ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ: ΑΝΔΡΙΤΣΑΚΟΥ ΙΩΑΝΝΑ

1. Ο αριθμός φ
στην τέχνη και στη φύση
1ο Γενικό Λύκειο Σπάρτης

2. ΜΑΘΗΤΕΣ
Αϊδίνης Χάρης
Κοντέα Θεοδώρα
Κυριακούλιας Παναγιώτης
Κωνστούλια Κωνσταντίνα
Μαλτέζος
Μαζίλου Αλεξάνδρα
Μουρτζίκου Δέσποινα
Μπαμπαλέτου Ειρήνη
Μπουζούκας Ζήσης
Νικολακάκου Ευαγγελία
Ξαστερούλη Κωνσταντίνα
Παπαδόπουλος Χρυσοβαλάντης
Σαργιώτης Αχιλλέας
Σαρηγιαννίδου Σοφία
Σταθόπουλος
Τσιάκου Κατερίνα
Τσίτσου Ζωή
Χρανιώτης Παναγιώτης
Χρυσαδάκος Αλέξανδρος
Υπεύθυνη καθηγήτρια
Ανδριτσάκου Ιωάννα ΠΕ03

3. ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ φ
• Ο Πυθαγόρας είναι
θεωρητικά ο πρώτος
που ανακάλυψε το
«χρυσό» αριθμό φ,
διατυπώνοντας το
μαθηματικό ορισμό
της αναλογίας
χρησιμοποιώντας 2
ευθύγραμμα
τμήματα.
α b
Το α+b είναι για το α
ότι το α για το b
Πυθαγόρας ο Σάμιος (580π.Χ.-496π.Χ)
Ήταν σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος,
μαθηματικός, γεωμέτρης και θεωρητικός της
μουσικής. Είναι κατεξοχήν ο θεμελιωτής των
ελληνικών μαθηματικών.

4. Όμως, η πρώτη
γραπτή απόδειξη
ύπαρξης του αριθμού
φ βρίσκεται σε ένα εκ
των δεκατριών βιβλίων
των «Στοιχείων» του
Ευκλείδη και συνέβη
γύρω στο 300 π.Χ.
Ευκλείδης (350π.Χ-270π.Χ)
Έλληνας μαθηματικός που δίδαξε και πέθανε
στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου περίπου κατά
την διάρκεια βασιλείας του Πτολεμαίου Α’.
Στις μέρες μας είναι γνωστός ως «πατέρας»
της Γεωμετρίας.

5. Εκφρασμένο αλγεβρικά :
(α+b)/α= α/b = φ
Όπου φ αντιπροσωπεύει την χρυσή τομή.
Η τιμή του είναι :
φ = (1+ )/2 = 1,61803398887…

6. Γιατί συμβολίζεται με το γράμμα φ;
Το 15ο αιώνα, ο μοναχός
Λουκά Πατσιόλι επηρεασμένος
από τις τότε θρησκευτικές
αντιλήψεις ότι κάθε
επιστημονική γνώση έπρεπε να
ενταχθεί στο εκκλησιαστικό
δόγμα, ονόμασε τον αριθμό
Θεία Αναλογία.
Έπειτα, ο Λεονάρντο ντα Βίτσι
του επέδωσε την ονομασία
Χρυσός Αριθμός.
Λούκα Πατσιόλι (1445-1517)
Ήταν Ιταλός μαθηματικός, Φραγκισκανός μοναχός, συνεργάτης του
Λεονάρντο ντα Βίντσι και πρωτοπόρος στο πεδίο της λογιστικής.
Αναφέρεται ως ο «πατέρας της λογιστικής και της τηρήσεως
λογιστικών βιβλίων».

7. Ωστόσο, από τον 20ο αιώνα και
έπειτα η χρυσή τομή παριστάνεται με τον
ελληνικό γράμμα Φ ή φ.
Το να χρησιμοποιείται το ‘’μικρό’’
γράμμα φ για τον συμβολισμό της
προτάθηκε από τον μαθηματικό Mark
Barr και προέρχεται από το αρχικό
γράμμα του γλύπτη Φειδία ο οποίος
λέγεται ότι ήταν από τους πρώτους που
τον χρησιμοποίησε στα έργα του, ένα εκ
των οποίων είναι και ο Παρθενώνας.
Κάποιες φορές το κεφαλαίο Φ
χρησιμοποιείται κυρίως για τον
αντίστροφο της χρυσής τομής 1/φ.
Ενώ, πιο σπάνια αντί για φ μπορεί να
τον συναντήσουμε με το γράμμα τ, το
αρχικό γράμμα της λέξης τομή.
Φειδίας (480π.Χ-430π.Χ.)
Ήταν Έλληνας γλύπτης, ζωγράφος και
αρχιτέκτονας. Έζησε τον 5ο αι. π.Χ. και
θεωρείται ευρέως ως ένας από τους
σημαντικότερους γλύπτες της
Κλασικής Εποχής.

8. Όταν ο αριθμός φ συνάντησε την τέχνη…
Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ φ ΣΤΗΝ ΓΛΥΠΤΙΚΗ
Οι μεγάλοι δημιουργοί των ελληνικών
γλυπτών και όχι μόνο, θεωρούν τα γλυπτά ως
πρότυπα της ανθρώπινης ομορφιάς και
δείγματα ενός αρμονικού σώματος. Σ’ αυτά τα
έργα η χρυσή αναλογία εφαρμόζεται συχνά.

9. Η ΑΦΡΟΔΙΤΗ ΤΗΣ ΜΗΛΟΥ
Η Αφροδίτη της Μήλου θεωρείται το αριστούργημα της γυναικείας ομορφιάς.
Αποτελεί έργο του Αγησάνδρου ή Αλέξανδρου της Αντιόχειας.
Το άγαλμα είναι δημιούργημα της ελληνιστικής εποχής, βρέθηκε το1820 στην Μήλο,
αλλά σήμερα εκτίθεται στο Λούβρο.
Η θέση του ομφαλού χωρίζει το άγαλμα σε μέσο και άκρο λόγο. Η απόσταση από τον
ομφαλό έως την κορυφή του κεφαλιού είναι 0,382. Ενώ μετρώντας από τον ομφαλό
και κάτω είναι 0,618.
Από την διαίρεση (0,382+0,618)/1,618=1,618 , οπότε συμπεραίνουμε ότι κι εδώ
εφαρμόστηκε ο αριθμός φ.

