2. SATS4421 Metode Statistika -UT
Materi Tutorial Pertama
a. Definis-definisi persamaan diferensial
b. Persamaan diferensial dari suatu primitif
c. Persamaan diferensial dari keluarga kurva
pada bidang datar
d. Penyelesaian persamaan diferensial
3. SATS4421 Metode Statistika -UT
Definisi-definisi Persamaan Diferensial
1. Persamaan differensial (PD) adalah persamaan yang mengandung derivatif-derivatif
2. Persamaan yang mengandung satu atau lebih derivatif -derivatif terhadap
suatu variabel tertentu maka vari
Definisi :
abel itu disebut variabel bebas
3. Suatu variabel dikatakan varabel tidak bebas bila derivatif variabel itu ada
4. PD biasa adalah persamaan diferensial hanya mempunyai satu variabel bebas
5. PD parsial adalah persamaan diferensial yang mempunyai lebih dari
satu variabel bebas
6. Tingkat atau order dari suatu PD adalah tingkat dari tingkat tertinggi derivatif
dari PD tersebut
7. Pangkat dari suatu PD adalah pangkat tertinggi dari derivatif tertinggi
dari PD tersebut
4. SATS4421 Metode Statistika -UT
Definisi-definisi Persamaan Diferensial
2
2
2 4 5
2 2
2 2
:
1) 5 7 0
2) 7 0
3) 5 10
4) 4
5) 3
PD biasa 1),2),3) PD parsial 4),5)
PD tingkat satu 1),4) PD tingkat dua 2),3),5)
PD berpangkat satu 1),2),4),5) PD
x
contoh
dy
x
dx
d y
x
dx
y y e
z z
y x z
x y
u u
y u
x y
berpangkat dua 3)
5. SATS4421 Metode Statistika -UT
Persamaan Diferensial dari suatu Primitif
3
2
2 2
Suatu primitif adalah suatu relasi antara variabel-variabel yang mengandung
sejumlah konstan sembarang
:
; konstan sembarang
; , konstan sembarang
5; , konstan s
contoh
y x Cx C
y Ax Bx A B
x C y D C D
embarang
Suatu primitif dengan konstan disebut konstan murni bila konstan tersebut
tidak dapat diganti dengan sembarang konstan yang lebih kecil
PD dari suatu primitif dengan konstan harus memen
n n
n
uhi syarat:
* Tingkat dari PD = jumlah konstan sembarang dalam primitif =
* Konsisten dengan primitif
* Bebas dari konstan sembarang
n
6. SATS4421 Metode Statistika -UT
Persamaan Diferensial dari suatu Primitif
2 2
2
2
2
:
Tentukan PD dari primitif (1)
:
2 2 (2)
4 2 (3)
dengan eliminasi dari persamaan (1) dan (2): 2 2 (4)
dengan eliminasi dari persamaan (1) dan (3): 4
x
x
x
contoh
y Ae Bx
penyelesaian
y Ae Bx
y Ae B
A y y B x x
A
2
2
2 2 1 (5)
dengan eliminasi dari persamaan (4) dan (5):
-1 2 1 2 2 1 0
:
* Jumlah konstan sembarang dalam primitif = Tingkat dari PD=2
* Konsisten dengan primitif
* Bebas dari kons
y y B x
B
x x y x y x y
perhatikan
tan sembarang
7. SATS4421 Metode Statistika -UT
Persamaan diferensial dari keluarga kurva pada bidang datar
Suatu primitif dengan variabel dan dalam bidang datar akan menyajikan
keluarga kurva. Setiap kurva anggota keluarga ini akan berkorespondensi dengan
nilai tertentu dari konstan sembarang yang t
x y xy
erdapat dalam primitif tersebut.
:
Tentukan PD dari keluarga parabola-parabola yang puncaknya terletak pada
sumbu , sumbu simetrisnya sejajar sumbu dan jarak titik fokus ke puncak
parabola ad
contoh
y x
2
2
alah 5
:
Keluarga parabola-parabola tersebut mempunyai persamaan
20 (1)
2 20 (2)
dengan eliminasi dari persamaan (1) dan (2):
5
penyelesaian
y A x
y A y
A
x y
8. SATS4421 Metode Statistika -UT
Penyelesaian Persaman Diferensial
* Suatu penyelesaian dari suatu PD adalah suatu fungsi yang memenuhi PD tersebut
* Penyelesaian umum dari suatu PD adalah fungsi yang mengandung konstan
-konstan sembarang dan yang mencakup semua penyelesaian dari PD tersebut
* Penyelesaian khusus dari suatu PD adalah penyelesaian yang mempunyai
sifat-sifat tertentu yang dapat diperoleh dari penyelesaian umum dan kadang
dapat diperoleh dari primitif
* Jik
( )
a PD dengan tingkat mempunyai bentuk persamaan ( ) dengan
terdefinisi dan kontinu pada interval , maka penyelesaian umum PD
tersebut diperoleh dengan mengintegralkan fungsi ( ) dengan k
n
n y G x G
a b
G x n
ali
berturut-turut
9. SATS4421 Metode Statistika -UT
Penyelesaian Persaman Diferensial
:
1. tentukan penyelesaian umum dari PD
2. tentukan penyelesaian umum dari PD 2 , kemudian carilah
penyelesaian khususnya yang melalui titik 0,2
:
1.
x
x
x x
contoh
y xe
y x e
penyelesaian
y xe dy xe dx
y e
2
2 0
2
1 penyelesaian umum
2. 2 2
penyelesaian umum
melalui titik 0,2 2 0 1
1 penyelesaian khusus
x
x x
x
x
x C
y x e dy x e dx
y x e C
e C C
y x e
