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8.2 probabilità - assiomi

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Probability Axioms

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8.2 probabilità - assiomi

  1. 1. Un ripasso di probabilità: Assiomi PaulKlee,GiardinodiTunisi,1919 Riccardo Rigon
  2. 2. R. Rigon 2 Definizione Intuitiva ? Intuitivamente, la probabilità potrebbe essere definita come: Dove N(a) è il numero di eventi (favorevoli) osservati su N grandi tentativi. P(a) = lim N ⇥ N(a) N Ma questa definizione non è priva di contraddizioni ! Assiomi e concetti di base
  3. 3. R. Rigon 3 Una definizione formale • Sia Ω lo spazio degli eventi: – Esso contiene tutte le possibili realizzazioni di un determinato esperimento – è un singolo evento – è un insieme di eventi – E’ richiesto che sia una sigma-algebra A Assiomi e concetti di base
  4. 4. R. Rigon 4 Una definizione più formale gli assiomi della probabilità e.g. Feller, 1968 Assiomi e concetti di base
  5. 5. R. Rigon 5 Non perseguiremo qui la prova dei seguenti enunciati. Tuttavia, una evidenza intuitiva deriva dall’associare alla probabilità l’area della figura geometrica disegnata nelle slides che seguono. Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3: Assiomi e concetti di base
  6. 6. R. Rigon 6 Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3: Se A + Ac = Allora: P(A) = 1 P(Ac ) A Ac Assiomi e concetti di base
  7. 7. R. Rigon 7 Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3: A ⇥ B =⇤ P(A) P(B) B A B Assiomi e concetti di base
  8. 8. R. Rigon 8 Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3: P(A ⇥ B) = P(A) + P(B) P(A ⇤ B) A Assiomi e concetti di base
  9. 9. R. Rigon 9 Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3: P(A ⇥ B) = P(A) + P(B) P(A ⇤ B) B Assiomi e concetti di base
  10. 10. R. Rigon 10 Altre proprietà della probabilità. dedotte dagli assiomi 1-3: P(A ⇥ B) = P(A) + P(B) P(A ⇤ B) A B A B Assiomi e concetti di base
  11. 11. R. Rigon 11 Un esempio di calcoli base Si consideri, a titolo di esempio, lo spazio degli eventi contenente sette elementi, E1 , E2, ... , E7. E siano le probabilità definite come: p(E1) = p(E2) = p(E3) = p(E7) = 1/5, p(E4) = p(E5) = 1/20, e p(E6) = 1/10. Assiomi e concetti di base
  12. 12. R. Rigon 12 A = {E1, E2, E3, E5, E6} p(A) = p(E1) + p(E2) + p(E3) + p(E5) + p(E6) = (1/5) + (1/5) + (1/5) + (1/20) + (1/10) = ¾ = .75 B = {E2, E3, E4, E7} p(B) = p(E2) + p(E3) + p(E4) + p(E7) = (1/5) + (1/5) +(1/20) + (1/5) = 13/20 = .65 Un esempio di calcoli base Assiomi e concetti di base
  13. 13. R. Rigon 13 Il problema centrale non è il calcolo: che risulta “automatico”. Ma l’assegnazione delle probabilità ovvero della forma funzionale della P( ). Quando si conosce la probabilità, si conosce tutto del fenomeno che si va descrivendo: se ne è assegnata “la fisica”. Assiomi e concetti di base
  14. 14. R. Rigon 14 La probabilità condizionale Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in seguito alla conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si scrive: L a c o n o s c e n z a c h e c i h a permesso di assegnare la probabilità Assiomi e concetti di base
  15. 15. R. Rigon 15 La probabilità condizionale Si dice che una probabilità è condizionale, se essa è assegnata in seguito alla conoscenza della realizzazione di uno o più eventi e si scrive: O più semplicemente: se l’evento x è condizionato da y Assiomi e concetti di base
  16. 16. R. Rigon 16 Probabilità composte Come negli esempi iniziali, è possibile considerare, il contemporaneo realizzarsi di più insiemi di eventi. Si parla allora di Probabilità congiunta, indicata con le due scritture equivalenti: A, B Assiomi e concetti di base
  17. 17. R. Rigon 17 Probabilità composte Come negli esempi iniziali, è possibile considerare, il contemporaneo realizzarsi di più insiemi di eventi. Si parla allora di Probabilità congiunta: La probabilità è, in questo caso, l’area del trapezio rosso, rispetto all’area di A, B Assiomi e concetti di base
  18. 18. R. Rigon 18 Probabilità condizionali La probabilità condizionale è invece definita come Pertanto Assiomi e concetti di base
  19. 19. Riccardo Rigon !19 Dunque La probabilità (pdf) di due eventi A e B congiunti è data da dove P(A | B) è la probabilità di ottenere A da un campione casuale, sapendo che B è certo, èd è chiamata probabilità condizionale di A rispetto ad B, e P(B) è la probabilità di ottenere B. Equivalentemente il teorema si legge anche: vista la simmetria esistente tra gli insiemi A e B Bayes Theorem
  20. 20. Riccardo Rigon !20 La regola di Bayes Vale allora la Regola di Bayes Bayes Theorem Che di solito è scritta come:
  21. 21. R. Rigon 21 Indipendenza statistica: A e B sono detti statisticamente indipendenti se Analogamente, se gli Aj sono indipendenti, allora e Indipendenza statistica
  22. 22. R. Rigon 22 Indipendenza statistica: Il concetto di indipendenza statistica estende quello del calcolo combinatorico di eventi discreti, ma non è affatto intuitivo geometricamente. Esso afferma, nella sostanza, che l’area dell’intersenzione (non nulla) di due insiemi è uguale al prodotto delle aree degli insiemi. L’indipendenza statistica rappresenta perciò una equazione che deve essere soddisfatta. A B Indipendenza statistica
  23. 23. R. Rigon 23 Indipendenza statistica: Sia considerato, per illustrare l’esempio, uno spazio degli eventi rappresentato da un quadrato di lato unitario e i due suoi sottoinsiemi con un lato unitario ed uno, lungo 2/3 A B Indipendenza statistica
  24. 24. R. Rigon 24 Indipendenza statistica: Qualora i due sottoinsiemi siano disposti come in figura, la loro intersezione e’ di area 2/3 x 2/3 = 4/9 e, poichè P(B) = 2/3 e P(A) = 2/3 A B Allora A e B (come disposti in figura) sono eventi indipendenti ! 2/3 1/3 2/3 1/3 Indipendenza statistica
  25. 25. R. Rigon 25 Indipendenza statistica: Se i due insiemi A e B sono fatti muovere parallelamente a se stessi, in base alla definizione data, si ottengono altri insieme isomorfi ai primi che rimangono indipendenti. A B 2/3 1/3 2/3 1/3 Indipendenza statistica
  26. 26. R. Rigon 26 Indipendenza statistica: In altre configurazioni, some quella rappresentata sotto, non sono più indipendenti statisticamente. A B 2/3 1/3 2/3 1/3 Indipendenza statistica
  27. 27. R. Rigon 27 concetti di base •La probabilità è una teoria matematica basata su alcuni assiomi •La probabilità congiunta rappresenta è anch’essa una probabilità •La probabilità condizionale è anch’essa una probabilità •L’indipendenza probabilistica (o statistica) consente di semplificare il calcolo delle probabilità congiunte Altri Indipendenza statistica

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