1. 1
3
PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH TRONG
KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC
Phần một: Các dạng hệ cơ bản
I. Hệ phƣơng trình đối xứng.
1.Phương trình đối xứng loại 1.
a)Định nghĩa
Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi
phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi
b) Tính chất
Nếu x0 , y0 là một nghiệm thì hệ y0 ,x0 cũng là nghiệm
S x y
c) cách giải
P x.y
điều kiện S2
4P
Ta biến đổi đưa hệ đã cho (1) về hệ 2 ẩn S, P (2) (x;y) là nghiệm của (1) khi và chỉ khi
(S,P) là 1 nghiệmc của (2) thoải mãn điều kiện: S 2
4P 0 với mỗi (S;P) tìm được ta có
(x;y) là nghiệm của phương trình: X 2
SX P 0 .
Giả sử phương trình có 2 nghiệm là X1, X2.
+ Nếu 0 thì X1 X2 nên hệ (1) có 2 nghiệm phân biệt X1; X2 ; X2 ; X1
+ Nếu 0 thì X1 X2 nên hệ có nghiệm duy nhất X1; X2 .
+ Hệ có ít nhất một nghiệm thoả mãn
nghiệm (S;P) thoả mãn.
S 2
4P 0
S 0
P 0
VD 1: Giải hệ phương trình
x2
y2
xy 7
x 0 khi và chỉ khi hệ (2) có ít nhất 1
x y xy 5
Hệ có nghiệm là (1;2), (2;1)
VD2: Định m để hệ sau có nghiệm
x y xy m
x2
y2
m
ĐS: 0 m 8
2) Hệ phương trình đối xứng loại 2.
-Một hệ phương trình 2 ẩn x, y được gọi là đối xứng loại 2 nếu trong hệ phương trình ta
đổi vai trò x, y cho nhau thì phương trình trở thành phương trình kia.
VD:
x x2
y 10y
b) Tính chất.
y3
y2
x 10x

2. 2
- Nếu x0 ; y0 là 1 nghiệm của hệ thì y0 ;x0 cũng là nghiệm
c) Cách giải

3. 3
- Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng
x y f x; y 0
x y 0
f x; y 0
Ví dụ : Giải hệ phương trình sau:
3x3
x2
2y2
3y3
y2
2x2
HD: Trừ hai phương trình của hệ ta thu được
3(x3
y3
) (x2
y2
) (x y)[3(x2
y2
xy) x y] 0
Hệ đã cho tương đương với
x y 0
3y3
y2
2x2
(I)
Giải (I) ta được x=y=0 hoặc x=y=1
3(x2
y2
xy) x y 0
3y3
y2
2x2
(II)
Xét (II) Từ giả thiết ta suy ra x, y không âm . Nếu x, y dương thì hệ vô nghiệm suy ta hệ
có nghiệm duy nhất
x=y=0
Kết luận: Hệ có 2 nghiệm x=y=0 và x=y=1
3) Hệ phương trình vế trái đẳng cấp bậc II
a) Các dạng cơ bản.
ax2
bxy cy2
d
. a x2
b xy c y2
d
1 1 1 1
b) Cách giải.
+ Xét trường hợp y=0 xem có phải là nghiệm hay không
+ Đặt x=ty thay vào hệ rồi chia 2 phương trình của hệ cho nhau ta được phương trình bậc
2 theo t. Giải phương trình tìm t sau đó thế vao một trong hai phương trình của hệ để tìm
x,y
Phương pháp này cũng đúng khi vế trái là phương trình đẳng cấp bậc n.
x2
3xy y2
1
Ví dụ: Giải hệ
x2
2xy 2y2
1
+ Dễ thấy y=0 không phải là nghiệm
t2
y2
3ty2
y2
1
+ Đặt x=ty thế vào hệ ta có
t2
y2
2ty2
2y2
1
chia 2 phương trình của hệ cho nhau ta
có
t2
3t 1
t2
2t 2
t 1
1 2t2
t 1 0
t
x y
1 1
x y
từ đó thế hai trường hợp vào
2 2
một trong hai phương trình của hệ để giải.

