onar

1. KONSEP HITUNG KUADRAT TERKECIL
1 MENGAPA SUATU PENGAMATAN HARUS DIRATAKAN DAN
DIANALISA?
1.1 PENDAHULUAN
Tahapan yang terpenting didalam Geomatika adalah yang berkenaan dengan
pengukuran, suatu proses yang secara alamiah yang tidak pernah bebas dari
suatu kesalahan.
Kesalahan-kesalahan dalam pengukuran merambat secara kuantitas, jadi
proses untuk mengestimasi nilai pengukuran yang paling benar, yaitu teknik
perataan, mutlak diperlukan.
Proses:
Patut dicatat bahwa “measurement” berarti adalah keseluruhan proses untuk
menentukan semua elemen yang diukur.
Suatu keuntungan yang sangat signifikan dari perataan adalah didapatnya suatu
model yang konsisten secara geometris atau matematis. Hal ini berarti apapun
kombinasi pengamatan (adjusted observation), solusi yang unik dan konsisten akan
didapat.
1.2 CONTOH-CONTOH KASUS
a). Suatu jarak diukur n kali. Nilai berapa yang akan muncul? Model komputasi
yang digunakan untuk menghitung nilai rata-ratanya adalah dm = d/n. didalam
kasus dimana parameter yang dicari, dm, adalah juga nilai pengamatan yang
teratakan (adjusted observation value). Nilai residu dari rata-rata tersebut
memberikan informasi kualitas statistik pada dual hal, pengamatan masing-
masing jarak dan jarak yang teratakan. Perhatikan disini bahwa hanya ada satu
jarak teratakan.
b). Sebuah segitiga abc berkoordinat a(x1,y1), b(x2,y2), dan c(x3,y3). Koordinat a dan
b diketahui nilainya. Untuk menentukan koordinat titik c maka dilakukan
pengukuran ketiga sudut segita tersebut.
Measurement/
observation
+
errors
Computational
model
Derived quantities
+
observational
residuals

2. Diukur: sudut a, b, dan c. Hanya dibutuhkan dua pengukuran untuk
menyelesaikan masalah. Model matematikanya: a + b + c – 1800
= 0. Jika
pengukuran yang dilakukan tidak cocok dengan model, maka
           cbyxyxfbayxyxfyx ,,,,,,,,,,, 2211221133 
a, b, dan c masing-masing harus diratakan untuk memperoleh model yang
konsisten, misalnya mungkin dengan mengurangi (a + b + c – 1800
)/3 untuk
masing-masing sudut.
Perhatikan disini bahwa produk akhir dari parameter yang dicari, x3 dan y3, tidak
diamati secara langsung, tetapi mereka juga memiliki ketidakpastian, dan
kualitas statisktik pengukuran disini tetap berlaku untuk parameter ini.
c). Perhatikan segitiga itu lagi. Kali ini dilibatkan luasan segitiga dan seluruh sudut
dan sisi segitiga diukur.
Diukur: d1, d2, d3, a, b, c.
Model matematika yang dapat disusun untuk kasus ini menjadi bermacam-
macam:
a + b + c – 1800
= 0
d3/sin a = d2/sin b = d1/sin c
d1
2
= d2
2
+ d3
2
– 2 d2 d3 cos c
A = (s(s-d1) (s-d2) (s-d3))1/2
dimana s = (d1 + d2 + d3)/2
A = 0.5 d2 d3 sin c
Berapa banyak model yang diperlukan?
Berapa banyak pengamatan yang diperlukan?
Sekumpulan pengamatan yang teratakan secara konsisten akan menghasilkan
nilai parameter yang sama ( misalnya A) tanpa memandang kombinasi
pengukuran yang dipakai.
Tetapi, bagaimana agar pengamatan tersebut konsisten dengan model
matematika?
a
b
c
a
b
c
d2
d3
d1
A

3. d). Untuk lebih jelasnya, perhatikan tiga buah traverse beda tinggi berikut. Beda
tinggi terukur diindikasikan seperti berikut:
Tinggi untuk A, B, C adalah:
A B C
- 11,4 14,1
12,0 11,8 14,3
12,2 11,6 14,5
Salah satu solusi: (12,1) (11,6) (14,3)
 Tinggi mana yang paling mungkin untuk A, B, dan C?
 Pengamatan mana yang paling akurat?
 Bagaimana kita mengatasi perbedaan nilai akurasi?
 Ingat bahwa levelling adalah kasus linier yang sederhana, misalnya: HB – HA =
beda tinggi antar dua titik; semua loop harus bernilai nol.
Nilai didalam tanda kurung konsisten untuk semua loop, tetapi perataan disini
menjadikurang bernilai dan tidak mengacu pada teori statisyik untuk estimasi.
Misalnya nilai akhir yang teratakan adalah bukan nilai yang paling mungkin.
1.3 KONSISTENSI MODEL DAN DESAIN MODEL
Jika kita menginginkan model yang konsisten dan merupakan nilai estimasi
parameter dan nilai pengamatan yang paling mungkin, maka:
 Secara garis besar, pengukuran tidak hanya berkenaan dengan pengamatan fisik
dari nilai data, tetapi juga melibatkan proses penentuan semua elemen yang
terlibat yang akan ditentukan.
A B C
(2,3)
2,2
(-0,7)
-0,8
2,1 0,6
(2,7)
2,5
1,5
(1,4)
1,4
(1,3)
-01,2
(-0,5)
-0,6
-0,12,3
(2,2)
H=10m

