Download luận văn đồ án tốt nghiệp với đề tài: Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu

1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân
đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu
Nguyễn Thị Thanh Lan
Khoa Toán-Ứng Dụng, Trường Đại học Sài Gòn

2. Mục lục
0.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong và ngoài nước: . 4
0.2. Tính cấp thiết của đề tài: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.3. Mục tiêu của đề tài: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.4. Cách tiếp cận: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.5. Phương pháp nghiên cứu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.7. Nội dung nghiên cứu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp
hai tự tham chiếu 7
Chương 2. Ví dụ minh họa 16
Tài liệu tham khảo 19
2

3. Thông tin kết quả nghiên cứu:
Kết quả nghiên cứu được nhận đăng trên tạp chí quốc tế Note di Matematica, Italy.
3

4. Mở đầu
0.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài ở trong
và ngoài nước:
Mô hình toán học của hiện tượng di truyền được Miranda và Pascali mô tả như sau:
Au(x, t) = u Bu(x, t), t , (0.1)
trong đó, u = u(x, t), (x, t) ∈ R × [0, +∞) là hàm cần tìm thỏa một vài điều kiện đầu tại
t = 0, A và B là các toán tử vi phân hoặc tích phân. Chẳng hạn,
Bu(x, t) =
t
0
u(x, τ)dτ, (0.2)
và B trong phương trình (0.1) được gọi là toán tử di truyền. Phương trình (0.1) có thể được
xem là phương trình trong di truyền học.
Một vài trường hợp đặc biệt của (0.1) được nghiên cứu đầu tiên bởi Volterra vào đầu thế
kỷ XX (xem [9] và các tài liệu tham khảo trong đó). Trong trường hợp đơn giản, khi B là
toán tử đồng nhất, Eder trong [2] đã chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài
toán
u (t) = u(u(t)). (0.3)
Sau đó, Si và Cheng trong [8], [10] và [11] đã thu được các định lí tồn tại nghiệm cho các
phương trình tổng quát hơn
u (t) = u(at + bu(t)), (0.4)
và phương trình
αt + βu (t) = u(at + bu (t)), (0.5)
trong đó, a = 1 và b = 0 là các số phức, và u : C → C là hàm phức cần tìm.
Nói chung, các phương trình dưới dạng (0.1) đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả.
Nhiều nghiên cứu ta có thể tìm thấy trong [1], [4]-[7] và các tài liệu tham khảo ở trong các
bài báo đó.
4

5. Mục lục 5
Trong [4], Miranda và Pascali đã chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm địa
phương của phương trình



∂2
∂t2
u(x, t) = k1u
∂2
∂t2
u(x, t) + k2u(x, t), t ,
u(x, 0) = α(x),
∂
∂t
u(x, 0) = β(x),
(0.6)
trong đó, ki ≡ ki(x, t), i = 1, 2, là các số thực cho trước, α(x) và β(x) là các hàm bị chặn và
liên tục Lipschitz.
Kết quả nghiên cứu trong đề tài này được xem là tổng quát hơn kết quả nghiên cứu trong
[4].
0.2. Tính cấp thiết của đề tài:
Di truyền học là một bộ môn của sinh học, nghiên cứu về tính di truyền và biến dị của sinh
vật, nó có vị trí và vai trò đặc biệt đối với con người. Các nhà khoa học trên thế giới cũng
đã đưa ra mô hình di truyền học và nghiên cứu hiện tượng này dưới những dạng khác nhau.
Một trong những mô hình thú vị đó là phương trình vi phân đạo hàm riêng ứng dụng trong
di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu đã và đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà
toán học trên thế giới.
0.3. Mục tiêu của đề tài:
Nghiên cứu mô hình toán học trong di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu, có định hướng
ứng dụng trong thực tiễn.
0.4. Cách tiếp cận:
Thông qua việc tìm hiểu lịch sử nghiên cứu vấn đề của mô hình (0.1), cũng như các kết quả
nghiên cứu được trình bày trong [1], [2], [4], [5]-[11] và trong danh mục tài liệu tham khảo
của các bài báo đó, cuối cùng tác giả đã đưa ra kết quả tổng quát hơn bài toán nghiên cứu
trong [4].
0.5. Phương pháp nghiên cứu:
Trong đề tài này, tác giả sử dụng các công cụ hiện đại của toán học như: giải tích hàm,
phương trình đạo hàm riêng,....
0.6. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Phương trình vi phân đạo hàm riêng tự tham chiếu ứng dụng trong di truyền học.

