1. §17.7 薛定谔方程
1926 薛定谔 ( E. Schrodinger ) 微观粒子 低速
实际上，薛定谔方程是量子力学的一个基本假定，它
的正确性只能靠实验来检验。
处于势场V 中的非自由粒子
)()(
2
)( 2
2
t,rt,rV
m
t,r
t
i
vrhv
h ΨΨ ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+∇−=
∂
∂
薛定谔方程
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 2
2
2
2
2
2
2
zyx
拉普拉斯算符
退出返回

2. )(rVV
r
=若势能函数V 不含时间 t
粒子的能量 E 是一个不随时间变化的常量
这时粒子处于定态，粒子的定态波函数可以写成
t
iE
ert,r hvv −
= )()( ψΨ
22
)()( rt,r
vv
ψΨ = )(r
v
ψ 也叫做定态波函数
)()()(
2
2
2
rErrV
m
vvvh
ψψ =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+∇−
定态薛定谔方程 退出返回

3. §17.8 一维定态问题
1. 一维无限深方势阱
)()()(
d
d
2 2
22
xExxV
xm
ψψ =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
h
)()()(
2
2
2
rErrV
m
vvvh
ψψ =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+∇−
V(x)
xO a
势函数
=)(xV {
)0(0 ax <<
)0( ax,x ≥≤∞
退出返回

4. )()()(
d
d
2 2
22
xExxV
xm
ψψ
ψ
=+−
h V(x)
xO a
(1) 时ax,x ≥≤ 0
∞→)(xV
势阱的壁无限高，在
处，势能突然增至无限大。
ax,x == 0
粒子的位置就被限制在阱内，粒子这时的状态为束缚态
的区域粒子出现的概率为零ax,x ≥≤ 0
)0(0 ax,x ≥≤=ψ
退出返回

5. (2) 0 < x < a 时 V(x)
xO a
0)( =xV
ψ
ψ
E
xm
=− 2
22
d
d
2
h
ψ
ψ
22
2
2
d
d
h
mE
x
−=
02
2
2
=+ ψ
ψ
k
dx
d
2
2 2
h
mE
k =令
)sin()( δψ += kxAx
0)( =aψ0)0( =ψ波函数连续
退出返回

6. )sin()( δψ += kxAx V(x)
xO a
0=δ0)0( =ψ
kxAx sin)( =ψ
0)( =aψ 0sin =kaA
πnka =0sin =ka
)21( L,,n =
a
n
k
π
=
2
2 2
h
mE
k = 22
22
2
h
mE
a
n
=
π
退出返回

7. )321(
2 2
222
L
h
,,,n
ma
n
En ==
π
a
n
k
π
=kxAx sin)( =ψ
x
a
n
Ax nn
π
ψ sin)( =
1)(
2
0
=∫ dxx
a
nψ归一化条件
a
An
2
=
∫
a
n dx
a
xn
A
0
22
sin
π
1
2
1 2
== aAn
退出返回

8. V(x)
xO a
1ψE1
3ψE3
2ψE2
4ψE4
x
a
n
a
xn
π
ψ sin
2
)( =
)321( L,,,n =
2
222
2ma
n
En
πh
=
)321( L,,,n =
nE
nψ
能量本征值
能量本征函数
n 量子数 CAI
01 ≠E 粒子具有零点能
退出返回

9. CAI
退出返回

10. 2. 势垒贯穿
)()()(
d
d
2 2
22
xExxV
xm
ψψ =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
h
1) 梯形势
1 2
O x
U
0U
=)(xV
0
00
0 ≥
<
xU
x
)()(
d
d
2
112
22
xEx
xm
ψψ =−
h
0<x
2
2
1
2
h
mE
k =0)()(
d
d
1
2
112
2
=+ xkx
x
ψψ
xikBexikAex 11
1
)( −+=ψ
退出返回

11. )()()(
d
d
2
22022
22
xExUx
xm
ψψψ =+−
h
0≥x
00 UE <<
0)()(
d
d
2
2
222
2
=− xkx
x
ψψ
1 2
O x
U
0U
2
02
2
)(2
h
EUm
k
−
=
xkDexkCex 22
2
)( +−=ψ
)(2
∞→xψ 0=D有界
xkCex 2
2
)( −=ψ
退出返回

12. 1 2
O x
U
0U
xikBexikAex 11
1
)( −+=ψ
xkCex 2
2
)( −=ψ
0
2
0
1
d
d
d
d
==
=
xx xx
ψψ
)0()0( 21 ψψ =
C
k
ik
BA
1
2
=−CBA =+
A
kik
ik
C
21
12
−
=A
kik
kik
B
21
21
−
+
=
退出返回