4. 1.4 ILUSTRASI TENTANG KEBUTUHAN AKAN ESTIMASI KUADRAT TERKECIL
Masalah: kita akan menentukan parameter persamaan garis lurus m dan b
antara dua variabel x dan y dimana y = mx + b
Atau jika l = Ax, dimana Ii = yi, Ai = (xi 1) & x = (m b)T
Proses (hipotesa):
1. Ukur nilai yi pada dua even xi dan secara langsung tentukan m dan b
dengan x = A-1 l
Apa yang didapat? (solusi unik untuk nilai m dan b)
Apa yang tidak didapat? (nilai akurasi parameter dan pengukuran)
2. Saat kita lebih mengetahui bahwa nilai m dan b yang terhitung berelasi dengan
ekspektasi, kita akan menambah pengukuran (redundant observations). Model
matematikanya menjadi l + v = Ax
3. Kita lakukan perataan kuadrat terkecil linier:
x = (ATA)-1 ATl
v = Ax - l
x1
x2
y
hubungan yg. diasumsikan
yg. terhitung
x1
x2
y
vi
dihitung dgn. kuadrat
terkecil

5. Hal ini akan menghasilkan vT
v = minimum (jumlah kuadrat residualnya minimum).
Apa yang didapat?
 Nilai parameter m & b yang paling mungkin, yang tidak dapat diukur secara
langsung
 Evaluasi akurasi pengukuran (besar nilai residual v)
 Akurasi/ketelitian parameter m & b (Cx = (AT
A)-1
)
 Tes ketepatan model matematika (melalui v)
 Pengukuran yang terkoreksi (yi + vi) yang konsisten dengan model
 Estimasi parameter dilakukan dengan perhitungan yang tidak bertele-tele
2 TEKNIK PENGUKURAN DIDALAM GEOMATIKA
2.1 TAHAPAN-TAHAPAN PROSES PENGUKURAN
2.1.1 Identifikasi Parameter yang akan Dicari
Misalkan: volume, V, dari suatu prisma (lihat gambar) dengan akurasi sekitar
50m3.
Parameter yang akan dicari disini adalah Volume.
Tetapi , karena bentuknya tidak teratur, kita membutuhkan koordinat titik-
titik (x,y,z) pada permukaannya, dari sini volume dapat ditentukan, misalnya
dengan V = f((x,y,z)i, i = 1….n) = F(l) dimana l adalah vektor pengukuran.
Jika bentuk prisma itu teratur, maka: V = F(l) = f(a,b,c,d).
Contoh-contoh kasus lain yang membutuhkan parameter misalnya luas area,
bentuk, jarak dan sudut (parameter-parameter ini tidak dapat langsung
diukur).
Kita juga harus menentukan akurasi dari parameter yang akan ditentukann.
Hal ini biasanya diekspresikan dengan suatu probability yang biasanya
menyatakan probabilitas dalam suatu selang kepercayaan tertentu.
Sebagai contoh:
a
b
c
d

6.  Suatu jarak diukur 20 kali, dan nilai reratanya x dan standar deviasi x
dihitung. Kita dapat mengatakan bahwa probabiliti 0.95 (95%) yang
benar untuk nilai x terletak pada wilayah x – 2x hingga x + 2x.
Pengoptimalan nilai x merupakan bagian yang penting dalam proses
pengukuran.
 Suatu titik didalam suatu jaringan geodesi ditentukan untuk memiliki
koordinat (x,y). Tingkat kepercayaan titik itu sering digambarkan
sebagai elips, sering disebut dengan elips kepercayaan. Bentuk elips ini
tidak akan berubah untuk berbagai tingkat probabiliti, hanya
membesar atau mengecil oleh faktor skala.
2.1.2 Memformulasikan Model Matematika
Model matematis biasanya selalu berdasarkan hukum geometri atau fisika
tertentu, dan hukum ini merelasikan antara pengamatan (pengukuran)
dengan parameter yang akan dicari.
Dengan kata lain, parameter yang dicari tidak selalu bisa diukur secara
langsung, jadi diperlukan suatu model yang menjelaskan hubungan
matematis antara pengamatan dengan parameter yang dicari.
Contoh:
1. Refraksi atmosfir dari suatu perambatan gelombang adalah:
T
e
T
P
NNrefraksi GL 25.112696.0 
dimana NL = f(P,T,e)
parameter: NL
pengamatan/pengukuran: P, T, dan e
konstanta: NG
2. Tekanan uap jenuh, es





 3.237
27.17
1078.6 t
t
se
parameter: es
pengukuran: t (wet-bulb temperature)
3. Persoalan dalam ukur tanah, jarak AB akan dicari, tetapi tidak dapat
secara langsung diukur.

