Presentazione sulla storia dei problemi classici dell'antichità e della loro importanza per la Geometria e lo studio delle curve algebriche.

1. I problemi classici
dell’antichità
Secondo gli antichi greci le costruzioni
geometriche e la matematica sono
elementi fondamentali di civiltà.
Lo si può ricavare da molte
testimonianze, tra le quali basti citare
quanto Platone afferma nella
“Repubblica” dove si legge che un
buon cittadino si deve applicare allo
studio della geometria: [ Libro
VIII, 526c ) ].
Dobbiamo sottolineare che l’elemento
di distinzione tra la geometria greca e
quella babilonese ed egiziana consiste
nella sua natura rivolta non tanto
all’applicazione del calcolo, ma
piuttosto alla ricerca delle
figure, individuate dalle loro proprietà
specifiche. Questo aspetto si riconosce
in modo emblematico nell’opera di
Euclide, gli Elementi, per il suo
carattere teorico, mai rivolto alla
pratica e priva di ogni regola di misura
o di calcolo.
I leoni di Delo

2. I tre problemi di costruzione con riga e compasso, per la cui soluzione lo sforzo dei geometri portò comunque
ad altri importanti risultati matematici, sono in realtà estensione di problemi già risolti dai Greci; essere in
grado di bisecare l’angolo poteva porre il problema della tripartizione, così come l’essere in grado di ricavare il
quadrato di area doppia di quella di un quadrato dato poteva portare all’analogo problema per il cubo; la
quadratura del cerchio poi, che affianca e segue il problema della rettificazione della
circonferenza, appartiene alla tipologia del problema greco che consiste nella costruzione di una figura di
forma data, avente area uguale a quella di un’altra data figura; in particolare la duplicazione del cubo fa
parte di quei problemi che cercano di estendere alle figure solide i risultati ottenuti per le figure piane.
Il problema della duplicazione del cubo consiste nel determinare il lato di un cubo il cui volume è doppio di
quello di un dato cubo. Sia a la misura del lato del cubo dato e x quella del lato del cubo di volume doppio. Si
ha , cioè .
Si tratta di un problema algebrico di terzo grado. L’equazione ottenuta è irriducibile e il problema non è
risolubile per via elementare.
Diocle di Caristo, matematico e fisico greco, nato intorno al 240 a.C. e morto verso il 180 a.C., scrisse un
trattato Περὶ πυρέιων (Sugli specchi ustori), del quale ci sono giunti due brani attraverso la traduzione araba
e anche attraverso due riassunti mediante Eutocio, nel suo commento all’opera di Archimede “Sulla sfera e il
cilindro”. In uno di questi frammenti è trattata la soluzione del problema della duplicazione del cubo
che, all'epoca, insieme alla quadratura del cerchio e alla trisezione dell'angolo, formavano i cosiddetti
Problemi di Delo. La sua soluzione, originale, procede per individuazione di due medi
proporzionali, ricorrendo ad una curva, oggi nota come Cissoide di Diocle.
Questo problema è collegato a quello analogo, trattato già nel V sec. a.C. da Ippocrate di Chio, per riduzione
del problema stesso a quello di trovare due medi proporzionali a due segmenti dati, il maggiore dei quali è
doppio del minore.
x a
3 3
2 x a
3 3
2 0

3. Data una circonferenza ( base della cissoide) di diametro CD, sia DT la tangente in D alla circonferenza. Le
semirette s uscenti da C incontrano in un altro punto E la circonferenza e nel punto F la retta DT. Su
questa semiretta si prenda un punto M tale che CM= EF. Il luogo dei punti M al variare del punto E sulla
circonferenza è una cissoide.
La sua equazione canonica è, pertanto, , dove r è il raggio della circonferenza. In
coordinate polari la sua equazione diviene: . Per r=1 si ottiene il seguente grafico:
x
y
r x
3
2
2
s nd r e tg2

4. Si consideri la cissoide relativa alla circonferenza di diametro AB=a e quindi di equazione:
Riportiamo sulla tangente in A alla circonferenza un segmento AS=2a. Congiungiamo S con B e detta U
l’intersezione di SB con la cissoide, uniamo U con A; sia T l’intersezione di AU con la tangente in B alla
circonferenza ( asintoto della cissoide).
( )x a x y
3
2