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Nonlin tutto 2009

  1. 1. Nonlinear Control - Pag. 1 Applicazioni di Controllo per Sistemi Non Lineari Marcello Bonf` e Dipartimento di Ingegneria Universit` di Ferrara a Tel. +39 0532 974839 Fax. +39 0532 974870 E-mail: mbonfe@ing.unife.it
  2. 2. Nonlinear Control - Pag. 2 Indice• Introduzione• Metodi di analisi per sistemi nonlineari• Metodi di progetto per il controllo nonlineare: panoramica• Linearizzazione tramite feedback (Feedback Linearization) ed applicazioni• Controllo robusto a struttura variabile (Variable Structure o Sliding Mode Control) ed applicazioni
  3. 3. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 3 Sistemi Dinamici: Lineari / Nonlineari• Sistema dinamico: oggetto o fenomeno il cui comportamento (manifestato da uscite misurabili) evolve nel tempo in funzione degli stimoli esterni (ingressi) presenti e passati (a causa dello stato)• Descrizione formale: modello matematico (eq. differenziali)• Modelli lineari: x(t) = A x(t) + B u(t) ˙ y(t) = C x(t) + D u(t)• Modelli nonlineari: x(t) = f (x(t), u(t), t) ˙ y(t) = h(x(t), u(t), t)
  4. 4. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 5 Progetto del controllo per sistemi dinamici• Controllo Lineare (analisi e progetto basati su modelli lineari): – disciplina matura con basi teoriche ben assestate – innumerevoli applicazioni industriali (v. PID) – prestazioni soddisfacenti per ampie (?) condizioni di funzionamento• Controllo Nonlineare (analisi e progetto basati su modelli nonlineari): – i modelli lineari sono sempre un’approssimazione della realt`, valida per a limitate (!) condizioni di funzionamento – alcune nonlinearit` non sono approssimabili linearmente (es. discontinuit`) a a – anche l’adattamento on-line di parametri del controllore ` formalmente e una nonlinearit`a – il progetto richiede maggiore approfondimento delle leggi fisiche che determinano la dinamica del sistema (v. stabilit` del pendolo) a
  5. 5. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 6 Esempio: pendolo • Approccio lineare: trovare un modello ˙ x = Ax + Bu (con x = [θ θ]T ), valido ˙ in un intorno del punto di equilibrio x = 0 (es. ipotesi sin θ ≈ θ) e dimostrare che gli autovalori di A sono a parte reale negativa e/o trovare u = −Kx che li renda tali • Approccio nonlineare: dato il modello θ x = f (x, u) valido ∀ x ∈ R2, dimostrare che ˙ M x = 0 ` un punto a minima energia, pertanto e M ogni traiettoria dello stato tende a dissipare l’energia del sistema fino a raggiungere tale minimo (es. attriti) e/o trovare u = g(x) che renda il sistema dissipativo (⇒ stabile)
  6. 6. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 6 Note sul lucido 6 Siano R la lunghezza del pendolo, M la massa appesa (trascurando quella dell’asta), g l’accelerazione digravit`, b il coefficiente di attrito viscoso alla cerniera e τ la coppia esercitata, ad esempio, da un motore elettrico aconnesso alla cerniera, il modello dinamico del pendolo ` rappresentato dall’equazione: e 2¨ ˙ M R θ + bθ + M gR sin θ = τ ˙nella quale τ rappresenta l’ingresso di controllo. Considerando come variabili di stato x1 = θ e x2 = θ eponendo u = τ , si pu` ricondurre l’equazione precedente alla forma x = f (x, u): o ˙ x1 ˙ = x2 g b x + u x2 ˙ = − R sin x1 − M R2 2 M R2per cui x = [θ θ]T ed f (x, u) = [f1 (x, u) f2 (x, u)]T nella quale chiaramente ˙ f1 (x, u) = x2 g f2 (x, u) = − R sin x1 − b 2 x2 + u 2 . MR MR I punti di equilibrio (x = 0) sono dati dalle soluzioni della equazione f (x) = 0, cio`: ˙ e x2 = 0, sin x1 = 0
  7. 7. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 7verificata dai punti di equilibrio (0, 0) e (π, 0) (limitando l’analisi al solo intervallo significativo x1 ∈ [0, 2π[).L’analisi di un modello lineare del sistema pu` essere fatta grazie all’approssimazione di Taylor delle funzioni f1 oed f2 rispetto ai due punti di equilibrio, trascurando i termini di ordine superiore al primo. Intuitivamente, questocorrisponde a considerare sin x1 ≈ x1 se x1 ≈ 0 e sin x1 ≈ −x1 se x1 ≈ π , che permette di ottenere iseguenti due modelli del tipo x = Ax + Bu: ˙ x1 ˙ 0 1 x1 0 = g + 1 u x2 ˙ −R − b2 x2 MR M R2e x1 ˙ 0 1 x1 0 = g + 1 u x2 ˙ +R − b2 x2 MR M R2 Si noti che il sistema libero (cio` senza l’ingresso) risulta avere autovalori e −b R3 ± −4 g M 2 R+b2 R6 λ1,2 = 2M R ,nel primo caso, e 5 −b R 2 ± 4 g M 2 +b2 R5 λ1,2 = √ 2M Rnel secondo caso. Si pu` facilmente verificare che tali autovalori sono sempre entrambi a parte reale negativa nel oprimo caso (punto di equilibrio stabile) ed entrambi a parte reale positiva nel secondo caso (punto di equilibrioinstabile).
