한양대 이상화 교수님 <선형대수> KOCW 5강. 벡터공간과 열벡터공간 강의 정리 노트

1. Linear Algebra
5. Vector Space and Column Space
한양대 이상화 교수님 <선형대수>
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757

2. 이번 장의 목표
• 𝐴𝑥 = 𝑏 라는 연립방정식을 푸는 과정을 봤을 때,
이제까지는 모두 𝑛 × 𝑛의 정사각 행렬로 표현되는 행렬 A를 가정했다면,
여기서는 식의 개수가 미지수의 개수보다 적은 경우를 가정한다.
• 우리는 중학교에서 연립방정식을 배울 때, N개의 미지수가 있다면 최소한 N개의 식이 있어야 풀
수 있다고 배웠다. 이는 𝑛 × 𝑛의 정사각 행렬인 경우만 표현한 것이다.
• 𝑚 × 𝑛 행렬에서 m ≤ 𝑛이라면 표현해야 하는 미지수보다 식의 개수가 적기 때문에 Non-Singular한
상황은 나오지 않을 것이다.
 결국 Singular : 해가 없거나, 해가 무수히 많은 경우
 해가 무수히 많은 경우에, 중학생처럼 ‘해가 무수히 많다’고 답을 적는 게 아니라,
미지수 간의 관계식을 찾아 표현해보자.
A
x
b=

3. Vector Spaces
• x와 y가 덧셈과 Scalar 곱에 닫혀있을 때, 이를 벡터 공간이라고 한다.

• 벡터 공간의 조건을 만족하는 부분집합(Subset)을 Subspace(부분 공간)이라고 한다.

For any vectors 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹 𝒏
,
for any scalar 𝒄 ∈ 𝑹,
𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉
𝑐𝑥 ∈ 𝑉
↓
𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑦 ∈ 𝑉
Then, V is a vector space
For any vectors 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑺𝒖𝒃𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆,
𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
𝑐𝑥 ∈ 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒
 벡터 공간과 부분공간은 반드시 원점을
포함해야 한다.  원점이 없으면
Linear Combination 성립X
 원점은 가장 작은 부분 공간이다.

4. Column Space of A : C(A)
• 다시 𝐴𝑥 = 𝑏로 돌아와서, 행렬 𝐴의 열벡터들의 모든 Linear Combination의 집합을
행렬 A의 ‘열벡터공간’ 𝑪(𝑨) 라고 한다.
𝐴𝑥 = 𝑏 →
⋮ ⋮ ⋮
𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎 𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
=
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏 𝑛
𝒂 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝒃
• 𝑪(𝑨)은 몇 차원으로 표현될까?  𝑪 𝑨 ⊂ 𝑹 𝒎
행렬 𝑨가 𝒎 × 𝒏이기 때문에 각 열이 𝑚차원 벡터로 표현된다.
‘행렬 A 열벡터들의 Linear Combination이 b와 같다’는 의미

5. 연립방정식과 열벡터공간
• 열벡터공간이 연립방정식이랑 도대체 무슨 관계라는 것이냐…
𝐴𝑥 = 𝑏 →
⋮ ⋮ ⋮
𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎 𝑛
⋮ ⋮ ⋮
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
=
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏 𝑛
→ 𝒂 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝒃
• 방정식을 푼다는 것은 𝐴의 열벡터의 조합으로 𝑏를 만들 수 있는 계수 𝑥1, …, 𝑥 𝑛을 찾는 것,
• 그런데 𝑏가 애초에 𝐴의 열벡터의 조합으로 만들어 질 수 없는 벡터라면?
다시 말해, 𝑏가 𝐶(𝐴) 에 포함되지 않는다면, 해당 연립방정식은 해가 없는 것이다.
• 𝑨𝒙 = 𝒃 is solvable if and only if 𝒃 can be expressed as a combination of the columns of 𝑨.
Then 𝑏 is in the 𝐶(𝐴).

6. Column Space C(A)
• 𝑨𝒙 = 𝒃 에서 𝑨의 역행렬이 존재한다면, 당연히 해는 존재하고, 𝑥 = 𝐴−1 𝑏이다 (해가 하나일지, 여러 개
일지는 상황에 따라 다르겠지만).
• 해가 존재한다는 것은 𝒃 ∈ 𝑪(𝑨)을 의미한다.
• 이 경우 𝑪(𝑨)를 Whole Space라고 하는데, m차원 평면 전체를 𝑪(𝑨)로 표현할 수 있다 (𝒃가 어떤
값이든 𝑪(𝑨)에 포함된다는 의미이므로!)
• 𝑏 가 𝐶(𝐴) 에 포함되기 때문에, 벡터 공간의 정의에 부합한다.
• If b and b’ lie in the column space : 𝐴 𝑥 + 𝑥′
= 𝑏 + 𝑏′  closed under addition
• If b lies in the column space : 𝐴 𝑐𝑥 = 𝑐 𝐴𝑥 = 𝑐𝑏  closed under scalar multiplication