ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Βασικοί Ορισμοί Κατηγορηματικής Λογικής Μεταφραστικός Πίνακας

1. ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
∀ ύ
Αληθές (για όλα τα x: τύπος =A)
Ψευδές (π.χ. για x=…)
Συντακτικό Προτάσεων ΚΛ
Έκφραση: Οτιδήποτε χρησιμοποιεί σύμβολα ΚΛ (ακόμη
και ασύντακτο)
Ορός: Αποτιμάται σε τιμή από το πεδίο ορισμού
• Μεταβλητή (π.χ. , , …)
• Σταθερά (π.χ. , ,…)
• Συναρτησιακό Σύμβολο (ορίσματα όροι)
• π.x.: , , …
Ατομικός Τύπος: Αποτιμάται σε Α/Ψ
• Ισότητα όρων ( )
• π.x.:
• Κατηγορηματικό Σύμβολο (ορίσματα όροι)
• π.x.: , , …
Μη Ατομικός Τύπος: Αποτιμάται σε Α/Ψ
• Προτασιακοί Σύνδεσμοί ( ,∨, ∧, →, ↔ )
• ύ
• ύ ∨ ύ
• ύ ∧ ύ
• ύ → ύ
• ύ ↔ ύ
• Ποσοδείκτες (∀, ∃):
• ∀ ύ
• ∃ ύ
Κανόνες Συντακτικού:
• Πρόταση: Τύπος χωρίς ελεύθερες μεταβλητές
• Προτεραιότητα:
1. , ∀, ∃
2. ∨, ∧
3. →, ↔
• Εμβέλεια: Αν δεν καθορίζεται με παρενθέσεις, η εμβέλεια των
ποσοδεικτών φτάνει μέχρι τον πρώτο διμελή προτασιακό
σύνδεσμο.
∃ ύ
Αληθές (π.χ. για x=…)
Ψευδές (για όλα τα x: τύπος =Ψ)
Η δομή (ή ερμηνεία) Α αποτελείται από τα εξής:
• Το σύμπαν της (συμβολίζεται με |A| ) που είναι το πεδίο
ορισμού των μεταβλητών.
• Σε κάθε συναρτησιακό σύμβολο f/n αντιστοιχούμε μια
συνάρτηση: f#
: |A|&
→ |A|
• Σε κάθε κατηγορηματικό σύμβολο P/n αντιστοιχούμε μια
σχέση: P#
⊆ |A|&
• Σε κάθε σύμβολο σταθεράς c αντιστοιχούμε μια τιμή:
c#
∈ |A
η ερμηνεία αποδίδει νόήμα σε όλα τα σύμβολα που εμφανίζονται
στον τύπο (ή στον όρο)
Η αποτίμηση v είναι μία συνάρτηση που δίνει τιμή από το σύμπαν
σε κάθε ελεύθερη μεταβλητή.
• Άρα είναι μία συνάρτηση: v: Μ Γ. → |/|

2. ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗΜΕΤΑΦΡΑΣΤΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ
012 Δεν ισχύει η 012
012 ∧ 012 012 και 012
012 ∨ 012 012 ή 012
012 → 012 Αν 012 τότε 012
012 ↔ 012 012 αν και μόνο αν 012
∃ 343ό 2 0 6 Yπάρχει στοιχείο για το οποίο ισχύει η 343ό 2 0 6
Yπάρχει στοιχείο τέτοιο ώστε να ισχύει η 343ό 2 0 6
∀ 343ό 2 0 6 Κάθε στοιχείο έχει την 343ό 2 0 6
Για κάθε στοιχείο ισχύει η 343ό 2 0 6
∃ ∃ 17812 98 Yπάρχει ζεύγος στοιχείων για το οποίο ισχύει η 17812
Yπάρχει ζεύγος στοιχείων τέτοιο ώστε να ισχύει η 17812
∀ ∀ 17812 98 Κάθε ζεύγος στοιχείων έχει την 17812
Για κάθε ζεύγος στοιχείων ισχύει η 17812
∃ ∀ 17812 98 Yπάρχει στοιχείο που έχει τη 17812 με όλα τα στοιχεία
∀ ∃ 17812 98 Κάθε στοιχείο έχει τη 17812 με τουλάχιστον ένα στοιχείο
∃ ∃ : ∧ 17812 98 Yπάρχει ζεύγος διαφ/κών στοιχείων για το οποίο ισχύει η
17812
∀ ∀ : → 17812 98 Για κάθε ζεύγος διαφ/κων στοιχείων ισχύει η 17812
∃ 343 2 0 1 ∧ ∀ 9 30 343 2 0 1 → Υπάρχει μοναδικό στοιχείο με την ιδιότητα
Υπάρχει ακριβώς ένα στοιχείο με την ιδιότητα
∃ ∃
343 2 0 1 ∧ 9 30 343 2 0 1 ∧ : ∧
∀ 9 30 343 2 0 1 → ∨
Υπάρχουν ακριβώς δύο στοιχεία με την ιδιότητα