Control digital: Tema 1. introducción al control digital

w w w. m a t a m o r o s . t e c n m . m x
Tecnológico Nacional de
México
Instituto Tecnológico de
Matamoros
CONTROL DIGITAL
TEMA I: INTRODUCCIÓN AL CONTROL DIGITAL

Comprende y aplica los conceptos introductorios a los
sistemas de control digital.
Competencia Específica

SUBTEMAS
1.1. Introducción a sistemas de control digital.
1.2. Muestreadores y Retenedores.
1.3. Teorema de muestreo y Aliasing.
1.4. Convertidores D/A y A/D.

1.1 Introducción a los sistemas de control
digital
En los últimos 30 años, la tecnología de los sistemas de
control automático se ha caracterizado por la sustitución
de los lazos de control análogo por sistemas de control
digital.
El empleo de una computadora como elemento de
control ofrece la ventaja de poder cambiar la acción de
control con sólo modificar algunas instrucciones de un
programa (algoritmo de control), además, la
computadora puede controlar varios procesos
simultáneamente y puede realizar a la vez las funciones
de procesamiento de datos, supervisión y monitoreo.

Sistemas de tiempo discreto
Los sistemas de tiempo discreto, son sistemas
dinámicos en los cuales una o más variables pueden
variar únicamente en ciertos instantes, llamados
instantes de muestreo, que se indican por kT (k = 0, 1, 2,
…) y que pueden especificar el momento en el cual se
realiza una medición física o el tiempo en el cual se lee
la memoria de la computadora.
Los sistemas de tiempo discreto se describen mediante
un conjunto de ecuaciones en diferencias y se analizan
utilizando como herramienta matemática la
Transformada z.

La modelación de los sistemas discretos se puede
realizar tomando como base el concepto de función de
transferencia o el concepto de variables de estado.
Lazo de control digital básico
Actualmente, el control por computadora se utiliza
ampliamente en la regulación de procesos químicos, en
el control de máquinas y herramientas, en aviones y en
muchos otros procesos industriales y de servicios.

Definición de términos
1. Planta y Proceso: Una planta es cualquier objeto
físico que se va a controlar (un intercambiador de
calor, un reactor químico, una caldera, una torre de
destilación, etc.). Un proceso puede ser una
operación progresiva en la cual se presenta una
serie de cambios que se suceden uno a otro de
manera relativamente fija y que conducen a un
resultado determinado. Los procesos pueden ser
químicos, biológicos, económicos, etc.
2. Elemento sensor primario: Es el elemento que está
en contacto con la variable que se mide y utiliza o
absorbe energía de ella para dar al sistema de
medición una indicación que depende de la cantidad
medida.

3. Transmisor: Es un dispositivo que capta la variable
del proceso a través del elemento sensor primario y
la transmite en forma de señal estándar. Esta señal
puede ser neumática (3 a 15 PSI) o electrónica (4 a
20 mA).
4. Transductor: Es un instrumento que convierte una
señal de entrada en una señal de salida cuya
naturaleza puede ser o no ser diferente de la
correspondiente a la señal de entrada.
5. Convertidor: Es un dispositivo que recibe una señal
de entrada neumática (3-15 PSI) o electrónica (4-20
mA), procedente de un instrumento y, después de
modificarla, genera una señal de salida estándar.

6. Elemento final de control (EFC): Es un dispositivo
que recibe la señal del controlador y modifica el
caudal del agente o fluido de control. En sistemas de
control neumático, el EFC es una válvula neumática
que efectúa su carrera completa cuando la presión
cambia de 3 a 15 PSI. En sistemas de control
electrónico o control digital la válvula es accionada a
través de un convertidor de señal electrónica o digital
a presión que convierte la señal electrónica de 4 a 20
mA o la señal digital, en una señal neumática de 3 a
15 PSI.

