حساب المثلثات أولى ثانوى تيرم أول

7 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 8
ثانيا
حساب المثلثات

الزاوية الموجهة :-
هى زاوية محصورة بين ضلعين أحدهما يسمى ضلع أبتدائى والاخر يسمى ضلع نهائى ولها أتجاه
يتحدد من الضلع الابتدائى الى الضلع النهائى
و أ يسمى ضلع أبتدائى و ب يسمى ضلع أبتدائى
و ب يسمى ضلع نهائى و أ يسمى ضلع نهائى
تسمى الزاوية أ و ب تسمى الزاوية ب و أ
لاحظ أن
ق ) أ و ب (  ق) ب و أ (
*************************************************************
للزاوية تقسيمان من حيث القياس
1( من حيث وحدة القياس يوجد نوعان (
أ قياس موجب ب قياس سالب – -
2( من حيث الاشارة )أتجاه الدوران ( (
أ قياس موجب ب قياس سالب - -
***************************************************************
أولا القياس من حيث الوحدة
1( القياس الستينى :- (
هو قياس وحداته الدرجة ، الدقيقة ، الثانية ويرمز له بالرمز س 1 // 06 = /1 ، / 06 = 2( القياس الدائرى :- (
هو قياس وحدته الدرجة الدائرية ) 1 ء
( ويرمز له بالرمز هـ
ء
القياس الدائرى لزاوية مركزية =
هـ
ء
= ـــــ ،،،، نق = ــــــ ،،، ل = هـ
ء نق ×
أ
و
ب
أ
و
ب
قياس الزاوية الموجهة
طول القوس الذى تحصره
طول نصف قطر الدائرة
هـ
ء
ل
نق
ل
نق
ل
هـ
ء
الزاوية الموجهة

أوجد القياس الدائرى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله 16 سم من دائرة طول نصف
قطرها 4سم
هـ
ء = ــــــ = ــــــ = 2.2
ء
***************************************************************
زاوية مركزية قياسها 1.2
ء تحصر قوسا طوله 8.2 سم أوجد طول نصف قطر دائرتها
نق = ـــــــ = ـــــــــ = 2سم
*************************************************************
زاوية مركزية قياسها 1.4
ء تحصر قوساً طوله 4سم أوجد طول القوس الذى تحصره
ل = هـ
ء 8 سم = 2 × نق = 1.4 ×
**************************************************************
هى زاوية مركزية تحصر قوسا طوله يساوى طول نصف قطر دائرتها ) ل = نق ( فيكون قياسها
الدائرى يساوى 1 ء
***************************************************************
ــــــــ = ــــــ ومنه نجد أن
1( س = (
2( هـء = (
ل
نق
16
4
ل
هـ
ء
8.2
1.2
الزاوية النصف قطرية
العلاقة بين القياسين الدائرى والستينى
س 176
هـ
ء
ط
176 × هـء
ط
ط × سْ
176
مثال
الحــــــــــــــــل
مثال
مثال

حول من القياس الستينى إلى القياس الدائرى كلا من القياسات الاتية
126 هـء = = = ) 1 (
46 )2( / 266 هـء = =
12 )2( // 26 / 166 هـ
ء = =
حول من القياس الدائرى إلى القياس الستينى
6.0 )1(
ء سْ =
)فى الالات الحديثة(
)فى الالات القديمة(
1.2 )1(
ء سْ =
)فى الالات الحديثة(
)فى الالات القديمة(
ط × سْ
176
ط × 126
176
12 // 26 / × 166
ط
176
46 / ط × 266
176
176 × 6.0
ط
الحـــــــــــــل
0
6
6
×
180
÷
Exp
=
,,,
0
6
6
×
180
÷
Exp
=
sh
sh
176 × 1.2
ط
1
6
2
×
180
÷
Exp
=
,,,
1
6
2
×
180
÷
Exp
=
sh
sh
120
×
Exp
÷
180
=
120
×
Exp
÷
180
=
200
,,,,
40
,,,,
× Exp
÷
200
,,,,
40
,,,,
×
Sh
Exp
100
,,,
20
,,, ,
15
Exp
÷
180
=
÷
180
=
,,,
180
=
100
,,,
20
,,, ,
15
Exp
× ÷
180
=
Sh
×
,,,
,,,
,,,
مثال
مثال