4. 4
PHẦN HAI: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP KHÁC THƢỜNG DÙNG
TRONG GIẢI HỆ
I) PHƢƠNG PHẤP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG
Phương pháp này chủ yếu là dùng các kỹ năng biến đổi phương trình cuả hệ để dưa về
phương trình đơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại để thế vào phương trình khác
của hệ
Ta xét ví dụ sau:
Loại 1) Trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc ẩn y. Khi đó ta rút x
theo y hoặc y theo x để thế vào phương trình còn lại
x2
(y 1)(x y 1) 3x2
4x 1(1)
Ví dụ 1) Giải ghệ phương trình
xy y 1 x2
(2)
HD: Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) từ phương trình (2) ta có
x2
1
y 1 thay vào phương trình (1) ta có
x2 2
x2 x 1 x
1
x 3x2
4x 1 x 1 2x3
2x2
x 1 x 1 3x 1
x x
x 1 2x3
2x2
4x 0
Ví dụ 2) Giải hệ phương trình:
Giải: Ta có x=y=0 là nghiệm.
x y xy 2x y 5xy
x y xy 3x y 4xy
Các cặp số (x,y) với x=0, y 0 hoặc x 0, y=0 không là nghiệm.
1 1
2x y 5
x y
Xét xy 0. chia 2 vế phương trình cho xy 0 ta được
1 1
3x y 4
x y
Suy ra 5 2x y
1 1
4 y 3x x 2y 1
x y
Thay x=2y-1 vào phương trình thứ hai ta thu được:
2y 1 y y 2y 1 5y 3 4 2y 1 y 3y 1 y 10y2
11y 3 8y2
4y
10y3
19y2
10y 1 0 y 1 10y2
9y 1
y 1; y
9
41
; y
9 41
20 20

5. 5
y 1; x 1
9Đáp số: y
41
; x 41 1
20 10
9 41 41 1y ; x
20 10
Loại 2) Một phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích của 2 phương trình bậc nhất
hai ẩn. Khi đó ta đưa về giải 2 hệ phương trình tương đương
xy x y x2
2y2
(1)
Ví dụ 1) Giải hệ phương trình sau
x
2y y x 1 2x 2y(2)
Điều kiện là y 0; x 1
x y
Phương trình (1) (x+y)(x-2y-1)=0 từ đó ta có
vào phương trình (2) để giải
x 2y 1
thay lần lượt hai trường hợp
Ví dụ 2)Giải hệ phương trình:
x y x y 1 x2
y2
(1)
Giải: Điều kiện x y 0
x y 1(2)
(1) ( x y 1) x y 1 0
x y 1
Hệ đã cho tương đương với:
x
y 1
x y 1
x y 1
x y
1
giải
x 1 x 0
và
x y 1 y 0 y 1
giải
x y
1
x 1
x y 1 y 0
Đáp số: x=1,y=0 và x=0, y=1.
Ví dụ 3) Giải hệ phương trình:
x y
x y

6. 6
x 3
y 3
(1)
x
x x
3(2)
Giải: Điều kiện
Ta có: (1)
x 0, y 3
y 3 y 3
x y x 3 x
❖ Với y=3 ta có 2 x 3 0 x 3 (loại)

