Рассматриваем раскраски планарных графов и другие темы, связанные с раскрасками. Доказываем теорему Томассена о том, что списочное хроматическое число любого планарного графа не превышает пяти. Доказываем теорему Эрдёша о том, что существуют графы с большим хроматическим числом и одновременно большим обхватом. Рассматриваем совершенные графы и доказываем слабую гипотезу Бержа. [Слайды курса, прочитанного в МФТИ в 2013 году.]

1. Основы теории графов
осень 2013
Александр Дайняк
www.dainiak.com

2. Раскраски вершин
• Раскраска вершин графа 퐺 в 푘 цветов — это отображение
휙: 푉 퐺 → 1,2, … , 푘
• Вершинная раскраска 휙 называется правильной, если
∀푣′∀푣′′ 푣′푣′′ ∈ E 퐺 ⇒ 휙 푣′ ≠ 휙 푣′′
Хроматическое число 휒 퐺 — это минимальное число цветов,
в которое можно правильно
раскрасить вершины графа 퐺.

3. Списочное хроматическое число
Пусть для каждой вершины 푣 графа 퐺 указан конечный список
퐿푣 ⊆ ℕ — цвета, в которые разрешается красить 푣.
Правильная списочная раскраска графа 퐺 (для набора списков
퐿푣 푣∈푉 퐺 ) — это отображение 휙: 푉 퐺 → ℕ, которое
• является правильной раскраской в обычном понимании,
• каждая вершина покрашена в цвет из своего списка: 휙 푣 ∈ 퐿푣

4. Списочное хроматическое число
Списочное хроматическое число графа 퐺 — это такое
минимальное 푘, что правильная списочная раскраска 퐺 существует
для любого набора списков 퐿푣 푣∈푉 퐺 , удовлетворяющего условию
∀푣 퐿푣 = 푘.
Обозначение: 휒푙 퐺 .
Очевидно, 휒푙 퐺 ≥ 휒 퐺 (поскольку можно взять все списки
равными 1,2, … , 푘 ).

5. Раскраски планарных графов
Задачу о раскраске карт можно переформулировать на языке
раскрасок, рассмотрев планарный граф,
двойственный карте:
• Сколькими цветами можно правильно раскрасить любой
планарный граф?

6. Раскраски планарных графов
Теорема (Four Color Theorem).
휒 퐺 ≤ 4 для любого планарного графа 퐺.
История:
Постановка задачи: Гютри (сер. XVIII века)
Первые «доказательства»: Кемпе, Тейт (1880-е)
Первое доказательство: Хакен, Аппель (1976)
Признанные доказательства: Хакен, Аппель (1989), Робертсон,
Сандерс, Сеймур, Томас (1997)

7. Списочные раскраски планарных графов
Теорема. (Thomassen ’1994)
휒푙 퐺 ≤ 5 для любого планарного графа 퐺.
Теорема. (Voigt ’1993)
Существуют планарные графы с 휒 = 3 и 휒푙 = 5.
Теорема. (N. Alon — M. Tarsi ’1992)
휒푙 퐺 ≤ 3 для любого двудольного планарного графа 퐺.

8. Теорема Войгт
Теорема. (M. Voigt)
Существуют планарные графы с 휒 = 3 и 휒푙 = 5.
Доказательство:
Для каждого 훼 ∈ 5,6,7,8 и 훽 ∈
9,10,11,12 определим граф 퐺훼,훽
(со списками допустимых цветов),
изображённый справа.
У него нет правильной списочной
раскраски.
훼
훼, 1,3,4 훼, 2,3,4
1,2,3,4
훼, 훽, 1,2 훼, 훽, 1,2
1,2,3,4
훽, 2,3,4 훽, 1,3,4
훽

9. Теорема Войгт
Возьмём все 16 графов 퐺훼,훽 для различных 훼, 훽 и отождествим у
них верхние и нижние вершины. Получим граф 퐺:
훼, 1,3,4 훼, 2,3,4
1,2,3,4
훼, 훽, 1,2 훼, 훽, 1,2
1,2,3,4
훽, 2,3,4 훽, 1,3,4
⋯