10. Ο ΔΟΡΥΦΟΡΟΣ, ΠΟΛΥΚΛΕΙΤΟΣ
Ο δορυφόρος του Πολυκλείτου ή
«Κανών» (440-430 π.Χ.) αποτελεί
χαρακτηριστικό παράδειγμα των
αναλογιών που θα έπρεπε να έχει
απεικόνιση της ανδρικής μορφής
όταν αυτή βρίσκεται σε όρθια στάση.
Αξίζει να σημειώσουμε ότι
θεωρείται το μεγαλύτερο επίτευγμα
της κλασικής ελληνικής γλυπτικής. Η
φιγούρα του νέου άνδρα εκφράζει
την ενότητα της ομορφιάς και της
ανδρείας, βασικές αρχές της
ελληνικής τέχνης.
Το σώμα φαίνεται να ελίσσεται
γύρω από τον κατακόρυφο άξονα.
Ο αριθμός φ εμφανίζεται από τον
ομφαλό έως την κορυφή του
κεφαλιού και επίσης από τα άκρα
των δακτύλων μέχρι τις αρθρώσεις.

11. Ο ΔΑΒΙΔ, MICHELANGELO
Ο Δαβίδ του Μιχαήλ
Άγγελου είναι έργο και
αυτό βασισμένο στην
χρυσή αναλόγια.
Οι χρυσές αναλογίες του
γλυπτού επιβεβαιώνονται
από τον λόγο της
απόστασης του ομφαλού
μέχρι την κορυφή του
κεφαλιού (38cm) προς την
απόσταση του ομφαλού
από ο ύψος των
αρθρώσεων των δαχτύλων
(62 cm).

12. Ο ΑΡΛΕΚΙΝΟΣ,HUAN GRIS ΚΑΙ ZAK LIPSITS
Ο Ισπανός Χουάν Γκρις και ο
Λιθουανός Ζακ Λίπσιτς ήταν
εκπληκτικοί κυβιστές οι οποίοι
χρησιμοποίησαν το χρυσό λόγο σε
κάποια από τα έργα τους.
Ο Λίπσιτς βοήθησε τον Χουάν
Γκρις στην κατασκευή του γλυπτού
«Αρλεκίνος» το οποίο βρίσκεται στο
Μουσείο Τέχνης της Φιλαδέλφειας.
Για την κατασκευή των επιθυμητών
αναλογιών στο άγαλμα οι δυο
καλλιτέχνες χρησιμοποίησαν το
τρίγωνο του Κέπλερ, το οποίο
βασίζεται στο Χρυσό Λόγο.

13. Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ Φ ΣΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ
Ένας ζωγράφος του οποίου το όνομα
συναντάται σε κάθε ισχυρισμό της
εμφάνισης του Χρυσού Λόγου στην τέχνη
είναι ο Λεονάρντο ντα Βίντσι.

14. ΜΑΝΤΟΝΑ ΤΩΝ ΒΡΑΧΩΝ, Leonardo da Vinci
Υπάρχουν δύο εκδοχές της «Μαντόνας των
Βράχων» η μία βρίσκεται στο Λούβρο και η
άλλη στην Εθνική Πινακοθήκη του
Λονδίνου.
Στον πίνακα που εκτίθεται στο Λούβρο ο
λόγος του ύψους προς το πλάτος είναι
περίπου 1,64 και στο δεύτερο πίνακα ο
ίδιος λόγος είναι 1,58. Και οι δύο λόγοι
συγκλίνουν προς το χρυσό αριθμό φ.
Επίσης, κάποιοι υποστήριξαν πως μέσα
στον πίνακα γύρω από τη φιγούρα της
Μαντόνας σχηματίζεται ένα χρυσό τρίγωνο.
Όμως η χρονολόγηση και η αυθεντικότητα
των δύο πινάκων έφερε κάποιους
ισχυρισμούς για την ύπαρξη του Χρυσού
Λόγου. Ειδικοί οι οποίοι μελέτησαν τους
δύο πίνακες, ισχυρίζονται πως η Μαντόνα
του Λούβρου έχει ολοκληρωθεί από τον
Λεονάρντο, σε αντίθεση με την Μαντόνα
στην Εθνική Πινακοθήκη του Λονδίνου η
οποία θεωρείται πως μπορεί να ήταν μια
«συλλογική προσπάθεια».

15. ΑΓΙΟΣ ΙΕΡΩΝΥΜΟΣ (Saint Jerome), Leonardo da Vinci
Το εν λόγω έργο του Νταβίντσι «Ο
άγιος Ιερώνυμος» είναι ημιτελές και
υπάρχει αβεβαιότητα ως προς τη χρήση
του Χρυσού Λόγου.
Ο πίνακας αυτός χρονολογείται στο
1483, πολύ πριν μετακομίσει ο Πατσιόλι
στο Μιλάνο συνεπώς πολύ πριν έρθει
σε επαφή ο Νταβίντσι με το Χρυσό Λόγο
( αφού ο Πατσιόλι ήταν αυτός που
έμαθε στο Λεονάρντο για τον αριθμό
Φ).
Σε μερικά βιβλία υπάρχει ο
ισχυρισμός ότι γύρω από τη μορφή του
Αγίου Ιερώνυμου ταιριάζει απόλυτα
ένα Χρυσό Ορθογώνιο. Αυτό όμως δεν
είναι αποδεκτό από όλους τους
ερευνητές των έργων τέχνης.
Συγκεκριμένα , υποστηρίζεται πως
ολόκληρο το σώμα του Αγίου
Ιερώνυμου δε χωράει σ’ ένα Χρυσό
Ορθογώνιο. Αυτό φαίνεται πιο έντονα
στην αριστερή πλευρά του πίνακα όπου
το μπράτσο του εκτείνεται πολύ πέρα
από την πλευρά του ορθογωνίου.

16. ΜΟΝΑ ΛΙΖΑ, Leonardo da Vinci
• Ο Leonardo τελείωσε γύρω στο 1503-1519 αυτόν τον
πίνακα, ο οποίος αποτελεί έναν από τους πιο
μυστηριώδεις πίνακες.
Συγκεκριμένα, παρατηρήθηκαν πολλά σημεία
με το Χρυσό Αριθμό στον πίνακα:
Καταρχάς, η απόσταση από τα δάχτυλα
της Μόνα Λίζα μέχρι την κορυφή του
μετώπου είναι 1,618 όπως κι η απόσταση
από τα δάχτυλα μέχρι τη βάση του λαιμού.
Επίσης, ο Leonardo ζωγράφισε τη Μόνα
Λίζα, ώστε η μορφή της να χωράει τέλεια σ’
ένα χρυσό ορθογώνιο. Ο υπόλοιπος πίνακας
γύρω από το πρόσωπο είναι χωρισμένος
επίσης σε ένα χρυσό ορθογώνιο.