7. 7
xy x2
y2
10
4xy x2
y2
40
❖ Với y 3ta có
x y
x y
x 3 x
x x 3
Suy ra x 3 x x y x x 3
Suy ra x 3
x 1
x 3 x 1 thay vào (2) ta được: y 1 3 y 8
Đáp số:
y 8
Chú ý: Trong một số bài toán nhiều khi các em cần cộng hoặc trừ 2 phƣơng trình
của hệ sau đó mới xuất hiện phƣơng trình dạng tích
x4
y4
6x2
y2
41
Ví dụ 4) Giải hệ phương trình :
Giải: Sử dụng hằng đẳng thức: x y
4
x4
y4
4xy x2
y2
6x2
y2
x4
y4
6x2
y2
41
HD: Hệ đã cho tương đương với
cộng vế với vế 2 phương trình ta thu được:
x4
y4
4xy x2
y2
6x2
y2
81 x y
4
81 x y 3
x y
3
xy x2
y2
10
hệ đã cho tương đương với
x y 3
x y 3
xy x2
y2
10
x y 3
x y 3
a) Xét
xy x2
y2
10 xy x y
2
2xy 10 xy 9 2xy 10
x y
3
x y 3
b) Xét
xy x2
y2
10 xy 9 2xy 10
Loại 3) Một phương trình của hệ là phương trình bậc 2 theo một ẩn chẳng hạn x là
ẩn. Khi đó ta coi y như là tham số giải x theo y.
Ví dụ 1) Giải hệ phương trình sau
y2
(5x 4)(4 x)
5x2
y2
4xy 16x 8y 16
0
1
2

8. 8
HD: Coi phương trình (2) là phương trình theo ẩn y ta có (2) y2
–4(x+2)y-
5x2
+16x+16=0

9. 9
3 x y
2
x y
2
y
y 5x 4
Giải y theo x ta có
y 4 x
được các nghiệm của hệ
thay lần lượt hai trường hợp vào phương trình ta sẽ giải
2x2
2xy y 5
Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau:
y2
xy 5x
7
Trừ hai phương trình của hê cho nhau ta có 2x2
y2
xy y 5x 2 0
x
y 1
2x2
(y 5)x y2
y 2 0; (y 5)2
8( y2
y 2) (3y 3)2
2
Thay lần lượt 2 trường hợp vào hệ ta giải được x, y
II) PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
x 2 y
Điểm mấu chốt của phương pháp này là phải phát hiện ẩn phụ u=f(x,y) và v=g(x,y)
ngay trong từng phương trình của hệ hoặc sau các phép biến đổi
Thông thường các phép biến đổi thường xoay quanh việc cộng, trừ 2 phương trình
của hệ hoặc chia các vế phương trình cho một số hạng khác không có sẵn trong các
phương trình của hệ để tìm ra những phần chung mà sau đó ta đặt thành ẩn phụ
Ví dụ 1) Giải hệ phương trình sau
x2
1 y(y x) 4
y
x2
1 y x 2 y
(1)
(2)
HD: Ta thấy y=0 không phải là nghiệm của hệ. Chia hai vế phương trình (1) và (2) cho y
ta có hệ tương đương sau
x2
1
x y 4 x2
1 u v 2
x2
1 Đặt u= ; v=x+y-2 ta có hệ sauy uv 1 Giải hệ tìm u,v
( )(x y 2) 1
y
sau đó tìm x, y.
Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau
4xy 4(x2
y2
)
3
7
x y
2
Điều kiện x+y 0
2x
1
3
x y
Khi đó ta có hệ sau
3
7
x y
2
Đặt u x y
1
;v x y
Với u 2
x y 1
x y
x y 3
x y
3u2
v2
13
Thay vào ta có
u v 3