10. Теорема Войгт
Для верхней и нижней вершин 퐺 укажем списки 5,6,7,8 и
9,10,11,12 соответственно.
훼, 1,3,4 훼, 2,3,4
1,2,3,4
훼, 훽, 1,2 훼, 훽, 1,2
1,2,3,4
훽, 2,3,4 훽, 1,3,4
5,6,7,8
⋯
9,10,11,12

11. Теорема Войгт
Тогда при любом выборе цветов 훼 и 훽 для верхней и нижней
вершин 퐺 один из подграфов совпадёт с 퐺훼,훽 и достроить
раскраску графа 퐺 не получится.
훼
⋯
훽
훼
훼, 1,3,4 훼, 2,3,4
1,2,3,4
훼, 훽, 1,2 훼, 훽, 1,2
1,2,3,4
훽, 2,3,4 훽, 1,3,4
훽

12. Теорема Войгт
Итак, мы обосновали, что 휒푙 퐺 > 4.
В то же время, 휒 퐺 = 3:
⋯

13. Теорема Томассена
Теорема. (C. Thomassen)
휒푙 퐺 ≤ 5 для любого планарного графа 퐺.
Доказательство:
Квазитриангуляция — это планарный граф, границы всех граней
которого являются простыми циклами, причём границы всех
внутренних граней — треугольники.
Утверждение теоремы достаточно доказать для
квазитриангуляций.

14. Теорема Томассена
Индукцией по 퐺 докажем утверждение:
«Пусть 퐺 — квазитриангуляция, и 퐶 — цикл, ограничивающий
внешнюю грань 퐺. Пусть
• две смежные вершины 푥, 푦 ∈ 퐶 уже окрашены в цвета 훼 и 훽
соответственно,
• вершинам из 퐶 − 푥, 푦 приписаны списки допустимых цветов
размера не менее 3,
• вершинам из 퐺 − 퐶 приписаны списки допустимых цветов
размера не менее 5.
Тогда для вершин из 푉 퐺 ∖ 푥, 푦 можно выбрать цвета из их
списков, так, чтобы получилась правильная раскраска графа 퐺.»

15. Теорема Томассена
При 퐺 = 3 утверждение очевидно.
Пусть 퐺 > 3 и утверждение выполнено для всех
квазитриангуляций меньшего размера.
Вначале рассмотрим случай, когда у цикла 퐶, ограничивающего
внешнюю грань, есть хорда 푢푣 ∈ 퐸 퐺 ∖ 퐸 퐶 . Она разбивает
укладку 퐺 на части 퐺1 и 퐺2. Подграф 퐺1,
по предположению, можно
푦
푥
раскрасить. Цвета 푢 и 푣 тем
푣
самым определятся. Теперь,
퐺1
по предположению, можно
푢
докрасить и подграф 퐺2.
퐺2
퐶

16. Теорема Томассена
Теперь рассмотрим случай, когда у 퐶 нет хорд.
Пусть 푢 — отличный от 푦 сосед 푥 на 퐶.
Пусть 푤 — сосед 푢 на 퐶, отличный от 푥 (возможно, 푤 = 푦),
а 푣1, … , 푣푘 — все остальные соседи 푢 в графе 퐺.
Граф 퐺′ = 퐺 − 푢 является квазитриангуляцией.
В списке 퐿푢 есть два цвета 훾, 훿, отличные от 훼.
В 퐺′ для вершин 푣возьмём списки 퐿∖ 훾, 훿 ,
푢
푖 푣푖 푤
где 퐿푣— списки для 푣푖 푖 в графе 퐺.
По предположению, граф 퐺′ можно
раскрасить в цвета из списков.
Осталось окрасить 푢 в один из
цветов 훾, 훿, отличных от цвета 푤.
퐶
푥
푣1
푣2
푣푘
푦

17. Нелокальность хроматического числа
• Мы знаем простую оценку: 휒 퐺 ≥ 휔 퐺
• В планарных графах нет 퐾5, то есть для них 휔 퐺 ≤ 4.
А по теореме о четырёх красках, для планарных графов имеем
휒 퐺 ≤ 4.
• Можно ли в общем случае утверждать, что если 휔 퐺 мало́, то и
휒 퐺 мало́? —Нет!