***************************************************************
حول كلا من القياسات الدائرية الاتية إلى القياس الستينى
1( هـ (
ء = س = = 86
2( هـ (
ء = س = = 066
0( هـ (
ء = س = = 102
أوجد بدلالة ط القياس الدائرى لكلا من القياسات الاتية
126 هـ )1(
ء
= =
126 هـ )2(
ء = =
012 هـ )0(
ء = =
06 هـ )4(
ء = =
ملاحظة
إذا أعطيت القياس الدائرى بدلالة ط فإنه يحول مباشرة إلى القياس الستينى
بالتعويض عن ط بـ 176
ط
2
176
2
2 ط
0
176 × 2
0
0ط
4
176 × 0
4
الحـــــــل
ط × 126
176
2ط
0
ط × 126
176
2ط
0
ط × 012
176
8 ط
4
ط × 06
176
ط
0
مثال
مثال

أوجد القياس الدائرى والقياس الستينى للزاوية المركزية التى تحصر قوسا طوله 2سم من
دائرة طول نصف قطرها 4سم
ل = 2سم
هـ
ء = ــــــ = ــــ = 1.22
ء نق= 4سم
س = = =
أوجد القياس الستينى للزاوية المركزية التى تحصر قوسا طوله 8سم من دائرة طول قطرها
16 سم
ل = 8سم
هـ
ء = ــــــ = ــــ = 1.7
ء نق= 2سم
س = = =
زاوية مركزية قياسها 126 طول نصف قطر دائرتها 2سم أوجد طول القوس الذى تحصره
هـء = = = 2.1 ء س = 126
نق= 2سم
16.2 سم = 2 × نق = 2.1 × ل = هـء
زاوية مركزية قياسها 126 تحصر قوساً طوله سم أوجد طول نصف قطر دائرتها
س = 126 ل = = 10.02
هـء = = = 2.0
نق = ـــــــ = = 2.22 سم
ل
نق
2
4
176 × هـء
ط
176 × 1.22
ط
ل
نق
8
2
176 × هـء
ط
176 × 1.7
ط
ط × سْ
176
ط × 126
176
18 ط
4
18 ط
4
ط × س
176
ط × 126
176
ل
هـء
10.02
2.0
مثال
مثال
مثال
مثال

زاوية محيطية قياسها 02 طول نصف قطر دائرتها = 4سم أوجد طول القوس الذى تحصره
106 نق = 4سم = 02 × سْ = 2
هـء = = 2.0
8.2 سم = 4 × نق = 2.0 × ل = هـء
82 تحصر قوساً طوله 16 سم أوجد طول نصف قطر دائرتها / زاوية محيطية قياسها 26
126 ل = 12 سم / 46 = 82 / 26 × سْ = 2
هـء = = 2.00 ء
نق = ــــــ = ـــــــــــ = 2.8 سم
أوجد القياسين الدائرى والستينى للزاوية المركزية التى تحصر قوساً طوله يساوى طول
نصف قطر دائرتها ) الزاوية النصف قطرية (
ل = نق
28 / 18 // هـء = ــــــــ = ـــــــ = 1 ء س = = 44
أوجد القياسين الدائرى والستينى للزاوية المركزية التى تحصر قوساً طوله يساوى طول
قطر دائرتها
ل = 2نق
114 / 02 // هـء = ــــــــ = ـــــــ = 2 ء س = = 28
ط × 106
176
46 / ط × 126
176
ل
هـء
12
2.00
ل
نق
نق
نق
176 × 1
ط
ل
نق
2نق
نق
176 × 2
ط
مثال
مثال
مثال
مثال

