Circonferenza passante per 3 punti

1. Circonferenza passante per 3 punti
Prof. Santi Caltabiano

2. Circonferenza passante per tre punti
Supponiamo di avere tre punti del piano non allineati:
e che ci venga chiesto di trovare l’equazione della circonferenza passante
per tali punti.
A(x1 ; y1), B(x2 ; y2), C(x3 ; y3)
Per risolvere questo problema, si sfrutta la condizione di appartenenza dei
punti A, B e C alla circonferenza e cioè che la circonferenza passa per tali
punti e che pertanto devono soddisfare l’equazione della circonferenza.
Consideriamo l’equazione della circonferenza in forma canonica:
022
 cbyaxyx
La circonferenza passa per A(x1 ; y1) 0)()()()( 11
2
1
2
1  cybxayx
La circonferenza passa per B(x2 ; y2)
La circonferenza passa per C(x3 ; y3)
Continua
0)()()()( 22
2
2
2
2  cybxayx
0)()()()( 33
2
3
2
3  cybxayx

3. Circonferenza passante per tre punti
Otteniamo così un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a,b e c:
Risolvendo questo sistema si ottengono i valori a, b e c che sostituiti
nell’equazione generale della circonferenza ci danno l’equazione della
circonferenza passante per i punti A, B e C.








0
0
0
2
3
2
333
2
2
2
222
2
1
2
111
cyxbyax
cyxbyax
cyxbyax
Per verificare che l’equazione trovata sia effettivamente corretta, basta
sostituire le coordinate dei punti A, B e C.

4. Circonferenza passante per tre punti
Esercizio 01
Svolgimento








02
0
052
cba
c
cba
Trovare la circonferenza passante per i punti: A(1 ; 2), B(0 ; 0), C(1 ; 1).
L’equazione generale della circonferenza è:
Passa per A(1; 2) 0520)2()1()2()1( 22
 cbacba
Passa per B(0; 0) 00)0()0()0()0( 22
 ccba
Passa per C(1 ; 1) 020)1()1()1()1( 22
 cbacba
Quindi:
Continua
022
 cbyaxyx









02
052
0
cba
cba
c









02
052
0
ba
ba
c

5. Circonferenza passante per tre punti
Quindi, in definitiva, l’equazione della circonferenza passante per A, B e C è:
0322
 yxyx









02)52(
52
0
bb
ba
c









03
52
0
b
ba
c









3
1
0
b
a
c
Vogliamo verificare che l’equazione sia corretta (poiché potremmo aver
commesso degli errori di calcolo nella risoluzione del sistema). Verifichiamo
pertanto che le coordinate dei punti A, B e C soddisfano l’equazione trovata:
Verifico A(1; 2) 061410)2(3)1(1)2()1( 22

Verifico B(0; 0) 00)0(3)0(1)0()0( 22

Verifico C(1 ; 1) 031110)1(3)1(1)1()1( 22


6. Circonferenza passante per tre punti
Esercizio 02
Svolgimento








0822
01
052
cba
ca
cba
Trovare la circonferenza passante per i punti: A(2 ; 1), B(-1 ; 0), C(2 ; 2).
L’equazione generale della circonferenza è:
Passa per A(2; 1) 0520)1()2()1()2( 22
 cbacba
Passa per B(-1; 0) 010)0()1()0()1( 22
 cacba
Passa per C(2 ; 2) 08220)2()2()2()2( 22
 cbacba
Quindi:
Continua
022
 cbyaxyx








0822
052
01
cba
cba
ca








082)1(2
05)1(2
1
cbc
cbc
ca

7. Circonferenza passante per tre punti
Quindi, in definitiva, l’equazione della circonferenza passante per A, B e C è:
0
3
4
3
3
122
 yxyx








08222
0522
1
cbc
cbc
ca









01023
073
1
bc
bc
ca







010)73(23
73
"
cc
cb







0101463
"
"
cc 






043
"
"
c


















3
4
3747
3
4
3
3
1
1
3
4
c
b
a

8. Circonferenza passante per tre punti
Esercizio 03
Assegnati i punti: A(2 ; 2), B(-2 ; 2), C(3 ; -2).
a) Trovare l’equazione della circonferenza passante per i punti dati;
b) Verificare che l’equazione trovata sia corretta (suggerimento: verificare
che l’equazione sia soddisfatta dalle coordinate dei punti A, B e C);
c) Trovare il centro ed il raggio;
d) Trovare il diametro;
e) Trovare area e perimetro;
f) Trovare la lunghezza della corda BC;
g) La corda AC è un diametro?
h) Verificare se la circonferenza passa peri i punti P(-3 ; -2) e Q(1 ; 1);
Continua

9. Circonferenza passante per tre punti
Svolgimento a)








01323
0822
0822
cba
cba
cba
L’equazione generale della circonferenza è:
Passa per A(2; 2) 08220)2()2()2()2( 22
 cbacba
Passa per B(-2; 2) 08220)2()2()2()2( 22
 cbacba
Passa per C(3 ; -2) 013230)2()3()2()3( 22
 cbacba
Quindi:
022
 cbyaxyx









013)822(23
08)822(22
822
baba
baba
bac







054
04
"
ba
a







0540
0
"
b
a








4
5
"
"
b 










4
5
0
2
21
8
2
5
8
4
5
2)0(2
b
a
c
Continua

10. Circonferenza passante per tre punti
Quindi, in definitiva, l’equazione della circonferenza passante per A, B e C è:
0
2
21
4
522
 yyx
Svolgimento b)
Verifico A(2; 2) 
2
21
2
5
44
2
21
)2(
4
5
)2()2( 22
Bisogna sostituire, al primo membro dell’equazione della circonferenza, le
coordinate rispettivamente dei punti A, B e C e verificare che il risultato sia 0:
Verifico B(-2; 2) 
2
21
2
5
44
2
21
)2(
4
5
)2()2( 22
Verifico C(3 ; -2) 
2
21
2
5
49
2
21
)2(
4
5
)2()3( 22
0
2
0
2
21588



0
2
0
2
21588



0
2
0
2
215818



Continua

11. Circonferenza passante per tre punti
Svolgimento c)
Trovo il centro:
0
2
0
2

a

8
5
2
)4/5(
2

b








8
5
;0C
Trovo il raggio:
  














16
67225
2
1
42
16
25
2
1
2
21
4
4
5
0
2
1
4
2
1
2
222
cbar
8
697
4
697
2
1
16
697
2
1

Continua

12. Circonferenza passante per tre punti
Svolgimento d)
Calcolo il diametro:
4
697
8
697
22  rd
Svolgimento e)
Calcolo l’area:
2,3414,3
64
697
)14,3(
8
697
2
2








 rA
Calcolo il perimetro:
72.20
8
697
14,322  rP 
Svolgimento f)
        41162545)2(232
2222
BC
Continua

13. Circonferenza passante per tre punti
Svolgimento g)
Per verificare se AC è un diametro o meno basta calcolare la sua lunghezza e
confrontarla con quella del diametro trovata nel punto d):
17161)4()1())2(2()32( 2222
AC
Non eguagliando la lunghezza del diametro, non può essere un diametro.
Svolgimento h)
Verifichiamo se la circonferenza passa per P(-3;-2):
0
2
0
2
215818
2
21
2
5
49
2
21
)2(
4
5
)2()3( 22



Quindi la circonferenza passa per P.
Verifichiamo se la circonferenza passa per Q(1;1):
06
2
12
2
21522
2
21
2
5
11
2
21
)1(
4
5
)1()1( 22



Quindi la circonferenza non passa per Q.

14. FINE DELLA LEZIONE