1.2 Muestreadores y Retenedores
Muestreador
Un muestreador es un elemento que consiste
simplemente en un interruptor que se cierra cada T
segundos para admitir una señal de entrada. La
duración del muestreo debe ser mucho menor que la
constante de tiempo más significativa de la planta o
proceso. La función del muestreador es convertir una
señal continua en el tiempo (análoga) en un tren de
pulsos en los instantes de muestreo 0, T, 2T… en donde
T es el periodo de muestreo. Entre dos instantes de
muestreo no se transmite información.

a) Muestreador; b) Entrada y salida del muestreador
Teniendo en cuenta que la salida del muestreador es un
tren de pulsos ponderado, es posible relacionar la señal
continua x(t) con la salida del muestreador mediante la
ecuación:

Si la señal continua es muestreada en forma periódica,
la señal de salida del muestreador se puede expresar
como:
En la práctica, las señales o funciones temporales que
se consideran en los sistemas de control son cero para
t<0, entonces:

De la última ecuación se obtiene:
Cuya transformada de Laplace está dada por:
Es decir:
Esta última ecuación es poco práctica para aplicarla en
el análisis de sistemas de control pues genera una serie
infinita. Si se quiere expresar en forma cerrada, se
puede utilizar la integral de convolución de la cual se
obtiene como resultado:

Retenedores
En la práctica, la señal en forma muestreada no se debe
aplicar directamente a la planta por lo tanto es necesario
incluir, después del muestreador, un dispositivo que
reconstruya la señal. Este dispositivo se conoce con el
nombre de retenedor y su finalidad es convertir la señal
muestreada en una señal continua de tal forma que sea
igual o lo más aproximada posible a la señal aplicada al
muestreador.
El retenedor más elemental convierte la señal
muestreada en una señal que es constante entre dos
instantes de muestreo consecutivos, este tipo de
retenedor se conoce como “retenedor de orden cero” y
es comúnmente el más utilizado.

La exactitud del retenedor de orden cero en la
reconstrucción de la señal depende de la magnitud del
periodo de muestreo T.
a) Conjunto muestreador-retenedor; b) Señales de entrada y
salida en el muestreador y retenedor.

La función de transferencia de un retenedor de orden
cero se puede deducir teniendo en cuenta que la
entrada al retenedor es el tren de pulsos:
La transformada de Laplace de la ecuación anterior es:
La salida del retenedor se puede expresar como:
La transformada de Laplace de la ecuación anterior es:
Pero: Entonces:

De la ecuación anterior se obtiene la Función de
Transferencia del retenedor de orden cero como:
En la figura se muestra el diagrama básico de un circuito
de muestreo y retención. Todos los componentes están
dentro de un circuito integrado excepto el condensador
C que se conecta externamente.
Circuito básico para muestreo y retención

EJEMPLO 1
La función f(t) = e-2t + 3 se muestrea cada 0.5 seg.
Calcular: a) La función muestreada f*(t), b) La
transformada de Laplace F*(s) de f*(t), c) Si se hace
pasar por un retenedor de orden cero, obtenga una
expresión para la señal de salida del retenedor.
SOLUCIÓN
(Ver solución Ejemplo 1).

1.3 Teorema de muestreo y Aliasing
Si se desea muestrear y reconstruir una señal x(t) puede
aplicarse el Teorema de Shannon, según el cual, si la
frecuencia de muestreo es suficientemente alta,
comparada con la componente de más alta frecuencia
que se incluye en la señal x(t), las características de
amplitud de esta señal se pueden preservar en la
envolvente de la señal muestreada, x*(t).
Para reconstruir x(t), a partir de x*(t), existe una
frecuencia mínima que la operación de muestreo debe
satisfacer, la cual, se especifica en el Teorema del
Muestreo.

TEOREMA DE MUESTREO DE SHANNON
Si la frecuencia de muestreo s, definida como 2/T, (T
es el periodo de muestreo,) es mayor que 2c, es decir,
si: s2c, (c es la componente de más alta frecuencia
de la señal x(t)), dicha señal se puede reconstruir
completamente a partir de la señal x*(t). Se asume que
la señal x(t) no contiene componentes de frecuencia
superiores a c.
Espectro de frecuencia de x(t)

En la práctica, T se puede estimar tomando como base
el ancho de banda del sistema en lazo cerrado o el
tiempo de crecimiento o el tiempo de establecimiento
requerido para la respuesta transitoria.
Como regla general, el sistema debe ser muestreado
entre 8 y 12 veces durante un ciclo de la frecuencia
amortiguada de la respuesta transitoria si el sistema es
subamortiguado o entre 8 y 12 veces durante el tiempo
de establecimiento de la respuesta si el sistema es
sobreamortiguado. También, la frecuencia de muestreo
puede estar entre 8 y 12 veces el ancho de banda del
sistema en lazo cerrado.