] أ [
1[أوجد القياس الدائرى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله 7سم من دائرة طول نصف قطرها 2سم [
2[زاوية مركزية قياسها 1.2 ء من دائرة طول نصف قطرها 4سم أوجد طول القوس الذى تحصره [
0[زاوية مركزية قياسها 1.0 ء تحصر قوساً طوله 16 سم أوجد طول نصف قطر دائرتها [
4[ زاوية مركزية قياسها 1.2 ء وطول قطر دائرتها 14 سم أوجد طول القوس الذى تحصره [
**************************************************************
]ب [ حول من القياس الدائرى إلى القياس الستينى كلا مما يأتى
2.1 ء ] 4.0 ء ] 2 ] 2.0 ء ] 4 ] 1.0 ء ] 0 ] 6.8 ء ] 2 ]1[
***************************************************************
]جـ[ حول من القياس الستينى إلى القياس الدائرى كلا مما يأتى
/ 46 //12]2[ 206 / 22 ]4[ 126 / 46 ]0[ 186 ]2[ 116 [1[
266
***************************************************************
]ء[
1( أوجد القياسين الدائرى والستينى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله 8سم من دائرة طول نصف (
قطرها 0سم
2( زاوية مركزية قياسها 126 تحصر قوساً طوله 16 سم أوجد طول نصف قطر دائرتها (
0( زاوية مركزية قياسها 122 طول نصف قطر دائرتها 2سم أوجد طول القوس الذى تحصره (
4( زاوية محيطية قياسها 02 طول نصف قطر دائرتها 0سم أوجد طول القوس الذى تحصره (
86 تحصر قوساً طوله 26 سم لأوجد طول نصف قطر دائرتها / 2( زاوية محيطية قياسها 22 (
0( أوجد القياسين الدائرى والستينى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله يساوى طول نصف قطر (
دائرتها
8( أوجد القياسين الدائرى والستينى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله يساوى طول قطر دائرتها (
7( أوجد القياسين الدائرى والستينى لزاوية مركزية تحصر قوساً طوله 2 ط من دائرة طول نصف (
قطرها 0سم
**************************************************************
]هـ[ أوجد القياس الستينى لكلا مما ياتى
)0( )2( )4( )0( )2( )1(
***************************************************************
]و[ أوجد بدلالة ط القياس الدائرى لكلا مما يأتى
012 )0( 246 )2( 006 )4( 222 )0( 102 )2( 216 )1(
) تمارين ) 1
0ط
4
4ط
0
2ط
0
ط
8
ط
2
ط
0

القياس من حيث الاشارة
ينقسم القياس من حيث الاشارة إلى
1( القياس الموجب (
يكون قياس الزاوية الموجهة موجبا إذا كان
أتجاه الدوران من الضلع الأبتدائى إلى الضلع
النهائى ضد حركة عقارب الساعة
1( القياس السالب (
يكون قياس الزاوية الموجهة سالبا إذا كان
أتجاه الدوران من الضلع الأبتدائى إلى الضلع
النهائى مع حركة عقارب الساعة
للتحويل من قياس سالب إلى قياس موجب
– القياس الستينى السالب = القياس الستينىالموجب 006
القياس الدائرى السالب = القياس الدائرى الموجب 2ط ) بدلاللة ط ( –
للتحويل من قياس موجب إلى قياس سالب
القياس الستينى الموجب = القياس الستينى السالب + 006
القياس الدائرى الموجب = القياس الدائرى السالب + 2ط ) بدلاللة ط (
حول كلا من القياسات الموجبة الاتية إلى القياس السالب
266 / 26 // 22 )0( 126 )1(
- - – 006 266 / 26 // 216 القياس السالب = 22 =006 القياس السالب = 126
46 )2( / - 128 / 8 // 02 = 166
–ْ 006 166 / القياس السالب= 46
و
أ
ب
و
أ
ب
مثال