10. 1
0
Giải hệ tìm u;v sau đó thay
vào tìm x; y

11. 1
1
x2
y2
1 x2
y2
208x2
y2
y x
Ví dụ 3) Giải hệ phương trình:
x3
y2
x 3x2
y2
3x 2y 1 0
2y3
xy2
y2
3x 3 0
x 1
3
x 1 y2
2y
Giải: Hệ phương trình tương đương với
x 1 y2
2y3
3 x 1
đặt u=x+1
u3
uy2
2y
Ta có hệ mới
uy2
2y3
3u
Dễ thấy u=y=0 là một nghiệm
Xét y 0 đặt u=ty thế vào hệ sau đó chia hai vế phương trình cho nhau ta được phương
trình một ẩn t.
( Đây là một biến thể của hệ phương trình đồng bậc)
x y 1 xy
18xy
Ví dụ 4) Giải hệ phương trình:
Giải: Ta có x=y=0 lànghiệm. Xét xy 0. Hệ phương trình tương đương với
x
y 1
1
18
xy 1 1 u v 18
. Đặt u x ,v y ta được 2 2
x2
y2
1
1
208 x y u v 208
x2
y2
x y 1 1
5
Ví dụ 5)Giải hệ phương trình xy
Giải:
Điều kiện
xy
1
4
xy
xy 0. Đặt u x
1
,v y
1
ta được hệ
u v 5
y x
x y
x y 15
Ví dụ 6) Giải hệ phương trình :
uv 6
x2 y2 x2
y2
85
y2
x2
Giải: Đặt u
x y
,v x y .Ta có:
y x
x2
y2
u2
2
y2
x2
x2
y2
x y
2
2xy v2
2xy

12. 1
2
x
u
x2
y2
xy
u.xy x2
y2
2
Suy ra u.xy v2
2xy xy
v
u 2
Suy ra x2
y2
v2 2v2
uv2
15v ( vì uv=15)
uv 15
u 2 u 2 u 2
Ta được hệ
u2
2
15v
85
u 2
x2
y 2y x 4xy
Ví dụ 7) Giải hệ: 1 1 x
Giải: Điều kiện
2
xy 0.
xy y
3
x
1 1 1
4
hệ phương trình tương đương với
x x y
.
x
1 1 1
4
x x y
Đặt u x
1
,v
1 1
ta được:
u v 4 u 2
x x y uv 4
x
1
2
v 2
x
Hệ phương trình tương đương với
1 1 2
x y
x 1, y 1
III) PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ
Loại 1) Một phương trình của hệ có dạng f(x)=f(y). Một phương trình cho ta biết tập
giá trị của x hoặc y. Từ đó suy ra hàm f(x) đơn điệu suy ra x=y
Ví dụ 1) Giải hệ phương trình sau
x3
5x y3
5
y
x8
y4
1
1
2
Từ phương trình (2) ta suy ra x , y 1 Xét phương trình f (x) x3
5x với
x 1;1 ; f '(x) 3x2
5 0 x 1;1 nên f(x) là hàm nghịch biến suy ra x=y thay vào
phương trình (2) ta dễ dàng giải được nghiệm
Loại 2) Hệ đối xứng mà sau khi biến đổi thừơng đưa về dạng f(x)=f(y) hoặc f(x)=0
trong đó f là hàm đơn điệu
Ví dụ 1) Giải hệ phương trình sau
x y