  8. 8. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 8 Caratteristiche (buone) dei modelli lineari La teoria del Controllo Lineare si concentra sui sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI) del tipo x(t) = Ax(t) + Bu(t), per i quali: ˙• esiste un unico punto di equilibrio, se A ` non singolare, ed esso ` stabile e e per ogni x(t0), se gli autovalori di A hanno parte reale negativa• la risposta del sistema ` determinabile analiticamente e• noto l’andamento nel tempo di u(t), la risposta ` data, per sovrapposizione e degli effetti, da: t x(t) = eA(t−t0)x(t0) + eA(t−τ )Bu(τ )dτ t0 risposta libera risposta forzata
  9. 9. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 9 Caratterizzazione frequenziale di sistemi LTI• Per un sistema stabile x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ y(t) = Cx(t) + Du(t) ingressi sinusoidali danno luogo (dopo un certo transitorio) ad uscite sinusoidali della stessa frequenza• Ampiezza e sfasamento delle sinusoidi in uscita dipendono dalla matrice di trasferimento: G(s) = C(sI − A)−1B + D
  10. 10. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 10 Analisi frequenziale di sistemi LTI SISO• Nel caso Single Input Single Output (SISO) (y(t), u(t) ∈ R) la matrice di trasferimento degenera in una funzione di trasferimento scalare, sempre di tipo razionale fratta (poli-zeri)• I metodi classici della teoria del controllo si basano sullo studio delle funzioni di trasferimento dei blocchi costitutivi del sistema (plant, controllore, filtri, trasduttori ecc.) e di quelle ottenute dalla loro composizione (es. funzione di trasferimento d’anello): – diagrammi di Bode – diagrammi di Nyquist – luogo delle radici (mappa poli-zeri) – progetto di reti correttrici e/o PID
  11. 11. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 11 Bode Diagrams From: U(1) 20 10 0 −10 Phase (deg); Magnitude (dB) −20 −30 −40 0 −50 To: Y(1) −100 −150 −200 −1 0 1 10 10 10 Frequency (rad/sec)
  12. 12. Nonlinear Control H Introduzione - Pag. 12 ramo diretto ramo di retroazione y x + e G ingresso uscita + znando come nel caso precedente si ha: H G y=Gx+GHy, ramo di ossia retroazione y= x 1 − GH Ragionando come nel caso precedente si ha:efinitiva lo schema a: che equivale equivalente è il seguente: G x y=Gx+GHy, ossia y= y 1 − GH x G e in definitiva lo schema equivalente è 1 − GH il seguente: x y G) Riduzione di un anello in retroazione 1 − GH unitaria (negativa o positiva)
  13. 13. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 13 Caratteristiche (cattive) dei modelli nonlineari Nel caso pi` generale, la dinamica di un sistema ` del tipo x = f (x, u, t): u e ˙• il sistema pu` avere molteplici punti di equilibrio, la cui stabilit` pu` o a o dipendere dalle condizioni iniziali• anche la risposta libera del sistema pu` essere stabilmente oscillatoria (cicli o limite con oscillazioni auto-sostenute)• le caratteristiche dei punti di equilibrio possono cambiare drasticamen- te (stabile, instabile, ciclo limite) in relazione a variazioni di parametri (biforcazioni)• piccole differenze nelle condizioni iniziali possono dare luogo a grandissime differenze nella risposta del sistema (comportamento caotico)
  14. 14. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 14 Esempio: oscillatore di Van der Pol Tipico modello di un sistema caratterizzato da un ciclo limite, studiato daBalthasar Van der Pol negli anni ’20: m¨ + 2c(x2 − 1)x + kx = 0 x ˙ che descrive sia circuiti elettrici RLC con resistenze variabili nonlinearmen-te, che gruppi massa-molla-smorzatore con un coefficiente di smorzamentodipendente dalla posizione (NOTA: no input!). Il comportamento oscillatorio pu` essere spiegato considerando che se x2 > 1 olo smorzatore ha coefficiente positivo e quindi dissipa energia, mentre se x2 < 1fornisce energia. Lo stato del sistema non pu` quindi n` convergere a 0, n` o e edivergere all’∞.
  15. 15. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 15 Oscillatore di Van der Pol: risposta Van der Pol oscillator 2 1.5 1 0.5 x(t) 0 −0.5 −1 −1.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 time (sec)
  16. 16. Nonlinear Control Introduzione - Pag. 16 Oscillatore di Van der Pol: traiettorie dello stato con ciclo limite x’=y 2 y ’ = − 2 (x − 1) y − x 5 4 3 2 1 x(t) ˙ 0 −1 −2 −3 −4 −5 x(t) −3 −2 −1 0 1 2 3
  17. 17. Nonlinear Control Analisi - Pag. 18 Analisi di sistemi nonlineari• Analisi grafica con il piano delle fasi• Analisi approssimata con funzioni descrittive• Analisi con i metodi di Lyapunov
  18. 18. Nonlinear Control Analisi - Pag. 19 Analisi nel piano delle fasi• Si cerca di tracciare le traiettorie dello stato del sistema su un grafico bi(tri)dimensionale, solitamente ottenuta via simulazione• Ovviamente, possibile solo per sistemi del secondo (terzo) ordine• Il tempo non compare esplicitamente nel piano delle fasi• Permette comunque di determinare la presenza di punti di equilibrio/cicli limite e di studiarne le caratteristiche
  19. 19. Nonlinear Control Analisi - Pag. 20 Sistemi del secondo ordine• Nella forma pi` generale: u x1 = f1(x1, x2) ˙ x2 = f2(x1, x2) ˙ che per ogni condizione iniziale x(0) = x0 ha una soluzione x(t), il cui tracciato nel piano (x1, x2) per t ∈ [0, ∞) rappresenta una traiettoria del sistema.• Una famiglia di traiettorie generate a partire da diverse condizioni iniziali costitutisce una mappa delle fasi.
  20. 20. Nonlinear Control Analisi - Pag. 21 Tipica dinamica del secondo ordine• Una classe tipica di sistemi del secondo ordine (massa-molla-smorzatore, circuiti RLC) ` quella descrivibile da un’equazione differenziale del tipo: e x + f (x, x) = 0 ¨ ˙ che pu` essere ricondotta a: o x1 = x2 ˙ x2 = −f (x1, x2) ˙ con x1 = x e x2 = x. ˙
  21. 21. Nonlinear Control Analisi - Pag. 22 Esempio: massa-molla ideali (m x + k x = 0) e ¨ traiettorie marginalmente stabili . x M x
  22. 22. Nonlinear Control Analisi - Pag. 24 Punti singolari nella mappa delle fasi• In generale, l’analisi di un sistema serve per determinare le caratteristiche dei suoi punti di equilibrio, cio` i punti nei quali x = 0, condizione che per e ˙ i sistemi analizzabili con il piano delle fasi (secondo ordine) diventa: f1(x1, x2) = 0 f2(x1, x2) = 0• I punti che soddisfano tale condizione sono detti anche punti singolari, perch` in tali punti la tangente delle traiettorie dello stato ` indeterminata e e dx1 f2(x1, x2) 0 = = dx2 f1(x1, x2) 0
  23. 23. Nonlinear Control Analisi - Pag. 25 Esempio: generico sistema nonlinare Per il sistema: x + 0.6x + 3x + x2 = 0 ¨ ˙ esistono due punti singolari: (0, 0) e (0, -3) Tuttavia, mentre il primo risulta un punto di convergenza di traiettorie la cuicondizione iniziale appartenga ad una determinata area (area di convergenza),il secondo si dimostra un punto dal quale le traiettorie possono divergere (v.grafico successivo)
  24. 24. Nonlinear Control Analisi - Pag. 26 8 area di 6 convergenza 4 2 instabile x(t) 0 ˙ -2 -4 -6 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 x(t)
  25. 25. Nonlinear Control Analisi - Pag. 27 Tipologie di punti singolari• Nodi stabili (instabili): punti di convergenza (divergenza) delle traiettorie, senza modi oscillatori• Fuochi stabili (instabili): punti di convergenza (divergenza) delle traiettorie, con modi oscillatori• Punti di sella: punti verso i quali convergono due sole traiettorie, corrispon- denti a condizioni iniziali nelle quali i modi instabili sono nulli, mentre tutte le altre divergono• Punti di centro di traiettorie chiuse ellittiche (v. gruppo massa-molla ideale)
  26. 26. Nonlinear Control Analisi - Pag. 28 Punti singolari per sistemi lineari Per un sistema lineare del secondo ordine, la dinamica x = Ax diventa: ˙ x1 = a1x1 + a2x2 ˙ x2 = a3x1 + a4x2 ˙che ` possibile semplificare ricavando x2 dalla prima equazione e sostitendola enella seconda: x1 = (a1 + a4)x1 + (a3a2 − a1a4)x1 ¨ ˙o, pi` in generale: u x + ax + bx = 0 ¨ ˙le cui soluzioni sono univocamente caratterizzate dalle radici λ1 e λ2 delpolinomio caratteristico: s2 + as + b = (s − λ1)(s − λ2) = 0
  27. 27. 1. λ1 and λ2 are both real and have the same sign (positive or negative)2. λ1 and λ2 are both real and have opposite signs Nonlinear Control Analisi - Pag. 293. λInand λ2 are complex conjugate with non-zero real parts 1 relazione alla “posizione” di λ1 e λ2 :4. λ1 and λ2 are complex conjugate with real parts equal to zero λ 3
  28. 28. Nonlinear Control Analisi - Pag. 30 Punti singolari e cicli limite nei sistemi nonlineari• Diversamente da un sistema lineare, un sistema nonlineare pu` avere o molteplici punti di equilibrio (punti singolari)• Tuttavia, un punto di equilibrio pu` essere studiato localmente considerando o la linearizzazione del sistema in un intorno del punto stesso (v. primo metodo di Lyapunov), per scoprire se sia un nodo, un fuoco, etc.• La presenza di cicli limite, possibile solamente nei sistemi nonlineari, e la loro stabilit` o instabilit` vanno studiate in modo specifico (es. teoremi di a a Poincare e Bendixson...)
