UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA         FACOLTÀ DI INGEGNERIA                            AUTORE: S. Caltabiano
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Funzioni elementari e richiami di trigonomeria [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

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Funzioni elementari e richiami di trigonomeria [teoria ed esericizi][santi caltabiano]

  1. 1. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA AUTORE: S. Caltabiano
  2. 2. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) Indice Generale1 Funzioni elementari ............................................................................................ 1 1.1 La funzione esponenziale ............................................................................... 1 1.2 La funzione logaritmo .................................................................................... 3 1.3 La funzione potenza ....................................................................................... 5 1.4 Le funzioni trigonometriche. Le funzioni reciproche delle funzioni trigonometriche. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche .......................... 6 1.5 Le funzioni iperboliche. Inverse delle funzioni iperboliche. ......................... 16 1.6 Disuguaglianze notevoli delle funzioni elementari ....................................... 23 1.7 Tabella delle derivate e degli integrali delle funzioni elementari e delle funzioni ad esse associate. .................................................................................... 232 Richiami di trigonometria ................................................................................. 25 2.1 Angolo improprio ridotto ad angolo proprio ................................................. 25 2.2 Angolo proprio ridotto al primo quadrante ................................................... 26 2.3 Relazioni tra funzioni trigonometriche ed angoli particolari ......................... 26 2.4 Rappresentazione delle funzioni trigonometriche sulla circonferenza unitaria 28Dott. S. Caltabiano i
  3. 3. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 1 Funzioni elementari Le funzioni elementari sono: la funzioni esponenziale, la funzione logaritmo, lafunzione potenza, le funzioni trigonometriche, e le funzioni iperboliche. In seguitodenoteremo con R0 l’insieme dei numeri reali meno lo zero, con R+ l’insieme dei numeri reali non negativi (cioè R+=[0,+[) e con R0 l’insieme dei numeri reali strettamente positivi (cioè R0 =]0,+[). Ricordiamo che una funzione nondecrescente o non crescente si dice monotona, mentre una funzione strettamentecrescente o strettamente decrescente si dice strettamente monotona.1.1 La funzione esponenziale Assegnato un a R0 -{1}, allora si può dimostrare che esiste ununica funzione da R  in R0 che denotiamo con expa:R R0 che soddisfa alle seguenti tre proprietà:(1) expa(x+y)= expa(x)expa (y) x,yR(2) expa(1)=a(3) expa è strettamente monotonaed è detta esponenziale di base a. Usualmente si adopera anche la notazione: expa(x)=ax xRNel caso a=e l’esponenziale viene detto esponenziale neperiano. A partire dalla (1), (2) e (3) si possono dimostrare, le proprietà della funzioneesponenziale, di seguito riportate.Proprietà dell’esponenziale1) expa(0)=12) expa(–x)=( expa(x))–1 xR3) exp a (xy)  a xy  (a y ) x  (a x ) y x,yR4) expa è una funzione convessaDott. S. Caltabiano 1
  4. 4. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)5) Se 0<a<1 allora expa è strettamente decrescente e , mentre se a>1 allora expa è strettamente crescente6) D(expa(x))=ln(a)expa(x) 17)  expa(x)dx= expa(x)+cost. ln(a) Vediamo adesso il grafico dell’esponenziale. Nel caso a>1 il grafico è: y 1 x Figura 1Mentre nel caso 0<a<1 il grafico è: y 1 x Figura 2Dott. S. Caltabiano 2
  5. 5. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)1.2 La funzione logaritmo Assegnato a R0 -{1}, allora si può dimostrare che esiste ununica funzione da R in  R0 che denotiamo con loga: R0 R che soddisfa alle seguenti tre proprietà:(1) loga(xy)= loga(x)+loga (y) x,yR(2) loga(a)=1(3) loga è strettamente monotonaed è detta funzione logaritmo in base a. Per dimostrare l’esistenza della funzione logaritmo si sceglie come loga l’inversa della funzione expa, cioè si pone loga:= exp a 1 ,e si dimostra che questa soddisfa (1), (2), (3). Nel caso a=e si parla di logaritmoneperiano. A partire dalla (1), (2) e (3) si possono dimostrare, le proprietà della funzionelogaritmo, di seguito riportate.Proprietà del logaritmo1) loga(1)=0 2) loga(xy)=y loga(x) x R0 e yR 3) loga(x–1)=–loga(x) x R04) a log a ( x )  x x R0 e loga(ax)=x xR (per definizione d’inversa) 5) ax= b x log b ( a ) xR con b R0 -{1}  log b (x)  6) log a (x)  x R0 con b R0 -{1} log b (a) log a ( x ) 7) log a y ( x)  x R0 e con yR0 y8) Se 0<a<1 allora loga è strettamente decrescente ed è convessa, mentre se a>1 allora loga è strettamente crescente ed è concava Ricordiamo che assegnata una funzione reale invertibile, allora il graficodell’inversa si ottiene ribaltando il grafico della funzione assegnata, attorno allaDott. S. Caltabiano 3
  6. 6. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)bisettrice del I e del III quadrante e successivamente lo si ruota di 45 gradi in sensoantiorario.Il grafico del logaritmo nel caso 0<a<1 è: y 1 x Figura 3quindi in tal caso expa è strettamente crescente. Mentre nel caso a>1 il grafico è: y 1 x Figura 4Definiamo adesso una funzione, mediante composizione di una funzione esponenziale, con una funzione logaritmica. Siano f:R R0 e g:RR due funzioni,si pone allora per definizione:Dott. S. Caltabiano 4
  7. 7. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)  f ( x)  g ( x ) : b g ( x ) log  f ( x ) b xR dove b R0 -{1} è una qualunque base fissata. Ovviamente la definizione non dipendedalla base b.1.3 La funzione potenzaFissato un numero reale R, allora alla funzione esponenziale è legata la funzionepotenza, che usualmente si denota con il simbolo: (  )ed è definita a seconda del valore di , come mostrato nella tabella che segue: exp x ( )  x  se x  R0 - {1} Se R-K e  (  ) : R   R0 con (x ) := 0  se x  0 >0 1 se x  1  Se =0 (  ) :R0{1} con (x ) :=1 xR0 1 Se =–1 (  ) 1 :R0R0 con ( x ) 1 := xR0 x  exp  x ( )  ( x) se x  0 e x  1  0 se x  0    Se I (  ) :RR con (x ) :=  1 se x  1 1 se x  1  exp x ( )  x   se x  0 e x  1 exp  x ( )  ( x) se x  0 e x  1  0 se x  0  Se J (  ) :RR con (x ) :=  1 se x  1 1 se x  1  exp x ( )  x   se x  0 e x  1 In questo caso la funzione potenza è definita come la composizione Se <0 delle funzioni potenza (sopra definite) (  )  e (  ) 1 , cioè:Dott. S. Caltabiano 5
  8. 8. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)   (x ) := x  1   xdom (  )  -{0} Tabella 1Dove si è posto:  2m  1  I:=  : n, m  N 0 : N  {0} con M.C.D.( 2m  1,2n  1 )  1  2n  1   2m  J:=  : n  N 0 , m  N con M.C.D.( 2m,2n  1 )  1  2n  1  K:=IJRicordiamo che due numeri interi m,nN si dicono primi tra loro se M.C.D.(m,n)=1e questo evidentemente equivale ad affermare che il rapporto m/n è ridotto ai minimitermini (ovvero m e n non hanno divisori primi in comune diversi da 1). Si osservache le funzioni irrazionali sono casi particolari della funzione potenza. Facciamoosservare inoltre che a partire dalla funzione potenza è possibile definire la funzionemodulo, come composizione della funzione (  )1 / 2 con la funzione (  ) 2 , cioè:   x :  x 2 1/ 2  x 2 xRProprietà Sia b R0 -{1} e R, allora vale la seguente identità: x= b log b ( x) x R0 1.4 Le funzioni trigonometriche. Le funzioni reciproche delle funzioni trigonometriche. Funzioni inverse delle funzioni trigonometricheSi può dimostrare che esiste ununica coppia di funzioni reali f,g:RR dette funzionicircolari che soddisfano alle seguenti quattro proprietà:(1) f2(x)+g2(x)=1 xR(2) f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x) x,yR(3) g(x+y)=g(x)g(y)–f(x)f(y) x,yRDott. S. Caltabiano 6
  9. 9. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)  f ( x)(4)  R0 t.c. 0<f(x)<x< x]0,[ g ( x)Tali funzioni f e g esistono poiché le funzioni sin e cos introdotte in trigonometria(mediante la circonferenza trigonometrica), soddisfano alle suddette proprietà. Sidimostra che tali funzioni f e g sono uniche, cioè prese due funzioni h, k chesoddisfano alle quattro proprietà allora necessariamente deve essere che {f,g}={h,k}.E pertanto le funzioni f e g rimangono univocamente determinate rispettivamente dasin e cos.Proprietà1) sin e cos sono funzioni periodiche, di periodo 22) sin è una funzione dispari e cos è una funzione pari3) sin( x)  1 xR e cos( x)  1 xR Le ulteriori proprietà delle funzioni sin e cos sono mostrate nel capitolo 2. Il grafico delle funzione sin nell’intervallo [0,2] è: y m + 3/2 2– 2  /2 –  x –m Figura 5Il grafico delle funzione cos nell’intervallo [0,2] è:Dott. S. Caltabiano 7
  10. 10. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) y m +  –  /2 3/2 2– 2 x –m Figura 6Definiamo adesso la funzione: sin( x) tg:R-{k/2 : kZ}R con tg(x):= xR-{k/2 : kZ} cos(x)detta funzione tangente.Proprietà1) tg è una funzioni periodica, di periodo 2) tg è una funzione dispari Le ulteriori proprietà della funzione tg sono mostrate nel capitolo 2. Il graficodelle funzione tg in [–/2, /2,] è:Dott. S. Caltabiano 8
  11. 11. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) y m –/2 –  /2 x –m Figura 7 Trattiamo adesso tre funzioni che si definiscono come reciprocherispettivamente di sin, cos e tg. Consideriamo la funzione: 1 sec:R-{k : kZ}R con sec(x):= x R-{k : kZ} cos( x)detta funzione secante.Proprietà1) sec è una funzioni periodica, di periodo 22) sec è una funzione pari Le ulteriori proprietà della funzione sec si ottengono a partire dalle proprietà dellafunzione cos riportate di seguito e nel capitolo 2.Consideriamo la funzione: 1 cosec:R-{/2+k : kZ }R con cosec(x):= xR-{/2+k : kZ } sin( x)detta funzione cosecante.Proprietà1) cosec è una funzioni periodica, di periodo 22) cosec è una funzione dispariDott. S. Caltabiano 9
  12. 12. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) Le ulteriori proprietà della funzione cosec si ottengono a partire dalle proprietàdella funzione sin riportate di seguito e nel capitolo 2.Consideriamo la funzione: 1 cos( x ) cotg:R-{k : kZ }R con cotg(x):=  xR-{k : kZ} tg ( x ) sin( x)detta funzione cotangente.Proprietà1) cotg è una funzioni periodica, di periodo 2) cotg è una funzione dispari Le ulteriori proprietà della funzione cotg si ottengono a partire dalle proprietàdella funzione tg riportate di seguito e nel capitolo 2. Relazione fondamentale sin2()+cos2()=1 Periodicità delle funzioni trigonometriche sin(+2k)=sin() ; cos(+2k)=cos() ; tg(+k)=tg() Formule di addizione e sottrazione sin(  )=sin()cos()  sin()cos() cos(  )=cos()cos()  sin()sin() tg ( )  tg (  ) tg (   )  1  tg ( )tg (  ) Formule di duplicazione e di n-uplicazioneFacendo uso delle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione: sin(2)=2sin()cos() cos(2)=cos2()–sin2()=2cos2()–1=1– 2sin2()Dott. S. Caltabiano 10
  13. 13. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 2tg ( ) tg (2 )  1  tg 2 ( )Iterando il ragionamento, si ottengono le formule di n-uplicazione: sin(n)=2sin((n–1))cos()–cos((n–2)) cos(n)=2cos((n–1))cos()–sin((n–2)) tg ((n  1) )  tg ( ) tg ( )  1  tg ((n  1) )tg ( ) Formule di bisezione   1  cos( ) sin     2 2   1  cos( ) cos    2 2   1  cos( ) tg     con +k 2 1  cos( ) Formule di prostafersi         sin()+sin()=2sin   cos    2   2          sin()–sin()=2sin   cos    2   2          cos()+cos()=2cos   cos    2   2          cos()–cos()=–2sin   sin    2   2  sin(   ) tg()  tg()= cos( ) cos(  ) Formule di WernerDott. S. Caltabiano 11
  14. 14. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Dalle formule di prostafersi si ricavano facilmente le formule: 1 sin()sin()= [cos(–)–cos(+)] 2 1 cos()cos()= [cos(–)+cos(+)] 2 1 sin()cos()= [sin(+)–sin(–)] 2 1 cos()sin()= [sin(+)–cos(–)] 2 Espressione di una funzione trigonometrica mediante le altreA partire dalla relazione fondamentale e dalla definizione di tangente ricavanofacilmente le relazioni riportate nella tabella che segue. sin(x) cos(x) tg (x ) tg ( x ) sin(x) = sin(x)  1  cos 2 ( x )  1  tg 2 ( x) 1 cos(x) = 2  1  sin ( x) cos(x)  1  tg 2 ( x) sin( x ) 1  cos 2 ( x) tg (x ) =   tg (x ) 2 1  sin ( x ) cos( x) Tabella 2 Espressione delle funzioni trigonometriche mediante tg(x/2)Le espressioni che seguono sono anche dette formule di parametrizzazionerazionale.  x 2tg   sin ( x )   2 con x+2k con kZ 2 x  1  tg   2Dott. S. Caltabiano 12
  15. 15. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)  x 1  tg 2   cos( x)   2  con x+2k con kZ  x 1  tg 2    2  x 2tg   tg ( x )   2 con x+2k con kZ  x 1  tg 2   2 Concludiamo questo paragrafo introducendo le inverse rispettivamente dellefunzioni sin, cos e tg opportunamente ristrette.Consideriamo la funzione sin nell’intervallo [–/2,/2]: y –/2 /2 x Figura 8Come si osserva dalla Figura 8 in tale intervallo sin è strettamente crescente e diconseguenza su di esso è invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcoseno e ladenotiamo con arcsin, che è quindi definita in [–1,1] e a valori in [–/2,/2] cioè: arcsin:[–1,1][–/2,/2]Il grafico della funzione arcsin è: y /2Dott. S. Caltabiano 13 x
  16. 16. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) Figura 9Consideriamo la funzione cos nell’intervallo [0,]: y  /2 x Figura 10Dalla Figura 10 si osserva che in tale intervallo cos è strett. decresc. e di conseguenzasu di esso è invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcocoseno e la denotiamo conarccos, che è quindi una funzione definita in [–1,1] a valori in [0,] cioè: arccos:[–1,1][0,]Il grafico della funzione arccos è:Dott. S. Caltabiano 14
  17. 17. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) y  /2 x Figura 11Consideriamo la funzione tg nell’intervallo [–/2,/2]. Come si osserva dalla Figura7 in tale intervallo la funzione tg è strettamente crescente e di conseguenza su di essoè invertibile. Chiamiamo allora tale inversa arcotangente e la denotiamo con arctg,che è quindi una funzione definita in [–1,1] a valori in [–/2,/2] cioè: arctg:[–1,1] [–/2,/2]Il grafico della funzione arctg è: y /2 x –/2 Figura 12Dott. S. Caltabiano 15
  18. 18. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) Posto y:= 1  x 2 e z:= 1  x 2 riportiamo nella seguente tabella le relazioniche intercorrono tra le inverse delle funzioni trigonometriche: arcsin(x)= arccos(x)= arctg(x)= x>0 x<0 x>0 x<0 x>0 x<0–arcsin(–x) –arcsin(–x) –arcsin(x)+/2 –arcsin(x)+/2 arcsin(x/z) arcsin(x/z–arcsin(y)+/2 arcsin(y)–/2 arcsin(–x)+/2 arcsin(–x)+/2 –arccos(x/z)+/2 –arccos(x/z)+/2arccos(–x)–/2 arcccos(–x)–/2 arcsin(y) –arcsin(y)+ arccos(1/z) –arccos(1/z)–arccos(x)+/2 –arccos(x)+/2 –arccos(–x)+ –arccos(–x)+ –arctg(–x) –arctg(–x)arccos(y) –arcos(y) –arccos(y)+/2 arccos(y)+/2 –arctg(1/x)+/2 –arctg(1/x)–/2arctg(x/y) arctg(x/y) –arctg(x/y)+/2 –arctg(x/y)+/2 –arctg(x)+/2 –arctg(x)+/21.5 Le funzioni iperboliche. Inverse delle funzioni iperboliche.Consideriamo le seguenti due funzioni reali: e x  ex sinh:RR con sinh(x):= xR 2 e x  ex cosh:RR con cosh(x):= xR 2che sono dette rispettivamente seno iperbolico e coseno iperbolico. Come si evincedalle proprietà che seguono e da altre che elencheremo alla fine del paragrafo, lefunzioni iperboliche sinh e cosh,, verificano molte relazioni simili a quelle dellefunzioni circolari sin e cos.Proprietà1) cosh2(x)–sinh2(x)=1 xR2) sinh è una funzione dispari mentre cosh è una funzione pari3) sinh(0)=0; sinh(x)>0 x>0 e sinh(x)<0 x<0; cod(sinh)=R ;sinh è strett- cresc.4) cosh(0)=1; cosh(x)>1 xR0 ; cod(cosh)=[1,+[ ; cosh è strett. cresc. per x>0 e strett. decresc. per x<0 Vediamo i grafici delle funzioni sinh e cosh. Il grafico della funzione sinh è:Dott. S. Caltabiano 16
  19. 19. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) y x Figura 13Il grafico della funzione cosh è: y x Figura 14Definiamo adesso la funzione: sinh( x) e x  e  x tgh:RR con tgh(x):=  xR cosh(x) e x  e  xdetta funzione tangente iperbolica.Proprietà1) tgh è una funzione dispariDott. S. Caltabiano 17
  20. 20. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)2) tgh(0)=0; tgh(x)>0 x>0 e tgh(x)<0 x<0; cod(tgh)=]–1,1[ ; tgh è strett. cresc. Il grafico della tangente iperbolica è: y 1 x –1 Figura 15 Concludiamo questo paragrafo introducendo le inverse rispettivamente dellefunzioni sinh, cosh e tgh. La funzione sinh è strettamente crescente e di conseguenza è invertibile.Chiamiamo allora tale inversa settore seno iperbolico e la denotiamo con settsinh,che è quindi una funzione definita in R a valori in R cioè: settsinh:RRCi proponiamo di trovare l’espressione analitica del settsinh. Posto y=sinh(x): e x  ex y= 2dobbiamo esprimere la x in funzione delle y. Poniamo t=ex (che è quindi una quantitàstrettamente positiva) e otteniamo: t  t 1 y= 2segue: t2–2yt–1=0e quindi:Dott. S. Caltabiano 18
  21. 21. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) ty y2 1sostituendo t=ex, scartando la soluzione con il segno – (essendo la quantità al primomembro positiva) e successivamente passando al logaritmo neperiano, otteniamo:  x= ln y  y2 1 E quindi in definitiva:  settsinh(y)= ln y   y 2  1 yRper riferirci al piano Oxy possiamo scambiare x con y:  settsinh(x)= ln x  x 2  1 xR Il grafico di settsinh è: y x Figura 16 La funzione cosh è strettamente crescente in R+ e di conseguenza è invertibile in R0 . Chiamiamo allora tale inversa settore coseno iperbolico e la denotiamo consettcosh, che è quindi una funzione definita in [1,+[ a valori in R+ cioè: settcosh:[1,+[R+Procedendo in maniera analoga al caso del settsinh, si trova che l’espressioneanalitica del settcosh è:   settcosh(x)= ln x  x 2  1 x[1,+[Dott. S. Caltabiano 19
  22. 22. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Il grafico di settcosh è: y x Figura 17 La funzione tgh è strettamente crescente e di conseguenza è invertibile.Chiamiamo allora tale inversa settore tangente iperbolico e la denotiamo consetttgh, che è quindi una funzione definita in ]–1,1[ a valori in R cioè: setttgh:]–1,1[RProcedendo in maniera analoga al caso del settsinh, si trova che l’espressioneanalitica del setttgh è: 1 1  x  setttgh(x)= ln   x]–1,1[ 2 1  x Il grafico di setttgh è:Dott. S. Caltabiano 20
  23. 23. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) y –1 1 x Figura 18 Come suddetto le funzioni iperboliche soddisfano a proprietà analoghe a quelledelle funzioni trigonometriche. In tale contesto ci limiteremo soltanto ad elencare taliproprietà. Formule di addizione e sottrazione per le funzioni iperboliche sinh(x  y)=sinh(x)cosh(y)  sinh(x)cosh(y) cosh(x  y)=cosh(x)cosh(y)  sinh(x)sinh(y) Formule di duplicazione per le funzioni iperbolicheFacendo uso delle formule di addizione si ottengono le formule di duplicazione: sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x) cosh(2x)=cosh2(x)–sinh2(x)=2cosh2(x)–1=1+ 2sinh2(x) Formule di bisezione per le funzioni iperboliche  x cosh( x )  1  x cosh( x)  1  x cosh( x)  1 sinh   ; cosh   ; tgh   2 2  2 2  2 cosh( x)  1 Formule di prostafersi per le funzioni iperbolicheDott. S. Caltabiano 21
  24. 24. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) x y x y sinh(x)–sinh(y)=2sinh   cosh    2   2  x y x y sinh(x)+sinh(y)=2sinh   cosh    2   2  x y x y cosh(x)+cosh(y)=2cos   cos    2   2  x y x y cosh(x)–cosh(y)=2sin   sin    2   2  Formule di Werner per le funzioni iperbolicheDalle formule di prostafersi si ricavano facilmente le formule: 1 sinh(x)cosh(y)= [sinh(x+y)–sinh(x–y)] 2 1 cosh(x)sinh(y)= [sinh(x+y)+sinh(x–y)] 2 1 cos(x)cos(y)= [cosh(x+y)+cosh(x–y)] 2 1 sin(x)sin(y)= [cosh(x+y)–cosh(x–y)] 2 Espressione di una funzione iperbolica mediante le altre sinh(x) cosh(x) tgh(x ) tgh ( x) sinh(x) = sinh(x) cosh 2 ( x )  1 1  tgh 2 ( x) 1cosh(x) = 1  sinh 2 ( x) cosh(x) 1  tg 2 ( x) sinh( x) cosh 2 ( x )  1 tgh(x ) = tgh(x ) 1  sinh 2 ( x ) cosh( x ) Tabella 3Dott. S. Caltabiano 22
  25. 25. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) Espressione delle funzioni iperboliche mediante tgh(x/2)Le espressioni che seguono sono anche dette formule di parametrizzazionerazionale.  x  x  x 2tgh  1  tgh 2   2tgh  sinh ( x )   2  ; cosh( x)   2  ; tgh( x)   2  x  x  x 1  tgh 2   1  tgh 2   1  tgh 2    2 2 21.6 Disuguaglianze notevoli delle funzioni elementari Per la verifica delle seguenti disuguaglianze basta ricordare che se una funzione èconvessa (concava) allora la tangente in un punto sta sempre sotto (sopra) al graficodella funzione.1) ln(a)x+1<expa(x) xR2) Se 0<a<1 allora (x–1)/ln(a)<loga(x) e se a>1 allora (x–1)/ln(a)>loga(x)3) sin(x)<x x>0 e sin(x)>x x<04) tg(x)>x x>0 e tg(x)<x x<05) sinh(x)<x x>0 e sinh(x)>x x<06) tgh(x)>x x>0 e tgh(x)<x x<01.7 Tabella delle derivate e degli integrali delle funzioni elementari e delle funzioni ad esse associate- f=f(x) Df  f dx x x ax a ln(a)a ln(a ) 1 x loga(x) [ln(x)–1] ln(a) x ln(a) sin(x) cos(x) –cos(x) cos(x) –sin(x) sin(x)Dott. S. Caltabiano 23
  26. 26. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 1 tg(x) 2 =1+tg2(x) –ln[cos(x)] cos ( x) cos( x) cosec(x) – ln[cosec(x)–cotg(x)] sin 2 ( x) sin( x) sec(x) ln[sec(x)+tg(x)] cos 2 ( x ) 1 cotg(x) – 2 = –[1+cotg2(x)] ln[sin(x)] sin ( x) 1 arcsin(x) 2 x arcsin(x)+ 1  x 2 1 x 1 arccos(x) – x arccos(x)– 1  x 2 2 1 x 1 1 arctg(x) x arctg(x)– ln(1+x2) 1 x2 2 sinh(x) cosh(x) cosh(x) cosh(x) sinh(x) sinh(x) 1 tgh(x) 2 =1–tg2(x) ln(cosh(x)) cosh ( x) 1 settsinh(x) 2 x settsinh(x)– x 2  1 x 1 1 settcosh(x) 2 x settcosh(x)– x 2  1 x 1 1 1 setttgh(x) x setttgh(x)+ ln(1–x2) 1 x2 2Dott. S. Caltabiano 24
