Проект обучающегося 12 класса на тему: Комбинаторика.

1. 12
Работа ученика
12-А класса СОШИ № 19
г. Донецка
Меркулова Евгения

2. 2 11

3. 10 3
Множество – первичное понятие.
Множества обозначаются больши-
ми буквами латинского алфавита
(А,В,Х,Y,М и т.д.), а элементы мно-
жеств – малыми буквами (а, b, x, y, т
и т.д.).
Принадлежность элемента а мно-
жеству А обозначается символом .
Например а  А.
Множество В называется подмно-
жеством множества А, если каждый
элемент множества В принадлежит
множеству А. Обозначается В А.
Два множества А и В называются
равными, если они состоят из одних и
тех же элементов. Обозначается А = В.

4. 4
А  В
Пересечением множеств А и В назы-
вается множество С, состоящее из всех
тех и только тех элементов, которые
принадлежат каждому из данных мно-
жеств А и В.
Обозначается С = А  В.
Объединением (или суммой) двух
множеств А и В называется такое мно-
жество С, которое состоит из всех эле-
ментов множеств А и В и только из них.
А  В
9
4. С0
m + С1
m + С2
m + … Сn
m
= 2m
.
Формула бинома Ньютона
(a + b)n
= C0
nan
+ C1
n an-1
b + … + Cm
n
an - m
bm
+ … + Cn
n bn
.

5. 8
Аn
m
Вычисляется по формуле: Сm
n
= ──── ,
Рn
m (m - 1)(m – 2) …(m – n +1)
Сn
m=──────────────────── ,
1 · 2 · 3 … (n – 1)n
m!
Сn
m = ────── .
n! (m – n)!
Основные свойства сочетаний:
1. Сn
m = Сm
m - n
.
m - n
2. Сm
n +1
= ──── Сn
m .
n +1
3. Сn
m + Сm
n+1
С n +1
m +1 .
5
А В
Обозначается С = А  В.
Разностью двух множеств А и В
называется такое множество С, кото-
рое состоит из всех элементов множе-
ства А, которые не принадлежат мно-
жеству В.
Обозначается А = В.

6. 6
В случае, когда А  В, то С =А В
называется дополнением множества В
относительно множества А и обозна-
чается САВ.
Соединения без повторений
Перестановкой из n элементов на-
зывается любое упорядоченное мно-
жество, которое состоит из n элемен-
тов.
Число перестановок из n элементов
обозначается Рn. Вычисляется по фор-
муле Рn = n!.
Размещением из m элементов по n
называется любое упорядоченное под-
множество из n элементов данного
множества М, которое содержит m эле-
ментов, где n < m.
7
Итак, размещения отличаются друг
от друга или элементами, или порядком
элементов.
Число размещений из m элементов
по n обозначается Аn
m
Вычисляется по формуле Аn
m =
=m(m – 1)(m – 2) … (m –(n – 1)) =
=m(m – 1) (m – 2) … (m – n + 1).
Сочетанием из m элементов по n назы-
вается любое подмножество из n эле-
ментов данного множества М, которое
содержит m элементов.
Итак, сочетания отличаются одно от
другого только составом элементов.
Число сочетаний из m элементов по
n обозначается Сn
m .