diskrit

1. OLEH
DOSEN PENGAMPU:
DIAH SETIAWATI,M.PD
MATEMATIKA DISKRIT
RELASI BINER

2. 1. RELASI BINER

3. H U B U N G A N A N T A R A M A N U S I A , B I L A N G A N , H I M P U N A N A T A U
H A L L A I N N Y A D I J A B A R K A N K E D A L A M B E N T U K R E L A S I
B I N E R . SE B E L U M M E M B A H A S T E N T A N G R E L A S I B I N E R ,
T E R L E B I H D A H U L U H A R U S D I P A H A M I T E N T A N G H A S I L K A L I
C A R T E S .
D E F I N I S I : H A S I L K A L I C A R T E S A D A L A H H I M P U N A N A D A N B
M E R U P A K A N H I M P U N A N T A K K O S O N G D I M A N A H A S I L K A L I
C A R T E S D I L A M B A N G K A N D E N GA N A X B A D A L A H H I M P U N A N
𝐴 × 𝐵 = ( 𝑥 , 𝑦 ) 𝑥 ∈ 𝐴 , 𝑦 ∈ 𝐵 . C O N T O H :
D I K E T A H U I H I M P U N A N 𝐴 = 1 , 2 , 3 𝑑 𝑎 𝑛 𝐵 = 𝑎 , 𝑏 . H A S I L K A L I
C A R T E S D A R I A D A N B A D A L A H
𝐴 × 𝐵 = 1 , 𝑎 , 1 , 𝑏 , 2 , 𝑎 , ( 2 , 𝑏 ) ( 3 , 𝑎 ) ( 3 , 𝑏
H A S I L K A L I C A R T E S D A R I B D A N A A D A L A H 𝐵 × 𝐴 =
𝑎 , 1 , 𝑎 , 2 , 𝑎 , 3 , 𝑏 , 1 , 𝑏 , 2 , ( 𝑏 , 3 )
PEMBAHASAN RELASI BINER

4. Definisi Relasi Biner
Adalah himpunan A dan B tak kosong
yang setiap bagian tak kosong dari AxB
disebut relasi Biner dimana jika R
adalah relasi dari A ke B dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅
maka pernyataan “x berelasi dengan y”
dilambangkan dengan xRy. Contoh
relasi yang umum adalah relasi “lebih
besar dari”.

5. Sifat-sifat Relasi Biner
Refleksif
Simetris
Transitif
antisimetris

6. 1. Sifat Refleksif
Definisi:
misalkan R adalah relasi pada A(relasi dari A
ke A). R dikatakan refleksif jika untuk setiap
𝒙 ∈ 𝑨, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝒙, 𝒙 ∈ 𝑹.
Contoh:
1. diketahui 𝐴 = −5, −4, −3, −2, −1,0,1,2,3,4,5
sebuah relasi R didefinisikan sebagai berikut: 𝑅 =
(𝑥, 𝑦) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥𝑦 > 0 . Periksa apakah R refleksif
atau tidak.
Jawaban:ambil x=0 𝑥 = 0 0 ∈ 𝐴 , 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 0.0 =
0 𝑚𝑎𝑘𝑎 0,0 ∉ 𝑅 dengan demikian ini berarti R tidak
refleksif.

7. Sifat refleksif
2. Diberikan himpunan 𝑃 = 1,2,3 .
Didefiniskan relasi R pada himpunan P
dengan hasil relasi adalah himpunan 𝑆 =
1,1 , 1,2 , 2,2, , 2,3 , 3,3 , (3,2) .
Relasi ini bersifat refleksif karena setiap
anggota himpunan P
berpasangan/berelasi dengan dirinya
sendiri.

