί η εικόνα της ισοσκελούς υπερβολής
(0,0)y)(x,),(),()
x
y
-,(),( 2222


 zfYX
yyx
x
yxz 
222
2
2
22
)(x y
x
X
yx
x
X




)(x 22
2
2
22
y
y
Y
yx
y
Y





προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: 222
222
)(
1
)(
yx
YX













z0,
0z,
0z,
1
)(:
z
zTT
222
ayx Εικόνα της
μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [1/]Cˆ
222
ayx 
αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε: 222
2
22
)( yx
a
YX



222
ayx Εικόνα της
μέσω της Μιγαδικής Αντιστροφής στο [2/]Cˆ
)()
1
()( 222222
YX
a
YX 
O λημνίσκος (lemniscate) του Bernoulli, σε καρτεσιανές συντεταγμένες έχει
εξίσωση (Finney, Weir, Giordano. Thomas’ calculus: early Transcendentals –10th ed.
2003): )(2)( 222222
yxayx 
),0,(' aF Με εστίες: )0,(aF
Συνεπώς η εικόνα της ισοσκελούς υπερβολής 222
ayx 
μέσω της μιγαδικής αντιστροφής είναι λημνίσκος του
Bernoulli με εστίες: ),0,
2
2
('
a
F  )0,
2
2
(
a
F
inversion_hyperbola

Μετασχηματισμοί Möbius
Ομογραφικοί μετασχηματισμοί
Διπλογραμμικοί μετασχηματισμοί
Ρητογραμμικοί μετασχηματισμοί
Ένας μετασχηματισμός Möbius είναι μια απεικόνιση:
CCT ˆˆ: 
Της μορφής:
dcz
baz
zT


)( με : 0,,,,  cbadCdcba
Ορίζουμε:







0c,
0c,
)(
c
aT 0c,)( 
c
d
T,

εκτελώντας τη διαίρεση: καταλήγουμε στη μορφή:
c
d
zc
adbc
c
a
dcz
baz
zT






1
)( 2
dcz
baz


0c
Τότε ο μετασχηματισμός γράφεται ως σύνθεση : ))(()( 12 ztirhtzT 
όπου:
μια μεταφορά κατά:
μια αλγεβρική αντιστροφή
μια ομοιοθεσία με:
c
d
1t
i
02



c
adbc
kh
2t
c
a
)arg( 2
c
adbc 
r μια στροφή κατά:
0,,,,  cbadCdcba

εκτελώντας τη διαίρεση:
καταλήγουμε στη μορφή:
d
b
z
d
a
zT )(
dcz
baz


0c
Τότε ο μετασχηματισμός γράφεται ως σύνθεση : ))(()( zrhtzT 
όπου:
μια ομοιοθεσία με:
d
bt
,0
d
a
kh
0,,,,  cbadCdcba
0d0 a
)arg(
d
a
r μια στροφή κατά:

Γενικά για τους μετασχηματισμούς Möbius
Carathéodory, C. Conformal Representation. (1998)
Republication of 1952 edition (Syndies of the Cambridge
University Press)
•Αντίστροφος μετασχηματισμός: 0bc-(-d)(-a), 



acw
bdw
z
•Το σύνολο όλων των μετασχηματισμών Möbius σχηματίζει
ομάδα
•Κάθε Möbius μετασχηματισμός είναι μια 1-1 σύμμορφη(*)
(conformal) απεικόνιση του επεκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου
στον εαυτό του
•Το σύνολο των μετασχηματισμών Möbius είναι κλειστό με
πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων
(*)διατηρεί το μέτρο και τον προσανατολισμό της γωνίας τομής δύο καμπυλών

Γενικά για τους μετασχηματισμούς Möbius
Κράλλης, Ι. Μετασχηματισμοί Möbius και η αναλυτική
προσέγγιση της Υπερβολικής και Ελλειπτικής Γεωμετρίας.
(2009)
Το ζεύγος όπου Μ η ομάδα των μετασχηματισμών Mobius
ορίζεται ως η Γεωμετρία Möbius
H γεωμετρία Möbius είναι υπερσύνολο των μη –Ευκλείδειων
Γεωμετριών
),ˆ( MC