En general, para estimar T se puede aplicar uno de los
siguientes criterios:
a) Si c es el ancho de banda del sistema en lazo
cerrado, s se puede estimar en el intervalo:
8cs12c T=2/s
a) T se puede evaluar a partir de la constante de tiempo
equivalente del sistema en lazo cerrado tomando
como base el criterio:
0.2eqT0.6eq
c) Si ts es el tiempo de establecimiento del sistema en
lazo cerrado, T puede estar dentro del intervalo:
0.05tsT0.15ts

d) Finalmente, se sugiere que T esté dentro del
intervalo dado por:
0.0625TuT0.125Tu
En donde Tu es el periodo de oscilación del sistema en
condiciones de estabilidad crítica.
ALIASING O CONFUSIÓN DE FRECUENCIA
Es un fenómeno que se produce cuando se muestrea
una señal sin tener en cuenta la condición del Teorema
de Shannon, es decir, cuando se muestrea una señal a
una frecuencia menor que el doble de la más alta
contenida en ella.

Al intentar reconstruir la señal original se pueden
obtener frecuencias que no contenía la señal original, es
decir, se confunde una frecuencia f1 con otra f2, por ello
a f2 se le llama el alias de f1.
Aliasing

Si la señal que se muestrea tiene un ruido de alta
frecuencia, el proceso de muestreo traslada esta
componente de alta frecuencia a la zona de frecuencias
bajas. El resultado es que la señal muestreada tiene un
ruido de baja frecuencia que se debe al ruido de alta
frecuencia de la señal continua original. Para evitar este
efecto negativo es necesario interponer entre la señal
continua (sensor) y el muestreador, un filtro análogo
llamado filtro “antialiasing”.
Filtro antialiasing

El polo del filtro debe ser suficientemente mayor que los
polos dominantes en bucle cerrado, pero
suficientemente menor que la frecuencia del ruido. Una
orientación puede ser:
5BCfruido/5
EJEMPLO 2
Para el sistema de control mostrado en la figura con
K=1, determine a) El ancho de banda del sistema en
lazo cerrado b) El rango dentro del cual se puede
seleccionar T, utilice dos métodos diferentes. c) Elabore
un programa en Matlab que resuelva el problema
planteado. Considere que los tiempos están en
segundos.

SOLUCIÓN
(Ver solución Ejemplo 2 y mostrar el programa de
Matlab)
EJEMPLO 3
Se tiene una señal de 25 Hz con componentes de ruido
en 60, 150 y 510 Hz, y se muestrea a una frecuencia de
100 Hz. ¿Qué frecuencias alias se producen en el
proceso de muestreo?
SOLUCIÓN
(Ver solución Ejemplo 3)

1.4 Convertidores D/A y A/D
Convertidores D/A
La conversión de una señal digital a su correspondiente
análoga consiste en transformar la información
contenida en código digital (binario) en una señal
equivalente de voltaje ó de corriente proporcional al
valor digital.
Elementos básicos de un convertidor D/A

Características de un convertidor D/A
1. Resolución: Se puede definir de dos formas:
a) Es el número de valores distintos de salida análoga
que pueden ser suministrados por el convertidor. Para
un convertidor de n bits tenemos:
resolución = 2n
b) Es la razón de cambio en el voltaje de salida
producido por un cambio del bit menos significativo
(LSB) en la entrada digital.
resolución =
V0FS
2n − 1
Donde V0FS es el voltaje de salida a plena escala

2. Voltaje de salida a plena escala (V0FS). Es el voltaje
de salida producido cuando todas las entradas
digitales son unos.
3. Ecuación entrada-salida. Esta ecuación
proporciona la salida análoga ante cualquier entrada
digital y se obtiene al multiplicar la resolución por el
cambio en la entrada digital dada en bits menos
significativos.
V0 = resolución x D
Donde D es el valor en decimal de la entrada digital.
4. Precisión. Relaciona la salida real obtenida con la
salida esperada. La desviación máxima permitida es
de: 1LSB/2.

