Trigonometricheskie uravneniya

1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯУРАВНЕНИЯ

2. Верно ли, что:
;
32
1
arccos)
π
=а ;
4
)
2
2
arcsin()
π
−=−б
;
3
)
2
1
arccos()
π
−=−в ;
6
11
2
3
arccos)
π
=г
.
4
3
)
2
2
arccos()
π
=−д .
3
3)
π
=arctgе

3. Имеют ли смысл выражения:
);
3
2
arccos() −а ;
3
5
arcsin)б
;2arcsin)в );3arccos() −г
);21arccos() −д ).3() −arctgе

4. ;012) =−сosxв
Решить уравнение:
;
2
1
sin) =xа ;
2
3
cos) =xб
;12) =xtgг
.,
6
)1( Zkkx k
∈⋅+−= π
π
.,2
6
Zkkx ∈⋅+±= π
π
.,2
4
Zkkx ∈⋅+±= π
π
.,
28
Zk
k
x ∈
⋅
+=
ππ

5. Пример 1. Решить уравнение
2 sin2
x + sinx - 1 = 0.
Решение.
Введём новую переменную t = sinx. Тогда данное
уравнение примет вид 2t2
+ t - 1 = 0.
Решим его: D = 1 + 8 = 9,
.1
4
31
,
2
1
4
31
2
1
−=
−−
=
=
+−
=
t
t
Cледовательно,
sinx = 1/2 или sinx = -1.

6. 1) sinx = 1/2,
.,
6
)1(
,,
2
1
arcsin)1(
Zkkx
Zkkх
k
k
∈⋅+−=
∈⋅+−=
π
π
π
2) sinx = -1,
.,2
2
Znnх ∈⋅+−= π
π
,,
6
)1(: ZkkОтвет k
∈⋅+− π
π
.,2
2
Znn ∈⋅+− π
π

7. Решение.
Заменяя sin2
x на 1-сos2
x, получим
квадратное уравнение относительно сosx.
6 ( 1-cos2
x ) + 5 cosx - 2 = 0,
-6 cos2
x + 5cosx + 4 = 0,
6 cos2
x - 5cosx - 4 = 0.
Пусть cos x = t, тогда 6t2
- 5t - 4 = 0,
t1= - 1/2, t2 = 4/3.
Пример 2. Решить уравнение
6sin2
x + 5 cosx - 2 = 0.

8. Cледовательно, сos x = - 1/2 или cos x = 4/3.
.,2
3
2
Zkkх ∈⋅+±= π
π
Уравнение cos x = 4/3 не имеет
решений, так как 4/3 > 1.
.,2
3
2
: ZkkОтвет ∈⋅+± π
π
Решая уравнение сos x = -1/2, находим:

9. Пример 3. Решить уравнение
tgx + 2ctgx = 3.
Решение.
Поскольку ctgx = ,
1
tgx
то уравнение можно записать в виде:
.3
2
=+
tgx
tgx
Обозначим tgx через t. Получим
уравнение ,3
2
=+
t
t
которое приводится к квадратному t2
- 3t + 2 = 0, )0( ≠t

10. t2
- 3t + 2 = 0.
По теореме, обратной теореме Виета,
t1 = 2, t2=1.
.,2
,2)1
Znnarctgx
tgx
∈⋅+=
=
π
.,
4
,,1
,1)2
Zkkx
Zkkarctgx
tgx
∈⋅+=
∈⋅+=
=
π
π
π
,,2: ZnnarctgОтвет ∈⋅+π .,
4
Zkk ∈⋅+π
π

11. Пример 4. sin2
4x = 1/4
;
4
1
2
2cos1
=
− x
cos 2x =1/2
Решение.
Х= ±π/6 + πn; n Є Ζ

12. Пример 5. 3 sin x +4 cos x =0;
Решение.
Поделим обе части уравнения на cos x ≠ 0.
3 tg x + 4 =0 ;
tg x = -4/3 ;
.,)3/4(: ZkkarctgОтвет ∈⋅+− π