1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ) 1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ 2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη 2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων 2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens 2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3 2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1 2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2 2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3 2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική 2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική 2.4) Τυπικά Θεωρήματα 2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές 3) Μεθοδολογία 3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική 3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική Ασκήσεις

1. Ο ΠΛ (προτασιακός λογισμός) είναι το αξιωματικό
σύστημα που:
• Έχει ως αξιώματα (αξιωματικά σχήματα) τα: ΑΣ1,
ΑΣ2, ΑΣ3.
• Και ως αποδεικτικό κανόνα τον Modus Ponens
(M.P.)
Σε αυτό το αξιωματικό σύστημα μελετάμε αν
ισχύουν:
• Τυπική Συνεπαγωγή ⊢
όταν ισχύουν οι υποθέσεις του Τ αν εξάγεται με
διαδοχικές εφαρμογές του MP ο τύπος φ
• Τυπικό Θεώρημα ⊢
δηλαδή αν εξάγεται ο τύπος φ με διαδοχικές
εφαρμογές MP
ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣTO ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΟΥ Π.Λ.
Στις τυπικές αποδείξεις επιτρέπεται να χρησιμοποιήσουμε:
1) ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ του συνόλου τύπων
2)ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ και Συντακτικές αντικ/σεις σε αυτα:
ΑΣ1: φ → (ψ → φ)
ΑΣ2: (φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → ( φ → χ))
ΑΣ3: (¬φ → ¬ψ) → (( ¬φ → ψ) → φ)
3) MODUS PONENS
Αν ισχύει Φ
Και ισχύει Φ→Ψ
----------------------
Τότε ισχύει Ψ (από Modus Ponens)
4) ΤΥΠΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ
Έχουμε αποδείξεις για:
Ⱶ φ → φ Ⱶ φ → ¬¬φ Ⱶ ¬¬φ → φ
5) ΤΥΠΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΕΣ
Εφόσον δίνονται από την εκφώνηση
ΠΡΟΣ ΤΑ ΕΜΠΡΟΣ ΣΥΛΛΟΓΙΣΤΙΚΗ:
Να αποδειχθεί ότι
{φ → (ψ → χ) ,φ → ψ} Ⱶ φ → χ
ΛΥΣΗ:
Η τυπική απόδειξη είναι:
1. φ → (ψ → χ) Υπόθεση
2. (φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → (φ → χ)) ΑΣ2
3. (φ → ψ) → (φ → χ) MP1,2
4. φ → ψ Υπόθεση
5. φ → χ MP4,3
ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΩ ΣΥΛΛΟΓΙΣΤΙΚΗ:
Να αποδειχθεί ότι
¬ φ Ⱶ (¬ψ → φ) → ψ
ΛΥΣΗ:
Η τυπική απόδειξη είναι:
1. ¬ φ Υπόθεση
2. ¬φ → (¬ψ → ¬φ) ΣΑ στο ΑΣ1 όπου φ: ¬φ, ψ:¬ψ
3. ¬ψ → ¬φ MP1,2
4. (¬ψ → ¬φ) →((¬ψ → φ) → ψ) ΣΑ στο ΑΣ3 όπου φ: ψ, ψ:φ
5. (¬ψ → φ) → ψ MP3,4
ΤΥΠΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ:
Να αποδειχθεί ότι
Ⱶ (φ → χ) → (φ → φ)
ΛΥΣΗ:
Η τυπική απόδειξη είναι:
1. φ → (χ → φ) ΣΑ στο ΑΣ1 όπου ψ: χ
2. (φ → (χ → φ)) → ((φ → χ) → (φ → φ)) ΣΑ στο ΑΣ2 όπου ψ: χ
3. (φ → χ) → (φ → φ) MP1,2