7. Untuk menghitung parameter d3, sudut a,b,c dan jarak d1 dan d2 diukur.
Model matematika adalah abstraksi dari hubungan geometris dari segitiga
bidang datar. Dalam model ini, semua pengukuran harus dilibatkan. Untuk
kasus ini model dapat berupa:
d3 = d1 sin c / sin a
d3 = d2 sin c / sin b atau
d32 = d12 + d22 - 2 d1 d2 cos c
0 = a + b + c - 1800
atau model lain dapat digunakan asalkan keduanya linier independen dan
melibatkan semua pengukuran.
Catatan tentang Linier independen dapat dilihat pada bagian akhir bahasan
ini.
4. Penentuan beda tinggi
h2 = h1 + h12
h3 = h2 + h23
= h1 + h12 + h23
seperti yang akan kita lihat nanti bahwa model matematika dapat terdiri
pengamatan/pengukuran, parameter, dan konstanta, atau kombinasi dari
semuanya.
2.1.3 Desain atau Pra-Analisa
Sebelum melakukan pengukuran didalam pengamatan, sangat penting
ditentukan/diketahui sampai tingkat akurasi berapakah pengamatan itu
harus diukur. Hal ini berhubungan dengan tingkat akurasi parameter yang
akan dicari.
h1
h2
h3
h23
h12
danau
c b
a
C
B
A
d3
d1
d2

8. Misalnya: (perhatikan contoh 4)
Jika client menginginkan tinggi h2 dan h3 memiliki kesalahan standar
(standar deviasi) h2 dan h3 < 3mm,
Karena titik h1 adalah titik referensi (fix), maka agar h2 < 3mm maka
diharuskan h12 < 3mm.
Seperti pada dalil perambatan kesalahan (perambatan varian): h3 = (2h12 +
2h23)1/2 < 3mm mengindikasikan bahwa h12 dan h23 masing-masing kurang
dari 2,1mm.
Tahapan desain atau pra-analisa ini sering disebut juga sebagai analisa
kovarian. Dimana melalui model matematika dapat ditentukan ketelitian
(akurasi) pengukuran yang berpengaruh nantinya pada ketelitian parameter.
Contoh lain:
T
e
T
P
NN GL 25.112696.0 
dari rumus diatas asumsikan bahwa ketilitian NL adalah 1 unit. Kita harus
dapat menentukan sampai ketelitian berapa kita harus mengamati P, T dan e.
jawabannya adalah tidak jelas, namun demikian hal tersebut dapat
ditentukan melalui cara linierisasi dan perambatan kovarian.
Contoh lain, pada penentuan posisi titik I secara spasial triangulasi, sampai
ketelitian berapa sudut (asimuth) harus diukur agar ketelitian koordinat I
terpenuhi? Katakanlah standar deviasi yang harus dicapai adalam dalam mm,
tetapi standar deviasi pengukuran asimuth adalah dalam detik.
2.1.4 Akusisi Data
Pengamatan atau pengukuran dilaksanakan berdasarkan pada desain/kriteria
yang telah ditentukan dalam tahapan desain dan pra analisa. Pengukuran-
1
2
3
I (xi
, yi
)
A
B
C

