ο αλγοριθμος

1. Ο αλγόριθμος
Γραμμική ΄Αλγεβρα
Απαλοιφή Γκάους
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
16 Οκτωβρίου 2013

2. Ο αλγόριθμος
Διαδικαστικά
Τα φροντιστήρια του μαθήματος θα πραγματοποιούνται
κάθε Τετάρτη 9.00-10.00 στο εδώ Αμφιθέατρο.
Δεν θα πραγματοποιηθούν οι διαλέξεις της επόμενης
εβδομάδας. Θα αναπληρωθούν αργότερα και θα
ανακοινωθεί η αναπλήρωσή τους έγκαιρα.

3. Ο αλγόριθμος
Απαλοιφή του Γκάους είναι
ένας αλγόριθμος που
μετατρέπει ένα σύστημα σε
ένα ισοδύναμο άνω
τριγωνικό.

4. Ο αλγόριθμος
Ερωτήσεις
1
Για ποιές τιμές της παραμέτρου t ∈ R έχει λύση το
παρακάτω σύστημα;
x1 + x2 + x3 = b1
tx1 + 2tx2 + 2x3 = b2
(t + 1)x1 + 2tx3 = b3

5. Ο αλγόριθμος
Ερωτήσεις
1
Για ποιές τιμές της παραμέτρου t ∈ R έχει λύση το
παρακάτω σύστημα;
x1 + x2 + x3 = b1
tx1 + 2tx2 + 2x3 = b2
(t + 1)x1 + 2tx3 = b3
2
Υπολογίστε την λύση του συστήματος αν
b1 = 3, b2 = 3t + 2 και b3 = 3t + 1.

6. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση

7. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1
a2,1 x1 + · · · + a2,j xj + · · · + a2,n xn = b2

8. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1
a2,1 x1 + · · · + a2,j xj + · · · + a2,n xn = b2
πολλαπλασιαστής p =
a2,1
a1,1 ,
οδηγός = a1,1 ,

9. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή του 1ου αγνώστου απο την 2η εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1
a2,1 x1 + · · · + a2,j xj + · · · + a2,n xn = b2
πολλαπλασιαστής p =
a2,1
a1,1 ,
οδηγός = a1,1 ,
a2,j ← a2,j − p · a1,j , j = 2, . . . , n

10. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση

11. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1
ai,1 x1 + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi

12. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1
ai,1 x1 + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi
πολλαπλασιαστής p =
ai,1
a1,1 ,
οδηγός = a1,1 ,

13. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (1ο Βήμα)
Απαλοιφή 1ου αγνώστου απο i = 2, . . . , n εξίσωση
a1,1 x1 + · · · + a1,j xj + · · · + a1,n xn = b1
ai,1 x1 + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi
πολλαπλασιαστής p =
ai,1
a1,1 ,
οδηγός = a1,1 ,
ai,j ← ai,j − p · a1,j , j = 2, . . . , n

14. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα)
Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n
εξίσωση

15. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα)
Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n
εξίσωση
ak,k xk + · · · + ak,j xj + · · · + ak,n xn = bk
ai,k xk + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi

16. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα)
Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n
εξίσωση
ak,k xk + · · · + ak,j xj + · · · + ak,n xn = bk
ai,k xk + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi
πολλαπλασιαστής p =
ai,k
ak,k ,
οδηγός = ak,k ,

17. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (k = 1, . . . , n − 1 Βήμα)
Απαλοιφή k αγνώστου απο i = k + 1, . . . , n
εξίσωση
ak,k xk + · · · + ak,j xj + · · · + ak,n xn = bk
ai,k xk + · · · + ai,j xj + · · · + ai,n xn = bi
πολλαπλασιαστής p =
ai,k
ak,k ,
οδηγός = ak,k ,
ai,j ← ai,j − p · ak,j , j = k + 1, . . . , n

18. Ο αλγόριθμος
Ο αλγόριθμος της απαλοιφής (χωρίς εναλλαγές γραμμών)
Για k = 1, . . . , n − 1 (τα βήματα της απαλοιφής)
.
Για i = k + 1, . . . , n (οι υπόλοιπες εξισώσεις)
.
p = ai,k /ak,k
.
Για j = k + 1, . . . , n (συντ. υπολοίπων αγνώστων)
.
ai,j = ai,j − p · ak,j
.
bi = bi − p · bk

19. Ο αλγόριθμος
Ερωτήσεις
1
Πόσες περίπου πράξεις εκτελούνται στην απαλοιφή ενός
συστήματος n εξισώσεων με n αγνώστους.

20. Ο αλγόριθμος
Ερωτήσεις
1
Πόσες περίπου πράξεις εκτελούνται στην απαλοιφή ενός
συστήματος n εξισώσεων με n αγνώστους.
2
Μετατρέψτε τον παραπάνω αλγόριθμο έτσι ώστε αυτός να
εκμεταλεύεται κατάλληλα την μη-μηδενικη δομή ενός
συστήματος του οποίου οι συντελεστές των αγνώστων
ικανοποιούν την παρακάτω συνθήκη όπου k ακέραιος
θετικός αριθμός μικρότερος του n.
ai,j = 0, ∀i, j : |i − j| > k