17. Ωστόσο, δεν μπορούμε να
είμαστε βέβαιοι ότι αυτές οι
αναλογίες στηρίζονται
συνειδητά στον αριθμό φ,
παρά το γεγονός ότι ο
καλλιτέχνης είχε ιδιαίτερο
ενδιαφέρον για τα
μαθηματικά. Κάποιοι
υποστηρίζουν ότι εντοπίζεται
μόνο στο ορθογώνιο γύρω από
το πρόσωπο.
Επιπλέον, υπάρχει και ένας
άλλος ισχυρισμός ότι ο
Leonardo χρησιμοποίησε τα
χαρακτηριστικά του
προσώπου του για τελειώσει
τον πίνακα (λόγω απουσίας
μοντέλου), καθώς
εμφανίζονται πολλές
ομοιότητες με μια
αυτοπροσωπογραφία του.

18. ΚΕΦΑΛΙ ΕΝΟΣ ΓΕΡΟΥ, Leonardo da Vinci
Το σχέδιο «κεφάλι ενός γέρου»
βρίσκεται στην Gallerie dell’
Accademia στη Φλωρεντία.
Ουσιαστικά, παρουσιάζει ένα
κεφάλι που έχει επικαλυφθεί από ένα
τετράγωνο το οποίο χωρίζεται σε
ορθογώνια. Το ορθογώνιο στη μέση
αριστερά είναι πιο πολύ απόδειξη
στο ότι ο Λεονάρντο χρησιμοποίησε
ορθογώνια για τον προσδιορισμό των
διαστάσεων στους πίνακες κι ότι
μάλλον έχει εξετάσει την εφαρμογή
του Χρυσού Λόγου στην τέχνη του.
Ωστόσο, δεν είναι ούτε εδώ
ξεκάθαρο για το που ακριβώς πρέπει
να χαραχτεί το τετράγωνο.

19. Η ΣΤΑΥΡΩΣΗ, Raphael
Ζωγράφισε αυτόν τον συγκεκριμένο πίνακα σε ηλικία 20 ετών και
χρησιμοποίησε κι εδώ το Χρυσό Λόγο.
Κατ’ αρχάς, από τα κύρια πρόσωπα
που εμφανίζονται στον πίνακα
μπορούμε να τραβήξουμε δύο
ευθείες ίσες γραμμές ξεκινώντας από
το κεφάλι του Χριστού και
συνεχίζοντας σχεδόν ανάμεσα στις
δύο ανθρώπινες μορφές της δεξιάς
πλευρά κι αντίστοιχα της αριστερής.
Έτσι, κατασκευάζουμε ένα
ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο η γωνία
στην κορυφή είναι 36 μοίρες . Έπειτα,
εάν φέρουμε μεσοκάθετο που
ξεκινάει από την κορυφή τέμνοντας
τη βάση τότε η υποτείνουσα διά τη
βάση θα είναι ο αριθμός Φ.
Επίσης, σ’ αυτόν τον
πίνακα μπορούμε να
χρησιμοποιήσουμε ένα
Χρυσό Τρίγωνο για να
εντοπίσουμε ένα χρυσό
πεντάγραμμο με
κορυφή πάλι το κεφάλι
του Ιησού.

20. Η ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΑΔΑΜ, Michelangelo
Είναι γεγονός ότι ο
Μιχαήλ Άγγελος
χρησιμοποίησε την χρυσή
τομή και στην θρυλική οροφή
της Καπέλα Σιξτίνα (Βατικανό).
Είναι εύκολο να το
συμπεράνουμε καθώς το
πηλίκο της διαίρεσης του
ευθυγράμμου τμήματος b
προς α είναι ίσο με το πηλίκο
της διαίρεσης ολόκληρου του
ευθυγράμμου τμήματος (α+b)
προς b, που ισούται με τον
αριθμό φ.
α b
α+ b
Το στοιχείο που ξεχωρίζει σ’ αυτήν
τη τοιχογραφία είναι η προσπάθεια
του Θεού να αγγίξει τον Αδάμ χωρίς
όμως επιτυχία.

21. Η ΑΓΙΑ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ (The Holy Family), Michelangelo
Η Αγία Οικογένεια ή αλλιώς Doni
Tondo, όπου Tondo ονομάζεται η
τεχνική που ζωγραφίζει ο καλλιτέχνης
σ’ ένα κύκλο, εξού κι η κυκλική μορφή
του πίνακα. Είναι ο μοναδικός πίνακας
που τελείωσε, κοντά στο 1507.
Χάρη στην κυκλική του μορφή,
σχηματίζεται ένα Χρυσό
Πεντάγραμμο στο οποίο το τρίγωνο
στην κορυφή περιέχει το πρόσωπο
της Μαρίας. Κάθε τρίγωνο του
πενταγράμμου είναι «χρυσό» αφού
περιέχει το Χρυσό Λόγο.
Τέλος, είναι σίγουρο πως ο
Michelangelο χρησιμοποίησε ένα
χρυσό πεντάλφα σ’ αυτόν τον πίνακα
αφού ήθελε να δείξει πως είναι
χριστιανικό σύμβολο.
Ζωγραφίστηκε με λάδι και τέμπερες και
έχει διαστάσεις 120cm.

22. THE GOLDEN STAIRS,
Edward Burne Jones
Σ’ αυτόν τον πίνακα ο
ζωγράφος έδωσε μεγάλη έμφαση
μέχρι και στις παραμικρές
λεπτομέρειες.
Αρχικά ,στο δεξί μέρος ο
Χρυσός Λόγος εμφανίζεται στα
σκαλοπάτια όπως επίσης και στο
κυκλικό μέρος της τρομπέτας που
κρατάει η τέταρτη
γυναίκα(μετρώντας από κάτω).
Η χρυσή τομή εντοπίζεται
επίσης στο μήκος των φορεμάτων
από τη ζώνη και κάτω έως το
γόνατο, στο πλάτος της πόρτας
που μπαίνουν οι γυναίκες και
τέλος στο πλάτος του φεγγίτη.

23. COMPOSITION IN RED YELLOW AND BLUE, Piet Mondrian
Ο Μόντριαν πίστευε ότι τα μαθηματικά και η τέχνη είναι
συνδεδεμένα. Ο ίδιος σ’ αυτόν τον πίνακα χρησιμοποίησε απλά
γεωμετρικά σχήματα και τα τρία βασικά χρώματα (μπλε, κόκκινο,
κίτρινο).
Η άποψή του ήταν ότι κάθε σχήμα είναι πιθανό να δημιουργηθεί
με βασικά γεωμετρικά σχήματα, όπως και κάθε χρώμα είναι
συνδυασμός των τριών βασικών χρωμάτων. Το χρυσό ορθογώνιο
είναι ένα απ ό τα βασικά σχήματα που εμφανίζεται στην τέχνη του .
Για παράδειγμα σ’ αυτόν
τον πίνακα μπορούμε να
διαπιστώσουμε ότι η
αναλογία του μήκους και
του πλάτους για κάποια
ορθογώνια είναι η χρυσή
αναλογία.