- 26 = / 228
حول كلا من القياسات الدائرية الموجبة الاتية إلى القياس السالب
)2( )1(
القياس السالب = 2 ط القياس السالب = 2 ط - -
= = = =
حول كلا من القياسات السالبة الاتية إلى القياس الموجب
– )4( 126 )1(
246 القياس الموجب = + 2 ط - = 006+ القياس الموجب = 126
= =
– 26 )2( / 266
)2(
- 006+ 266 / الفياس الموجب = 26
16 = / 128 القياس الموجب = + 2 ط
= =
– 26 )0( / 02 / 102
0( ط - (
– 006+ْْ 102 / 02 / القياس الموجب = 26
46 = // 14 / 184 القياس الموجب = ط + 2 ط = ط -
ط
0
ط
0
ط 0 ط –
0
2ط -
0
2 ط
4
2 ط
4
2ط 7ط –
4
0ط -
4
ط -
2
ط -
2
ط+ 16 ط -
2
8ط
2
0ط -
4
0ط -
4
0ط + 7ط -
4
2ط
4
مثال
مثال

] أ [ حول من القياس الموجب إلى القياس السالب
066 )0( 212 )2( 106 )1(
26 )4( / 102 / 02 )0( 100 / 12 )2( 166
22)8( // 46 / 212 / 06 // 26 )8( 22 / 02 // 46 )7( 122
)12( )11( )16(
)12( )14( )10(
***************************************************************
]ب [ حول من القياس السالب إلى القياس الموجب
- - - 067 )0( 242 )2( 146 )1(
- 26 )4( / - - 182 / 02 )0( 108 / 42 )2( 126
- 22 )8( // 42 / - - 282 / 06 // 26 )8( 166 / 22 // 46 )7( 022
)12( )11( )16(
)12( )14( )10(
***************************************************************
س أكمل العبارات الاتية
1 يكون قياس الزاوية الموجهة موجباً إذا كان أتجاه الدوران من الضلع الأبتدائى إلى الضلع النهائى -
................ حركة عقارب الساعة
2 يكون قياس الزاوية الموجهة سالباً إذا كان أتجاه الدوران من الضلع الأبتدائى إلى الضلع النهائى -
................ حركة عقارب الساعة
0 الزاوية التى قياسها الموجب ط يكون القياس السالب المكافئ لها هو ............ -
4 أكبر قياس سالب مكافئ للزاوية التى قياسها 1066 هو.............. -
) تمــــــارين) 2
0ط
4
4ط
0
2ط
0
ط
8
ط
2
ط
0
0ط -
4
4ط
0
2ط
0
ط
8
ط -
2
ط -
0

2 أصغر قياس موجب مكافئ للزاوية التى قياسها 1666 هو .............. – -
الزوايا المتكافئة :-
هى الزوايا التى لها نفس الشعاع النهائى وتنتج بأضافة أو طرح ) 006 أو 2 ط ( من القياس حسب
نوعه
006 )إذا كان القياس ستينى × هـ = هـ + ن
هـ = هـ + 2 ن ط ) إذا كان القياس دائرى بدلالة ط ( فمثلا
2+ ط = = = 086 = 006+06 = 06
2+ ط = = = 826 = 006 × 2+ 06 =
1116 = 006 × 0+ 06 =
ولهذا فإن الزاوية
1116 = 826 = 086 = 06
***************************************************************
16 ط = وهكذا + 7 ط = 06 + 0ط = 06 + 4 ط = 06 + 2+ ط = 06 06 = 06
لكن
8 ط = 116 + 8ط = 06 + 2 ط = 06 + 0 ط = 06 + 06 + ط = 06
وكذلك
- – 006 = 006 06 = 06
- – 086 = 006 × 2 06 = 06
- – 1126 = 006 × 0 06 = 06
خلاصة القول
أن الزاوية لا تتغير أذا أضيف إليها عدد كامل من الدورات أو طرح منها عدد كامل من الدورات
**************************************************************
لاحظ أن
)1( إذا كانت 6 > س > 86 فإن س تقع فى الربع الاول
)2( إذا كانت 86 > س > 176 فإن س تقع فى الربع الثانى
ط
2
ط + 16 ط
2
11 ط
2
ط
2
11 ط
2
11 ط + 16 ط
2
21 ط
2
6
86
176
الربع
الاول
الربع
الثانى
الربع
الرابع
الربع
الثالث

