한양대 이상화 교수님 <선형대수> KOCW 9강 선형 변환 (Linear Transformation) 강의 정리 노트

1. Linear Algebra
9. Linear Transformation
한양대 이상화 교수님 <선형대수>
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757

2. Linear Transformation
• 이제까지 𝐴𝑥 = 𝑏는 ‘어떤 Input 𝒙를 넣었을 때 Output 𝒃가 나오는 시스템 𝑨’ 로 이해하였다.
(𝐴의 열벡터들을 각자 다른 𝑥로 조합을 하면 특정한 𝑏가 나오는 형태 : 𝑏 is a linear combination of
column vectors of 𝐴 with coefficients in 𝑥)
• 𝐴𝑥 = 𝑏 (𝐴는 𝑚 × 𝑛 행렬)를 새로운 관점에서 해석해보자.
‘𝑨𝒙 = 𝒃 는 n차원의 Input 𝒙를 m차원의 Output 𝒃로 변환하는 과정’
( 𝑥 is transformed/mapped into 𝑏 by 𝐴)
AInput 𝒙 Output 𝒃
𝒙 ∈ 𝑹 𝒏 𝒃 ∈ 𝑹 𝒎
𝑨

3. • 예시
𝐴 =
𝑐 0
0 𝑐
 Stretching (Extending or Contracting)
𝐴 =
0 −1
1 0
 90° Rotation
𝐴 =
0 1
1 0
 Reflection by 𝑥2 = 𝑥1
𝐴 =
1 0
0 0
 Projection onto x
Linear Transformation

4. • 𝑻 𝒙 = 𝑨𝒙
• 원점은 이동할 수 없다. 모든 𝐴에 대해 𝐴𝑥 = 𝐴 ∙ 0 = 0
• 𝐴(𝑐𝑥) = 𝑐(𝐴𝑥)
• 𝐴 𝑥 + 𝑦 = 𝐴𝑥 + 𝐴𝑦
 𝑨(𝒂𝒙 + 𝒃𝒚) = 𝒂(𝑨𝒙) + 𝒃(𝑨𝒚)
Linear Transformation
A matrix Linear Transformation
O
O
행렬은 선형변환 과정으로
이해할 수 있고,
모든 선형변환은 행렬로
표현할 수 있다.

5. • 선형 변환에서 x가 반드시 우리가 생각하는 단순한 벡터일 필요는 없다.
• 𝑥가 함수일 경우, 𝑃 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡2
+ ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛
 rank = n+1
• Differentiation : 𝐴 = 𝑑/𝑑𝑡 is Linear
𝐴𝑃 𝑡 = 𝑎0 + 2𝑎1 𝑡 + ⋯ + 𝑛𝑎 𝑛 𝑡 𝑛−1
 rank = n
• Integration
𝐴𝑃 𝑡 = 0
𝑡
𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + ⋯ 𝑎 𝑛 𝑡 𝑛
𝑑𝑡 = 𝑎0 𝑡 + ⋯ +
𝑎 𝑛
𝑛+1
𝑡 𝑛+1
선형 함수는 모두 행렬로 표현할 수 있다.
• 모든 Basis 벡터에 대해 𝑨𝒙 값을 알고 있으면 벡터 공간 내의 모든 𝒙에 대해 𝑨𝒙 값을 알 수 있다.
• 벡터 공간의 모든 𝒙는 Basis에 의해 표현될 수 있기 때문에 𝑨를 몰라도 𝑨𝒙를 구할 수 있다.
𝒙 = 𝒄 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒄 𝒏 𝒙 𝒏
𝑨𝒙 = 𝑨 𝒄 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒄 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝒄 𝟏 𝑨𝒙 𝟏 + 𝒄 𝟐 𝑨𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒄 𝒏 𝑨𝒙 𝒏
Linear Transformation
다항식도 벡터로 이해할 수 있다.
(계수들의 N+1 차원 벡터)