9. ˆ
ˆ
pengukuran disini adalah obyek dari ‘variasi’ atau pengukuran kesalahan
(error).
Error e didefinisikan sebagai nilai hasil pengamatan  dikurangi dengan nilai
sebenarnya t: e =  - t.
Tetapi, sangatlah sulit untuk menentukan berapa besarnya nilai e yang
sebenarnya karena kita tidak pernah mengetahui berapa nilai t itu. Sebagai
alternatif, kita mengamati nilai residu pengamatan v sebagai perbedaan
antara probabilitas yang tertinggi untuk nilai t ,
disebut dengan ̂ , dengan nilai hasil pengamatan .
  ˆv
tujuan dari hal ini adalah untuk menjaga agar v tetap minimum, atau
diekspresikan dengan cara lain, untuk memastikan bahwa selisih  dan
selalu seminimal mungkin.
Ada tiga macam kesalahan:
 Gross error: (large blunders) kesalahan yang kuantitasnya angat signifikan, yang
mungkin disebabkan oleh salah catat, salah baca, dll.
 Systemetic error: kesalahan yang disebabkan/dipengaruhi oleh instrument, dan
karena itu kesalahan ini menumpuk secara sistematis didalam pengukuran.
Kesalahan ini dapat terjadi baik pada saat pengukuran maupun didalam model
matematika.
 Random error: kesalahan yang tersebar/teracak pada nilai pengamatan; biasanya
kesalahan ini selalu diasumsikan terdistribusi normal, dengan ekspektasi (mean
value) adalah nol.
Contoh: pembacaan beda tinggi pada rambu ukur
Pengukuran  : 3.210, 3.212, 3.208, 3.211, 3.311, 3.216, 3.209, 3.210
Gross error: 3.311 (kemungkinan karena salah baca)
Systematic error: tidak terlihat secara nyata, tidak dapat diperiksa kecuali
kalau modelnya memenuhi syarat.
Random error: terdeteksi dengan varian atau standar deviasi, . Setelah gross
error ini dibuang (reject) apakah ketelitiannya sudah memenuhi syarat? Tes
statistik untuk mendeteksi outlier harus dilakukan. Tetapi untuk saat ini
( - ) > 3.anggaplah kriteria penolakan tersebut sebesar:
2.1.5 Pra-pemrosesan Data
Pada dasarnya, ada dua tahapan dalam pra-pemrosesan data yaitu
pengkoreksian blunder (gross error) dan mengarahkan pengamatan agar
sesuai dengan model matematikanya.

10. Tujuan dari tahapan ini adalah menghilangkan seluruh “systematic error”
sebelum hasil pengukuran dimasukkan kedalam model matematika. Aturan
mainnya, model harus dibuat sesederhana mungkin dengan melibatkan
sebanyak mungkin pra-pemrosesan data.
2.1.6 Pemrosesan Data (Perataan)
Pada saat memasukan hasil pengukuran/pengamatan kedalam model
matematika yang berpengamatan lebih (“redundant”) (dalam hal ini kita
harus selalu mengasumsikan adanya pengamatan lebih), variasi-variasi nilai
selalu terjadi didalam proses pengestimasian nilai parameter.
Ada dua kategori variasi:
 Variasi–variasi yang berupa fungsi yang dapat dideskripsikan
 Variasi-variasi yang bukan merupakan fungsi dan tidak dapat dideskripsikan.
Pada kasus yang pertama, biasanya dapat dihilangkan pada pra-pemrosesan data.
Sedangkan variasi yang masih terdapat didalam proses pengestimasian nilai
parameter yang memiliki pengamatan lebih (kasus kedua) sering disebut dengan
istilah stochastic.
Catatan:
Tanpa adanya pengamatan lebih tidak akan ada proses pemeriksaan lebih lanjut.
Dalam mendesain suatu pengamatan didalam geomatika harus selalu memiliki
pengamatan lebih. Berapa banyak pengamatan lebih yang harus diambil, ditentukan
dalam proses desain atau pra-analisa.
Tujuan dalam tahapan pemrosesan data adalah untuk menghasilkan parameter yang
sesuai dengan kriteria tertentu.dari beberapa solusi yang mungkin, hanya ada solusi
yaitu hasil dari hitung kuadrat terkecil (least square solution) dimana jumlah kuadrat
dari residu adalah minimum.
Parameter-parameter didalam model matematika juga berhubungan dengan estimasi
ketelitiannya (akurasi). Varian atau standar deviasi dari parameter adalah fungsi dari
dua faktor:
 Ketelitian dari pengamatan(pengukuran)
 Model matematikanya itu sendiri (misalnya merubah bentuk geometriknya akan
merubah ketelitiannya).
Ketelitian pada kasus pertama dapat ditingkatkan dengan menambah pengamatan
lebih. Pada kasus kedua, ketelitian model sangat tergantung dari systematic error
yang tidak dapat dihilangkan.
2.1.7 Pengkajian Hasil
Karena itu pada tahap ini dilakukan tes statistik untk mengevaluasi ketelitian
parameter beserta dengan kualitas pengamatan/pengukuran dan