24. ΤΟ ΜΥΣΤΗΡΙΟ ΤΟΥ
ΜΥΣΤΙΚΟΥ ΔΕΙΠΝΟΥ
(The Sacrament of the Last Supper),
Dali
Τον 20ο αιώνα το έργο
του Dali «Το Μυστήριο του
Μυστικού Δείπνου» είναι
πλαισιωμένο σ’ ένα Χρυσό
Ορθογώνιο. Παρατηρούμε
πως το τραπέζι έχει
τοποθετηθεί ακριβώς στην
Χρυσή Τομή του πλάτους
του πίνακα.
Επιπλέον, τα παράθυρα
στο βάθος του πίνακα
φαίνεται να αποτελούν
μέρος ενός Χρυσού
Δωδεκαέδρου.

25. Σημείωση:
Υπάρχουν πολλά άλλα έργα που έχει χρησιμοποιηθεί
ο αριθμός φ όπως :
Βιτρούβιος άντρας, Leonardo da Vinci,
Η πεντάλφα, Henry Cornelius Agrippa
Η Αυτοπροσωπογραφία του Rembrandt,
«Οι Λουόμενοι »(Bathers at Asnieres) του George-
Pierre Seurat,
«Η Λήδα και ο κύκνος» του Leonardo da Vinci,
«Το πορτρέτο του Luca Pacioli» από τον Jacopo de
Barbari κ.α

26. Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ
ΑΡΙΘΜΟΥ Φ ΣΤΗΝ
ΜΟΥΣΙΚΗ
Η ΧΡΥΣΗ
ΤΟΜΗ
ΣΤΗΝ
ΚΛΑΣΙΚΗ
ΜΟΥΣΙΚΗ

27. WOLFGANG AMADEUS
MOZART
Είναι ευρέως γνωστό ότι η
μουσική του Μότσαρτ είναι
εκπληκτική, αλλά υπάρχει
αμφισβήτηση για το πώς έχει
γράψει αυτές τις μελωδίες.
Η αδερφή του μας πληροφορεί
ότι σ’ όλα τα μαθητικά του χρόνια
μες το μυαλό του Μότσαρτ
υπήρχαν μόνο αριθμοί και
μάλιστα στα περιθώρια μερικών
από τις συνθέσεις του σημείωνε
μαθηματικές εξισώσεις.
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι
λάτρευε τα μαθηματικά.
Wolfgang Amadeus Mozart (1756-1791)
Ένας από τους σημαντικότερους συνθέτες
κλασικής μουσικής, εκπρόσωπος του
βιενέζικου κλασικισμού, την λεγόμενη «πρώτη
σχολή της Βιέννης». Συνέθεσε περισσότερα
από 600 έργα μουσικής δωματίου, συμφωνική
και εκκλησιαστική μουσική.

28. Η δομή της μουσικής του κινούσε την περιέργεια των
μαθηματικών και ήθελαν να διερευνήσουν κατά πόσο είχε
περάσει στη σφαίρα επιρροής των μαθηματικών.
Σύμφωνα με τον John F.Putz, καθηγητής Μαθηματικών
στο κολλέγιο Alma του Μίσιγκαν :
«Στον καιρό του Μότσαρτ, η μουσική φόρμα της
σονάτας εξελίχθηκε σε δύο μέρη: στην έκθεση, όπου
εισάγεται το μουσικό θέμα και στην ανάπτυξη και
επανέκθεση όπου το κύριο θέμα αναπτύσσεται και
επαναλαμβάνεται. Είναι αυτός ο χωρισμός σε δυο
ευδιάκριτα τμήματα που δίνει την αιτία για να αναρωτηθεί
κανείς πως ο Μότσαρτ διενεργεί με αυτές τις εργασίες.»

29. Ουσιαστικά, ο Μότσαρτ διαίρεσε τις σονάτες του σύμφωνα με τη χρυσή
αναλογία, με την έκθεση ως το πιο σύντομο τμήμα (χ) και την ανάπτυξη και
επανέκθεση (1-χ) από τον αριθμό των μέτρων στο κάθε ένα. Στο πρώτο μέρος της
σονάτας αριθ.1 σε Ντο Ματζόρε παραδείγματος χάριν, η έκθεση αποτελείται από
38 μέτρα και η ανάπτυξη και επανέκθεση από 62 μέτρα.
Η διαίρεση 62/38 δίνει πηλίκο 1,63 προσεγγίζοντας πολύ το χρυσό αριθμό. Αυτό
είναι πολύ σημαντικό, γιατί δεν υπάρχουν άλλοι ακέραιοι αριθμοί από το 1 έως το
100 (εκτός από του 38 και 62) που διαιρούμενοι μεταξύ του να προσεγγίζουν
πλησιέστερα τη χρυσή αναλογία.
Μια εξίσου καλή προσέγγιση στο χρυσό τμήμα υπάρχει και στο δεύτερο μέρος
αυτής της σονάτας. Το τρίτο μέρος, εντούτοις, παρεκκλίνει από την χρυσή τομή.

30. LUDWIG VAN BEETHOVEN
Στο Mathematics Teaching Volume 84
του 1978, ο Derek Haylock στηρίζει την
άποψη ότι ο Beethoven χρησιμοποίησε
την χρυσή αναλογία στην Πέμπτη
συμφωνία του. Το μοτίβο της διαιρεί την
πρώτη πράξη σε χρυσό λόγο.
Η πρώτη πράξη αποτελείται από το
μοτίβο (5 μέτρα), ένα μουσικό τμήμα
(372 μέτρα), ξανά το μοτίβο (5 μέτρα),
ένα άλλο μουσικό τμήμα (228 μέτρα)
και ολοκληρώνεται με το μοτίβο (5
μέτρα). Επιπλέον, παρατηρούμε: 372 +
5= 377, 228 + 5= 233, 377/233= 1,618.
Ludwig van Beethoven (1770-1827)
Γερμανός συνθέτης και πιανίστας,
αποτέλεσε μια από τις κεντρικότερες
μορφές της κλασικής μουσικής. Αν και
ανήκει στην κλασική περίοδο,
συνδέθηκε με το κίνημα του
ρομαντισμού.

31. Τέλος, οι συνθέτες Debussy, Schubert, Satie,
Bartok και ο Bach (ο οποίος μάλιστα συνήθιζε να
κωδικοποιεί το όνομα του και να το εμφανίζει
στις συνθέσεις του) έχουν χρησιμοποιήσει την
χρυσή αναλογία στις συνθέσεις τους.

32. Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΜΕΤΑΛ ΜΟΥΣΙΚΗ
Το συγκρότημα Tool στους στίχους του
τραγουδιού Lateralus έχει χρησιμοποιήσει την
χρυσή αναλογία.
Ο αριθμός των συλλαβών των λέξεων ανάμεσα
στις παύσεις είναι οι έξι πρώτοι αριθμοί Fibonacci
(1,2,3,5,8,13):

33. (1)Black (1) then, (2) white are, (3) all I see, (5) in my fan-cy, (8) red and yel-low then
came to be, (5) rea-ching out to me, (3) lets me see.
(2) There is, (1) so, (1) much, (2) more and (3) becks-on me, (5)to look through to
these, (8) in-fi-nite pos-si-bil-i-ties
(13) As be-low so a-bove and be-yond I im-ag-ine, (8) drawn out-side the lines of
rea-son.
(5) Push the en-ve-lope.
(3) Watch it bend.

34. ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΑ ΟΡΓΑΝΑ
Ο αριθμός «Φ» χρησιμοποιήθηκε και συνεχίζει να χρησιμοποιείται
ακόμη και στην κατασκευή μουσικών οργάνων.

35. ΒΙΟΛΙ
Το βιολί είναι ένα από τα όργανα στο
οποίο ο Χρυσός Λόγος παρουσιάζεται συχνά.
Συγκεκριμένα, το ηχείο του βιολιού περιέχει
δώδεκα η περισσότερα τόξα καμπυλότητας
σε κάθε πλευρά. Το επίπεδο στη βάση
συχνά επικεντρώνεται στο σημείο Χρυσής
Τομής που βρίσκεται στην κάθετο προς το
κεντρικό ευθύγραμμο τμήμα.
Μερικά από τα πιο γνωστά βιολιά είναι
κατασκευασμένα από τον Αντόνιο Στραντιβάρι
(από την Κρεμόνα της Ιταλίας).Τα πρωτότυπα
σχέδια μας δείχνουν ότι πρόσεξε πολύ στην
τοποθέτηση των 30 «ματιών των οπών» τα οποία
τα τοποθέτησε γεωμετρικά στις θέσεις οι οποίες
καθορίζονται από το Χρυσό Λόγο.

36. ΠΙΑΝΟ
Ένα άλλο μουσικό όργανο το οποίο αναφέρεται σε σχέση
με τους αριθμούς Fibonacci είναι το πιάνο. Η οκτάβα του
πληκτρολογίου αποτελείται από δεκατρία πλήκτρα εκ των
οποίων τα οκτώ είναι λευκά και τα άλλα πέντε είναι μαύρα.
Τα μαύρα πλήκτρα αποτελούν μία ομάδα δύο πλήκτρων κι
άλλη μία των τριών. Οι αριθμοί 2, 3, 5, 8 και 13 τυχαίνει να
είναι όλοι διαδοχικοί αριθμοί Fibonacci.

37. Ο «χρυσός» αριθμός φ:
Πως η αρμονία τέχνης και
μαθηματικών συνδέονται με ένα απλό
κλάσμα …
Η ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ φ ΣΤΗΝ
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ

38. • Υπάρχει ένας λόφος πολύ χαμηλός στο λεκανοπέδιο της Αττικής, που δεν δείχνει
και ιδιαίτερα σπουδαίος. Κάτι όμως τον κάνει και ξεχωρίζει:
Πάνω του είναι χτισμένο το μεγαλύτερο αρχιτεκτονικό δημιούργημα, όχι μόνο
ολόκληρης της αρχαίας ελληνικής αρχιτεκτονικής, όχι μόνο ολόκληρου ίσως του
αρχαίου κόσμου αλλά και του σύγχρονου. Η Ακρόπολη με τον Παρθενώνα. Ο
Παρθενώνας είναι το τελειότερο οικοδόμημα όλων των εποχών, όπως έχουν
παραδεχτεί όλοι οι αρχιτέκτονες παγκοσμίως.
Γιατί όμως και από τι ξεχωρίζει αυτό το οικοδόμημα; Οι λεπτομέρειες και τα
μεγάλα μυστικά του, ήταν...

39. Ο Παρθενώνας οικοδομήθηκε μεταξύ των ετών 447-438 π.Χ. Ο ρυθμός
του ναού είναι ο δωρικός ,με ορθογώνιο σχήμα. Σύμφωνα με τις
περισσότερες αναφορές, ο Ικτίνος έκανε τα σχέδια της Ακρόπολης και
ο Καλλικράτης είχε την επίβλεψη των έργων. Ο ναός χτίστηκε πάνω
στα θεμέλια του προηγούμενου που είχε κτιστεί επί Πεισιστράτου και
τον είχαν καταστρέψει οι Πέρσες. Εννέα χρόνια χρειάστηκαν για την
ανέγερση του ναού.

40. • Όλα όσα έχουν ανακαλυφθεί για τον ναό αυτό, ίσως όμως και
άλλα κρυμμένα από το πέπλο του χρόνου, μαρτυρούν ότι οι
δημιουργοί του Παρθενώνα κατείχαν ξεχασμένες γνώσεις
που τις εφάρμοσαν στην κατασκευή του.
• Συγκεκριμένα, σε κάθε μέρος του ναού επικρατούσε ένα
σύστημα αναλογίας σύμφωνα με τον κανόνα του
Πολυγνώτου και όλες οι διαστάσεις είχαν μια δεδομένη
σχέση με τη διάμετρο του κίονα.

41. • Κάθε κίονας είχε ελάχιστα μεγαλύτερη διάμετρο από τη βάση μέχρι
τη μέση, λέπταινε προς την κορυφή και έκλινε προς το κέντρο της
κιονοστοιχίας στην οποία ανήκε.
• Έτσι οι κίονες του Παρθενώνα δεν είναι κάθετοι, αλλά αν
προεκταθούν νοητά προς τα επάνω, συναντιούνται στα 1852 μέτρα,
σχηματίζοντας μια νοητή πυραμίδα, η κορυφή της οποίας βρίσκεται
ακριβώς πάνω από το σημείο που ήταν τοποθετημένο το κεφάλι του
αγάλματος της Αθηνάς. Κατά περίεργο επίσης τρόπο, ο όγκος της
πυραμίδας αυτής είναι ο μισός της μεγάλης πυραμίδας της Αιγύπτου,
45.000.000 ελληνικά κυβικά πόδια.

42. Επίσης, οι γωνιακοί κίονες είχαν ελάχιστα μεγαλύτερη διάμετρο
από τους άλλους. Οι μετόπες έδιδαν την εντύπωση του
τετραγώνου, κι όμως είχαν κάποιες καμπύλες που
εξουδετέρωναν τις οπτικές απάτες, γιατί διαφορετικά δεν θα
υπήρχε η οπτική αρμονία. Αυτές οι προσαρμογές απαιτούσαν
πολύ υψηλές γνώσεις μαθηματικών και οπτικής, σε μια τέλεια
ένωση με την Τέχνη.