18. Теорема Зыкова—Мыцельского
Теорема. (Зыков ’1949, Mycielski ’1955)
При любом 푘 ≥ 2 существует связный граф 퐺푘 , для которого
휔 퐺푘 = 2 и 휒 퐺푘 = 푘.
Доказательство:
Построим последовательность 퐺푘 푘=2
∞ по индукции.
Для начала, возьмём 퐺2 ≔ 퐾2.

19. Теорема Зыкова—Мыцельского
푛1 ′
′
Пусть 퐺푘 = (푉푘 , 퐸푘 ), и пусть 푉푘 = 푣1, … , 푣푛 .
Тогда 퐺푘+1 = (푉푘+1, 퐸푘+1), где
• 푉푘+1 = 푉푘 ∪ 푣, … , 푣∪ 푣
′푣 푖=1
• 퐸푘+1 = 퐸푘 ∪ 푣푖
푛 ∪ 푣푖
′푣푗 ∣ 푣푖 푣푗 ∈ 퐸푘
푣1
푣2
푣1
푣2
푣1 ′
푣2 ′
푣
푣2
푣3
푣4
푣1 푣5
푣2
푣3
푣4
푣4 ′
푣3 ′
푣2 ′
푣1 ′
푣5 ′
푣
푣 푣5 1

20. Теорема Зыкова—Мыцельского
Пусть 휙푘 — раскраска 퐺푘 в цвета 1, … , 푡 .
Тогда раскраску 휙푘+1 графа 퐺푘+1 можно построить так: 휙푘+1 푣푖 =
휙′ 푘+1 푣푖
≔ 휙푘 푣푖 и 휙푘+1 푣 ≔ 푡 + 1.
Следовательно, 휒 퐺푘+1 ≤ 휒 퐺푘 + 1.

21. Теорема Зыкова—Мыцельского
По раскраске 휙푘+1 графа 퐺푘+1 в 푡 цветов можно построить раскраску 휙푘 графа 퐺푘:
휙푣≔ 휙′ 푘 푖 푘+1 푣푖 , если 휙푘+1 푣푖 ≠ 휙푘+1 푣 , и 휙푘 푣푖 ≔ 휙푘+1 푣푖
иначе.
푣푖
′
푣푖
푣푗 ′
푣푗
Раскраска 휙푘 является правильной раскраской графа 퐺푘 в 푡 − 1 цветов.
Отсюда 휒 퐺푘 ≤ 휒 퐺푘+1 − 1, следовательно, 휒 퐺푘+1 = 휒 퐺푘 + 1.
Так как 휒 퐺2 = 2, получаем ∀푘 휒 퐺푘 = 푘.

22. Теорема Зыкова—Мыцельского
Покажем, что в графах 퐺푘+1 нет треугольников при условии, что их нет в 퐺푘:
• Треугольник в 퐺푘+1 не может содержать более одной вершины среди 푣푖
′
푖=1
푛 .
• Треугольник в 퐺푘+1 не может содержать 푣,
так как 푣 смежна только с вершинами 푣푖
′
푖=1
푛 .
푛 ,
• Треугольник в 퐺푘+1 не может содержать только вершины из 푣푖 푖=1
т.к. в 퐺푘 нет треугольников
• Значит, если в 퐺푘+1 есть треугольник, то он имеет вид 푣푝, 푣푞 , 푣푟′
.
Но тогда вершины {푣푝, 푣푞 , 푣푟 } образуют треугольник в 퐺푘 — противоречие.
Т.к. в 퐺2 нет треугольников, то их нет ни в одном 퐺푘 .

23. Нелокальность хроматического числа
Обхват графа 퐺 — это наименьший размер цикла в графе.
Обозначение: g 퐺 .
Если g 퐺 > 푘, то в 퐺 окрестность любой вершины радиуса 푘 2
является деревом:
Теорема. (P. Erdős ’1959)
При любом 푘 существует граф 퐺, для которого g 퐺 > 푘
и 휒 퐺 > 푘.