11. kebenaran/ketepatan/keabsahan model matematika yang dipakai. Tes statistik ini
disebut juga dengan post analysis.
Post analysis menggunakan informasi dari:
 Model stochastic
 Operasi perataan
Pada dasarnya post analysis sangat tergantung dari variasi-variasi didalam
pengamatan. Dari sini kita dapat:
Mengujui asumsi model stochastic (apakah varians dari pengamatan lebih baik atau
lebih buruk?)
Menguji kebenaran/keabsahan model matematika
Menetapkan “confidence interval” dan “confidence regions” berkenaan dengan
parameter.
Contoh:
Suatu jarak diukur dengan macam alat survei yang berbeda, EDM dan GPS.
Hasilnya adalah dEDM = 1062.31, dEDM = 0.05, dan dGPS = 1062.45 + 0.02. apakah
kedua cara ini kompatible? Jika tidak, apakah perbedaan hasil ini mencerminkan
adanya kesalahan pengukuran?
2.1.8 Penyajian Hasil
Penyajian hasil akan melengkapi proses pengukuran. Ada perbedaan-
perbedaan dalam cara penyajian (dengan grafik, angka, dsb), tetapi yang
penting ditekankan disini adalah menyajikan hasil dari ketujuh tahapan
sebelumnya:
 Sepesifikasi harus selalu disebutkan, bersamaan dengan penyajian parameter dan
ketelitiannya. Apakah spesifikasi yang ditetapkan sudah terpenuhi?
 Hasil dari pre-analysis dan post analysis harus selalu ditunjukkan, misalnya
dengan histogram, ellips kesalahan, dsb.
 Nyatakan bahwa ketelitian awal dari pengamatan konsisten perkiraan ketelitian
awal.
 Harus diberitahukan pula bila ada data pengamatan yang dibuang. Alasannya
juga harus dijelaskan.
 Hasil tes statistik juga harus disajikan bersamaan dengan detail dari confidence
level, dsb.
3 FORMULASI MODEL MATEMATIKA
Menyatakan/menjelaskan hubungan geometrik atau matematik antara
parameter yang akan dicari dengan pengamatan/pengukurannya secara fisik

12. (real world). Atau abstraksi matematis dari kondisi/situasi yang sebenarnya
dilapangan (permukaan bumi).
Definisi:
A theoretical system or an abstract concept by which one describes a physical
situation or a set of events.
Definisi ini menghubungkan properti yang ditentukan dari situasi atau
kejadian dalam keadaan tertentu, misalnya definisi ini menjembatani antara
pengukuran lapangan dengan unkown parameter.
Didalam geomatika secara umum model fungsi itu memeiliki hubungan
geometris, model yang tergantung pada waktu, dan berdasarkan pada dalil-
dalil fisika.
Walaupun model itu dapat diinterpretasikan sebagai bentuk geometrik
(misalnya jaringan trilaterasi), bentuk fungsinya adalah sekumpulan dari
persamaan matematika yang menjelaskan hubungan antara unknown
parameter dengan pengamatan.
Sebagai contoh didalam disiplin ilmu berikut:
 Surveying – hubungan trigonometri bidang datar, geometri 3-D ruang
Euclidean, dalil-dalil fisika tentang perambatan cahaya.
 Photogrammetry – dalil tentang proyeksi pada pusat perspektif yang
menghubungkan antara titik-titik di citra dengan lokasinya pada ruang Euclidean
3D.
 Geodesy – segitiga bola untuk astronomi, hukum gaya berat untuk penentuan
gravitasi bumi, penentuan model orbit satelit – solid mechanics
Model harus mewakili kondisi sebenarnya di lapangan. Tiga buah segitiga
yang diamati sudutnya di permukaan bumi. Jika cakupan areanya kecil (tidak
luas), kita dapat memberlakukan rumusan a + b + c –1800 = 0. Tetapi jika
cakupan areanya sangat luas maka kita harus menggunakan ellipsoid, dan
modelnya harus diubah menjadi a + b + c – (1800 + e) = 0. Dimana e spherical
excess.
Mungkin akan terdapat beberapa model untuk menyelesaikan masalah dalam
suatu pengukuran tertentu. Tetapi secara umum, model final harus memiliki
jumlah minimum ekspresi linier independen yang menyertakan semua
pengamatan.
Secara simbolik, model fungsi atau matematika dapat ditulis sebagai:
0),,()(  xcfqf
dimana:

13. c – merupakan konstanta, misalnya satuan detik dalam radian ( =
206264.8062), kecepatan cahaya atau koefisien. Konstanta ini diasumsikan
memiliki varian nol (c2 = 0). Biasanya konstanta diperlakukan sebagai
bagian dari model. Ambil contoh dalam pengukuran segitiga abc:
0180)(menjadiakan0),( 0
 cbafAcbacf 
x – vektor parameter unknown xi. Parameter-parameter ini harus linier
independen, dan tidak dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari xj,
xk, dst. Misalnya
 – vektor pengamatan i, yang secara langsung diamati nilainya berdasarkan
suatu kriteria ketelitian tertentu. Kualitasnya diekspresikan dalam varian
atau standar deviasi dan merupakan bagian penting dalam tahap perataan
pengamatan (adjusdment of observation), residual vi akan berbanding terbalik
dengan besarnya varian apriori si2.
Didalam geomatika pengamatan dapat terdiri dari pseudo-range GPS, sudut,
koordinat citra/foto, beda tinggi, dll.
Suatu model matematika mungkin saja dapat tidak memiliki konstanta dan
parameter, tetapi harus selalu memiliki pengamatan. Karena itu model sering
diistilahkan sebagai persamaan pengamatan.
Berbagai aplikasi didalam Geomatika umunya selalu mencari solusi untuk
parameter unknown x, dan solusi untuk pengamatan hasil perataan. Kualitas
pengukuran (standar deviasi/varian) juga dicari solusinya dari model linier
yang berpengamatan lebih didalam hitung kuadrat terkecil.
4 LINIERISASI
Dalam mata kuliah ini hanya model matematika yang linierlah (dilinierkan)
yang akan dipakai. Sehingga jika dijumpai suatu model matematika yang
tidak linier biasanya harus dibuat linier terlebih dahulu (diekspresikan
kedalam bentuk linier).