)0( إذا كانت 176 > س > 286 فإن س تقع فى الربع الثالث
)4( إذا كانت 286 > س > 006 فإن س تقع فى الربع الرابع
حدد الربع الذى تقع فيه كلا من الزوايا التى قياسها كالاتى
1266 )1(
– – –ْ 126 = 006 476 = 006 746 = 006 1266 = 1266
الزاوية التى قياسها 1266 تقع فى الربع الثانى
***********************
– 1266 )2(
- - - - - - 06 = 006+ 426 = 006+ 876 = 006+ 1146 = 006+ 1266 = 1266
- 066 = 006+ 06 =
الزاوية التى قياسها 1266 تقع فى الربع الرابع –
*********************
)0(
- – – 46 = 006 466 = 006 806 = 006 1126 = 1126 = =
الزاوية التى قياسها تقع فى الربع الاول
*************************
)4(
- - - - 222=006+ 102 =006+ 482 = 006+ 722 = 722 = =
الزاوية التى قياسها تقع فى الربع الثالث
286
18 ط
0
18 ط
0
176 × 18
0
18 ط
0
18 ط -
4
18 ط -
4
- 176 × 18
4
18 ط -
4
مثال

1 إعداد أ/ سيد معـــــــــروف 6 الرياضيــــــــــــات للصف الاول الثانوى 6
حساب المثلثات
الفصل الثانى
الدوال المثلثية
بســــــــــــــــــــــم الله الرحمن الرحيم
إعداد أ/ سيد معــــــــــــروف

دائرة الوحدة : -
) 6 ، هى دائرة مركزها نقطة الاصل و) 6
وطول نصف قطرها 1سم تقطع محورى
الاحداثيات فى أربعة نقط هى على الترتيب
) 1 ، 6 ( ،،،، ب = ) 6 ، أ=) 1
- - ) 1 ، 6 ( ،،، ء = ) 6 ، جـ = ) 1
**************************************************************
إذا فرض وجود نقطة ب = ) س ، ص ( هذه النقطة فى أى
موضع تكون زاوية أ و ب يمكن تعريف مجموعة من الدوال
المثلثية لهذه الزاوية وهذه الدوال تعتمد على الاحداثيين
السينى والصادى لنقطة ب وهى كالاتى
1( دالة الجيب ) جا ( sin 4( دالة قاطع التمام ) قتا ( ( )
جا )أ و ب ( = الاحداثى الصادى لنقطة ب=ص قتا)أ و ب ( = ـــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ
*************************************************************
2( دالة جيب التمام ) جتا ( cos 2( دالة القاطع ) قا ( ( )
جتا )أ و ب ( = الاحداثى السينى لنقطة ب = س قا)أ و ب ( = ــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ
**************************************************************
0( دالة الظل ) ظا ( tan 0( دالة ظل التمام ) ظتا ( ( )
الدوال المثلثية
أ
ب
جـ
ء
) 6 ، 1(
) 1 ، 6 (
- ) 6 ، 1 (
- ) 1 ، 6 (
و
أ
ب
)س،ص(
س
ص
1سم
الاحداثى الصادى
الاحداثى السينى
ص
س
1
1
ص
1
1
س
س
ص