  29. 29. Nonlinear Control Analisi - Pag. 31 Cicli limite: analisi approssimata tramite le funzioni descrittive• In molti casi pratici, i cicli limite insorgono in un sistema ad anello chiuso a causa di nonlinearit` algebriche, cio` senza dinamica (es. saturazioni, giochi, a e etc.)• In questi casi, ` possibile studiare determinare l’esistenza del ciclo limite e attraverso una descrizione approssimata delle nonlinearit`, basato sulle a funzioni descrittive• Una funzione descrittiva ` una “funzione di trasferimento” (f.d.t.) complessa, e che lega le caratteristiche di una sinusoide all’ingresso a quelle di una sinusoide all’uscita nell’ipotesi di regime oscillatorio persistente (ciclo limite)• Una f. descrittiva ` f. dell’ampiezza della sinusoide d’ingresso (non e della pulsazione), e determina il rapporto fra la componente fondamentale dell’oscillazione in uscita e la sinusoide d’ingresso.
  30. 30. Nonlinear Control Analisi - Pag. 32 Ipotesi per l’analisi con funzioni descrittive1. Sistema retroazionato, con ingresso di riferimento nullo (r(t) = 0 nello schema seguente)2. La parte lineare (G(jω) nello schema seguente) agisce come filtro passa-basso3. Si pu` supporre che nel punto A dello schema seguente e(t) = E sin(ω t) o (dall’ipotesi 2)4. La nonlinearit` ` puramente algebrica ed ` simmetrica ae e
  31. 31. DESCRIBING FUNCTIONNonlinear Control Analisi - Pag. 33 Schema a blocchi di riferimento Nonlinearity Linear part r(t) = 0 + e(t) n(t) c(t) N(e) G(jω) - A B
  32. 32. Nonlinear Control Analisi - Pag. 37 Determinazione dei cicli limite con la funzione descrittiva• Il sistema mostrato in precedenza ` sede di un’oscillazione persistente se e N (E)G(jω) = −1 con N (e) funzione descrittiva della nonlinearit`, per il criterio di Nyquist) a• Questa condizione pu` essere determinata graficamente dall’analisi di un dia- o gramma di Nyquist di G(jω) sovrapposto alla rappresentazione di −1/N (E) sullo stesso piano complesso (graduato in E anzich` in ω) e• Il punto d’incontro delle due curve permette di determinare ampiezza E (da N (E)) e pulsazione ω (da G(jω)) delle oscillazioni autosostenute
  33. 33. Nonlinear Control Analisi - Pag. 38(frequency domain)con rel` con soglia Diagramma di Nyquist e j Im{ ( jω)} G y (1/ K, j0) ω= 0 1 φm Re{ ( jω)} G K −1/ N (a) ω = ωcgnal u(t),
  34. 34. Nonlinear Control Analisi - Pag. 39 Note conclusive sul metodo della funzione descrittiva• Il metodo ` approssimato, pertanto pu` verificarsi che: e o 1. sia l’ampiezza che il periodo delle oscillazioni sono diverse da quelle rilevate sperimentalmente 2. un ciclo limite previsto in realt` non esiste a 3. un ciclo limite esistente non ` previsto e
  35. 35. Nonlinear Control Analisi - Pag. 40 Analisi con i metodi di Lyapunov• L’unico approccio rigoroso ed esaustivo per l’analisi dei sistemi nonlineari (di qualsiasi tipo e ordine) ` quello basato sulla teoria sviluppata dal matema- e tico russo Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, pubblicata per la prima volta nel 1892, ma riconsiderata nel contesto dei controlli automatici solamente a partire dai primi anni ’60• La teoria di Lyapunov si basa su due metodi fondamentali: – il metodo della linearizzazione (o primo metodo), base teorica per la “giustificazione” (locale) del controllo lineare – il metodo diretto (o secondo metodo), grazie al quale considerazioni di tipo “energetico” (potenzialmente pi` intuitive) possono essere di ausilio u nell’analisi di stabilit` e nel progetto del controllo a
  36. 36. Nonlinear Control Analisi - Pag. 41 Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) • Professor of Mechanics at St. Petersburg
  37. 37. Nonlinear Control Analisi - Pag. 42 Punti di equilibrio e stabilit`: definizioni a Nella teoria di Lyapunov, si intende sistema dinamico un sistema libero eautonomo, caratterizzato dall’equazione x = f (x) (se x = f (x, t) ` libero, ma ˙ ˙ enon autonomo)Definizione 1 Uno stato x ` detto stato di equilibrio (o punto di equilibrio) edi un sistema dinamico, se dall’istante t al quale x(t) ` uguale a x , x(t) erimane uguale a x per ogni istante successivo Matematicamente, i punti di equilibrio sono ottenuti dalla soluzione dellaequazione: 0 = f (x )
  38. 38. Nonlinear Control Analisi - Pag. 42 Note sul lucido 42 I concetti di stabilit` descritti nel seguito fanno sempre riferimento allo specifico punto di equilibrio x = 0. aTuttavia, ci` non implica una perdita di generalit`, in quanto per ogni punto di equilibrio x = 0 ` possibile o a ericondurre lo studio di stabilit` a quello dell’origine, effettuando il cambiamento di variabile: a y =x−xe studiando la stabilit` di y = 0 per il sistema y = f (y + x ), in modo assolutamente equivalente. a ˙ In modo analogo, ` possibile ricondurre lo studio della stabilit` di una traiettoria nominale di un sistema e adinamico, cio` una soluzione dell’equazione differenziale x = f (x) con condizione iniziale x (0) = x0 , in e ˙presenza di condizioni iniziali perturbate, allo studio di una dinamica dell’errore come segue:1. Data x (t): soluzione di x = f (x) con x (0) = x0 ˙2. Si calcola x(t): soluzione di x = f (x) con x(0) = x0 + δ x0 ˙3. Infine si analizza la traiettoria e(t) = x(t) − x (t) che ha una dinamica descritta da: e = f (x + e, t) − f (x , t) = g(e, t) ˙ con punto di equilibrio in e = 0.