13. 1
3
x2
2x 2 3y 1
1
y2
2y 2 3x 1
1

14. 1
4
1 2
y x
2
u
HD: Đặt x-1=u; y-1=v ta có hệ
v
u2
1 3v
v2
1 3u
Trừ theo vế hai phương trình trên ta được
u u2
1 3u
v v2
1 3v
Xét hàm số
f (x) x x2
1 3x
; f '(x) 1
x
x2
1
3x
ln3 0 x u v . Thay vào (1) ta có
u u2
1 3u
ln u u2
1 u ln3; f (u) ln(u u2
1) u ln3 ta có
1
f '(u)
u
u
u2
1
ln 3
u2
1
1
u2
1
ln3 0 u f
(u)
là hàm số nghịch biến. Ta có
khi u=0 thì f(0)=0 nên u=v=0 là nghiệm duy nhất x=y=1 là nghiệm duy nhất của hệ
ban đầu
x3
3x2
2 y3
3y 2
Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau:
log
x
2 ylog x 2011
y 1 x 2
Giải: Đặt y=u-1 thay vào phương trình (1) của hệ ta có
toán xác định khi
0 y 1
0 x 2
x3
3x2
u3
3u2
. Ta thấy bài
x 2
y
1
Trong cả hai trường hợp ta thấy hàm số f (x) x3
3x2
f '(x) 3x(x 2)
luôn đơn điệu nên
Ta có x u x y 1 thay vào phương trình (2) của hệ ta có x=2011 là nghiệm.
Chú ý: Trong bài tập này ta cũng có thể biến đổi trực tiếp phương trình đầu của hệ về
dạng
x3
3x2
y 1
3
3(y 1)2
4x2
1 x (y 3) 5 2y 0
Ví dụ 3) Giải hệ phương trình sau:
4x2
y2
2 3 4x
7
HD: Đặt
5 t2
5 2y t y thay vào phương trình (1) của hệ ta có
2
4x3
x t(3
5 t
2
) 8x3
2x t3
t Xét f (x) x3
x f '(x) 3x2
1 suy ra hàm
5 4x2
số f (x) luôn đồng biến từ đó suy ra t 2x 5 2y 2x y thế vào
2
phương trình (2) của hệ ta có

15. 10
2
g(x) 4x2 5 4x 2
2 3 4x 7 0 với x 0;
3
.
2 4
Dễ thấy x=0 hoặc x=3/4 đều không phải là nghiệm
g '(x) 8x 8x
5
2x2 4
4x(4x2
3)
4
0 với x 0;
3
Ta có
2 3 4x 3 4x 4
g(
1
) 0 x
1
; y
2
2 2
là nghiệm duy nhất của hệ.
IV) PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Với phương pháp này học sinh cần quan sát nắm chắc các biểu thức không âm trong
hệ, qua đó vận dụng các bất đẳng thức để đánh giá
Ví dụ 1) Giải hệ phương trình
x
y
2xy
3x2
2x 9
2xy
3
y2
2y 9
x2
y
y2
x
HD:Cộng 2 vế của hai phương trình với nhau ta có
2xy
3
x2
2x 9
2xy
3
y2
2y 9
x2
y2
Ta có x=y=0 là một nghiệm của hệ
Có 3
x2
2x 9 3
(x 1)2
8 2 VT 2xy;x2
y2
2xy VP 2xy . Dấu bằng
xảy ra khi và chỉ khi x=y=1
Kết luận: Hệ có 2 ngiệm x=y=0 và x=y=1
y x3
3x
4
Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau
x 2y3
6y 2
y 2 (x 1)2
(x
2)
Hệ đã cho tương đương với
x 2 2 y 1
2
(y
2)
1
(2)
Nếu y > 2 từ (1) suy ra x<2. Nhưng điều này là vô lý vì (2) vô nghiệm
Lập luận tương tự cho trường hợp y<2
Kết luận x=y=2 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
(1 x)(1 x2
)(1 x4
) 1 y7
Ví dụ 3) Giải hệ phương trình sau:
(1 y)(1 y2
)(1 y4
) 1 x7
HD: Dễ thấy x=y=0 hoặc x=y=-1 là nghiệm
Xét x>0 ta có
(1 x)(1 x2
)(1 x4
) 1 x x2
x3
x4
x5
x6
x7
1 x7

16. 11
y x
1 y y2
y3
y4
y5
y6
y7
1 x x2
x3
x4
x5
x6
y7
1 y7
x y
Vậy hệ vô nghiệm. Tương tự khi y>0 hệ cũng vô nghiệm
Xét x<-1 1 x7
0 1 y 0 y 1