43. • Γενικά βλέπουμε στο σχέδιο του Παρθενώνα δεν υπάρχει καμία ευθεία
γραμμή. Παντού συναντάμε απαλές καμπύλες. Επίσης στην πρόσθια
(μπροστινή) όψη ισχύει: πλάτος = φ χ ύψος (όπου φ είναι ο αριθμός της
χρυσής τομής), ενώ στις αναλογίες του ναού συναντάμε και τη σχέση
α/2α+1. Το οπτικό αποτέλεσμα είναι εκτός από αρμονικό πολλές φορές και
απροσδόκητο, μιας και ο Παρθενώνας καταφέρνει να δείχνει εντυπωσιακά
μεγαλύτερος από το πραγματικό του μέγεθος, χωρίς όμως να βαραίνει το
χώρο.

44. Ο ναός, με την κύρια είσοδο του, βλέπει ανατολικά. Το
εσωτερικό μήκος του είναι 100 αττικά πόδια, δηλαδή 30,80
μέτρα. Μέσα σε αυτά τα νούμερα εκφράζονται καταπληκτικές
αναλογίες! Ο αττικός πους (πόδι) είναι 0,30803 μέτρα ή αλλιώς
1/2Φ, όπου το Φ = 1,61803 εκφράζει την Χρυσή Τομή.

46. Η Παναγία των Παρισίων
Ο αριθμός φ και η χρήση της Χρυσής
Αναλογίας έχει βρεθεί και στο σχέδιο
της Παναγίας των Παρισίων. Η δυτική
πρόσοψη της εκκλησίας είναι η μεριά
όπου η παρουσία των χρυσών
ευθύγραμμων τμημάτων είναι
ιδιαίτερα
αισθητή.
Η Παναγία των Παρισίων και η
παρουσία χρυσών ευθυγράμμων
τμημάτων

47. • Η κατασκευή του άρχισε το 1163 και τον
θεμέλιο λίθο έθεσε ο Πάπας Αλέξανδρος
Γ΄ και ο Βασιλεύς Λουδοβίκος Ζ΄ της
Γαλλίας. Ο Ναός αποπερατώθηκε περί
τα μέσα του 13ου αιώνα. Το 1699
υπέστη ακρωτηριάσεις, με το
δικαιολογητικό της επισκευής του. Τα
πλέον άξια ιδιαίτερης προσοχής σημεία,
που προκαλούν το θαυμασμό της
αρχιτεκτονικής του ναού, είναι η
υπέροχη πύλη με τον υπεράνω αυτής
τεράστιο ρόδακα και τις δύο
εκατέρωθεν αυτής πύλες, τα περίφημα
γλυπτά, τα δύο κωδωνοστάσια ύψους
68 μ. καθώς και ο εσωτερικός διάκοσμος
με τα έξοχης υαλογραφικής τέχνης
(βιτρό) παράθυρα.
• Στις 2 Δεκεμβρίου 1804 στο Ναό αυτό
στέφθηκε (αυτοανακηρύχθηκε)
Αυτοκράτορας ο Ναπολέων
Βοναπάρτης.

48. Ο χρυσός αριθμός χρησιμοποιείται και στην σύγχρονη
αρχιτεκτονική.
Το κτίριο των Ηνωμένων Εθνών•
Η Χρυσή Αναλογία φαίνεται και στο κτίριο των
Ηνωμένων Εθνών (UN
Building). Στο συγκεκριμένο κτίριο, ο λόγος του
πλάτους του κτιρίου προς το
ύψος κάθε 10 ορόφων ισούται με φ , όπως
φαίνεται στην Εικόνα. Το κτίριο άρχισε να
κατασκευάζεται το 1947 και ολοκληρώθηκε το
1952. Οι αρχιτέκτονες του κτιρίου ήταν ο
βραζιλιάνος Oscar Niemeyer και ο Ελβετός Le
Corbusier. Ο Le Corbusier ήθελε οπωσδήποτε να
χρησιμοποιήσει τη χρυσή αναλογία για να
διαμορφώσει τις αρχιτεκτονικές αναλογίες του
κτιρίου.
• Κάποιοι ισχυρίζονται ότι το σχέδιο του
κτιρίου της Γενική Γραμματεία του ΟΗΕ στη Νέα
Υόρκη αποτελεί πρότυπο για τη χρήση της χρυσής
τομής στην αρχιτεκτονική.

49. Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΕ ΕΠΙΜΕΡΟΥΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ
ΤΟΥ ΟΙΚΟΔΟΜΗΜΑΤΟΣ
Στον πύργο τηλεπικοινωνιών του
Τορόντο βρίσκουμε την Χρυσή Τομή
στο ύψος του οικοδομήματος
Ο λόγος του
συνολικού ύψους
του πύργου,
553,33 m, προς το
ύψος του
καταστρώματος
παρατήρησης,
342m, ισούται με
1,618 δηλαδή με
τον αριθμό φ.
Η χρυσή τομή εμφανίζεται
και στις σπείρες

50. Το φ στην αρχιτεκτονική και την
ακουστική
• Το αρχαίο θέατρο κατασκευάστηκε σε μια χαράδρα, το 340
π.Χ., από τον αρχιτέκτονα Πολύκλειτο τον Νεότερο όπως
αναφέρει ο Παυσανίας. Ο Παυσανίας εξαίρει το θέατρο για
τη συμμετρία και την ομορφιά του. Με μέγιστη χωρητικότητα
13.000 - 14.000 θεατών το θέατρο φιλοξενούσε τους
μουσικούς, ωδικούς και δραματικούς αγώνες που
συμπεριλαμβάνονταν στη λατρεία του Ασκληπιού. Επίσης,
χρησιμοποιήθηκε και ως μέσο θεραπείας των ασθενών,
καθώς υπήρχε η πεποίθηση πως η παρακολούθηση
δραματικών παραστάσεων είχε ευεργετικά αποτελέσματα για
την ψυχική και σωματική υγεία των ασθενών.

51. Τα μέρη του θεάτρου
• Η σκηνή: Ορθογώνιο, μακρόστενο
κτήριο, που προστέθηκε κατά τον
5ο αιώνα. π.χ. στην περιφέρεια της
ορχήστρας απέναντι από το κοίλον.
Στην αρχή ήταν ισόγεια και
χρησιμοποιούταν μόνο ως
αποδυτήρια, όπως τα σημερινά
παρασκήνια.
• Το προσκήνιο: Μια στοά με κίονες
μπροστά από τη σκηνή. Ανάμεσα στα
διαστήματα των κιόνων βρίσκονταν
θυρώματα και ζωγραφικοί πίνακες
(τα σκηνικά). Τα θυρώματα του
προσκηνίου απέδιδαν τρεις πύλες,
από τις οποίες έβγαιναν οι
υποκριτές. Το προσκήνιο ήταν αρχικά
πτυσσόμενο, πιθανώς ξύλινο.
• Τα παρασκήνια: Τα δύο άκρα της
σκηνής που προεξέχουν δίνοντάς της
σχήμα Π στην κάτοψη.