  39. 39. Nonlinear Control Analisi - Pag. 43 Punti di equilibrio e stabilit`: definizioni - 2 aDefinizione 2 Il punto di equilibrio x = 0 di un sistema x = f (x) ` detto ˙ estabile se ∀R > 0, ∃ r > 0, t.c. x(0) < r ⇒ ∀ t ≥ 0, x(t) < R. Altrimenti, il punto di equilibrio viene detto instabileDefinizione 3 Il punto di equilibrio x = 0 di un sistema x = f (x) ` detto ˙ easintoticamente stabile se ` stabile ed ∃ r > 0, t.c. e x(0) < r ⇒ x(t) → 0 per t → ∞.Definizione 4 Il punto di equilibrio x = 0 di un sistema x = f (x) ` detto ˙ eesponenzialmente stabile se ` stabile ed ∃ r > 0, ∃ α > 0, ∃ λ > 0, t.c. e x(0) < r ⇒ ∀ t > 0, x(t) ≤ α x(0) e−λt.
  40. 40. Nonlinear Control Analisi - Pag. 44 Concepts of Stability Rappresentazione “grafica” della stabilit` secondo Lyapunov(1 a =asintoticamente stabile, 2 = marginalmente stabile, 3 = instabile): It is im differ intuit trajec and f syste blowi alway syste syste
  41. 41. Nonlinear Control Analisi - Pag. 45 Punti di equilibrio e stabilit`: definizioni - 3 aDefinizione 5 Se x = 0 ` un punto di equilibrio asintoticamente (esponen- ezialmente) stabile, la regione x(0) < r con r massimo, ` detta dominio di eattrazione.Definizione 6 Se x = 0 ` un punto di equilibrio asintoticamente (espo- enenzialmente) stabile ∀ x(0) ∈ Rn, il sistema si dice globalmenteasintoticamente (esponenzialmente) stabile. NOTA: la stabilit` asintotica di un sistema LTI ` sempre anche esponenziale a ee globale.
  42. 42. Nonlinear Control Analisi - Pag. 46 Primo metodo di Lyapunov: linearizzazione Dato un sistema x = f (x), con 0 punto di equilibrio ed f differenziabile in ˙modo continuo, ` possibile scrivere: e ∂f x= ˙ x + fh.o.t.(x) ∂x x=0 essendo f (0) = 0 (il pedice h.o.t. sta per higher order terms). Ponendo: ∂f A= ∂x x=0 il sistema x = Ax ` detto approssimazione lineare nel punto di equilibrio ˙ e0 del sistema nonlineare originale.
  43. 43. Nonlinear Control Analisi - Pag. 47 Primo metodo di Lyapunov: linearizzazione - 1 Analogamente, se x = f (x, u) si pu` scrivere: ˙ o ∂f ∂f x= ˙ x+ u + fh.o.t.(x, u) ∂x (x=0,u=0) ∂u (x=0,u=0) approssimabile a x = Ax + Bu con: ˙ ∂f ∂f A= B= ∂x (x=0,u=0) ∂u (x=0,u=0)
  44. 44. Nonlinear Control Analisi - Pag. 47 Note sul lucido 47 Si noti che l’approssimazione lineare pu` essere fatta rispetto ad un qualunque altro punto di equilibrio x odiverso dall’origine, con ingresso costante pari a u : ∂f ∂f x≈ ˙ (x − x ) + (u − u ) ∂ x (x=x ,u=u ) ∂ u (x=x ,u=u )purch` sia sempre valida l’ipotesi f (x , u ) = 0, nel qual caso possiamo definire come nuove variabili di stato e edi ingresso le variazioni rispetto ai valori di equilibrio: x=x−x ˜ u=u−u ˜cosicch` ponendo: e ∂f ∂f A= B= ∂ x (x=x ,u=u ) ∂ u (x=x ,u=u ) ˙ ˜ ˜ ˜si ottiene il sistema dinamico linearizzato rispetto alle variazioni x = Ax + Bu. Si noti che l’operazione di linearizzazione pu` essere fatta anche rispetto a un punto non di equilibrio, o ˙ = Ax + Bu + f (x , u ) (con f (x , u ) costante). ˜rispetto al quale la linearizzazione sar` del tipo x a ˜ ˜
  45. 45. Nonlinear Control Analisi - Pag. 48 Primo metodo di Lyapunov: teoremaTeorema 1 (Metodo di linearizzazione di Lyapunov)• Se il sistema approssimato linearmente con x = Ax ` strettamente stabile ˙ e ( equiv. tutti gli autovalori di A sono a parte reale strettamente negativa), allora il punto di equilibrio ` asintoticamente stabile per il sistema nonlineare e originale• Se il sistema approssimato linearmente con x = Ax ` instabile ( equiv. ˙ e almeno un autovalore di A ha parte reale strettamente positiva), allora il punto di equilibrio ` instabile per il sistema nonlineare originale e• Se il sistema approssimato linearmente con x = Ax ` marginalmente stabile ˙ e ( equiv. tutti gli autovalori di A sono a parte reale negativa, ma almeno uno ha parte reale nulla), allora non ` possibile concludere nulla sulla e stabilit` del punto di equilibrio per il sistema nonlineare originale (pu` essere a o marginalmente stabile, asintoticamente stabile o instabile)
  46. 46. Nonlinear Control Analisi - Pag. 49 Secondo metodo di Lyapunov: metodo diretto• I risultati del primo metodo di Lyapunov sono validi solo localmente, cio` e fintanto che l’approssimazione ` ragionevole e• Indipendentemente dal caso di stabilit` marginale, la linearizzazione non a permette di concludere nulla sulla stabilit` in senso globale a• Il secondo metodo di Lyapunov (metodo diretto) si basa invece sulla seguente intuizione fondamentale di natura fisico, che permette di analizzare la stabilit` sia in senso locale che globale: a “Se l’energia complessiva di un sistema ` continuamente dissipata, il sistema e (lineare o nonlineare che sia) si stabilizzer` prima o poi in una condizione di a equilibrio (caratterizzata da energia minima)”
  47. 47. Nonlinear Control Analisi - Pag. 50 Esempio: gruppo massa-molla-smorzatore nonlineare nonlineari M Sistema caratterizzato dal modello: m¨ + bx|x| + k0x + k1x3 = 0 x ˙ ˙
  48. 48. Nonlinear Control Analisi - Pag. 51 L’energia complessiva del sistema ` data dalla somma dell’energia cinetica ee dell’energia potenziale (associata alle forze elastiche): x 1 1 1 1 V (x) = mx2 + ˙ (k0x + k1x3)dx = mx2 + k0x2 + k1x4 ˙ 2 0 2 2 4 dalla quale si evince che:• nel punto di equilibrio (x = 0, x = 0) il sistema ha energia nulla ˙• l’eventuale stabilit` asintotica implica la convergenza a 0 dell’energia a complessiva• l’eventuale instabilit` ` riconducibile ad un incremento dell’energia a e complessiva