Convertidor D/A de resistencias ponderadas
Circuito de un convertidor de 4 bits
En el circuito de la figura el amplificador operacional se
emplea como un sumador inversor.

Las resistencias de la red están ponderadas en forma
binaria y cada una se conecta mediante un interruptor
electrónico al voltaje de referencia o a tierra, así: cuando
aparece un uno binario en el circuito de conmutación la
resistencia queda conectada al voltaje de referencia y
cuando aparece un cero queda conectada a tierra.
Análisis:
Si RF=R tenemos:

En general, si el convertidor D/A es de n bits y la
resistencia correspondiente al MSB es R, entonces la
resistencia correspondiente al LSB será 2n-1R. El voltaje
de salida se calcula con la ecuación:
Donde a0, a1, a2, …, an-1 toman el valor de uno o cero
según la entrada digital presente en el convertidor D/A.

Convertidor D/A con red R-2R
Red Escalera R-2R
La figura muestra una red escalera R-2R de 4 bits. Cada
entrada digital controla la posición de su interruptor de
corriente. Cada interruptor dirije la corriente a tierra real
(0) o tierra virtual (1).

La fuente de voltaje de referencia (Vref) ve como
equivalente de toda la red el valor de R, la cual, es
llamada resistencia característica de la red de escalera.
Entonces al analizar las corrientes tenemos lo siguiente:
Iref =
Vref
R
Como cada corriente se va dividiendo en partes iguales
el patrón que siguen es:
I3 =
Iref
2
, I2 =
I3
2
=
Iref
4
I1 =
I2
2
=
𝐼𝑟𝑒𝑓
8
, I0 =
I1
2
=
Iref
16
I0 es la corriente correspondiente al LSB.

La ecuación entrada-salida de la red escalera está dada
por:
Isal = I0D
Donde I0 es el mínimo valor de corriente de la red
(resolución de corriente) y D es el valor en decimal de la
entrada digital. De modo que:
I0 =
Iref
2n
=
Vref
2nR
Convertidor D/A de 4
bits con red R-2R

La salida de voltaje para el convertidor D/A de 4 bits con
red R-2R está dado por:
V0 = −IsalRF
El valor mínimo de voltaje de salida (resolución en
voltaje) está dado por:
V0 = −I0RF
El voltaje de salida análogo para cualquier entrada
digital está dado por:
V0 = −I0DRF = −
Vref
2nR
RFD

Convertidor D/A de 8 bits (DAC 08)
DAC 08 Operación unipolar

Para calcular la resolución en corriente la fórmula está
dada por:
resolución =
Vref
2nR
=
10
28(5K)
= 7.8125μA
Isal para cualquier entrada digital se calcula a partir de:
Isal = resolución x D
A partir de esto, la corriente de salida a plena escala
(IFS) se calcula mediante:
IFS = resolución x 255 = 7.8125μA 255 = 1.992mA
La suma de todas las corrientes de escalón en el DAC
08 es igual a IFS y esta suma se divide entre Isal e Isal.
Entonces:
Isal = IFS − Isal

Para calcular la resolución en voltaje, la fórmula está
dada por:
resolución =
Vref
2nR
RF =
10
28(5K)
5K = 39.06mV
El voltaje de salida para cualquier entrada digital se
calcula a partir de:
V0 = resolución x D = IsalRF
A partir de esto, el voltaje de salida a plena escala (V0FS)
se calcula mediante:
V0FS = resolución x 255 = 39.06mV 255 = 9.961V
Operación bipolar
En esta operación el AO convierte la diferencia entre Isal
e Isal en un voltaje V0 que puede ser positivo o negativo.

