https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/ 을 참고해서 만든 ray-triangle intersection 에 관한 소개입니다.
(레이 트레이싱 전체를 다루는 게 아닌데 슬라이드를 잘못 만들었습니다...)
https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/ 을 참고해서 만든 ray-triangle intersection 에 관한 소개입니다.
(레이 트레이싱 전체를 다루는 게 아닌데 슬라이드를 잘못 만들었습니다...)
Variational Auto Encoder, Generative Adversarial ModelSEMINARGROOT
Generative Model(Variational Auto Encoder, Generative Adversarial Model)
References:
오토인코더의 모든 것 by 이활석 (NAVER)
Youtube: https://youtu.be/rNh2CrTFpm4, Slideshare: https://www.slideshare.net/NaverEngineering/ss-96581209
1시간만에 GAN(Generative Adversarial Network) 완전 정복하기 by 최윤제 (NAVER)
Youtube: https://youtu.be/odpjk7tGY0, Slideshare: https://www.slideshare.net/NaverEngineering/1-gangenerative-adversarial-network
Theory and Application of Generative Adversarial Networks by Ming-Yu Liu, Julie Bernauer, Jan Kautz (NVIDIA)
Youtube: https://youtu.be/KudkR-fFu_8, Slideshare: https://www.slideshare.net/mlreview/tutorial-on-theory-and-application-of-generative-adversarial-networks
Tutorial on Variational Autoencoders by Carl Doersch (Carnegie Mellon / UC Berkeley)
Arxiv: https://arxiv.org/pdf/1606.05908.pdf
Generative Adversarial Nets (2014) NIPS by Goodfellow et al
https://papers.nips.cc/paper/5423-generative-adversarial-nets.pdf
이번 슬라이드는 Graph mining의 기초에 대한 것이다.
고전 문제인 Graph cut에 대한 개념과 수학적인 배경을 설명하고, 이 개념이 clustering (클러스터링)에서 어떻게 사용되는지를 설명한다.
Graph mining, cut, clustring의 기초를 알기에 매우 적합한 자료이다.
2. M x N 행렬과 방정식
A x
A
A x
x
b
b
b
=
=
=
(1) M = N 일 때
- 방정식의 개수 = 미지수의 개수
- 가우스 소거법으로 “LDU 분할”
- 𝐴가 non-singular 일 때 유일한 해 존재
(2) M < N 일 때
- 방정식의 개수 < 미지수의 개수
- 가우스 소거법으로 “Row Reduced Form”
- 해가 무수히 많이 존재한다면, free/pivot variable로 관계식 표현
(3) M > N 일 때
- 방정식의 개수 > 미지수의 개수
- 유일한 해가 존재할 수 있지만, 해가 존재하지 않을 가능성이 높음
- 해가 존재하지 않을 때 최적의 해를 찾아야 함
3. 최적의 해 찾기
• 최적의 해는 어떻게 찾을까?
Minimizing Errors
𝜽
C(A)
b
p
Error Ax-b Error 𝐴𝑥 − 𝑏 2 = 𝐸2
2𝑥 = 𝑏1
3𝑥 = 𝑏2
4𝑥 = 𝑏3
2
3
4
𝑥 =
𝑏1
𝑏2
𝑏3
* 𝑏 ∈ 𝐶(𝐴) 이라면
𝑏1
𝑏2
𝑏3
=
2
3
4
∗ 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑎𝑟 이고,
𝑥 =
𝑏1
2
=
𝑏2
3
=
𝑏3
4
하나 존재!
𝒃 ∉ 𝑪(𝑨) 일 때, error를 최소화하는 𝒙를 찾아야 함
𝐸2
= (2𝑥 − 𝑏1)2
+(3𝑥 − 𝑏2)2
+(4𝑥 − 𝑏3)2
𝑑𝐸2
𝑑𝑥
= 0 𝑥 =
2𝑏1+3𝑏2+4𝑏3
22+32+42 =
𝑎 𝑇 𝑏
𝑎 𝑇 𝑎
C(A) : a line through (2, 3, 4)
b
p
4. • 𝒃 − 𝑨 𝒙 ⊥ 𝑪 𝑨
Since column space is perpendicular to left nullspace,
𝑏 − 𝐴 𝑥 is in the left nullspace.
𝐴 𝑇 𝑏 − 𝐴 𝑥 = 0 𝑨 𝑻 𝑨 𝒙 = 𝑨 𝑻 𝒃
• The error vector must be orthogonal to each column vector of A.
𝑎𝑖
𝑇
𝑏 − 𝐴 𝑥 = 0
𝑎1
𝑇
𝑎2
𝑇
…
𝑎 𝑛
𝑇
𝑏 − 𝐴 𝑥 = 0 𝐴 𝑇
𝑏 − 𝐴 𝑥 = 0 𝑨 𝑻
𝑨 𝒙 = 𝑨 𝑻
𝒃
• 𝑨 𝑻
𝑨 𝒙 = 𝑨 𝑻
𝒃 에서 𝑨 𝑻
𝑨의 역행렬이 존재한다면,
𝑥 = (𝐴 𝑇 𝐴)−1 𝐴 𝑇 𝑏
𝑝 = 𝐴 𝑥 = 𝐴(𝐴 𝑇
𝐴)−1
𝐴 𝑇
𝑏
Least Square Problem
origin
𝑨 𝒙
𝒃
𝒆
𝑪(𝑨)