  49. 49. Nonlinear Control Analisi - Pag. 52 Per il sistema in esame, la variazione di energia lungo le traiettorie delsistema si pu` calcolare differenziando V (x) e sostituendo nell’espressione oottenuta l’equazione della dinamica: ˙ (x) = mx¨ + (k0x + k1x3)x (¨=f= x)) x(−bx|x|) = −b|x|3 V ˙x ˙ x (x, ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ che ` negativa fintanto che x = 0. Pertanto l’energia complessiva del e ˙sistema ` continuamente dissipata a causa dello smorzatore (nonlineare) e la emassa si assester` nell’origine con energia nulla (velocit` nulla e forze elastiche a anulle), indipendentemente dalla posizione di partenza (stabilit` globale). a
  50. 50. Nonlinear Control Analisi - Pag. 53 Funzioni di Lyapunov e stabilit`: definizioni aDefinizione 7 Una funzione scalare continua V (x) ` detta localmente edefinita positiva se V (0) = 0 ed ∃ R > 0 t.c. x < R, x = 0 ⇒ V (x) > 0 Se la precedente condizione vale ∀ x ∈ Rn, allora V (x) ` detta eglobalmente definita positiva Definizioni analoghe: semi-definita positiva (V (x) ≥ 0), definita negativa (V (x) < 0),semi-definita negativa (V (x) ≤ 0) Poich` in questo contesto x rappresenta lo stato di un sistema dinamico, eV (x) ` implicitamente funzione di t. Supponendo V (x) differenziabile: e ˙ ∂V ∂V V = x= ˙ f (x) ∂x ∂x
  51. 51. Nonlinear Control Analisi - Pag. 54 Funzioni di Lyapunov e stabilit`: definizioni - 1 aDefinizione 8 Se una funzione V (x) ` definita positiva, ha derivate parziali econtinue e la sua derivata rispetto al tempo lungo ogni traiettoria di unsistema x = f (x) ` semi-definita negativa, allora V (x) ` detta una funzione ˙ e edi Lyapunov per x = f (x). ˙Teorema 2 (Stabilit` locale) aIl punto di equilibrio x = 0 del sistema x = f (x) ` stabile se ∃ V (x) con ˙ ederivate parziali prime continue t.c.• V (x) ` localmente definita positiva e ˙• V (x) ` localmente semi-definita negativa e ˙Se la derivata V (x) ` localmente definita negativa, la stabilit` di 0 ` asintotica. e a e
  52. 52. Nonlinear Control Analisi - Pag. 55Rappresentazione “concettuale” del Teorema CAPITOLO 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI 18 di Lyapunov sulla stabilit` locale: a z z=V(x) x (t) x2 xe x1 Figura 1.5: Funzione di Lyapunov 1.6.2 I sistemi conservativi Il criterio di Dirichlet Torniamo alla nostra equazione q = f (q), o meglio al sistema equivalente ¨ q=v ˙
  53. 53. Nonlinear Control Analisi - Pag. 56 Funzioni di Lyapunov e stabilit`: definizioni - 2 aTeorema 3 (Stabilit` globale) aIl punto di equilibrio x = 0 del sistema x = f (x) ` globalmente asintoticamente ˙ estabile se ∃ V (x) con derivate parziali prime continue t.c.• V (x) ` globalmente definita positiva e ˙• V (x) ` globalmente definita negativa e• V (x) → ∞ per x → ∞NOTA 1: per un sistema possono esistere diverse funzioni di Lyapunov. Se scelta una diqueste, essa si rivela con derivata semi-definita negativa, potrebbe in realt` esistere un’altra afunzione di Lyapunov con derivata definita negativa che permette di dimostrare la stabilit` aasintotica, oltre a quella semplice. Inoltre, il fatto di non riuscire a trovare (ad intuito) unafunzione di Lyapunov idonea, non prova che non ne esistano,NOTA 2: I teoremi fin qui enunciati servono per provare la stabilit`, non l’instabilit`. a a
  54. 54. Nonlinear Control Analisi - Pag. 56 Note sul lucido 56 La dimostrazione delle stabilit` di un sistema attraverso la scelta di una funzione di Lyapunov ` quindi un a eprocedimento sostanzialmente per prove ed errori (trial-and-error ). Tuttavia, il fatto che i teoremi sulla stabilit`adi Lyapunov siano la formalizzazione del concetto intuitivo “dissipazione di energia = stabilit`”, permette in amolti casi di interesse pratico (es. sistemi meccanici, circuiti elettrici, ecc.) di utilizzare come prima “candidata”a funzione di Lyapunov la descrizione energetica del sistema. Ad esempio, nel caso del pendolo analizzatonell’introduzione, la funzione 1 2 2 V1 (x) = M R x2 + M Rg(1 − cos x1 ) 2 ˙ edove x1 = θ e x2 = θ , ` in effetti l’energia meccanica totale (cinetica + potenziale) ed ` una funzione che, per eil punto di equilibrio (0,0), ` localmente definita positiva. La sua derivata rispetto al tempo `: e e ˙ 2 2 b 2 b 2 V1 (x) = M Rg x1 sin x1 + M R x2 x2 = M Rg x1 sin x1 + M R x1 x1 = − ˙ ˙ ˙ ˙ ¨ 2 x1 = − ˙ x 2 2 MR MRche ` semi-definita negativa, il che permette di dimostrare la stabilit` semplice di (0,0). Tuttavia, ponendo per e a 2semplicit` b/M R = 1 e g/R = 1 e scegliendo come funzione di Lyapunov la seguente a 1 2 1 2 V2 (x) = x2 + 2(1 − cos x1 ) + (x2 + x1 ) 2 2
  55. 55. Nonlinear Control Analisi - Pag. 57si pu` verificare che: o ˙ 2 V1 (x) = −(x2 + x1 sin x1 ) ≤ 0` in effetti localmente definita negativa. Pertanto, con questo secondo tentativo di costruzione di una funzione dieLyapunov, includendo un termine che non ha un significato fisico ben preciso, ` possibile dimostrare l’asintotica estabilit` del punto (0,0). a Potrebbe quindi sembrare che il procedimento di Lyapunov per la dimostrazione della stabilit` di un punto di aequilibrio, soprattutto quella asintotica, sia lungo e difficoltoso (trovare la “giusta” f. di Lyapunov). In realt`, aalcune propriet` di convergenza delle traiettorie di un sistema, compresa quindi la stabilit` asintotica di un punto, a apossono essere dimostrate grazie ai teoremi sugli insiemi invarianti, dovuti a La Salle, enunciati nel seguito.
  56. 56. Nonlinear Control Analisi - Pag. 58 Funzioni di Lyapunov e stabilit`: definizioni - 3 aDefinizione 9 Un insieme M ⊆ Rn ` un insieme invariante di un sistema edinamico se ogni traiettoria che parte da una condizione iniziale x0 ∈ Mrimane in M per ogni istante futuroTeorema 4 (Invariante locale)Dato un sistema x = f (x), con f continua, e una funzione V (x) con derivate ˙parziali prime continue, se:• ∃ l > 0 t.c. la regione Ωl definita da V (x) < l ` limitata e ˙• V (x) ≤ 0 ∀ x ∈ Ωl ˙• E ∈ Ωl t.c. V (x) = 0 e M ` il maggiore insieme invariante contenuto in E eallora ogni traiettoria x(t) con condizione iniziale x0 ∈ Ωl tende a M per ˙t→∞
  57. 57. Nonlinear Control Analisi - Pag. 59 Funzioni di Lyapunov e stabilit`: definizioni - 4 aTeorema 5 (Invariante globale)Dato un sistema x = f (x), con f continua, e una funzione V (x) con derivate ˙parziali prime continue, se:• V (x) → ∞ per x → ∞ ˙• V (x) ≤ 0 ∀ x ∈ Rn ˙• E ∈ Ωl t.c. V (x) = 0 e M ` il maggiore insieme invariante contenuto in E eallora ogni traiettoria x(t) con condizione iniziale x0 ∈ Ωl tende in modo ˙globalmente asintotico a M per t → ∞
  58. 58. . Let be a function such that ¨© ¨ () ! ¨ () §   for PSfrag replacements . Let be the set of points in where . If is ¨ ¨© () ¨ Nonlinear Control Analisi - Pag. 60 the largest invariant set in , then every solution with Rappresentazione “concettuale” del principio di invarianza di La Salle: ( ) approaches as . § 9 ! £ placements ¨ () ¨ § § Note that must not be a positive definite function ¡ £ Lecture 4 19 October 16, 20
  59. 59. Nonlinear Control Analisi - Pag. 60 Note sul lucido 60 Grazie ai teoremi esposti precedentemente, che definiscono il cosiddetto Principio di invarianza di LaSalle, ` possibile dimostrare la stabilit` asintotica dell’origine per il pendolo visto in precedenza, anche solo e aconsiderandone l’energia meccanica totale come funzione di Lyapunov. Infatti, considerando 1 2 2 V (x) = M R x2 + M Rg(1 − cos x1 ) 2 risulta ˙ b 2 V (x) = − x2 ≤ 0 M R2 che ` ovviamente limitata in qualsiasi intorno di (0,0) e nulla, se b = 0, lungo tutto l’asse x1 , perci` e oE = {(x1 , x2 ) : x2 = 0}. Tuttavia, il maggiore insieme invariante M contenuto in E ` rappresentato dal esolo punto (0,0), al quale quindi convergono tutte le traiettorie con condizione iniziale in un intorno del punto ˙ ˙stesso. Infatti, la condizione x2 = θ = 0 con x1 = θ = 0 non pu` essere invariante, perch` se fosse θ = 0 ∀t o e ¨dovrebbe anche essere θ = 0 ∀t, condizione che per` implica (dall’equazione dinamica) anche sin θ = 0, cio` o e(localmente) θ = 0. Pertanto, il punto nel quale il pendolo ` fermo con θ = 0 ` un punto asintoticamente stabile per qualsiasi e evalore diverso da 0 del coefficiente di attrito viscoso alla cerniera, come ` ovvio anche da una osservazione eintuitiva basata sui soli principi fisici.
  60. 60. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 66 Progetto del controllo nonlineare• Importante distinzione: – problemi di regolazione (o stabilizzazione) di un punto di equilibrio – problemi di inseguimento (o tracking) di una traiettoria desiderata• Questa distinzione, solitamente fatta anche nel controllo lineare, assume nel contesto dei sistemi nonlineari una connotazione molto pi` significativa u• Nel secondo caso gli effetti delle nonlinearit` possono diventare determinanti a soprattutto per traiettorie con rapide variazioni
  61. 61. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 67 Formulazione del problema di controllo• Regolazione: dato x = f (x, u, t) e xd costante, trovare una legge di ˙ controllo u tale che x(t) → xd per t → ∞• Inseguimento: dato x = f (x, u, t), con uscita misurabile y = h(x), ed una ˙ traiettoria yd(t) desiderata, trovare una legge di controllo u tale che l’errore di inseguimento (tracking error ) y(t) − yd(t) tenda a zero, mentre x rimane limatatoNOTA 1: se con opportune condizioni iniziali x(0) si riesce ad avere y(t) ≡ yd(t) ∀ t ≥0 allora si parla di inseguimento perfetto (inseguimento asintotico se la condizione diinseguimento perfetto ` raggiunta in modo asintotico) eNOTA 2: L’inseguimento perfetto pu` essere ottenuto solamente se yd(t) ` nota a priori, o ecomprese le sue derivate fino all’ordine pari a quello della dinamica del sistema x = f (x, u, t). ˙
  62. 62. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 68 Esempio: stabilizzazione del pendolo Si consideri un pendolo senza attrito, attuato alla base dalla coppia τ : ¨ M R2θ + M gR sin θ = τ Una legge di controllo che risolve il problema di regolazione in θ = 0potrebbe essere: ˙ τ = −Kp θ − Kd θ +M gR sin θ PD compens. gravita grazie alla quale la dinamica diventa: ¨ ˙ M R 2 θ + Kd θ + Kp θ = 0 che risulta stabile ∀ Kp, Kd 0 (` identica a quella di un gruppo emassa-molla-smorzatore lineare).