DAC 08 Operación bipolar

El voltaje de salida está dado por:
V0 = Isal − Isal RF
Isal hace positivo a V0 e Isal lo hace negativo. Si la
entrada digital aumenta 1 bit, Isal aumenta 1 LSB, pero
Isal deberá disminuir 1 LSB. En consecuencia, la
corriente de salida diferencial cambia 2 LSB, por lo que
el intervalo de salida bipolar es el doble de una salida
unipolar.
Dado el circuito de la figura anterior, calculemos V0 para
las entradas: 00000000, 01111111, 10000000 y
111111111:
Primero calculemos la resolución en corriente:
resolución =
Vref
2nR
=
10.24
28(5K)
= 8 μA

Luego calculemos la IFS:
IFS = 8μA 255 = 2.040mA
Para 00000000:
Isal = 8μA 0 = 0mA → Isal = IFS − Isal = 2.040mA
Entonces:
V0 = 0 − 2.040mA 5K = −10.2 V
Para 01111111:
Isal = 8μA 127 = 1.016mA → Isal = IFS − Isal = 1.024mA
Entonces:
V0 = 1.016mA − 1.024mA 5K = −0.04 V
Para 10000000:
Isal = 8μA 128 = 1.024mA → Isal = IFS − Isal = 1.016mA
Entonces:
V0 = 1.024mA − 1.016mA 5K = 0.04 V

Para 11111111:
Isal = 8μA 255 = 2.040mA → Isal = IFS − Isal = 0mA
Entonces:
V0 = 2.040mA − 0 5K = 10.2 V
NOTAS:
La salida negativa a escala completa es de -10.2 V y se
produce para una entrada digital que tenga solamente
ceros. Si la entrada es de solamente unos se origina la
salida positiva de escala completa que es de 10.2 V. Se
observa que V0 nunca llega exactamente a 0 V, por lo
que se tiene un cero positivo (0.04 V) y un cero negativo
(-0.04 V), los cuales, son los valores más próximos a
cero que se obtienen.

Convertidores A/D
El convertidor A/D transforma una señal análoga de
voltaje o de corriente en una señal digital o una palabra
codificada numéricamente. El convertidor A/D realiza
sobre la señal de entrada operaciones de muestreo y
retención, cuantificación y codificación.
En la operación de muestreo el dispositivo toma
muestras de la señal cada T segundos, luego retiene el
valor muestreado hasta que la conversión se complete.
Características del convertidor A/D
1. Resolución. También se puede definir de 2
maneras:

a) Es el número máximo de códigos de salida digital:
resolución = 2n
b) Es la razón de cambio del valor en el voltaje de
entrada (Vi) que se necesita para cambiar 1 LSB la
salida digital:
resolución =
ViFS
2n − 1
Donde ViFS es el voltaje de entrada a escala completa.
2. Voltaje de entrada a escala completa. Es el voltaje
de entrada que se requiere para producir una salida
digital de todos los unos.

3. Error de cuantificación. Es la incertidumbre
respecto al valor exacto de Vi cuando la salida es
cierto código digital. Su valor es de 1/2 LSB. Al
incrementar la cantidad de bits se logra una mejor
resolución y el error de cuantificación es menor.
4. Ecuación entrada-salida. Para un convertidor A/D,
esta ecuación en su forma más simple está dada por:
código de salida digital = equivalente binario de D
Donde D es el valor en decimal del código de salida
digital y se calcula a partir de:
D =
Vi
resolución

Tipos de Convertidores A/D
Existes tres tipos estándar clasificados de acuerdo a su
tiempo de conversión:
1. Integración Lenta. Requiere de 300ms para realizar
la conversión, se utiliza para medir voltajes de cd de
variación lenta.
2. Aproximaciones sucesivas. Tiene tiempos de
conversión de unos cuantos microsegundos y se
puede utilizar para digitalizar señales de audio.
3. Tipo Flash o paralelo. Son los más rápidos y se
pueden utilizar para digitalizar señales de video.