52. Τα μέρη του θεάτρου
• Οι πάροδοι: Οι διάδρομοι
δεξιά και αριστερά από τη
σκηνή που οδηγούν στην
ορχήστρα. Συνήθως
σκεπάζονταν με αψίδες.
• Η ορχήστρα: Η ημικυκλική (ή
κυκλική, π.χ. Επίδαυρος)
πλατεία στο κέντρο του
θεάτρου. Συνήθως
πλακόστρωτη. Εκεί δρούσε ο
χορός.
• Η θυμέλη: Ο βωμός του
Διονύσου στο κέντρο της
ορχήστρας.

54. Χρυσή Αναλογία
• Κάποια θέατρα ήταν ασυνήθιστα μελετημένα ως προς την
κατασκευή.
Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί το μεγάλο θέατρο της
Επιδαύρου που κατασκευάστηκε στο τέλος του 4ου αιώνα π.Χ
ενώ το πάνω διάζωμα προστέθηκε στα τέλη του 3ου π.Χ
αιώνα.
• Η ορχήστρα του είναι ένας τέλειος κύκλος ενώ το κοίλον του
αποτελεί τμήμα σφαίρας. Το κάτω διάζωμα αποτελείται από
34 σειρές καθισμάτων και το πάνω από 21 δίνοντας 55 σειρές
συνολικά. Το άθροισμα των πρώτων 10
αριθμών (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) δίνει 55 το άθροισμα των
πρώτων 6 δίνει 21(1+2+3+4+5+6) και το άθροισμα των 4
τελευταίων (7+8+9+10) δίνει 34. Ο χρυσός αριθμός Φ
παρουσιάζεται και πάλι μιας και η αναλογία των
δύο διαζωμάτων 21 προς 34 ισούται με 0,618 (αριθμός Φ)
αλλά και η αναλογία του κάτω διαζώματος προς το σύνολο
των σειρών 34 προς 55 ισούται με 0,618 (αριθμός Φ)
αποτελεί απόδειξη ενδελεχούς αρχιτεκτονικής και
μαθηματικής μελέτης, με αποτέλεσμα το θέατρο της
Επιδαύρου να έχει μια μοναδική ακουστική.

55. Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Φ
ΣΤΗΝ ΦΥΣΗ
Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΦΥΤΑ
• Ο Πυθαγόρας πρώτος που παρατήρησε ότι τα φυτά
και τα ζώα δεν μεγαλώνουν τυχαία, αλλά σύμφωνα με
ακριβείς μαθηματικούς κανόνες.
• Οι αρχαίοι Έλληνες βρήκαν ότι τα σχέδια των
λουλουδιών βασίζονται σε γεωμετρική αναλογία.
Επίσης η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη
διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο.
• Εμφανίζεται ακόμα και στην ανάπτυξη των βελονών
αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη
των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια.
Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά
αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους,
ενώ τα φοινικόδεντρα στους δακτυλίους των κορμών
τους.

56. Το 1202, ο Leonardo
Fibonacci ανακάλυψε την
ακολουθία των αριθμών
Φιμπονάτσι η οποία είναι
1,2,3,5,8,13,21,34,55….
Σύμφωνα με την οποία
αν διαιρέσουμε 2
διαδοχικούς αριθμούς
έχουμε πάντα το ίδιο
αποτέλεσμα, τον αριθμό
φ=1,618…Leonardo Fibonacci (1175-1240)
Ιταλός μαθηματικός που έμεινε στην ιστορία
για την περίφημη ακολουθία Φιμπονάτσι και
για την εισαγωγή, στην Ευρώπη, του
αραβικού δεκαδικού συστήματος αρίθμησης.

57. • Σε όλα σχεδόν τα άνθη το πλήθος των πετάλων είναι ίσο με κάποιον
από τους αριθμούς της ακολουθίας:
• 3,5,8,13,21,34,55,89…
• Και έτσι υπάρχουν λουλούδια με :
1 ΠΕΤΑΛΟ (White calla lily ) 2 ΠΕΤΑΛΑ (Euphorbia )
3 ΠΕΤΑΛΑ (Trillium) 5 ΠΕΤΑΛΑ (Columbine)

58. 8 ΠΕΤΑΛΑ (Bloodroot) 13 ΠΕΤΑΛΑ (black-eyed susan)
21 ΠΕΤΑΛΑ (Μαργαρίτα shasta) 34 ΠΕΤΑΛΑ (Μαργαρίτες αγρού )

59. Η ακολουθία Fibonacci στη φυλλοταξία
Με τον όρο φυλλοταξία εννοούμε στην
βοτανική την διάταξη των φύλλων και των
κλώνων στην ανάπτυξη ενός φυτού.
Αν επρόκειτο να συνδέσετε τις άκρες τω
φύλλων ή των κλαδιών που έχουν
αναπτυχθεί από τον κορμό, θα
διαπιστώνατε ότι
δημιουργούν ένα πολύ συγκεκριμένο
σπειροειδές σχήμα γύρω
από τον κεντρικό κορμό.
Στον μεγαλύτερο αριθμό των φυτών, ένα
συγκεκριμένο κλαδί ή
φύλλο θα μεγαλώσει από τον κορμό
περίπου κατά 137,5 μοίρες
γύρω από τον βλαστό σε σχέση με το
προηγούμενο κλαδί.
Η γωνία αυτή συνδέεται με τον αριθμό Φ
αφού: 360*(2-Φ )=137,5.