  63. 63. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 69 Note sulla stabilizzazione del pendolo• Il controllo ` composto da un termine di feedback lineare e da un termine e nonlineare il cui ruolo ` quello di effettuare la cancellazione della nonlinearit` e a ˙ del sistema (f. solo di θ, non di θ, ma ` trascurato l’attrito) e ˙• Il feedback lineare include termini proporzionali a θ e a θ, che equivalgono ad inserire una molla e uno smorzatore virtuale, scelta giustificata dall’analisi di stabilit` secondo Lyapunov gi` vista a a• La cancellazione delle nonlinearit`, almeno di quelle dominanti (es. gravit`), a a permette di determinare in modo pi` semplice la stabilit` del sistema con u a il controllo, ma assume un ruolo determinante nei problemi di inseguimento (tracking )
  64. 64. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 70 Esempio: linearizzazione/tracking del pendolo ¨ ˙ ˙ Modello completo (attrito nonlineare): M R2θ + b(θ, θ)θ + M gRsinθ = τ “Trasformiamo” questa dinamica nonlineare in una lineare, con una legge dicontrollo che dipenda anche da un ulteriore ingresso “fittizio” v: ˙ ˙ τ = M R2v + b(θ, θ)θ + M gRsinθ ⇒ ¨ θ=v Ora, θ pu` essere forzata sulla traiettoria desiderata θd(t) dall’“ingresso” v ocon un controllore PD + feedforward (θd(t)): ¨ ˙ ˙ v = θd − Kp(θ − θd) − Kd(θ − θd)ponendo e = θ − θd, Kp = λ2 e Kd = 2λ (λ 0), si ottiene che l’errore: e + 2λe + λ2e = 0 ¨ ˙ ⇒ e → 0 per t → ∞
  65. 65. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 71 Note sulla linearizzazione del pendolo• Modello approssimativo = linearizzazione approssimativa – incertezze parametriche (es. M ed R non noti con precisione) – incertezze non parametriche (es. elasticit` del braccio non trascurabile) a• Tipico metodo per rendere il sistema robusto rispetto alle incertezze, cos`ı come ai disturbi, ` quello di aumentare il guadagno della parte di feedback e (PD)• Spingendo al limite questa tecnica, si introducono azioni di controllo che commutano tra valori positivi e negativi (± M) a seconda dell’errore di inseguimento e delle sue derivate (v. Sliding Mode)• Un tale termine “switching” equivale ad un’azione di feedback con guadagno ∞, ma valore assoluto limitato
  66. 66. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 72 Stabilizzazione/Tracking nonlineare: soluzione ideale Date x = f (x, u, t) e y = h(x), trovare u = fu (x, x, t) e x = h−1(y): ˙ −1 ˙ LINEARIZZAZIONE IDEALE yd xd u x ˙ x y h (y) −1 fu (x, x, t) −1 ˙ f (x, u, t) h(x)1 cos` y = yd!! ı
  67. 67. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 73 Stabilizzazione/Tracking nonlineare: approccio “pratico”• La soluzione ideale mostrata prima `, per un caso generale, difficile (se e non impossibile) da trovare analiticamente• Teoricamente, con anche xd noto, non c’ bisogno di feedback ˙• Purtroppo, nella pratica il modello nonlineare spesso non ` noto, ma il e controllo lineare fallisce• Allora, si cercano soluzioni non analitiche per fare svolgere il ruolo di h−1 −1 e fu da, ad esempio: – Reti Neurali – Logica Fuzzy – Tabelle di punti e interpolazione (Look-up table)
  68. 68. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 74 Dallo schema ideale... LINEARIZZAZIONE IDEALE yd xd u x ˙ x y h (y) −1 fu (x, x, t) −1 ˙ f (x, u, t) h(x)1
  69. 69. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 75 ... a ... ????????????????? yd FUZZY LOGIC CONTROLLER u x ˙ x y f (x, u, t) h(x)1 ????????????????? yd NEURAL NETWORK CONTROLLER u x ˙ x y f (x, u, t) h(x)1
  70. 70. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 76 Tecniche analitiche per il controllo nonlineare• Stabilizzazione alla Lyapunov: ricerca (trial-and-error ) di una legge di controllo, con forma prestabilita o meno, che renda idonea una f. di Lyapunov (v. stabilizzazione pendolo)• Gain scheduling: approssimazione lineare del sistema in diversi punti operativi e progetto di diversi controllori lineari per ciascun punto• Feedback linearization: formalizzazione del concetto intuitivo “cancellare le nonlinearit` con il controllo” (tipico in robotica) a• Sliding mode control: formalizzazione di stabilit` ed invarianza della a condizione di inseguimento perfetto nei confronti di incertezze e disturbi
  71. 71. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 77 Nonlinear multivariable fligh Applicazioni reali delle tecniche analitiche Ola Härke Linköping
  72. 72. Unconventional control surfacesNonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 78 Campo d’applicazione: controllo velivoli Ingressi (controllo): superfici di volo e spinta (elica o turbina) vs.
  73. 73. ½¼ ÔØ Ö ¾ Ö Ö Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 79 Uscite (misure): velocit`, quota, assetto, ... a ψ p q θ V α γ φ ÔØ Ö ¾ Ö Ö Ø ÈÖ Ñ Ö ψ β V qÙÖ ¾º¾ Illustration of the aircraft orientation angles φ, θ, and ψ, the aero angles α and β, and the angular rates p, q, and r. In the figure, all angles are p θ V α γ r ¾º½º¿ Ö Ö ØÎÖ Ð× Considering the aircraft as a rigid body, its motion can be described by its orientation, velocity, and angular velocity over time. ÈÓ× Ø ÓÒ The position vector p is given bythe aircraft orientation angles φ, θ, and ψ, the aerodynamic Tgular rates p, q, and r. In the figure, all angles arep = ei pN positive. pE −h
  74. 74. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 80 Modello velivolo: fortemente nonlineareFigure 3.2: Block-diagram of general rigid body dynamics FW aero FB aero juaero - MW MB - Aerodynamics aero - W !B aero - T FB prop juprop - MB - prop FB - Propulsion -X - - tot MB - tot Equations of Motion x- Z dt x - - _ - FE grav - E!B FB grav - x f x Ftot Mtot _ = ( ) Gravity T juwind - Wind FB wind q dyn - Corrections M ::: Atmosphere/ Airdata - 6
  75. 75. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 81 Tipico in aviazione commerciale: Gain scheduling Gain Scheduling Controller parameters Gain schedule Operating condition Command signal Control signal Controller Process OutputExample of scheduling variables • Production rate • Machine speed
  76. 76. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 82 Metodo di progetto per gain scheduling1. Determinare una famiglia di punti di equilibrio per il sistema, se possibile espressa come funzione continua di un parametro σ, altrimenti come insieme discreto di punti x1, . . . , xk2. Calcolare l’approssimazione lineare del sistema rispetto alla famiglia di punti di equilibrio: xσ (t) ˙ = A(σ) x(t) + B(σ) u(t) xr (t) ˙ = Ar x(t) + Br u(t) oppure , r = 1, . . . , k yσ (t) = C(σ) x(t) + D(σ) u(t) yr (t) = Cr x(t) + Dr u(t)3. Progettare un controllore lineare con parametri f (σ), oppure k controllori lineari con parametri fissati, con riferimento al sistema approssimato4. Se si sono ottenuti k controllori diversi, trovare un metodo per selezionarli in base alle condizioni operative (es. interpolazione)
  77. 77. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 83mple Water Tank gain scheduling: Esempio di controllo di livelloflow qout Serbatoio con area sezione (A)qvariabile: depend on the inflow in?ity h V = 0 A(τ )dτ ˙ V ˙ = qi − a√2 g h = A(h) hsbalance √ qi −a 2 g h ˙ h = = f (h, qi) A(h)eometry con h = variabile d’uscita misurata, qi variabile d’ingresso (volume liquidoybalance in entrata), a sezione (costante) del tubo di uscita liquido e A(h) sezionehe state. del tank