0
0
0),,(
wBvA
wBAx
xcf


dimana A dan B merupakan matrik desain (matrik koefisien), w merupakan
perbedaan (selisih) antara pengamatan dengan model pendekatan, 
merupakan koreksi dari nilai pendekatan (perkiraan) untuk parameter, dan v
merupakan vektor residu dari pengamatan. Misalnya:
2122113 adananilaisemuauntukxaxax 

14. perkiraannilaisikanmengindika'^'dimana
dan
^
0
^
vxx  
Ingatlah bahwa suatu persamaan yang linier hanya mengandung variabel-
variabel berorde satu. Contoh, perhatikan konstanta dan variabel x,y,z untuk
persamaan berikut:
ax + by – c2 = 0 adalah persamaan linier
cx + y2 = 0 bukan persamaan linier (non-linier)
xy + bz – c = 0 bukan persamaan linier (non-linier)
4.1 TEKNIK LINIERISASI
Untuk merubah bentuk non-linier menjadi bentuk linier sering disebut dengan
liniersiasi.
Suatu deret fungsi trigonometri, misalnya sin x = x – x3/3! + x5/5! - …. (x
dalam radian); jika x mendekati nol maka x  sin x.
2!
a)n(x
anx1anx1eax:Logaritma
2
anx 


4.1.1 Ekspansi deret Taylor
Didalam Geomatika deret Taylor sering digunakan untuk melinierkan bentuk-
bentuk persamaan yang non-linier, baik dalam bentuk skalar (univariate)
maupun dalam bentuk vektor.
Untuk bentuk skalar, diberikan suatu fungsi y = f(x) dengan nilai yang
diketahui adalah y0 = f(x) pada x = x0, nilai-nilai lainnya adalah:
Jika (x – x0) sangat kecil maka (x – x0)2  0, seperti yang terjadi untuk orde-
orde yang lebih tinggi lagi. Hal ini akan menyebabkan:
   .)()()( 000
0
jxfxx
dx
df
xfxfy
x
Sebagai contoh:
Jika y = f(x) = x2 + x3, evaluasilah fungsi tersebut untuk x=1.1
Dalam hal ini ambilah nilai pendekatan x0 = 1 dan perbedaan  = 0.1, maka:
Linier
= 0 jika x sangat
kecil
    ......
!2
2x-x
dx
fd
x-x
dx
df
)f(xf(x)y 0
2
2
00
00

xx

15. 2.541)f(1.1)untuksebenarnya(nilai5.2.52
532,211)( 2
0
000
0


y
xx
dx
df
jxfy
x
interpretasi grafis/geometris untuk kasus ini adalah sbb.:
kelengkungan kurva tergantung dari fungsi y = f(x)
ketika d mendekati/menuju 0, y0 + j  f(x), maka  akan tetap kecil
pengaruh orde-orde yang lebih tinggi ditunjukkan oleh perbedaan antara
kurva pada x0 + 1, dan x0 + 2.
4.1.2 Iterasi
Iterasi adalah suatu proses komputasi yang dilakukan secara berulang-ulang
untuk memperbaiki nilai pendekatan x0 dengan prosedur sbb:
i. pilihlah nilai pendekatan untuk x = x10 dan hitunglah:
 )()( 010
1 xfxfxx j

ii. berikan nilai x yang didapat dari tahap (i) sebelumnya ke x20 dan
gunakan untuk hitungan yang sama:
 )()( 010
1 xfxfxx jii 
iii. teruskan proses perulangan ini sampai ditemukan solusi untuk x, atau
ketika f(x) = f(xi0), misalnya pada saat x0i+1 = xi0.
Contoh hitungan:
x1
x2
X
Y y0
=f(x0
)
1
2
y=f(x)
y0
+ jx =
gradien pada
x0y0
+ jx2
y0
+ jx1
1 dan 2 merupakan
pengaruh dari orde-orde
yang lebih tinggi

16. an xtentuk,541.2jika32 2
0
032
 yxxjxxy
jika diasumsikan pendekatan x = x10 = 1, maka:
 )()( 010
1 xfxfxx jii  dan
 
 
  100.1541.2541.2100.1
100.1589.2541.2108.1
108.12541.20.1
803.5
10
4
901.5
10
3
5
10
2



x
x
x
catatan:
jika penentuan nilai pendekatan x10 terlalu besar (jauh) dari nilai sebenarnya
akan membutuhkan iterasi yang sangat banyak.
Proses iterasi dapat dihentikan bila:
relatif)nilai(terhadap
atautertentu)nilai(terhadap
000
1
00
1




iii
ii
xxx
xx
4.1.3 Deret Taylor dalam Bentuk Vektor
Deret Taylor dapat dikembangkan lebih lanjut dalam bentuk fungsi vektor,
antara lain:
Tetapkan:  21 xxx 
   
    



















2
1
21
0
2
0
1
2
2
1
1
0
2
0
121
0
0
2
0
1
0
)()(
x
x
jjxxf
x
f
x
f
xxfxxf
x
f
xfuf
xx
x

17. 4.1.4 Ekspansi untuk m Fungsi dengan n variabel
 
 
 
01
1
1
1
0
21
2122
2111
Jacobeanmatrikdimana
misalkan
,,
,,
,,
xn
mm
n
nmm
n
n
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
J
Jyy
xxxfy
xxxfy
xxxfy
















































1
0
1
2
1
0
0
2
0
1
0
,,:adalahtersebutdan vektormatrikordo
dan






































nmnm
nm
yJ
y
y
y
y




Contoh-contoh soal:
Soal 1
Suatu model matematika terdiri dari dua fungsi yaitu:
2
3
1
2
3
2
11
2
xy
xxy
x


























1
1
1
padatersebutfungsi-fungsiikanLinierisas
0
3
0
2
0
1
0
x
x
x
x

18. Jawaban:

















































































3
2
1
0
3
2
1
2
1
3
3
2
3
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
210
102
2
0
:persamaan
12110
1012
2
0
21
0
02
2
2
y
Jyy
y
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
Soal 2
Linierisasikan Persamaan:



Jyy
xx
xxx
0
31
3
22
2
1
bentukmenjadi
05.2cos6
0sin
Jawaban:











5.2cos6
sin
0
3
0
1
0
2
0
2
0
10
32
xx
xxx
y














3
2
1
x
x
x

19.  



































 0
3
0
2
0
2
0
1
0
2
0
1
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
sin06
03cossin2
x
xxxxx
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
J
Persamaan Matrik:
 



































3
2
1
,,
0
3
0
2
0
2
0
1
0
2
0
1
0
3
0
1
0
2
0
2
0
1
0
3
0
2
0
1
32
sin06
03cossin2
5.2cos6
sin
x
x
x
x
xxxxx
xx
xxx
y
xxx
4.1.5 Beberapa Catatan Tambahan
Sangatlah bermanfaat untuk mengembangkan persamaan dalam simbol y0, ,
dan J sebelum anda mengisinya dengan data angka numerik.
Dari contoh soal 1 dan 2, lebih mudah untuk menyatakan suatu ekspresi
dalam bentuk y = … atau 0 = …..
Linier Independen dan Rank
Sekumpulan vektor (u1, u2, …,un) dikatakan linier dependen jika dan hanya
jika terdapat skalar c1, c2, …,cn, yang tidak nol, sehingga memenuhi kondisi:
c1 u1 + c2 u2 + …+ cn un = 0
sekumpulan vektor (u1, u2, …,un) dikatakan linier independen jika semua skalar c1,
c2, …,cn, berharga nol, sehingga memenuhi kondisi:
c1 u1 + c2 u2 + …+ cn un = 0
contoh:
Apakah sekumpulan vektor-vektor berikut u1 = (1,1,-1,-1), u2 = (2,2,2,-2), u3 =
(3,3,1,-3), u4 = (1,1,3,-1) linier independen? Untuk dapat menjawabnya susunlah
persamaan vektornya: c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 + c4 u4 = 0.
Dalam bentuk matrik persamaan tersebut menjadi:
0
0
0
0
0
1321
3121
1321
1321
4
3
2
1








































xA
c
c
c
c
perhatikan dalam persamaan simultan linier yang homogen diatas adalah dalam
bentuk Ax = 0. Dalam matrik A unsur kolom merupakan anggoata elemn setiap
vektor. Matrik kolom x merupakan unknown yang akan dicari nilainya. Persamaan

20. ini tidak akan dapat diselesaikan jika rank A kurang dari jumlah unkonwn.melalui
reduksi baris koefisien matrik A akan menjadi:











 















0000
0000
1110
1001
1321
3121
1321
1321
Setelah matrik A direduksi (ruas kanan) terdapat elemen baris yang semua
anggotanya bernilai nol. Nilai rank suatu matrik adalah jumlah elemen baris
yang anggotanya ada yang tidak bernilai nol. Karena elemen baris kesatu dan
kedua tidak semuanya nol maka dikatakan rank matrik A adalah 2. Elemen
baris ini disebut dengan linier independen. Sedangkan baris yang semua
elemennyya nol disebut dengan linier dependen.
Didalam hitung kuadrat terkecil, sekumpulan persamaan matematika hanya
dapat diselesaikan jika kesemuanya adalah linier independen dan rank
matriknya sama dengan jumlah unknown atau lebih.
Cara praktis untuk mengetahui suatu matrik adalah linier independen atau
tidak adalah dengan memeriksa nilai determinanya. Jika nilai determinannya
tidak sama dengan nol maka dapat dikatakan persamaan tersebut adalah
linier independen.