8. 2. Simetris
Definisi:
misalkan R adalah relasi pada A. R dikatakan simetris jika
untuk setiap 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑨 dengan xRy maka yRx.
Contoh: diketahui 𝐴 = −2, −1,0,1,2 . Sebuah relasi didefinisikan sebagai
berikut: 𝑅 = (𝑥, 𝑦) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥𝑦 > 0 . Periksa apakah R simetris atau tidak.
Jawaban: 𝐴 × 𝐴 =
−2, −2 , −2, −1 , −2,0 , −2,1 , −2,2 , −1, −2 , −1 − 1 , −1,0 ,
−1,1 , −1,2 , 0, −2 , 0, −1 , 0,0 , 0,1 , 0,2 , 1, −2 , 1, −1 , 1,0 , 1,1 ,
(1,2),(2,-2),(2,-1)(2,0),(2,1),(2,2). Karena 𝑅 = (𝑥, 𝑦) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥𝑦 > 0 .maka
nyatakan sebagai berikut: 𝑅 =
−2, −2 , −2, −1 , −1, −2 , −1, −1 , 1,1 , 1,2 , 2,1 , (2,2) , terlihat
bahwa untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢 𝑦, 𝑥 ∈ 𝑅 jadi R adalah relasi yang
simetris.

9. Sifat simetris
2. Diberikan himpunan 𝐴 = 2,4,5 .
Didefinisikan relasi R pada himpunan A
dengan 𝑅 = (𝑥, 𝑦) 𝑥 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑦, 𝑥, 𝑦 ∈

10. 3. Sifat Transitif
Definisi:
misalkan R relasi pada A, R dikatakan transitif jika
untuk setiap 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑨 dengan xRy dan yRz, maka
xRz.
Contoh: diketahui 𝐴 = −1,0,1 R adalah suatu relasi yang
didefinisikan sebagai 𝑅 = (𝑥, 𝑦) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥 ≤ 𝑦 .periksa
apakah R transitif atau tidak.
Jawaban:
𝐴 × 𝐴
= −1, −1 , −1,0 , −1,1 , 0, −1 , 0,0 , 0,1 , 1, −1 , 1,0 , (1,1)
Karena 𝑅 = (𝑥, 𝑦) 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑥 ≤ 𝑦 dan R merupakan
himpunan dari AxA, maka R dapat dinyatakan sebagai 𝑅 =
−1, −1 , −1,0 , −1,1 , 0,0 , 0,1 , (1, −1) terlihat bahwa
untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 dengan xRy dan yRz maka xRz
sehingga R adalah relasi transitif.

11. 2. Diberikan himpunan 𝑃 = 1,2,3 .
Didefinisikan relasi R dengan 𝑅 =
1,1 , 1,2 , 2,2 , 2,3 , 3,3 , (3,2) .relasi
R tidak memenuhi sifat transitif, sebab
terdapat 1,1 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 1,2 ∈
𝑅 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 (2,1) ∈ 𝑅

12. 4. Sifat Antisimetris
Definisi:
misalkan R adalah relasi pada A, R dikatakan antisimetris
untuk setiap 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ 𝑨 dengan xRy dan yRx maka x=y.
Contoh:
diketahui 𝐴 = −2, −1,0,1,2 sebuah relasi R didefiniskan sebagai 𝑅 =
𝑥, 𝑦 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦 = 𝑥 . Periksa apakah R antisimetris atau tidak.
Jawaban:
𝐴 × 𝐴 =
−2, −2 , −2, −1 , −2,0 , −2,1 , −2,2 , −1,1 , −1,2 , 0, −2 , 0, −1 , 0,0 , 0
0,2 , 1, −2 , 1, −1 , 1,0 , 1,1 , 1,2 , 2, −2 , 2, −1 , 2,0 , 2,1 , (2,2)).
Karena 𝑅 = 𝑥, 𝑦 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴, 𝑦 = 𝑥 dan R merupakan himpunan bagian dari
AxA maka R dapat dinyatakan sebagai 𝑅 = −2,2 , −1,1 , 0,0 , 1,1 , (2,2) ,
terlihat bahwa untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 dengan xRy dan yRx berlaku x=y
sehingga R adalah relasi antisimetris

