calcolo delle probabilità, matematica applicata

1. Modello Matematico
per descrivere la realtà di un fenomeno costruiamo un modello
matematico, esso rappresenta comunque una esemplificazione della
realtà.
Possiamo distinguere due tipi di fenomeni:
● deterministici – a conoscenza delle condizioni iniziali siamo in
grado di descrivere tale fenomeno es. moto di una particella
ecc..
● aleatori – non siamo in grado di stabilire a priori i possibili stati
del fenomeno es. lancio del dado, lancio moneta,
investimenti ...
Fenomeni Aleatori
Costruiamo un particolare modello matematico, generico che
racchiuda tutti i possibili casi --> Spazio di Probabilità

2. Lancio di un dado.
Tutti i possibili casi? {1,2,3,4,5,6} indichiamolo con  , detto anche insieme
dei possibili casi di una prova, risultati di una prova, “eventi elementari” ...
E se fossimo interessati al risultato (evento) “esce un pari” “esce un numero
minore di 3” ... ci dobbiamo dotare di uno spazio che contenga questi tipi di
eventi, indichiamolo con A , dal punto di vista matematico è “L'insieme di
tutti i possibili sottoinsiemi di  ”
{(),(1) ... (6), (1,2), (1,3) ... (1,3,4) ... (1,2,3,4) ... (1,2,3,4,5,6)}
questi sottoinsiemi sono detti “eventi”.
Manca una misura che quantifichi “il grado di fiducia” che assegnamo ad ogni
evento --> Probabilità P, misura di Probabilità.
Abbiamo costruito il nostro spazio di probabilità intorno al “lancio del dado”,
ma dato che ci siamo mantenuti sul generico questo è applicabile a tutti i
fenomeni.
Infatti A contiene eventi che probabilmente non richiederemo mai, ma va bene
così.

3. Lo spazio di probabilità è adatto alla descrizione di un fenomeno
aleatorio
(  , A, P)
 spazio degli eventi elementari
A spazio degli eventi, strutturato come l'insieme delle parti di  .
P misura di probabilità.
Alcune proprietà di A e P.
∀ E , F∈A
i) E∪F ∈A
ii) E∩F ∈A
iii) E
c
∈ A
P com'è fatta? Prima di tutto cos'è (dal punto di vista matematico)?
E' una misura, funzione di insieme:
P:A-->[0,1]
tale che:
i) P(  ) = 1
ii) ∀ E , F∈A : E∩F=∅ eventi incompatibili PE∪F =PEPF

4. Esempio di Spazio di Probabilità Uniforme.
Un fenomeno aleatorio che per sua natura ha gli eventi elementari
che si verificano tutti con la stessa probabilità.
Prendiamo  = { 1 ,... ,n } spazio degli eventi elementari
data l'ipotesi:
P({ i }) = p ∀i=1...n
considerando la proprietà di P
P(  ) = 1
dato che:
=.∪i i , 1 = P( .∪i i )
gli eventi elementari sono incompatibili (se ne verifica uno
soltanto),insieme alla proprietà (ii) di P avremo
1 = i P i = i=1... n p = np
quindi
p=1/n ricordando che n=∣∣
Calcolare P(a) a generico sottoinsieme di  quindi a∈A

5. Ancora proprietà di P
Scriviamo sempre il nostro spazio di probabilità
, A, P
i) ∀ E∈A E
c
∈A
diamo un significato intuitivo:
il complementare di un evento è come dire “non si verifica tale
evento”. E∪E
c
è come dire “si verifica a oppure no!” “oggi piove o
non piove” sicuramente avrò ragione, quindi la probabilità di questo
evento è 1, inoltre sono incompatibili “o piove o non piove”; il
nostro modello matematico non prende in considerazione il
verificarsi di un evento del tipo “oggi piove e non piove”.
[Esempio FUZZY]
Tutto questo per dire che
E∪E
c
= con E∩ E
c
=∅ eventi esaustivi
allora
PE∪E
c
=PEPE
c
=P=1
ii) ∀ E∈A E=E∩F ∪E∩F
c
 significato della formula!
iii) PE∪F =PEPF−PE∩F