24. Доказательство теоремы Эрдёша
Пусть 푘 ≥ 10. Положим 푛 ≔ 4푘 4푘 и рассмотрим случайный граф
퐺 на 푛 вершинах, проводя каждое ребро с вероятностью 푝 ≔
푛1 2푘 −1.
Введём случайную величину
푋 ≔ #циклов длины ≤ 푘 в нашем графе
Используя линейность матожидания, получаем
피 푋 =
푘
푖=3
푛
푖
⋅
푖 − 1 !
2
⋅ 푝푖
Выбираем
длину цикла
Какие именно вершины
участвуют в цикле
Количество способов
составить цикл
из выбранных вершин
Вероятность того,
что все рёбра этого
цикла попадут в
случайный граф

25. Доказательство теоремы Эрдёша
• 푋 ≔ #циклов длины ≤ 푘 в нашем графе
피 푋 =
푘
푖=3
푛
푖
푖 − 1 !
2
푝푖 <
푘
푖=3
푛푖
푖!
푖 − 1 !
2
푝푖 <
푘
푖=3
푛푝 푖 =
=
푘
푖=3
푛1 2푘 푖
< 푘 푛
По неравенству Маркова,
Pr 푋 ≥ 푛
2 ≤ 피 푋
푛 2 < 2푘
푛
< 1
2
Итог: Pr #циклов длины ≤ 푘 в графе ≥ 푛
2 < 1
2

26. Доказательство теоремы Эрдёша
Положим 푡 ≔ 푛1−1 4푘 и введём с. в.
푌 ≔ #н. м. размера 푡 в нашем графе
Пользуясь неравенством 1 − 푝 < 푒−푝 и, помня, что 푝 = 푛1 2푘 −1,
выводим
피 푌 =
푛
푡
1 − 푝
푡
2 < 푒푛
푡
푡
푒−푝푡 푡−1 2 = 푡−1푛푒1−푝 푡−1 2 푡
<
< 푡−1푛푒2−푝푡 2 푡
≤ 푛1 4푘 푒2−0.5푛1 4푘 푡
= 4푘푒2−2푘 푡
< 1
2

27. Доказательство теоремы Эрдёша
• 푡 ≔ 푛1−1 4푘
• 푌 ≔ #н. м. размера 푡 в нашем графе
• 피 푌 < 1
2
Пользуясь неравенством Маркова, получаем
Pr в графе есть н. м. размера 푡 = Pr 푌 ≥ 1 ≤ 피 푌 < 1
2
То есть
Pr 훼 퐺 ≥ 푛1−1 4푘 < 1
2

28. Доказательство теоремы Эрдёша
• Pr #ц. дл. ≤ 푘 в 퐺 превосходит 푛
2 < 1
2
• Pr 훼 퐺 ≥ 푛1−1 4푘 < 1
2
Вероятность того, что в графе 퐺 окажется более 푛
2 циклов длины ≤
푘 или хотя бы одно независимое множество размера 푛1−1 4푘 ,
< 1
2 + 1
2 = 1
Значит, с положительной вероятностью случайный граф 퐺
содержит не более 푛
2 циклов длины ≤ 푘 и имеет 훼 퐺 < 푛1−1 4푘 .

29. Доказательство теоремы Эрдёша
Мы показали, что существует граф 퐺, в котором не более 푛
2 циклов
длины ≤ 푘 и при этом 훼 퐺 < 푛1−1 4푘 .
Удалим из каждого цикла длины ≤ 푘 произвольную вершину.
Останется граф 퐺′, для которого
• g 퐺′ > 푘
• 퐺′ ≥ 푛
2
• 훼 퐺′ ≤ 훼 퐺 < 푛1−1 4푘

30. Доказательство теоремы Эрдёша
Мы показали, что существует граф 퐺′, в котором
• g 퐺′ > 푘
• 퐺′ ≥ 푛 2
• 훼 퐺′ ≤ 훼 퐺 < 푛1−1 4푘
Имеем
휒 퐺′ ≥
퐺′
훼 퐺′ >
푛 2
푛1−1 4푘
= 2푘
Итог: g 퐺′ > 푘 и 휒 퐺′ > 2푘, что и требовалось.