13. Sifat Antisimetris
Diberikan 𝑆 = 1,2,3 . Didefinisikan
relasi R pada himpunan S
dengan 𝑅 =
1,1, , 1,2 , (2,2, 2,1 , (3,3) . Relasi
R tersebut tidak bersifat antisimetris
sebab terdapat 1,2 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 2,1 ∈
𝑅 𝑡𝑒𝑡𝑎𝑝𝑖 1 ≠ 2

14. RELASI EKIVALEN
Definisi:
Misalkan R adalah relasi pada A, R disebut relasi ekivalen jika R
memenuhi tiga syarat yakni refleksif, simetris,dan transitif.
Apabila xRy, maka dikatakan bahwa y ekivalen dengan x.
Contoh:
misalkan 𝐴 = 1,2,3,4 dan relasi R didefinisikan sebagai berikut:
𝑅 = 1,1 , 1,4 , 4,1 , 4,4 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , (3,3) .periksa apakah R adalah
relasi ekivalen.
Jawaban:
Untuk menjawab apakah R adalah relasi ekivalen akan diperiksa tiga sifat :
1. Sifat refleksif. Karena untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐴 berlaku 𝑥, 𝑥 ∈ 𝑅,
2. Sifat simetris. Karena untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴 dengan xRy berlaku yRx,
3. Sifat antisimetris. Karena untuk setiap
𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑥𝑅𝑦 𝑑𝑎𝑛 𝑦𝑅𝑧 𝑏𝑒𝑟𝑙𝑎𝑘𝑢 𝑥𝑅𝑧
Karena ketiga sifat itu terpenuhi maka R adalah relasi ekivalen

15. OPERASI DALAM RELASI BINER
 Inverse Relasi (R-1) adalah kebalikan dari relasi R, yang didefinisikan
dengan menukar susunan anggota di semua pasangan yang ada
dalam relasi,jadi jika
𝑅: 𝑋 → 𝑌 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑅−1 ∶ 𝑌 → 𝑋
 Komposisi Relasi adalah operasi mengkomposisikan 2 buah relasi
binar yang sesuai dan menghasilkan sebuah relasi binary yang baru.
Agar 2 buah relasi dapat dikomposisikan maka relasi P dan Q di
definisikan sebagai:
𝑃: 𝑋 → 𝑌
𝑄: 𝑌 → 𝑋
Dimana Y di P harus sama dengan Y di Q. 𝑅: 𝑋 → 𝑍 dengan (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅
jika dan hanya anggota Y dalam himpunan Y mempunyai pasangan
minimal 1 dalam himpunan P dan Q.

16. Latihan 1
1. Jika diketahui 𝐴 = 1,4,6,7 𝑑𝑎𝑛 𝐵 = 8,9,10 tentukan hasil kali cartes
a) AxB
b) BxA
c) AxA
d) BxB
1. Diketahui 𝐴 = 1,2,3,4 𝑑𝑎𝑛 𝑅 =
1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,3 , 3,4 , 4,3 , (4,4) . Periksa apakah R
memenuhi sifat simetris, transitif dan antismetris.
2. Diketahui 𝐴 = 1,2,3,4 𝑑𝑎𝑛 𝑅 = 1,3 , 1,1 , 3,1 , 1,2 , 3,3 , (4,4) ,
periksa apakah R memenuhi sifat rrefleksif, simetris dan anti simetris
3. Relasi manakah pada himpunan A yang merupakan relasi ekivalen.
a) 𝐴 = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑑𝑎𝑛 𝑅 = 𝑎, 𝑎 , 𝑏, 𝑎 , 𝑏, 𝑏 , 𝑐, 𝑐 , 𝑑, 𝑑 , (𝑑, 𝑐)
b) 𝐴 = 1,2,3,4 𝑑𝑎𝑛 𝑅 =
1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,3 , 1,3 , 4,1 , (4,4)