Phuong trinh dao ham rieng

1. PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chương 1.
I. Đưa phương trình về dạng chính tắc và phân dạng
Cho phương trình: aU xx + bU xy + cU yy + F( x , y, U, U x , U y ) = 0
Xét phương trình đặc trưng: a ( y' ) 2 − by'+c = 0 và ∆ = b 2 − 4ac
* Nhận dạng phương trình chính tắc:
Nếu: ∆ > 0 thì pt chính tắc có dạng U αβ = F1 (α β U, U α , U β ) ,
, , thuộc loại
hyperbol.
∆ < 0 thì pt chính tắc có dạng U αα + U ββ = F2 (α, β, U, U α , U β ) , thuộc
loại ellip.
∆ = 0 thì pt chính tắc có dạng U ββ = F3 (α β U, U α, U β ) , thuộc loại
, ,
parabol.
* Tìm phương trình chính tắc:
- Giải phương trình đặc trưng: a ( y' ) 2 − by'+c = 0 (*)
Trường hợp 1. ∆ > 0 . Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt y + f ( x ) = C1
và y + g( x ) = C 2 . Đặt α( x , y) = y + f ( x ); β( x , y) = y + g ( x )
Trường hợp 2. ∆ < 0 . Phương trình (*) có 2 nghiệm phức liên hợp
f ( x , y) ± g ( x ).i = C . Đặt α( x , y) = f ( x , y); β( x , y) = g ( x )
Trường hợp 3. ∆ = 0 . Phương trình (*) có nghiệm kép y + f (x) = C . Đặt
D(α, β)
α( x , y) = y + f ( x ) và chọn β x , y) = g ( x , y)
( thỏa mãn ≠0 .
D ( x , y)
- Sử dụng phương pháp đổi biến đưa phương trình về dạng chính tắc.
II. Giải phương trình vi phân tìm nghiệm tổng quát
- Đưa phương trình về dạng chính tắc.
- Giải phương trình chính tắc tìm nghiệm tổng quát.
- Thay αβ bởi
, x, y ta được phương trình cần tìm.
1

2. Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOL
I. Bài toán Cauchy
 U tt = a 2 U xx + f ( x, t ); (x, t ) ∈ R × ( 0,+ ∞ )

 U(x,0) = g(x )
 U (x,0) = h (x)
 t
Phương trình nghiệm tổng quát như sau:
x +at t x +aη
1
U( x , t ) = [ g ( x + at ) + g( x − at )] + 1 ∫ h ( y)dy + 1 ∫ ∫ f (ξ, η) dξdη
2 2a x −at 2a 0 x −aη
II. Bài toán biên ban đầu
 U tt = a 2 U xx + f (x, t ); ( x, t ) ∈ [ 0, l] × ( 0,+ ∞ )

 U(x,0) = g(x ); U t ( x,0) = h ( x )
 U(0, t ) = U(l, t ) = 0

Trường hợp 1. f ( x, t ) = 0 , ta có công thức nghiệm:
∞
 nπa nπa  nπ
U ( x, t ) = ∑  A n cos t + B n sin t  sin x
n =1  l l  l
2l nπ 2 l nπ
Trong đó: A n = ∫
l0
g( x ).sin
l
xdx ; B n = ∫ h ( x ).sin l xdx
nπa 0
Trường hợp 2. f ( x, t ) ≠ 0 , ta có công thức nghiệm:
∞
nπ
U ( x , t ) = ∑Tn ( t ) sin x
n=1 l
2 t nπa l
nπ
Trong đó: Tn = ∫
nπa 0
sin
l
( t − τ)dτ∫ f ( x, τ).sin
l
xdx
0
l t nπa 2l nπ
= ∫
nπa 0
f n ( τ) sin
l
( t − τ)dτ với f n ( τ) = ∫ f ( x , τ).sin
l 0 l
xdx
2

3. Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH ELLIP
I. Bài toán Dirichlet trong hình tròn S bán kính R
 ∆ U = U xx + U yy = 0

 U ∂ S = f (S)
Bằng cách đổi tọa độ cực x = r cos θ y = r sin θ
; ta có công thức nghiệm tổng
n
∞
r 
quát: U (r , θ) = ∑  ( A n cos nθ + B n sin nθ) trong đó:
n =0  R 
1 2π 1 2π 1 2π
2π ∫
A0 = f (θ)dθ; A n = ∫ f (θ) cos nθdθ ; . B n = ∫ f (θ) sin nθdθ
0 π0 π0
II. Bài toán Dirichlet trong hình chữ nhật
 U xx + U yy = 0; ( x, y) ∈ [ 0, a ] × [ 0, b]

 U(x,0) = U(x, b) = g( x)
 U(0, y) = U(a, y) = h( y)

Ta có phương trình nghiệm tổng quát:
∞  nπ
y −
nπ
y  nπ
U ( x , y) = ∑  A n e a + B n e a .sin
 x
n =1   a
 U(x,0) = U(x, b) = g(x)
Giải hệ phương trình  để tìm A n , Bn .
 U(0, y) = U(a, y) = h( y)
3

4. Chương 4. PHƯƠNG TRÌNH PARABOL
I. Bài toán Cauchy
 U t = a 2 U xx , (x, t) ∈ R × (0, + ∞ )

 U ( x ,0 ) = g ( x )
+∞ ( ξ−x ) 2
1 −
Ta có công thức nghiệm: U ( x , t ) =
2a πt
∫e 4a 2t
.g (ξ)dξ
−∞
II. Bài toán biên ban đầu thứ nhất
 U t = a 2 U xx + f ( x, t ); (x, t ) ∈ Vt

 U(x,0) = g( x ); 0 ≤ x ≤ l
 U(0, t ) = U(l, t ) = 0

Trường hợp 1. f ( x, t ) = 0 , ta có phương trình nghiệm tổng quát:
2
 nπa 
+∞ −  t nπ
U ( x , t ) = ∑C n e  l 
.sin x
n =1 l
2l nπ
Trong đó: C n = ∫ g ( x ).sin xdx
l0 l
Trường hợp 2. f ( x, t ) ≠ 0 , ta có phương trình nghiệm tổng quát:
+∞
nπ
U ( x , t ) = ∑Tn ( t ).sin x
n=1 l
2
l t −
 nπa 
 ( t −τ) 2l nπ
Trong đó: Tn ( t ) =
nπa ∫
f n ( τ).e  l 
dτ với f n ( τ) = ∫ f ( x, τ).sin l xdx
l 0
0
4