6. Probabilità condizionate.
PE/ F=P E∩F/ PF
con PF≠0
se gli eventi E e F sono indipendenti
PE∩F =PEPF

7. Variabili Aleatorie
Consideriamo il lancio di due dadi
=1,1 ,1,2...6,6
invece che ai singoli eventi elementari potremmo essere interessati
alla somma del risultato.
Questa è una variabile aleatoria (X), una rielaborazione
(matematica) del risultato della prova;
dal punto di vista matematico è una funzione, applicazione dello
spazio degli eventi elementari:
X : ℝ
Fenomeno aleatorio: lancio di due dadi.
Lo spazio degli eventi elementari =1,1 ,1,2...6,6
Variabile Aleatoria: somma dei risultati
X :[2...12]
Definizione (più o meno rigorosa) di Variabile Aleatoria
Dato uno spazio di probabilità , A ,P si dice variabile aleatoria
un'applicazione
X : ℝ
tale che ∀t ∈ℝ { ∈: X t ≤t } .∈A cioè è un evento
solitamente questo evento si indica con
{ X ≤t }

8. Possiamo pensare ad una trasformazione dello spazio originario in
un nuovo spazio, quello in cui operano le variabili aleatorie:
, A ,P -> X valori dellav.a, BX classe di Borel?? , P∗misura di prob su X 
la nuova misura di probabilità è definita come segue:
P∗ X =t=P∈: X =t
P∗ X ≤t=P∈: X ≤t
la classe di Borel non è altro che l'insieme di tutti gli intervalli chiusi
a destra ed aperti a sinistra:
−∞ ,t ]∈B X 
quindi la classe di Borel conterrà tutti gli intervalli del tipo:
{ X ≤t }
comunque questa viene utilizzata per le v.a. a valori continui; per
ora ignoriamola.
V.a. Discrete
sono quelle v.a. che assumono un insieme di valori numerabili*;
considereremo solo insiemi finiti; in questo caso specifico al posto
della classe di Borel (applicata nel continuo) avremo la potenza di X
(Po(X), tutti i possibili sottoinsiemi di X)
 X , Po X , P∗

9. X ={x1, x2, ... xn } Questi sono i valori assunti dalla v.a. , indichiamo
tale insieme con la stessa lettera con cui indichiamo la v.a.
Ad ogni valore assunto dalla v.a. corrisponderà un inseme di eventi
elementari (Evento E∈A ) sullo spazio di origine: ci stiamo
costruendo la “Distribuzione di Probabilità della v.a. X”
P∗ X =x1 =P∈: X =x1= p1
P∗ X =x2=P∈: X =x2 =p2
...
...
...
P∗ X =xn=P∈: X =xn =pn
Rappresentiamo la distribuzione di probabilità nel seguente modo:
X x1 , x2 , . . . , xn
P X =xi P X =x1 P X =x2 P X =xn
Per come ho costruito la misura di probabilità:
P  X =xi=pi≥0 e pi≤1
dato che almeno uno dei valori assunti dalla v.a. si presenterà
∈: X =x1∪∈: X =x2∪...∪∈: X =xn=
inoltre questi eventi sono incompatibili (intersezione vuota), quindi
∑i=1...n
pi=1
possiamo calcolare anche eventi del tipo
P X ≤k =PX =x1...PX =kk 

10. Media di una variabile aleatoria
Indichiamo la media con E(.) un operatore, applicazione o funzione
che, presi i valori assunti dalla v.a. gli associa un solo valore, la
media.
E:[ X ]insieme deivalori assunti da v.a. X ⊂ℝ
n
 ℝ
quindi:
E X =∑
i=1
n
xi P X =xi=∑
i=1
n
xi pi
presa una costante c∈ℝ scrivere cX significa prendere i valori
che assume X e moltiplicarli uno ad uno per la costante:
cX cx1 , cx2 , . . . , cxn
P X =xi P X =x1 P X =x2 P X =xn
Ora facciamo la media di questa trasformazione:
EcX =∑
i=1
n
cxi P X =xi=∑
i=1
n
cxi pi=cE X 
si dice che la media è un operatore omogeneo.
Date due variabili aleatorie X ,Y abbiamo
E X Y =E X EY 
quest'ultima proprietà può essere generalizzata per n v.a. , quindi
presa una combinazione lineare di v.a. , la media
E c1 X 1c2 X 2...cn Xn =c1 EX 1c2 E X 2...cn E X n
con c1, c2, ...,cn∈ℝ costanti.