17. 12
Ta có 1 (x x2
) (x3
x4
) (x5
x6
) x7
1 x7
y x . Tương tự khi y<-1 ta
có x>y . Vậy hệ vô nghiệm
Xét trường hợp -1<x<0 chứng minh tương tự ta có hệ vô nghiệm.
Kết luận: x=y=0 hoặc x=y=-1
V) GIẢI HỆ BẰNG CÁCH ĐƢA VỀ PHƢƠNG TRÌNH CÙNG BẬC
Cơ sỏ của pp này là khi 2 phƣơng trình của hệ có thể đƣa về dạng phƣơng trình
cùng bậc so cới x,y thì ta đặt x=ty sau đó đƣa về phƣơng trình một ẩn số và giải nhƣ
bình thƣờng
2x 3y x2
3xy
y2
Ví dụ1) Giải hệ phương trình sau
x2
2y2
x 2
y
HD: Rõ ràng ban đầu hệ không thuộc dạng đặc biệt nào cả nhưng quan sát kỹ Hs sẽ thấy
điểm mấu chốt của bài toán nằm ở vấn đề sau
Ta thấy x=y=0 là một nghiệm của hệ
Xét trường hợp x, y 0 hệ đã cho tương đương với
(2x+3y)(x2
+2y2
)=(x+2y)(x2
+3xy+y2
) x3
4y3
3xy2
2x2
y 0
Đặt x=ty thế vào phương trình ta có
t 1
t3
2t2
3t 4 0 (t 1)(t2
` t 4) 0 t
1 17
2
t
1 17
2
Từ đó ta giải hệ theo 3 trường hợp của t. Sau khi giải xong chú ý việc thử nghiệm để
chọn nghiệm chính xác
Ví dụ 2) Giải hệ phương trình sau:
2x2
y2
x2
2x 2
2x2
y x2
y2
2xy 1
2(xy)2
(x 1)2
3
HD: Ta thấy hệ tương đương với
2xy(x 1) xy2
1
Đặt xy=u;x+1=v Ta được hệ
đồng bậc
2u2
v2
3
2uv u2
1
Trong một số bài tập việc đưa về hệ đồng bậc nhiều khi đòi hỏi những kỹ thật tương đối
khó nhưng sau đó ta thường thu được cách giải hệ khá hay. Ta xét ví dụ sau:
x2
y2
xy 2y x 2
Ví dụ 3) Giải hệ phương trình sau:
2x2
y2
2y 2

18. 13
0
HD:Đặt x=u+a,y=y+b thay vào phương trình đầu của hệ ta có

19. 14
2
4
2
2 3 3
u a
2
v b
2
(u a)(v b) 2(v b) u a 0 Để hệ phương trình đòng bậc thì
điều kiện cần là trong phương trình không có số hạng bậc nhất.
2a b 1 0
Suy ra
2b a 2 0
a 0
b 1
x2
u2
xu 3
Đặt y=u-1 ta có hệ sau:
2x2
u2
1
MỘT SỐ BÀI TẬP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH
Biên soạn: NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088
x2
y x3
y xy2
xy
5
1)
4
2)
x
2x3
y x2
y2
2x 9
x
4
y2
xy 1 2x
5
4
x2
2xy 6x 6
3)
xy x y
x
2y2
x2
4)
y2
x y 4
x
2y y x 1 2x 2y x x y 1 y y 1 2
5) x
y2
xy 7
6)
1 x
y
19x3
x4
y4
x2
y2
21
y xy2
6x2
1
x
y 1
5
2
7) 2
xy
2 1
8)
xy
3y 2xy y2
x 4y 7
2x 2y 10
x
y 1
x2
y
49
9)
x y x y 2 x3
2xy2
12y 0
10)
x2
y2 x2
y2
4 8y2
x2
12
x
11)
x x2
y2
xx2
y2
x x2
y2

20. 15
2
2
x2
y2
17 4
12)
2
x
5xy
2y2
x y
1 0
x x y x2
xy 4 52
x2
y2
4xy 12x 12y 10 0
13) x
y2
x 2y 2
14)
2(x y) xy
x2
y2
2x 2y
11
x2
y2
3
x2
y2
15)
2xy
1x y 16)
y x2
y2
48
2 2
x y x2
y
x y x y 24
2xy 3x 4y 6 x y
2y
2
17)
x2
4y2
4x 12y 3
18) x
2xy 2y2
x 0