13. )()( 11
21
21
1
xikxik
e
kik
kik
eAx −
−
+
+=ψ
xk
Ae
kik
ik
x 2
21
1
2
2
)( −
−
=ψ
CAI
2) 势垒贯穿
能量为E 的粒子沿 x 轴正方向
射向方势垒
00 VE <<
=)(xV
）或（
）（
axx
axV
≥≤
<<
00
00
退出返回

14. 1
2
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
2
2
D
C
T =
返回 退出
)(2
2
2
0
0 0)(16 EVm
a
e
V
EV
T
−−−
≈ h
由于势垒宽度a 出现在指数上，
因此穿透概率T 对a 的依赖十分
敏感。
对于电子
10m10 3210
.eTa .
≈= −−
∼，
10239
10m10 −−−
≈= eTa ∼，
eVEV 50 ≈−取
粒子从区域Ⅰ经区域Ⅱ到达区域Ⅲ
的穿透概率
00 VE <<

15. 退出返回

16. 退出返回

17. 3) 扫描隧道显微镜 (STM)
1982
宾尼(G.Binnig) 罗雷尔(H.Rohrer)
若在样品和针尖之间加一微小的
电压U ，可以观察到它们之间的
隧道电流 I
dA
UeI φ−
∝
φ 样品表面平均势垒的高度
d 样品和针尖之间距离
退出返回

18. STM扫描图象
硅晶体表面的STM扫描图象
0 50 9030 7010 (nm)
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19. 3. 一维谐振子
选取谐振子的平衡位置为坐标原点，并选取坐标原点为势
能零点。
m
k
=ω222
2
1
2
1
)( xmkxxV ω==
)()()(
d
d
2 2
22
xExxV
xm
ψψ =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
h
0)()
2
1
(
2
)(
d
d 22
22
2
=−+ xxmE
m
x
x
ψωψ
h
退出返回

20. 能量本征值
)210()
2
1
()
2
1
( Lh ,,,nhnnEn
=+=+= νω
n• 能量量子化 量子数
νh• 能量间隔
• 最低能量(零点能) 0
2
1
0
>= ωhE
本征函数
22
2
1
2
1
)()
2
()(
x
nnn exH
!n
x
α
α
π
α
ψ
−
=
2
1
)(
h
ω
α
m
=
厄米多项式
22
)1()( ξξ
ξ
ξ −
−= e
d
d
eH n
n
n
n
返回 退出

21. )210()
2
1
()
2
1
( Lh ,,,nhnnEn
=+=+= νω
νnhEn
=与Planck 假设不同！
E0 2/ωh=
E1 23 /ωh=
E2 25 /ωh=
E3 27 /ωh=
U(x)
E
0 x
CAI
退出返回

22. 1) 经典谐振子的位置概率密度分布
能量为E0的经典
粒子沿阱壁只能
爬E0高度，这时
粒 子 的 动 能 为
零，然后被阱壁
反弹回去。
)(2
xΨ)(xU
0E
xO
在 处, 势能 0
2
1
)( 22 == xmxV ω0=x , 是极小值。
动能在 处极大，则粒子通过 点时的速率也极
大，粒子在 处逗留的时间极短，出现的概率最小。
0=x 0=x
0=x
退出返回

23. 2) 量子谐振子的位置概率密度分布
能量为E0 的微观
粒子沿阱壁爬的
高度可以大于E0
（红色虚线），
或者说能量为E0
的粒子可以穿入
阱壁内部。
用经典理论无法
解释
微观粒子分布与经典粒子分布有明显的区别
)(2
xΨ
)(xU
0E
xO
2
0 )(xψ
222
0 )( x
ex α
π
α
ψ −
=黑色实线为经典粒子
位置的概率分布
退出返回

24. 3) 谐振子的几个波函数和位置概率密度 CAI
退出返回

25. 谐振子的定态波函数具有确定的宇称 CAI
)()( xx nn ψψ =−当 n 为偶数时 谐振子处于偶宇称态
)()( xx nn ψψ −=−当 n 为奇数时 谐振子处于奇宇称态
上述性质来源于谐振子势能函数V ( x ) 在空间反演下的不变性
)()( xVxV =−即
退出返回

26. CAI
当n→∞时，量子概率分布→经典概率分布(图示虚线）
量子与经典的结果在平均上已比较符合
退出返回