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ARC044 解説
DEGwer
A問題 「素数判定」
問題概要
• 整数N(1≦N≦10^9)が素数っぽいかどうか判
定せよ
• Nは以下のいずれかの条件を満たす時素
数っぽい
– 素数である
– 合成数であり、かつ1の位が2でも5でも割り切れ
ず、各桁の和が3で割り切れない
解法1
• 愚直に計算
• 素数判定にO( 𝑁)
• 各桁の和を求めるのにO(log N)
• あわせてO( 𝑁)
解法2
• 各桁の和とかは求めなくていい
– Nの1の位が2でも5でも割り切れず、各桁の和が3
の倍数であることは、Nが2,3,5で割り切れないこ
とと同値
• 実は素数判定も要らない
– 2,3,5以外のNについて、Nが素数ならNは2,3,5で
割り切れない
解法2
• 以上をまとめると
– N=1ならNot Prime(1は素数でも合成数でもない)
– それ以外でN=2,3,5ならPrime
– それ以外でNが2,3,5で割り切れるならNot Prime
– それ以外ならPrime
• と出力すればよい
• O(1)で解けた
B問題 「最短路問題」
問題概要
• 整数Nと整数列𝐴1, 𝐴2,…, 𝐴 𝑁が与えられる
• 頂点数Nですべての辺のコストが1の単純無
向グラフであって、任意のiに対して頂点1から
頂点iまでの距離が𝐴𝑖であるようなものの個
数をmod 10^9+7で求めよ
• N ≦ 10^5
解法
• まず、自明に答えが0になる場合を取り除く
– 𝐴1 ≠ 0だとだめ(頂点1から頂点1への距離は0)
– 0が複数あってもだめ(頂点1から頂点1以外への
距離は正)
解法
• 2点間に辺を張れる条件は?
– その2点の、 𝐴1からの距離の差が1以下
– 距離の差が2以上あると、その辺を使うことで最
短距離の性質に矛盾する
• 2点間の距離が0の場合と1の場合に分けて
考える
解法
• 2点間の距離が0のとき辺はどう張ってもいい
– 辺があろうがなかろうが最短距離は変わらない
• 𝐴𝑖 = 𝐶なるiが𝐾𝑖個あるとき、距離Cの頂点の
間に辺を張る場合の数は2
𝐾 𝑖(𝐾 𝑖−1)
2 通り
• これは、N乗までの2冪をループで順にもとめ
ていき、さらにそれらの掛け算で2の三角数乗
を順に求めていけばあわせてO(N)で求まる
– 二分累乗ならO(Nlog N)
解法
• 2点間の距離が1のとき、その𝐴1からの距離を
それぞれi, i+1とし、 𝐴1からの距離がiであるよ
うな頂点の数をt, i+1であるような頂点の数をs
とする
• 距離i+1の頂点たちからは、1本以上の辺が
距離iの頂点のいずれかに張られていなけれ
ばならない
– 逆に、それ以外はどう張ってもよい
解法
• このような場合の数は(2 𝑡
− 1) 𝑠
通り
• これも2冪のテーブルをO(N)で前計算してお
けば、合計O(N)で求まる
– 頂点数の和はNよりこの操作にはO(s)かけられる
– おなじく二分累乗ならO(Nlog N)
• ということでこの問題が解けた
C問題 「ビーム」
問題概要
• W*Hのグリッドに高橋君がいる
• 1列全体、もしくは1行全体にQ回ビームが飛
んでくる
• 高橋君は任意時刻にすきなだけ縦横に移動
できる
• 全部よけるとき、高橋君の縦横への移動回数
の最小値は?
• W,H,Q,ビームが飛んでくる時刻 ≦ 10^5
部分点解法(30点)
• W,H,Q≦ 100
• 1 ≦ ビームが飛んでくる時刻(この最大値をT
とする) ≦ 100
• DP[i][j][k]: 時刻iに、マス(j,k)にいるときの最
小の移動回数 として、DP配列を更新していく
• 各iごとにdijkstra法などを用いてDP配列を順
次更新していくと、O(WHT log WH)
満点解法
• x座標、y座標は独立に考えられる(重要アイ
デア)
– ビームは一列、もしくは一行すべてに飛んできて、
高橋君の移動距離の定義もマンハッタン距離
• x座標、y座標独立に問題を解いて、あとで足
し合わせればいい
• 以下x座標についてのみ考える
満点解法
• DP[i][j]: 時刻iに座標jにいるときの移動距離
の最小値 とする
• これを愚直に計算するとO((W+H)T)
• よく考えると、DP[i][j]たちとDP[i+1][j]たちは
「あまりかわらない」
– 具体的には、異なる箇所は時刻i+1に飛んでくる
ビームの本数分のみ
満点解法
• 結局、DP配列を使いまわしてこれらが切り替
わる点のみ更新すれば、O(W+H+T)でこの問
題が解ける
D問題 「suffix array」
問題概要
• 10^6項以下のpermutationが与えられる
• このpermutationをsuffix arrayに持つ辞書順
最小の文字列を求めよ
解法
• 順列𝐴1, 𝐴2,…, 𝐴 𝑁が文字列𝑆1 𝑆2 … 𝑆 𝑁のsuffix
arrayである
• ⇔すべての1≦i≦N-1に対し、 文字列
𝑆 𝐴 𝑖
𝑆 𝐴 𝑖+1 … 𝑆 𝑁 < 𝑆𝐴 𝑖+1
𝑆𝐴 𝑖+1+1 … 𝑆 𝑁
• ⇔すべての1≦i≦N-1に対し、 𝑆 𝐴 𝑖
< 𝑆𝐴 𝑖+1
ま
たは、𝑆𝐴 𝑖
= 𝑆 𝐴 𝑖+1
かつ𝑆 𝐴 𝑖+1 … 𝑆 𝑁 <
𝑆 𝐴 𝑖+1+1 … 𝑆 𝑁
解法
• すべての1≦i≦N-1に対し、 𝑆 𝐴 𝑖
< 𝑆 𝐴 𝑖+1
また
は、𝑆𝐴 𝑖
= 𝑆 𝐴 𝑖+1
かつ
𝑆 𝐴 𝑖+1 … 𝑆 𝑁 < 𝑆 𝐴 𝑖+1+1 … 𝑆 𝑁
• ⇔すべての1≦i≦N-1に対し、
– 𝑆 𝐴 𝑖+1 … 𝑆 𝑁 < 𝑆 𝐴 𝑖+1+1 … 𝑆 𝑁ならば𝑆 𝐴 𝑖
≦ 𝑆 𝐴 𝑖+1
– そうでないなら、 𝑆 𝐴 𝑖
< 𝑆 𝐴 𝑖+1
解法
• 𝑆 𝐴 𝑖+1 … 𝑆 𝑁 < 𝑆 𝐴 𝑖+1+1 … 𝑆 𝑁かどうかは、suffix
arrayが持っている情報
• ということは、各iについて、 𝑆𝐴 𝑖
と𝑆 𝐴 𝑖+1
の満た
すべき関係がわかる
• 前から順に見ていけば、文字列の各文字が
最も小さくて何であるかがすべてわかる
解法
• 逆に、suffix arrayを前から順に見ていき、この
ような方法で各文字を決めていけば、そうし
てできた文字列のsuffix arrayは元の順列に
一致することは簡単に示せる
• よって、前から貪欲に文字を決めていけば、
O(N)でこの問題が解けた

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