ظا) أ و ب ( = = ظتا) أ و ب ( = =
ملخص الدوال المثلثية
إذا كانت زاوية أ و ب = هـ تقطع دائرة الوحدة فى نقطة ب = ) س ، ص ( فإن
جا هـ = ص قتا هـ = ــــــ
جتاهـ = س قاهـ = ــــــ
ظاهـ = ظتاهـ =
***************************************************************
إذا كانت أ و ب زاوية فى وضعها القياسى تقطع دائرة الوحدة فى النقطة ب أوجد جميع الدوال
المثلثية لها إذا كانت
1( ب = ) ، ( ) 0( ) س ، ( حيث س < 6 (
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــل الحـــــــــــــــــــــــــــــــــل
جاهـ = قتاهـ = ــــــــ نوجد الاحداثى السينى من العلاقة
1 = س 2 + ص 2
1 = 2) ( + جتاهـ = قــاهـ = 2 س 2
1 = + س 2
- = 1 = ظاهـ = ــــــــ = 0 ظتاهـ = ـــــ س 2
6.7 ( س = = ، 2( ب = ) 6.0 (
الحـــــــــــــــــــــــــل
جاهـ = قتاهـ = ب = ) ، (
جتاهـ = قاهـ = جاهـ = قتاهـ = 2
ظاهـ = ـــــــ = ظتاهـ = جتا هـ = قاهـ = ـــــ
ص
س
1
ص
1
س
س
ص
ملاحظة هامة جد اً
الاحداثى الصادى والسينى لنقطة ب يرتبطان
1 = بالعلاقة س 2 + ص 2
1
2
0
2
0
2
1
2
1
2
0
2
1
0
2
0
7
16
0
16
7
16
0
16
7
0
16
7
16
0
0
7
1
2
1
2
1
4
1
4
0
4
0
4
0
2
0
2
0
2
1
2
1
2
2
0
مثال

ظاهـ = ـــــــ = ـــــ ظتاهـ = 0
4( ) س ، س ( حيث س > 6 (  إحداثيات ب = ) ـــــــ ، ــــــــ (
الحـــــــــــــــــــــــل الحــــــــــــــــــــــــــــــــــل
- نوجد أولا قيمة س جاهـ = ـــــــــ قتاهـ = 2
1 = س 2 + س 2
- 1 جتاهـ = ــــــــ قاهـ = 2 = 2س 2
= س 2
س = = ــــــــ ظاهـ = ــــــــــ = 1 ظتاهـ = 1
**************************************************************
إذا كانت أ و ب زاوية فى وضعها القياسى تقطع دائرة الوحدة فى نقطة ب أوجد جميع الدوال المثلثية
لها إذا كانت
2( إحداثيات نقطة ب = ) ، ( ( ) 6 ، 1( إحاثيات نقطة ب = ) 1 (
4( إحداثيات نقطة ب = ) ،ص( حيث ص > 6 ( 0( إحاثيات نقطة ب = )س، 6.0 (حيث س< 6 (
- - ) 0( إحداثيات نقطة ب = )س، 1 ( 2( إحاثيات نقطة ب = ) س، س(حيث س< 6 (
7( إحداثيات نقطة ب = )س، 2س(حيث س< 6 ( 8( إحاثيات نقطة ب = ) 0أ ، 4أ(حيث أ< 6 (
16 ( إحداثيات نقطة ب = ) 1، ص( - ( 8( إحاثيات نقطة ب = ) 2ص، 0ص(، ص> 6 (
12 ( إحداثيات نقطة ب = ) ــــــ ، ص(،ص< 6 ( 11 ( إحاثيات نقطة ب = ) 0س، 7س(س> 6 (
1
2
0
2
1
0
1
2
1
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
تــــــدريب
0
2
4
2
2
0
1
2