21. 16
25)
34)
x
x2
y2
xy 3
19)
x2
2xy 7x 5y
9
x2
y2
xy 3
21)
y2
xy 5x 4y
9
2x2
2y2
1 2x
y
23)
2y2
2x y 1
6xy
x2
y 2x 3y 6
20)
3xy x y 5
2x2
y2
x2
2x 2
22)
2x2
y x2
y2
2xy 1
x2
y2
y4
1 3y2
24)
xy2
x 2y
2y x 6y2
y x 2y 0
26)
x y x y 2 y
x x 2y x 3y 2 x 5y 3
x 2y xy 0 2x2
x
1
2
27) 28) y
x 1 2y 1 1 y y2
x 2y2
2
x2
y y 2 3 2 2 2
29) 1
30)
x y x
3x y
3x 2y 1
0
x2
x2
y2
3 2y3
xy2
y2
3x 3 0
31)
x2
x y x 3
y 3
(1)
x 32)
x y x y 1 x2
y2
(1)
x y x x 3(2) x y 1(2)
4xy 4(x2
y2
)
33)
3
7
x y
2 x2
y 2y x 4xy
1 1 x
3
2x
1
3
x y
2
x
xy y
2xy x2
y
x
35)
y
x2
2x 2 3y 1
1
y2
2y 2 3x 1
1
36 )
y
3 x2
2x 9
2xy
3
y2
2y 9
y2
x
x y xy 2x y 5xy

22. 17
xy x2
y2
10
37)
x y xy 3x y
4xy
x2
y y3
x4
x6
39)
x4
y4
6x2
y2
41
38)
x3
4y y3
16x
40)
(x
2)
y 1 (x 1)2
1 y2
5(x2
1)
x2
y2
xy 1 4y
41)
y(x y)2
2(x2
1)
7y
x2
y2
x2
y2
1 2xy
42)
x x2
y xy y xy2
1

23. 18
2
3 3
3 2 3
4x2
x x (y 3) 5 2y
0
x 3x y 3y 2
43)
4x2
y2
2 3 4x
7
ex y sin x
44) log
x
2
y
log
y
1
y 1 3
x x
3
x 2
45) sin y x, y 0;
4
3 8x2
3 1 6 2y2
2y 1 8
y 1 x2
1 42x y
51 2x y
1 22x y 1
2 x
2y
xy
3
46) y3
4x 1 ln y2
2x 0 47)
2
(x2
y 2x)2
2x2
y 1 4x 0
2 1
2
2x 1
48)
8 y
4 2
3(2 y x) 49)
x
2
y2
xy 2y x 2
2 3
2(x y) x y
7
2x2
2 y2
2y
2 2
x2
2y2
2x 8y 6
0
50)
x2
xy y 4x 1 0
x2
y2
2x 3
x2
xy y2
3
51)
x3
2y3
y 2x
x2
y2
xy 3
52)
2(x3
y3
) 6x2
5 3(x2
y2
)
53) x5
y5
x y
3
1
7
x2
y2
5
54)
55)
x2
8x 9 3 xy 12 6x 1
x4
y4
6x2
y2
20xy
81
2(x y)2
10x 6y 12 y x 2
y2
(4x 1)2 3
4x(8x
1)
y y 2x xy x y
56)57)
6 3 2 2 2
1
40x2
x
y
14x 1 4xy3
y3
2x2
1 2x y
2
3x 1
2
1
2

24. 19
x y
58)
7y 1
1
4 2
x y
Trong bài viết có sử dụng một số tƣ liệu trích từ bài viết của thầy Nguyễn Minh
Nhiên, thầy Nguyễn Tất Thu.Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy.