한양대 이상화 교수님 <선형대수> 강의 (KOCW) 1강. 선형성의 정의와 1차 연립방정식의 의미 강의 노트 정리

1. Linear Algebra
1. 선형성의 정의와 1차 연립방정식의 의미
한양대 이상화 교수님 <선형대수>
http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757

2. 선형성(Linearity)의 정의
• 선형대수에서 다루는 주제는 행렬을 바탕으로 하는데, 행렬은 선형적 관계를 나타낸다.
• 선형성의 의미  직선의 의미가 아니다!
• 선형적이려면 2가지 조건을 만족해야 한다.
• Superposition : 𝑓 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑓 𝑥1 + 𝑓 𝑥2
• Homogeneity : 𝑓 𝑎𝑥 = 𝑎𝑓 𝑥
• 𝑓 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 = 𝑓 𝑎1 𝑥1 + 𝑓 𝑎2 𝑥2 = 𝑎1 𝑓 𝑥1 + 𝑎2 𝑓 𝑥2
 ‘원점’을 지나야만 이 조건을 만족할 수 있다
• (예)
𝑑
𝑑𝑥
𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥1 𝑡 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2(𝑡)
 선형적이라는 것은 반대로 행렬로 연산할 수 있다는 것을 의미한다.

3. Basic Notation
• 벡터는 기본적으로 column vector를 가정한다.
• 𝑣 = 𝑎1 𝑏1 𝑐1 , 𝑤 = 𝑎2 𝑏2 𝑐2 일 때,
두 벡터를 행렬로 표현하면, 𝐴 = [𝑣 𝑤] =
𝑎1 𝑎2
𝑏1 𝑏2
𝑐1 𝑐2
형태가 된다.
• Linear Combination :
𝑎1 𝑎2
𝑏1 𝑏2
𝑐1 𝑐2
𝛼
𝛽 = 𝛼
𝑎1
𝑏1
𝑐1
+ 𝛽
𝑎2
𝑏2
𝑐2

4. 기본적인 벡터 연산
𝑣1 =
𝑎1
𝑏1
𝑐1
, 𝑣2 =
𝑎2
𝑏2
𝑐2
일 때,
합∶ 𝑣1 + 𝑣2 =
𝑎1
𝑏1
𝑐1
+
𝑎2
𝑏2
𝑐2
차∶ 𝑣1 − 𝑣2 =
𝑎1
𝑏1
𝑐1
−
𝑎2
𝑏2
𝑐2
내적 ∶ 𝑣1° 𝑣2 = 𝑣1 𝑣2 cos 𝜃
𝑣2
𝑣1
𝑣1 + 𝑣2
𝑣2
𝑣1 𝑣1 − 𝑣2
𝑣2
𝑣1
𝑝 = 𝑣1 cos 𝜃
𝜃

5. 연립방정식과 행렬/벡터
• N개의 미지수가 있는 방정식을 어떻게 풀 것인가?
• Geometry of Linear Equations : 두 가지 접근
𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟏
𝒙 + 𝒚 = 𝟓
(2, 3)
방정식의 해 = 두 도형의 교점
2 −1
1 1
𝑥
𝑦 = 𝑥
2
1
+ 𝑦
−1
1
=
1
5
2
1
-1
(1, 5)
𝑥배
𝑦배
두 벡터를 각각 x배, y배 하여
(1, 5)를 만들 수 있는지
벡터들의 Linear Combination

6. Singular Case
• 연립방정식의 특별한 경우 : 해가 없거나, 해가 무한히 많거나
• 2차원과 3차원 공간에서 설명하면,
• 1번 관점(Row Form) : 직선이 평행하거나, 세 평면의 교점이 없을 때  해가 없다
도형이 완벽하게 겹쳐질 때  해가 무수히 많다
• 2번 관점(Column) : Column vector들의 서로 평행할 때  해가 없다
세 Column vector들이 한 평면에 있을 때  해가 무수히 많다
Column vector들의 조합으로 만들어진 평면
𝒃
𝒂
𝑎 ∶ 𝑛𝑜𝑡 𝑖𝑛 𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒  no solution
𝑏 ∶ 𝑖𝑛 𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒  infinite solution