Convertidor A/D de Integración lenta o Doble
rampa.
Diagrama a bloques simplificado
T1: Fase integradora de señal:
• La unidad lógica conecta Vent a un integrador.

• V0 de integrador aumenta o disminuye de acuerdo a la
polaridad de Vent.
• La unidad de control fija 1000 pulsos de reloj para T1.
Para un reloj de 12KHz, T1 dura 83.33 ms.
• Si Vent=-100mV, V0 aumentará a 833mV. El máximo
valor de Vent=200mV con lo que V0 alcanzará un
máximo de ∓1666mV
T2: Fase integradora de referencia:
• La unidad lógica conecta un Cref al integrador. Este Cref
fue cargado previamente durante T1 a Vref=100mV.
Vref tiene polaridad opuesta a Vent. Entonces, V0 del
integrador volverá nuevamente a cero.
• Cuando V0 llega a cero el comparador le indica a la
unidad lógica que termine T2.

• T2 es proporcional a V0 y por lo mismo a Vent. La
relación es:
T2 = T1
Vent
Vref
= 0.833
ms
mV
Vent
• La conversión se realiza durante T2. Al iniciar esta fase
la unidad lógica conecta el reloj a un contador interno
binario codificado en decimal. El contador se
desconecta al terminar T2, el valor alcanzado se
convierte en la salida digital.
salida digital =
pulsos
seg
T2 =
pulsos
seg
T1
Vent
Vref
Para un reloj de 12KHz, T1=83.33 ms y Vref=100mV
tenemos:
salida digital = 12000
pulsos
seg
83.33ms
100mV
Vent = 10
pulsos
mV
Vent

Tz: Fase de puesta a cero:
• La unidad lógica activa varios interruptores analógicos
y conecta un capacitor de puesta a cero CAZ. Es una
fase de reset.
Un resumen de las tres fases de operación se muestran
en la siguiente gráfica:

Convertidor A/D de Aproximaciones
Sucesivas
Diagrama a bloques convertidor de 3 bits

Tiempo de conversión
Depende del período del reloj
T como el número de bits n. La
relación es:
Tc = T n + 1
EJEMPLO
Un reloj de 1 MHz impulsa a
un convertidor analógico digital
de aproximaciones sucesivas
de 8 bits. ¿Cuál es el tiempo
de conversión?
SOLUCIÓN:
Tc = 1μ 8 + 1 = 9μ𝑠

Convertidor A/D Tipo Flash o Paralelo
Utiliza una serie de comparadores
de alta velocidad junto al
codificador que proporciona las
combinaciones binarias únicas
para cada estado.
El diseño del circuito es bastante
sencillo. Consta de 2n-1 AO
funcionando como comparadores,
donde n es el número de bits de
salida.
El escalón cuántico para cada AO
está dado por:
a =
Vemax − Vemin
2n

Convertidor A/D de 8 bits (ADC 08)
El circuito integrado ADC0801 es un convertidor
analógico a digital de aproximaciones sucesivas de 1
solo canal, el cual, contiene 20 terminales, tal como se
muestra en la figura:
ADC 0801 Diagrama esquemático

Este convertidor posee señales de control para que se
pueda interconectar a un microprocesador. Estas
señales son CS, RD y WR. La señal de CLK IN es
cuadrada y con ella se controla la velocidad a la cual se
realiza la conversión. El tiempo de conversión es función
de la frecuencia de la señal de reloj, si ésta es de
640kHz, el tiempo de conversión es de 14s.
Como aplicaciones de este integrado, se puede
digitalizar cualquier señal analógica, por ejemplo, la
lectura de un voltímetro, un valor de temperatura, una
señal de audio, etc.
Con una pequeña interfaz es posible introducir esa señal
a una computadora por su puerto de impresora,
(bidireccional) y así poder almacenar, editar o
simplemente monitorizar estos valores.

Recientemente han aparecido en el mercado los chip
ADC0831, estos chip son convertidores analógicos–
digitales de tipo serie, es decir el transmiten el valor
digitalizado de la señal analógica por un bus de dos
hilos del tipo serie, en concreto este chip lo hace con el
estándar Microwire.
ADC 0831

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