31. Следствия теоремы Эрдёша
Теорема. (P. Erdős ’1959)
При любом 푘 существует граф 퐺, для которого g 퐺 > 푘
и 휒 퐺 > 푘.
Следствие.
При любом 푘 существует граф, для которого g 퐺 > 푘
и 휅 퐺 > 푘.
Доказательство:
Пусть 퐺 — граф, у которого g 퐺 > 푘 и 휒 퐺 > 4푘.
В 퐺 есть подграф 퐺′, для которого 훿 퐺′ ≥ 휒 퐺 − 1 ≥ 4푘.
По теореме Мадера, в 퐺′ есть 푘 + 1 -связный подграф 퐺′′.

32. Совершенные графы
Граф называется совершенным, если любой его порождённый
подграф 퐻 удовлетворяет условию 휒 퐻 = 휔 퐻 .
Теорема. (Lovász ’1972)
Граф 퐺 является совершенным, если и только если любой его
порождённый подграф 퐻 удовлетворяет условию
퐻 ≤ 훼 퐻 ⋅ 휔 퐻 .
Доказательство. Необходимость следует из того, что
в совершенном графе для любого порождённого подграфа 퐻
имеем
퐻 ≤ 훼 퐻 휒 퐻 = 훼 퐻 휔 퐻 .

33. Доказательство теоремы Ловаса
Доказательство достаточности:
Пусть 퐺 — не совершенный граф. Нужно показать, что найдётся
порождённый 퐻 ⊆ 퐺, для которого неравенство 퐻 ≤ 훼 퐻 휔 퐻
нарушится.
Будем считать, что каждый порождённый подграф отличный
от самого 퐺, совершенный.
Так что требуется доказать, что 퐺 > 훼 퐺 휔 퐺 .
Для любого непустого независимого множества 퐴 ⊂ 푉 퐺
выполнены равенства
휒 퐺 − 퐴 = 휔 퐺 − 퐴 = 휔 퐺 ,
так как иначе оказалось бы, что 휒 퐺 = 휔 퐺 .

34. Доказательство теоремы Ловаса
Обозначим 훼 ≔ 훼 퐺 , 휔 ≔ 휔 퐺 .
Пусть 퐴0 = 푣1, … , 푣훼 — н.м. максимального размера в 퐺.
Для каждого 푗 раскраска графа 퐺 − 푣푗 порождает разбиение
множества 푉 퐺 − 푣푗 на независимые множества 퐴푗,1, … , 퐴푗,휔.
Заметим, что любая клика размера 휔 в 퐺 пересекается со всеми,
кроме одного из множеств 퐴0, 퐴1,1, … , 퐴1,휔, … , 퐴훼,1, … , 퐴훼,휔.

35. Доказательство теоремы Ловаса
퐴0 = 푣1, … , 푣훼 — н.м. размера 훼 в 퐺.
푉 퐺 − 푣푗 = 퐴푗,1 ⊔ ⋯ ⊔ 퐴푗,휔 при 푗 = 1, … , 훼.
Пусть 퐾 — клика размера 휔 в 퐺.
Если 퐾 ∩ 퐴0 = ∅, то ∀푗 퐾 ⊆ 푉 퐺 − 푣푗 и следовательно
퐾 ∩ 퐴푗,푙 = 1 для любых 푗, 푙.
Если 퐾 ∩ 퐴0 = 푣푠 , то
при 푗 ≠ 푠 퐾 ∩ 퐴푗,푙 = 1 при всех 푙;
퐾 ∩ 퐴푠,푙 = 1 при всех 푙, кроме одного.