6. Mục lục 6
0.7. Nội dung nghiên cứu:
Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm của bài toán giá trị đầu cho phương
trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu.

7. Chương 1
Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm
riêng cấp hai tự tham chiếu
Trong đề tài này, chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương của bài toán



∂2
∂t2
u(x, t) = µ1u
∂2
∂t2
u(x, t) + µ2u
∂2
∂t2
u(x, t) + µ3u(x, t), t , t ,
u(x, 0) = p(x)
∂
∂t
u(x, 0) = q(x),
(1.1)
trong đó, p và q là các hàm cho trước, và µi, i = 1, 2, 3, là các số thực cho trước, x ∈ R và
t ∈ [0, T], T > 0.
Để nghiên cứu bài toán (1.1), ta xét bài toán



u(x, t) = u0(x, t) +
t
0
τ
0
µ1u
∂2
∂s2
u(x, s) + µ2u
∂2
∂s2
u(x, s)
+ µ3u(x, s), s , s dsdτ,
u0(x, t) = p(x) + tq(x),
(1.2)
trong đó x ∈ R và t ∈ [0, T].
Ta có định lí sau:
Định lí 1. Nếu u là nghiệm liên tục của bài toán (1.2), thì nó cũng là nghiệm của bài
toán (1.1).
Vì vậy, ta sẽ nghiên cứu bài toán (1.2). Để đơn giản, ta giả sử |µ1| = |µ2| = |µ3| = 1. Ta
thu được kết quả sau:
Định lí 2. Giả sử p and q là các hàm bị chặn và liên tục Lipschitz trên R. Cho σ là
hằng số Lipschitz của p và σ < 1. Khi đó, tồn tại một số dương T0 sao cho bài toán (1.2) có
duy nhất nghiệm, ký hiệu là u∞(x, t), trên R × [0, T0]. Hơn nữa, hàm u∞(x, t) cũng liên tục
Lipschitz và bị chặn lần lượt theo từng biến x ∈ R và t ∈ [0, T0].
Chứng minh.
Để chứng minh định lí này, ta sử dụng phương pháp lặp. Phép chứng minh bao gồm các
bước sau
7

8. Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu8
• Bước 1: Dãy lặp các hàm
Chúng ta định nghĩa dãy các hàm thực (un)n xác định với x ∈ R, t ∈ [0, T], với T > 0,
như sau:
u0(x, t) = p(x) + tq(x),
u1(x, t) = u0(x, t) +
t
0
τ
0
µ1u0 µ2u0(µ3u0(x, s), s), s dsdτ,
un+1(x, t) = u0(x, t) +
t
0
τ
0
µ1un
∂2
∂s2
un(x, s) + µ2un
∂2
∂s2
un(x, s)
+ µ3un(x, s), s , s dsdτ.
(1.3)
• Bước 2: Chứng minh tính bị chặn của (un)
Từ tính bị chặn của p, q và bằng qui nạp ta có
|un(x, t)| ≤ eT
p L∞ + q L∞ , n ∈ N, t ∈ [0, T]. (1.4)
• Bước 3: Chứng minh un Lipschitz theo biến thứ nhất.
Do p và q liên tục Lipschitz nên ta có
|p(x) − p(y)| ≤ σ|x − y|, ∀ x, y ∈ R,
|q(x) − q(y)| ≤ ω|x − y|, ∀ x, y ∈ R,
(1.5)
trong đó 0 < σ, ω là các số thực (với σ < 1 như trong các giả thiết).
Từ (1.5), ta suy ra
|u0(x, t) − u0(y, t)| ≤ σ + tω |x − y| := L0(t)|x − y|, (1.6)
trong đó L0(t) := σ + tω.
Và
|u1(x, t) − u1(y, t)| ≤ L0(t)|x − y| +
t
0
τ
0
µ1u0(µ2u0(µ3u0(x, s), s), s)
− µ1u0(µ2u0(µ3u0(y, s), s), s) dsdτ
≤ L0(t) +
t
0
τ
0
L3
0(s)dsdτ |x − y|
:= L1(t)|x − y|,
(1.7)
trong đó L1(t) := L0(t) +
t
0
τ
0
C0(s)dsdτ, với C0(t) := L3
0(t).

9. Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu9
Hơn nữa
∂2
∂t2
u1(x, t) −
∂2
∂t2
u1(y, t) ≤ L0(t) µ2u0(µ3u0(x, t), t) − µ2u0(µ3u0(y, t), t)
≤ L2
0(t) µ3u0(x, t) − µ3u0(y, t)
≤ L3
0(t)|x − y| := C0(t)|x − y|.
Qui nạp theo n ta thu được
|un+1(x, t) − un+1(y, t)| ≤ Ln+1(t)|x − y|,
∂2
∂t2
un+1(x, t) −
∂2
∂t2
un+1(y, t) ≤ Cn(t)|x − y|,
(1.8)
trong đó
Cn(t) := Ln(t) + L2
n(t) Cn−1(t) + L3
n(t),
Ln(t) := L0(t) +
t
0
τ
0
Cn−1(s)dsdτ, n ≥ 1.
(1.9)
Ta định nghĩa: Dãy (vn) là dãy dừng theo biến x nếu
|vn+1(x, t) − vn(x, t)| ≤ fn(t),
trong đó (fn) là dãy các hàm thực không âm, xác định trên [0, T]. Nếu fn = f với mọi
n, thì ta nói (vn) là dãy dừng đều theo x.
• Bước 4: (un) và ( ∂2
∂t2 un) là dãy dừng theo x. Thật vậy, ta có
|u1(x, t) − u0(x, t)| =
t
0
τ
0
µ1u0 µ2u0(µ3u0(x, s), s), s dsdτ
≤
t
0
τ
0
p L∞ + t q L∞ dsdτ
=
t2
2
p L∞ +
t3
6
q L∞ := A1(t),
(1.10)
∂2
∂t2
u1(x, t) −
∂2
∂t2
u0(x, t) = µ1u0 µ2u0(µ3u0(x, s), s), s
≤ p L∞ + t q L∞ := B1(t).
(1.11)
Từ (1.10) và (1.11), ta suy ra
A1(t) :=
t
0
τ
0
B1(s)dsdτ. (1.12)

10. Chương 1. Bài toán giá trị đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai tự tham chiếu10
Qui nạp đến bước thứ n, ta thu được
|un+1(x, t) − un(x, t)| ≤ An+1(t) (1.13)
và
∂2
∂t2
un+1(x, t) −
∂2
∂t2
un(x, t) ≤ Bn+1(t), (1.14)
trong đó
An+1(t) :=
t
0
τ
0
Bn+1(s)dsdτ,
Bn+1(t) := 1 + Ln−1(t) + L2
n−1(t) An(t)
+ Ln−1(t) + L2
n−1(t) Bn(t), n ≥ 1.
(1.15)
Trong bước sau, ta chọn T0 sao cho (un) và ( ∂2
∂t2 un) là các dãy dừng đều.
• Bước 5: Sự tồn tại nghiệm địa phương. Vì σ < 1, ta có thể tìm được T0 > 0, 0 <
M < 1, 0 < h < 1 sao cho khi t ∈ [0, T0], ta có
σ + tω + M
t2
2
≤ M < 2M < h; M + 2M2
≤ 1; 2M + (1 + 2M)
t2
2
< h. (1.16)
Từ (1.16) bằng qui nạp ta thu được
Cn(t) ≤ M,
Ln+1(t) ≤ σ + tω + M
t2
2
≤ M.
(1.17)
Khi đó, ta suy ra
B2(t) ≤ A1(t)(1 + M + M2
) + B1(t)(M + M2
)
≤ (1 + M + M2
)
t
0
τ
0
B1(s)dsdτ + B1(t)(M + M2
)
≤ B1 L∞
t2
2
(1 + M + M2
) + B1 L∞ (M + M2
)
≤ B1 L∞
t2
2
1 + 2M + 2M
≤ B1 L∞ h.
(1.18)
Từ (1.18) ta suy ra
B2 L∞ ≤ B1 L∞ h. (1.19)

11. DOWNLOAD ĐỂ XEM ĐẦY ĐỦ NỘI DUNG
MÃ TÀI LIỆU: 50919
DOWNLOAD: + Link tải: Xem bình luận
Hoặc : + ZALO: 0932091562