60. Αν κατανείμουμε τα φύλλα στο μίσχο σύμφωνα με
το χρυσό αριθμό, όλα θα επωφελούνται στο
μέγιστο βαθμό από το φως του ήλιου, χωρίς να
κρύβει το ένα το άλλο.
Η ακολουθία Fibonacci στην ανάπτυξη των κλαδιών
και στη διάταξη των φύλλων

61. Ανακαλύπτουμε τους αριθμούς Fibonacci με την
μορφή σπειρών πάνω στον μίσχο, τα πέταλα ή ακόμα
και στα κλαδιά. Για παράδειγμα στο μίσχο της
μαργαρίτας παρατηρούμε
ότι εμφανίζονται: 21 σπείρες δεξιόστροφα και 34
σπείρες αριστερόστροφα

62. Ο ΑΡΙΘΜΟΣ Φ ΣΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ
ΣΩΜΑΑν υποθέσουμε ότι η γραμμή φρυδιών
– κάτω μύτης = α ( όπου α σταθερά )
τότε
α) γραμμή φρυδιών – κορυφή κεφαλής
= α ·φ
β) κάτω άκρη μύτης - κορυφή κεφαλής =
α ·φ2
γ) κάτω άκρη μύτης – βάση λαιμού =
α·φ3
δ) συνολικό ύψος τμήματος που
ορίζεται από τη βάση του λαιμού και τις
θηλές του στήθους = α ·φ2
ε) συνολικό ύψος τμήματος ( μέση (
ομφαλός ) - κορυφή κεφαλής ) = α·φ5
στ) συνολικό ύψος τμήματος ( πέλμα (
πατούσα ) - μέση ( ομφαλός ) ) = α ·φ6
η) συνολικό ύψος σώματος = α·φ7

63. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA, φαίνεται να
ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό ορθογώνιο το οποίο είναι
υπόδειγμα της χρυσής αναλογίας.

64. Εμφανίζεται στα οστρακοειδή, στα έντομα, στα θηλαστικά και
στα πτηνά.
Στα έντομα εντοπίζουμε λόγους χρυσής τομής, για παράδειγμα:
-στο σώμα αλλά και στην κίνηση των μυρμηγκιών
-στα φτερά της πεταλούδας
-στο σώμα και στον ιστό της αράχνης
Η «Ακολουθία Fibonacci» διέπει και το ζωικό
βασίλειο.

65. Το γενεαλογικό δέντρο του κηφήνα σ’ ένα μελίσσι είναι μια ακολουθία
Fibonacci!
Επίσης στα μελίσσια, ο πληθυσμός των εργατριών μελισσών σε σχέση με τους
κηφήνες, αναπτύσσεται με βάση την Ακολουθία Fibonacci, και ο λόγος τους τείνει
στη « χρυσή αναλογία».
Ο τρόπος με τον οποίο η μέλισσα κατασκευάζει τα κελιά των κερηθρών : Το σχήμα
της κερήθρας είναι εξάγωνο . Η επιλογή του εξαγωνικού σχήματος δεν είναι τυχαία .
Αφενός μεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά , αλλά είναι και το
μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή η μέλισσα δαπανά λιγότερο
κερί για την κατασκευή των κελιών της .

66. O αριθμός Φ εντοπίζεται και στο
Βασίλειο των πτηνών όπως για
παράδειγμα με τη μορφή χρυσών
αναλογιών:
-στους παπαγάλους
-στο σώμα του πιγκουίνου
-στα φτερά του Blue Heron

67. Αυτό, όμως, που προκαλεί ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι ότι ο αριθμός Φ
εμφανίζεται και στον τρόπο που πετάνε ορισμένα ήδη γερανών , όπως για
παράδειγμα οι πετρίτες.
Τα γεράκια εκμεταλλεύονται την ισογώνια ιδιότητα της χρυσής σπείρας και
διατηρούν το στόχο τους στο οπτικό τους πεδίο ενώ μεγιστοποιούν την
ταχύτητά τους.

68. Παραδείγματα καμπυλών με βάση λογαριθμική σπείρα μπορεί να δει κανείς στους
χαυλιόδοντες των ελεφάντων και των εξαφανισμένων μαμούθ, σε ζώα όπως οι κατσίκες ,
οι αντιλόπες και τα κριάρια που έχουν κέρατα σε σπειροειδή μορφή και με τη μορφή
χρυσών αναλογιών σε ορισμένα ζώα όπως στα χαρακτηριστικά του προσώπου και στο
σώμα του δελφινιού.

69. Τα λεγόμενα χρυσά σπειροειδή,
που βασίζονται στο φ,
απαντώνται στις σπείρες
οστρακοειδών όπως στο
κέλυφος του Ναυτίλου.
Αλλά και το κέλυφος των
σαλιγκαριών ακολουθεί και αυτό
την ακολουθία
Fibonacci.

70. Χαρακτηριστικό παράδειγμα
μορφής θαλάσσιας ζωής, πέρα του
ναυτίλου , του οποίου η ανατομία
διέπεται από την χρυσή τομή είναι ο
αστερίας το σώμα του οποίου
σχηματίζει ένα κανονικό
πεντάγωνο.
Χρυσοί λόγοι εμφανίζονται και στο
χελιδονόψαρο ενώ μπορούμε να
διακρίνουμε την χρυσή αναλογία
και στον ιππόκαμπο και
συγκεκριμένα στις ραβδώσεις του.

71. Είναι προφανές ότι αυτή η αρμονία ενέπνευσε τους καλλιτέχνες και
συμπεριέλαβαν τη Χρυσή Αναλογία σε πολλά έργα τέχνης ώστε να
προκαλούν μια αίσθηση αρμονίας. Πολλοί καλλιτέχνες
χρησιμοποιούν τον αριθμό φ συνειδητά ή ασυνείδητα με σκοπό να
επιτύχουν στο έργο τους ένα άρτιο αισθητικό αποτέλεσμα.
Η χρυσή τομή, ο αριθμός που συνδέει τα μαθηματικά με την
αισθητική, δεν είναι μόνο μια αφηρημένη μαθηματική σταθερά,
αλλά ενυπάρχει στις αναλογίες των φυτών, του ανθρωπίνου
σώματος και όχι μόνο. Ακόμα και στη μετεωρολογία και στην
αστρονομία βρίσκουμε τον Χρυσό Λόγο.

72. Οι ομάδες των μαθητών που ασχολήθηκαν με τις επιμέρους ενότητες ήταν:
Ροζ πιγκουίνοι και μικρές
ζουζουνιέρες δροσοσαλίτσες με
πατάτες και κέτσαπ - Τέχνες
Κωνστούλια Κωνσταντίνα
Κοντέα Θεοδώρα
Τσίτσου Ζωή
Χρανιώτης Παναγιώτης
Χρυσαδάκος Αλέξανδρος
Τσίφσα - Επίδαυρος
Μουρτζίκου Δέσποινα
Νικολακάκου Ευαγγελία
Παπαδόπουλος Χρυσοβαλάντης
Σαργιώτης Αχιλλέας
Fibo - Φύση
Κυριακούλιας Παναγιώτης
Μαζίλου Αλεξάνδρα
Ξαστερούλη Κωνσταντίνα
Σαρηγιαννίδου Σωφία
Τσιάκου Κατερίνα
Κακνερ - Αρχιτεκτονική
Μπαμπαλέτου Ειρήνη
Μαλτέζος Δημήτρης
Μπουζούκας Ζήσης
Αϊδίνης Χάρης
Σταθόπουλος Νίκος
Η αναζήτηση των πληροφοριών έγινε στο διαδίκτυο