6. • Elementary Basis Vector들의 Ax 값을 안다면 A는 쉽게 구할 수 있다.
𝑥1 =
1
0
, 𝐴𝑥1 =
2
3
4
𝑥2 =
0
1
, 𝐴𝑥1 =
4
6
8
Elementary Basis가 아닌 (1, 1), (2, -1)에 대해 같은 방법으로 A를 다시 구해보면,
A
1
1
= 𝐴 𝑥1 + 𝑥2 =
4
6
8
+
2
3
4
=
6
9
12
A
2
−1
= 𝐴 2𝑥1 − 𝑥2 =
4
6
8
−
4
6
8
=
0
0
0
Linear Transformation Matrix A
𝑇 𝑥 = 𝐴 =
2 4
3 6
4 8
, 𝐴
−1
−2
=
−10
−15
−20
𝐴′ =
6 0
9 0
12 0
, 𝐴′
−1
−2
=
−6
−9
−12
값이 다름
위 방법은
Elementary
에만 적용할
수 있다.
(-1, -2)를 basis
1
1
와
2
−1
로 표현해야

7. • Polynomial Case : Differentiation
𝑥 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡2
+ 𝑎3 𝑡3
일 때,
𝑡0
𝑡1
𝑡2
𝑡3
미지수 위치에 1을 넣은 Elementary Basis를 구성한다.
(𝑃1 = 1, 𝑃2 = 𝑡, 𝑃3 = 𝑡2
, 𝑃4 = 𝑡3
)
미분함수 𝐴 = 𝑑/𝑑𝑡  𝐴𝑃1 = 0, 𝐴𝑃2 = 1 = 𝑃1, 𝐴𝑃3 = 2𝑡 = 2𝑃2, 𝐴𝑃4 = 3𝑡3
= 3𝑃3
𝐴𝑃1 = 𝐴
1
0
0
0

0
0
0
0
, 𝐴𝑃2 = 𝐴
0
1
0
0

1
0
0
0
, 𝐴𝑃3 = 𝐴
0
0
1
0

0
2
0
0
, 𝐴𝑃4 = 𝐴
0
0
0
1

0
0
3
0
𝑃 𝑡 = 2 + 𝑡 − 𝑡2
− 𝑡3
일 때
𝐴𝑃 =
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
0 0 0 0
2
1
−1
−1
=
1
−2
−3
0
 𝑃′ 𝑡 = 1 − 2𝑡 − 3𝑡2
Linear Transformation Matrix A
𝐴 =
0 1 0 0
0 0 2 0
0 0 0 3
0 0 0 0
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑃4

8. • Polynomial Case : Integration
𝑥 𝑡 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑡 + 𝑎2 𝑡2
+ 𝑎3 𝑡3
일 때,
적분 함수 𝐴 = 0
𝑡
𝑑𝑡  basis ∶ {1, 𝑡, 𝑡2, 𝑡3}
𝐴𝑃1 = 𝑡 = 𝑃2, 𝐴𝑃2 = 1
2 𝑡2
= 1
2 𝑃3, 𝐴𝑃3 = 1
3 𝑡3
= 1
3 𝑃4, 𝐴𝑃4 = 1
4 𝑡4
= 1
4 𝑃5
𝐴𝑃1 = 𝐴
1
0
0
0

0
1
0
0
0
, 𝐴𝑃2 = 𝐴
0
1
0
0

0
0
1
2
0
0
, 𝐴𝑃3 = 𝐴
0
0
1
0

0
0
0
1
3
0
, 𝐴𝑃4 = 𝐴
0
0
0
1

0
0
0
0
1
4
Linear Transformation Matrix A
𝐴 =
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1
2 0 0
0 0 1
3 0
0 0 0 1
4
𝐴 𝑑𝑖𝑓𝑓 𝐴𝑖𝑛𝑡 =
0 1 0 0 0
0 0 2 0 0
0 0 0 3 0
0 0 0 0 4
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1
2 0 0
0 0 1
3 0
0 0 0 1
4
=
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
* 적분했다가 미분하면 같은 값
* 𝑨𝒊𝒏𝒕 𝑨 𝒅𝒊𝒇𝒇 ≠ 𝑰
 미분했다가 적분하면 상수항이
생겨 같은 값 아님
* Differentiation is a left inverse
of Integration.