21. mulai dengan
identifikasi parameter
Metodologi Pengukuran didalam Geomatika
Meformulasikan
Model Matematika
Desain atau
Preanalisa
Pengkajian pra-
pemrosesan data &
manajemen
Pemrosesan data -
Perataan
Pengkajian Hasil
Penyajian Hasil
Selesai
OK?
Mengkoreksi
Parameter
Mengkoreksi Model
Matematika
Mengkoreksi Desain
Mengkoreksi prosedur
manajemen &
pengkajian pra
pemrosesan
Mengkoreksi
Prosedur Akusisi Data
Mengkoreksi prosedur
pemrosesan data
OK?
Akusisi Data
OK?
Model
Matematika
OK?
Desain OK?
Pengkajian pra
prosesing data &
manajemen OK?
Pemrosesan
Data OK?
Tujuan: menentukan parameter yang dicari
Akusisi Data
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Ya
Tidak
Tidak
Ya
Tidak
Ya
Tidak
Ya
Tidak
Tidak
Ya
Ya
Tidak
Ya

22. Rumus-rumus Turunan (Diferensial) yang mungkin berguna
   
 
 
uD
uu
uDuD
uu
uD
uD
u
uDuD
u
uD
uD
u
uDuD
u
uD
uDuuuDuDuuuD
uDuuDuDuuD
uDuuDuDuuD
uDuDuDaaaDuDeeD
v
vuDuvD
v
u
DuvDvuDuvD
vDuDvuDuDnuuD
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xuxx
uu
xx
uu
x
xx
xxxx
xxxx
nn
x
1
1
)1(csc
1
1
)1(sec
1
1
)(cot
1
1
)(tan
1
1
)(cos
1
1
)(sin
cotcsc)(csctansec)(sec
csc)(cotsec)(tan
sin)(coscos)(sin
)(lnln)(
22
2
1
2
1
2
1
2
1
22
1
2
1































23. mulai dengan
identifikasi parameter
Metodologi Pengukuran didalam Geomatika
Meformulasikan
Model Matematika
Desain atau
Preanalisa
Pengkajian pra-
pemrosesan data &
manajemen
Pemrosesan data -
Perataan
Pengkajian Hasil
Penyajian Hasil
Selesai
OK?
Mengkoreksi
Parameter
Mengkoreksi Model
Matematika
Mengkoreksi Desain
Mengkoreksi prosedur
manajemen &
pengkajian pra
pemrosesan
Mengkoreksi
Prosedur Akusisi Data
Mengkoreksi prosedur
pemrosesan data
OK?
Akusisi Data
OK?
Model
Matematika
OK?
Desain OK?
Pengkajian pra
prosesing data &
manajemen OK?
Pemrosesan
Data OK?
Tujuan: menentukan parameter yang dicari
Akusisi Data
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Ya
Tidak
Tidak
Ya
Tidak
Ya
Tidak
Ya
Tidak
Tidak
Ya
Ya
Tidak
Ya

24. 4.1.6 Memformulasikan Model Matematika
Model matematis biasanya selalu berdasarkan hukum geometri atau fisika
tertentu, dan hukum ini merelasikan antara pengamatan (pengukuran)
dengan parameter yang akan dicari.
Dengan kata lain, parameter yang dicari tidak selalu bisa diukur secara
langsung, jadi diperlukan suatu model yang menjelaskan hubungan
matematis antara pengamatan dengan parameter yang dicari.
Contoh:
5. Refraksi atmosfir dari suatu perambatan gelombang adalah:
T
e
T
P
NNrefraksi GL 25.112696.0 
dimana NL = f(P,T,e)
parameter: NL
pengamatan/pengukuran: P, T, dan e
konstanta: NG
6. Tekanan uap jenuh, es





 3.237
27.17
1078.6 t
t
se
parameter: es
pengukuran: t (wet-bulb temperature)
7. Persoalan dalam ukur tanah, jarak AB akan dicari, tetapi tidak dapat
secara langsung diukur.
Untuk menghitung parameter d3, sudut a,b,c dan jarak d1 dan d2 diukur.
Model matematika adalah abstraksi dari hubungan geometris dari segitiga
danau
c b
a
C
B
A
d3
d1
d2

25. bidang datar. Dalam model ini, semua pengukuran harus dilibatkan. Untuk
kasus ini model dapat berupa: