Математика - Метод математической индукции в геометрии

1. Метод математической
индукции в геометрии

2. Пример 1
Докажите, что n различных точек, лежащих на
прямой, делит её на n+1 интервалов, из которых
два будут бесконечны.
А

3. Утверждение 1 n=1 — верно

4. Утверждение 2 При n=k, количество
интервалов k+1, при n=k+1 — k+2

6. Пример 2
Вычислить 𝑎2𝑛 сторону 2 𝑛
–угольника, вписанного
в круг радиуса R.

7. R
𝑎4 = 𝑅 2

8. A
BC
E
D
Пусть 𝑎2𝑛 = 𝑎′, тогда 𝑎2𝑛+1 = 𝑎′′. Если 𝐴𝐵 = 𝑎′, то 𝐴𝐸 =
𝑎′
2
; 𝐵𝐷 = 𝑎′′.

9. 𝑎′′
= ( 𝑎′ 2)2+𝐷𝐸2
𝐷𝐸 = 𝐶𝐷 − 𝐶𝐸 = 𝑅 − 𝐶𝐸
𝐶𝐸 = 𝐵𝐶2
− 𝐸𝐵2
= 𝑅2
− ( 𝑎′ 2)2
𝐷𝐸 = 𝑅 − 𝑅2 − ( 𝑎′ 2)2

10. 𝑎2𝑛+1 = ( 𝑎′ 2)2+𝑅 − 𝑅2 − 𝑎′ 4 2
= 2𝑅2 − 2𝑅 𝑅2 −
𝑎2𝑛
2
4
=

11. 𝑎4 = 𝑅 2
𝑎8 = 𝑅 2 − 2
𝑎16 = 𝑅 2 − 2 + 2
𝑎32 = 𝑅 2 − 2 + 2 + 2

12. 𝑎2𝑛 = 𝑅 2 − 2 + 2 + ⋯ + 2
n-2 двоек

13. 𝑎2𝑛+1 = 2𝑅2 − 2𝑅 𝑅2 − 𝑅2
2 + ⋯ + 2
4
= 𝑅 2 − 2 + 2 + ⋯ + 2

15. Пример 3
На плоскости дано n окружностей. Доказать, что при любом
расположении этих окружностей образованную ими карту
можно правильно раскрасить двумя красками.

18. Пример 4
Теорема о двух красках
Для того чтобы карту можно было правильно
раскрасить двумя красками, необходимо и
достаточно, чтобы в каждой её вершине сходилось
чётное число границ.

21. Пример 5
Теорема о трёх красках
Для того чтобы нормальная карта могла быть
правильно раскрашена тремя красками, необходимо
и достаточно, чтобы каждая её страна имела чётное
число границ.

26. Построение в индукции

27. Пример 6
На плоскости даны 2n+1 точек. Построить
(2n+1)-угольник, для которого эти точки
являются серединами сторон.

28. 2n+1 точек А1, А2 , … , А2𝑛+1— середины
сторон (2n+1)-угольника 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥2𝑛+1

32. Пример 7
Докажите, что квадрат можно разрезать на n
квадратов для любого n, начиная с шести.

33. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

34. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

35. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10