  78. 78. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 84 Linearizzando il modello nonlineare rispetto ad un punto operativo fissatoda h0 e qi = a 2 g h0, nel quale si considera A(h0) costante e h = h0 + δh, 0si pu` ricavare un’equazione differenziale del primo ordine rispetto alla nuova ovariabile di stato δh e al nuovo ingresso δqi: ˙ δqi a 2 g h0 δh = 0) − 0 ) h0 δh A(h 2 A(hdalla quale si pu` ricavare la seguente funzione di trasferimento: o β G(s) = s+α con: 0 1 a 2 g h0 qi β= α= = A(h0) 2 A(h0) h0 2 A(h0) h0
  79. 79. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 85 Per tale funzione di trasferimento del plant, ` possibile progettare un econtrollore PI, considerando e = (h0 − h) = −δh: 1 δqi = K e + e dτ Ti Ad esempio, imponendo che il sistema chiuso in retroazione abbia una f.d.tdel secondo ordine con pulsazione naturale ω e smorzamento ζ, si possonocalcolare: 2ζω − α 2ζω − α K= Ti = β ω2calcolabili in linea in base al punto di lavoro (gain scheduling ): 0 0 a 2 g h0 0 2ζ a 2 g h0 K(h ) = 2ζωA(h ) − Ti(h ) = − 2 h0 ω 2 A(h0) h0 ω 2
  80. 80. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 86 Gain scheduling nel controllo di velivoli, navi, ecc.• Storicamente, il progetto di sistemi di pilotaggio automatico per velivoli, navi, sottomarini, ecc. prevede il calcolo di modelli linearizzati del sistema o di una sua sottoparte (es. assetto 3D, assetto laterale, assetto longitudinale, ecc.) modelli lineari che risultano, tipicamente, essere parametrizzati da variabili come altitudine, velocit` (true airspeed e/o Mach number), a ecc.• Le variabili che parametrizzano il modello e, di conseguenza, i controllori, sono anche variabili di stato del modello completo e sono considerate tali da controllori pi` esterni (es. controllo di altitudine) o dal sistema che u fornisce i riferimenti di navigazione
  81. 81. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 87 Condizioni di volo:
  82. 82. ConsidereremoNonlinear Control ora il sistema di Navigazione, Guida e Controllo (NGC) del velivolo. nonlineare - Pag. Approcci al controllo 88 Lo schema classico di rappresentazione, come indicato nel testo [6], è il seguente: Schema completo del sistema di navigazione: Data-base delle traiettorie δe ,δa, δr, δth, (di riferimento) Disturbi(vento) ∆ψ, ∆H + Selettore di Sistema Controllo Velivolo e + Navigazione di Guida + Attuatori - X,Y,H X,Y,H V,α,β,P,Q,R,φ,θ,n X, Y, H Sensori e Filtri di Navigazione Figura 2.2 Schema a blocchi funzionale del sistema NGC Procediamo ora illustrando le funzionalità dei vari blocchi :
  83. 83.   ¢Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 89 Flight Control Esempio: controllo di beccheggio (pitch) Pitch dynamics ˙ q=θ α θ V Nz δe¡ £ Lecture 11 26 October 16, 2003
  84. 84. The Pitch Control Channel ¢ Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 90 VIAS H Pitch stick Gear VIAS Position Filter A/D K DSE H M H Σ − T1s K SG 1+ T1s Σ D/A Σ Acceleration Filter A/D D/A Σ To servos M Filter Pitch rate 1 Filter A/D 1+ T3 s K Q1 Σ K NZ Σ M H T2 s K QD 1+ T2 s H M VIAS £Lecture 11 28 October 16, 2003
  85. 85. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 91 Approccio tipico nell’aviazione militare:Ë Ø ÓÒ ¾º Ì ÅÁÊ Feedback linearization ÅÓ Ð ¾½ u7 , δr u3 , δroe u4 , δrie u5 , δlie u1 , δrc u6 , δloe u2 , δlc ÙÖ ¾ºADMIRE control surface configuration. ui are the commanded deflectionsand δ∗ are the actual deflections.¾º Ì ÅÁÊ ÅÓ Ð
  86. 86. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 92 High angle of attack volo Motivazione: condizioni di con transizioni pi` rapide ed elevati angoli u aerodinamiciOla HärkegårdNonlinear multivariable flight control Lund 2003-11-13
  87. 87. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 93 Why fly-by-wire? Soluzione: controllo linearizzante e/o stabilizzante allo scopo di agevolare le manovre del pilota control stick Control surf. system sensors visual info, cockpit displays, etc.  Stabilize aircraft  Handling qualities  Advanced control surfaces  Autopilot functionalityOla HärkegårdNonlinear multivariable flight control Lund 2003-11-13
  88. 88. imprecise knowledge of inertia parameters, while dynamic uncertainty arises from joint andflexibility, actuator dynamics, friction, sensor noise, and unknown environment dynamics.We consider a Control manipulator with n—links interconnected by al controllo nonlinearea- Pag. 94 Nonlinear robot Approcci joints into kinematicn. Figure 1 shows a serial link (left) and a parallel link (right) manipulator. A parallel robot Campo d’applicazione: robotica (manipolatori)efinition, contains two or more independent serial link chains. For simplicity of exposition we re 1: A serial manipulator (left), the ABB IRB1400, and a parallel manipulator (right), the IRB940Tricept. Photos courtesy of ABB Robotics. confine our discussion to serial link manipulators with only rotational or revolute joints as n in Figure 2. Most of the discussion in this article remains valid for parallel robots and for ts with sliding or prismatic joints.
  89. 89. obileNonlinear Control Robots (WMRs) Approcci al controllo nonlineare - Pag. 95 Campo d’applicazione: robotica (veicoli autonomi)MagellanPro Sojourner, a special case of nonholonomic behavior
  90. 90. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 96 Controllo di robot manipolatori• Modello dinamico (q posizione giunti, τ coppia attuatori): M(q)¨ + C(q, q)q + Dq + g(q) = τ + J(q)T Fa q ˙ ˙ ˙ ˙ nel quale le matrici M(q) (inerzie) e C(q, q) (legata alle forze di Coriolis e centripete), la gravit` (g(q)) e delle forze di interazione con l’ambiente (Fa) a introducono notevoli nonlinearit`a• Controllo decentralizzato: ogni giunto viene controllato in modo indi- pendente, l’effetto delle nonlinearit` ` considerato un disturbo (approccio a e “storico”, ma semplicistico)• Controllo centralizzato: si considera il modello dinamico completo per l’a- nalisi di stabilit` e il progetto di leggi di controllo opportune (compensazione a gravit`, coppia precalcolata, dinamica inversa, etc.) a
  91. 91. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 97 Approccio decentralizzato (M(q) = M+∆M(q), Kr rapporti di riduzione): disturbo (resto del robot..) q md + PID - singolo giunto
  92. 92. Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 98 Controllo centralizzato di robot manipolatori• Con l’approccio decentralizzato si progettano regolatori standard PID e si cerca di compensare il “disturbo” d nell’inseguimento di traiettorie con azioni ¨ ˙ in avanti (feedforward prop. a qd e qd)• Ovviamente, il “disturbo” della dinamica del robot ` calcolabile (off- e line per traiettorie ripetitive) grazie ad un buon modello matematico ⇒ Compensazione in avanti a coppia precalcolata• Ancora meglio, utilizzando una legge di retroazione nonlineare ` possibile e cancellare le nonlinearit` ⇒ Controllo a dinamica inversa (Feedback a linearization)• Incertezze di modellazione si possono compensare con feedback a guadagno elevato ⇒ Controllo robusto (Sliding mode)
  93. 93. COMPENSAZIONE IN AVANTI A COPPIA PRE-CALCOLATAnsideri il Compensazione in avanti a coppia 2precalcolata: generale) Nonlinear Control Approcci al controllo nonlineare - Pag. 99 caso di un controllore PIDD (caso piuariabile duscita del regolatore e: Z t a2e + a1e + a0 e + a;1 _ e( )d

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