11. Varianza
La media è un indice che può essere poco significativo, ad esempio,
una distribuzione del tipo
X 1 , 20000 , 23 , 233423212
ha una variabilità molto alta, quindi alla media dobbiamo affiancare
un indice di variabilità, la Varianza:
Var X =∑
i=1
n
xi−EX 2
pi
il membro di destra ha la forma di una media, media dell'oggetto
xi−EX 
2
quindi possiamo scrivere:
Var X =E [ X −EX 
2
]
Alcune proprietà della Varianza
presa una costante c∈ℝ
VarcX =E[cX −EcX 
2
]=E[cX −cE X 
2
]=c
2
E[ X −E X 
2
]=c
2
Var X 
se aggiungo una costante ad ognuno dei valori assunti dalla v.a. la
variabilità della stessa non cambia:
VarcX =Var X 
e la varianza della somma di due v.a.?
Var X Y =Var X VarY 2.Cov X ,Y 
se le due v.a. sono indipendenti, cioè non si influenzano, la
Covarianza è nulla.
Per completezza diamo la forma della covarianza:

12. CovX ,Y =∑
i, j
xi−EX  y j−EY  pi, j
cioè la media di quest'oggetto xi−EX  y j−EY  , quindi:
CovX ,Y =E[ X −EX Y −EY ]
ma pi , j cos'è? Proprio così, è la probabilità di {X =xi∩Y= yj }
P{ X =xi∩Y =y j }=pi , j
detta anche Distribuzione di Probabilità congiunta. Se le due v.a.
sono indipendenti (dalla proprietà che abbiamo dato)
P{ X =xi∩Y =y j }=P{ X =xi }{Y =y j }=pi pj
Ipotizzando l'indipendenza avremo:
CovX ,Y =∑
i, j
xi−EX  y j−EY  pi pj=∑
i
xi−EX  pi∗∑
j
 y j−EY  p j=0
perché la media degli scarti dalla media è nulla; proprietà della
media.
Introdotta la distribuzione congiunta diamo anche la seguente
proprietà della media; prese due v.a. indipendenti
E XY =E X  EY  .

13. Costruzione di una Binomiale.
Consideriamo il lancio di n monete, se esce Testa vinco una Lira
altrimenti niente, ho dei sospetti sulla regolarità della moneta
quindi la probabilità che venga Testa la indico con p .
Spazio di Probabilità del lancio di una moneta.
={T ,C }, A={∅,T ,C ,TC }P={ p ,q}
Costruisco una v.a. che assegna 1 a Testa e 0 a Croce.
X ={1 T
0 C
per essere zelanti X T =1 e X C =0
Spazio di Probabilità indotto dalla v.a.
={0,1}, A={∅,1,0,01}P∗{ p ,q}
Ritornando agli n lanci, alla fine dei lanci avremo stringhe di questo
genere
TTT... TCT
CCT...CTT
.........
dal punto di vista della v.a.
1100...0010
0010...0001
..........

14. ora ci chiediamo: “qual'è la probabilità di UN particolare evento che
ha k teste e n-k croci” ad esempio:
“prime k teste” o “ultime k teste” o .... :
PTTTTT..TT
k
CCC...C
n−k 
=PT  PT PT PT ... PT PT  PC ...PC = p
k
q
n−k
ciò che accade in un lancio non influenza il successivo, eventi
indipendenti.
Ora concentriamoci su questo evento:
〚 X =k 〛
“escono k teste”, quanti sono gli eventi che hanno esattamente k
teste sparse nei vari n posti ?
n
k
In fine:
P〚 X =k〛=n
k
p
k
q
n−k
Per completezza diamo la probabilità anche di altri eventi:
P 〚X ≤h〛=∑
k=0
h
n
k
pk
qn−k
1−P 〚 X ≤h〛= ∑
k=h1
n
n
k
p
k
q
n−k 
e la media? Calcoliamola:
E X =∑
k=1
n
n
k
pk
qn−k 
∗k=np