36. Доказательство теоремы Ловаса
퐴0 = 푣1, … , 푣훼 — н.м. размера 훼 в 퐺.
푉 퐺 − 푣푗 = 퐴푗,1 ⊔ ⋯ ⊔ 퐴푗,휔 при 푗 = 1, … , 훼.
Пусть 퐵0 — клика размера 휔 в графе 퐺 − 퐴0 .
Аналогично определим клики 퐵푖,푗 в 퐺 − 퐴푖,푗 .
Занумеруем набор множеств 퐵0, 퐵1,1, … , 퐵훼,휔 индексами
퐵0, 퐵1, … , 퐵훼휔. И 퐴0, 퐴1,1, … , 퐴훼,휔 занумеруем индексами
퐴0, 퐴1, … , 퐴훼휔.
Получаем, что 퐴푖 ∩ 퐵푗 =
1, если 푖 ≠ 푗
0, если 푖 = 푗

37. Лемма Гаспаряна
Лемма. (A. Gasparian ’1996)
Пусть 푋1, … , 푋푚, 푌1, … , 푌푚 — подмножества множества 푣1, … , 푣푛 ,
такие, что
푋푖 ∩ 푌푗 =
1, если 푖 ≠ 푗
0, если 푖 = 푗
Тогда 푚 ≤ 푛.
Непосредственно из леммы Гаспаряна следует неравенство
훼 퐺 휔 퐺 + 1 ≤ 퐺 , что доказывает теорему Ловаса.

38. Доказательство леммы Гаспаряна
Рассмотрим матрицу 푿푚×푛 = 푥푖,푗 , в которой 푥푖,푗 = 1, если 푋푖 ∋ 푣푗
и 푥푖,푗 = 0 иначе.
Аналогично введём 풀푛×푚 = 푦푖,푗 , в которой 푦푖,푗 = 1, если 푣푖 ∈ 푌푗 и
푦푖,푗 = 0 иначе.
Тогда
푛
푘=1
푥푖,푘푦푘,푗 = # 푘 ∣ 푣푘 ∈ 푋푖 ∩ 푌푗 =
1, если 푖 ≠ 푗
0, если 푖 = 푗

39. Доказательство леммы Гаспаряна
푛
푘=1
푥푖,푘푦푘,푗 = # 푘 ∣ 푣푘 ∈ 푋푖 ∩ 푌푗 =
1, если 푖 ≠ 푗
0, если 푖 = 푗
Следовательно,
푿풀 =
0 1
1 0
⋯
⋯
1
1
⋮ ⋱ ⋮
1 1 ⋯ 0
Таким образом, ранг матрицы 푿풀 равен 푚.
Следовательно, ранги 푿 и 풀 не меньше 푚.
А значит, 푛 ≥ 푚. Лемма доказана.

40. Совершенные графы
Теорема. (L. Lovász ’1972)
Граф 퐺 является совершенным, если и только если любой его
порождённый подграф 퐻 удовлетворяет условию
퐻 ≤ 훼 퐻 ⋅ 휔 퐻 .
Следствие.
Граф, дополнительный к совершенному, также является
совершенным.

41. Примеры совершенных графов
• Двудольные графы
• Интервальные графы
(푉 = отрезки на прямой, 퐸 = пары пересекающихся отрезков)
• Графы сравнимости
(푉 = элементы ч.у.м., 퐸 = пары сравнимых элементов)
• Дистанционно-наследственные графы
(расстояния между вершинами не меняются при переходе к связным
порождённым подграфам)
• Графы, каждый блок которых совершенный
• Дополнения совершенных графов

42. Примеры совершенных графов
Введём операцию подстановки графа 퐻 вместо вершины 푥
графа 퐺. (Считаем, что 푉 퐺 ∩ 푉 퐻 = ∅)
Результатом операции является граф 퐺′:
• 푉 퐺′ = 푉 퐺 − 푥 ∪ 푉 퐻
• 퐸 퐺′ = 퐸 퐺 − 푥 ∪ 퐸 퐻 ∪ 푢푣 ∣ 푢 ∈ 푉 퐻 , 푣 ∈ 푉 퐺 , 푣푥 ∈ 퐸 퐺
푥
퐻
퐺 퐺′
Теорема (б/д): если 퐺 и 퐻 совершенны, то таков и 퐺′.

43. Сильная гипотеза Бержа
Циклы на нечётном числе вершин, не меньшем 5, несовершенны,
так как для них 휒 = 3, 휔 = 2.
Оказывается, это «минимальные несовершенные графы»:
Теорема. (Strong Perfect Graph Theorem)
Граф является совершенным тогда и только тогда, когда ни в нём,
ни в его дополнении нет порождённых подграфов, являющихся
циклами нечётной длины не менее 5.