  27. 27. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO) 2 Richiami di trigonometria2.1 Angolo improprio ridotto ad angolo proprioDiciamo che un angolo (positivo o negativo) è proprio se non è superiore ad unangolo giro (angolo d’ampiezza 2), in caso contrario l’angolo è detto improprio. Se è un angolo proprio negativo, allora diciamo che l’angolo 2+ è il suocorrispondente angolo proprio positivo (vedi Figura 19). 2+  Figura 19Premettiamo che dato un numero kR denotiamo con [k] la sua parte intera (adesempio [2.67]=2).Sia  un angolo improprio, diciamo allora riduzione ad angolo proprio di ,l’angolo: =–2m con m:=[/2]quindi  si può anche scrivere come: =+2mDott. S. Caltabiano 25
  28. 28. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)2.2 Angolo proprio ridotto al primo quadranteLa riduzione al primo quadrante di un angolo è l’angolo compreso tra 0 e /2, incorrispondenza del quale le funzioni sin e cos assumono in valore assoluto lo stessovalore rispetto all’angolo dato. E quindi se  è un angolo proprio positivo, in base aquanto detto la sua riduzione al primo quadrante è:    se 0    2      se    2  :     3 se       2  3 2   se     2  2Se  è un angolo improprio positivo la sua riduzione al primo quadrante è lariduzione al primo quadrante, della sua riduzione ad angolo proprio.Se  è un angolo proprio negativo la sua riduzione al primo quadrante è la riduzioneal primo quadrante del suo corrispondente angolo proprio positivo 2+ (oequivalentemente del suo opposto –).Evidentemente se  è un angolo proprio e  è la sua riduzione allora:    se 0    2      se    2      3 se       2  3 2   se     2  22.3 Relazioni tra funzioni trigonometriche ed angoli particolariAssegnato un angolo  qualunque (proprio, improprio, negativo, …), diamo alcunedefinizioni.Dott. S. Caltabiano 26
  29. 29. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è , ossia  e –. Incorrispondenza a tali angoli si ha che: sin(–)=sin() cos(–)=–cos() tg(–)=–tg()In corrispondenza di angoli la cui differenza è , ossia  e +. si ha che: sin(+)=–sin() cos(+)=–cos() tg(+)=tg()Due angoli si dicono esplementari se la loro somma è 2, ossia  e 2–. Incorrispondenza a tali angoli si ha che: sin(2–)=–sin() cos(2–)=cos() tg(2–)=–tg()Si dicono angoli associati ad un dato angolo i seguenti tre angoli: l’angolosupplementare, l’angolo che differisce di  e l’angolo esplementare. Si osserva che incorrispondenza degli angoli associati le funzioni sin e cos assumono lo stesso valore ameno del segno cioè in valore assoluto. Quindi incidentalmente osserviamo che lariduzione al primo quadrante si un angolo proprio positivo non è altro che il suoangolo associato compreso tra 0 e /2.Due angoli si dicono opposti se la loro somma è 0, ossia  e –. In corrispondenza atali angoli si ha che: sin(–)=–sin() cos(–)=cos() tg(–)=–tg()Due angoli si dicono complementari se la loro somma è /2, ossia  e /2–. Incorrispondenza a tali angoli si ha che:Dott. S. Caltabiano 27
  30. 30. UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)   sin     cos( ) 2    cos     sin( ) 2    tg      cotg ( ) 2 In corrispondenza di angoli la cui differenza è /2, ossia  e /2+. si ha che:   sin     cos( ) 2    cos      sin( ) 2    tg      cotg ( ) 2 2.4 Rappresentazione delle funzioni trigonometriche sulla circonferenza unitaria F D G H B  O A C E Figura 20Con riferimento alla Figura 20 valgono le seguenti identità: sin()= AB ; cos()= OA ; tg()= CD cosec()= OF ; sec()= OE ; cotg()= GHDott. S. Caltabiano 28

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