Ο κύκλος είναι σχήμα συμμετρικό ως προς τον άξονα x’x. Άρα αν:
Παραδείγματα μετασχηματισμών Möbius
1ο Παράδειγμα.
Να βρείτε την εικόνα του κύκλου 2z
1
12
)(



z
z
zTw
Είναι:
Kz  είναι: )(zT
Άρα οι εικόνες του βρίσκονται σε κύκλοw
K
KzKz
Επομένως οι εικόνες του w ανήκουν σε σχήμα συμμετρικό ως προς τον
άξονα x’x και επειδή το σχήμα είναι κύκλος, για να τον προσδιορίσω
αρκεί να βρω τα σημεία τομής του με τον πραγματικό άξονα.
στο μέσω της απεικόνισης:
Παρατηρούμε ότι για κάθε
01121112 cdab
Άρα πρόκειται για μετασχηματισμό Möbius
Cˆ
Είναι: wzfzfKT  )()()(
Συνεπώς αν τότε και αντιστρόφως.)(KTw )(KTw 

3
5
12
122
)2( 


f 3
1
3
12
1)2(2
)2( 





f
)0,
3
7
(K
3
2
2
3
3
5



mobius_circle_to_circle

Ο κύκλος είναι σχήμα συμμετρικό ως προς τον άξονα x’x. Άρα αν:
2ο Παράδειγμα.
1z
Παρατηρούμε ότι  )1(T Επομένως οι εικόνες του βρίσκονται σε ευθείαw
Να βρείτε την εικόνα του κύκλου
1
12
)(



z
z
zTw
στο μέσω της απεικόνισης:Cˆ
Είναι: 01121112 cdab
Άρα πρόκειται για μετασχηματισμό Möbius
K
KzKz
Είναι: wzfzfKT  )()()(
Συνεπώς αν τότε και αντιστρόφως.)(KTw )(KTw 
Επομένως οι εικόνες του w ανήκουν σε σχήμα συμμετρικό ως προς τον
άξονα x’x και επειδή το σχήμα είναι ευθεία, για να την προσδιορίσω
αρκεί να βρω ένα σημείο από το οποίο διέρχεται.

2
3
11
112
f(1):1 


 Kz
Άρα η εικόνα είναι η ευθεία:
2
3
x
Παρατήρηση
Αν το αρχέτυπο δεν είναι σχήμα συμμετρικό ως προς την αρχή των
αξόνων ή αν δεν ισχύει για τη συνάρτηση μετασχηματισμού η
ιδιότητα τότε:
Αν η εικόνα είναι ευθεία θα πρέπει να προσδιορίσουμε δύο σημεία
από τα οποία διέρχεται, ενώ αν η εικόνα είναι κύκλος τρία σημεία.
)()( zfzf 
mobius_circle_to_line

3ο Παράδειγμα (Η αφίσα της Διάλεξης)
Να βρεθεί η εικόνα της ισοσκελούς υπερβολής
Μέσω του μετασχηματισμού:
122
 yx












z0,
0z,
0z,
22
)(:
z
i
zTT
poster_image_inversion_hyperbola

4ο Παράδειγμα (Κωνικές σε μη τυπική θέση
μέσω μιγαδικής αντιστροφής)
Παραβολή:
Έλλειψη:
Υπερβολή:
inversion_parabola_no_typical
inversion_ellipse_no_typical
inversion_hyperbola_no_typical

Möbius Transformations Revealed
Arnold, D.,N. & Rogness, J. , 2008
Möbius Transformations Revealed

Ευχαριστώ για την
προσοχή σας!

ππσπθ γγ εξετάσεις 2013

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to ππσπθ γγ εξετάσεις 2013

Similar to ππσπθ γγ εξετάσεις 2013 (20)

More from Σωκράτης Ρωμανίδης

More from Σωκράτης Ρωμανίδης (20)

ππσπθ γγ εξετάσεις 2013