14 ( إحداثيات نقطة ب = ) ، ص(، ص > 6 ( 10 ( إحاثيات نقطة ب = )س ، ( س< 6 (
تختلف أشارة الدوال المثلثية بإختلاف الربع الذى تقع فيه الزاوية وذلك على حسب أشارة س ، ص
فى كل ربع فمثلا
1( فى الربع الاول س)موجبة ( ، ص )موجبة ( ولهذا فإن (
جتا)موجبة( ، جا)موجبة ( ، ظا)موجبة (
2( فى الربع الثانى س)سالبة ( ، ص )موجبة ( ولهذا فإن (
جتا)سالبة( ، جا)موجبة ( ، ظا)سالبة (
1( فى الربع الثالث س)سالبة ( ، ص )سالبة ( ولهذا فإن (
جتا)سالبة( ، جا)سالبة ( ، ظا)موجبة (
1( فى الربع الرابع س)موجبة ( ، ص )سالبة ( ولهذا فإن (
جتا)موجبة( ، جا)سالبة ( ، ظا)سالبة (
.***************************************************************
1( دالة الجيب ) جاس( (
موجبة فى الربعين) الاول والثانى ( ************ سالبة فى الربعين ) الثالث والرابع (
2( دالة جيب التمام )جتاس( (
موجبة فى الربعين ) الأول والرابع ( ************ سالبة فى الربعين ) الثانى والثالث (
0( دالة الظل ) ظاس( (
موجبة فى الربعين ) الأول والثالث ( ************سالبة فى الربعين ) الثانى والرابع (
***************************************************************
فمثلا
 جا 166 ) موجبة ( لان 166 تقع فى الربع الثانى والـ جا فى الربع الثانى موجبة
 جتا 166 )سالبة ( لان 166 تقع فى الربع الثانى والـ جتا فى الربع الثانى سالبة
 ظا 166 ) سالبة ( لان 166 تقع فى الربع الثانى والـ ظا فى الربع الثانى سالبة
0
4
2
0
إشارة الدوال المثلثية
كل+
جا+ ، قتا+
ظا+ ، ظتا+
جتا+، قا+

أكمل العبارات الاتية
1( أشارة ظا 126 تكون .............. ) 2( أشارة قا 166 تكون ............... (
0( أشارة قتا 066 تكون .............. ) 4( أشارة جا 222 تكون .............. (
2( أشارة جتا 006 تكون ............ ) 0( أشارة ظتا 06 تكون ............... (
8( أشارة ظا 26 تكون .............. ) 7( أشارة قا 216 تكون ............... (
8( أشارة قتا 146 تكون .............. ) 16 ( أشارة جا 106 تكون .............. (
11 ( أشارة جتا 206 تكون ............ ) 12 ( أشارة ظتا 186 تكون ............... (
10 ( أشارة ظا 266 تكون .............. ) 14 ( أشارة قا 86 تكون ............... (
12 ( أشارة قتا 2266 تكون .............. ) 10 ( أشارة جا 022 تكون .............. (
18 ( أشارة ظا 016 تكون .............. ) 26 ( أشارة قا 026 تكون ............... (
21 ( أشارة قتا 76 تكون .............. ) 22 ( أشارة جا 82 تكون .............. (
22 ( أشارة جا) 166 ( تكون............ ) 20 ( أشارة ظا) 066 ( تكون ........... - - (
28 ( أشارة جتا) 126 ( تكون............ ) 27 ( أشارة ظتا) 06 ( تكون ........... - - (
28 ( أشارة قا) 266 ( تكون............ ) 06 ( أشارة قا) 2666 ( تكون ........... - - (
01 ( أشارة قتا) 066 ( تكون............ ) 02 ( أشارة ظا) 1666 ( تكون ........... - - (
00 ( أشارة جا) 1666 ( تكون............ ) 04 ( أشارة ظا) 2666 ( تكون ........... (
02 ( إذا كانت جاس < 6 ، جتاس > 6 فإن س تقع فى الربع ................. (
00 ( إذا كانت جاس < 6 ، جتاس < 6 فإن س تقع فى الربع ................. (
08 ( إذا كانت جاس > 6 ، جتاس > 6 فإن س تقع فى الربع ................. (
07 ( إذا كانت جاس > 6 ، جتاس < 6 فإن س تقع فى الربع ................. (
تدريب

***************************************************************
بدون أستخدام الحاسبة أوجد قيمة كلا من المقادير الاتية
1( جا 06 جتا 06 + جتا 06 جا 06 (
1 = = + = × + × = المقدار
**************************************************************
- 42 + ظا 42 جتا 176 2( جا 2 (
- – 2.2 = 1+ 1 + = ) 1 ( 1 + المقدار = ) ( 2
**************************************************************
الدوال المثلثية لبعض الزوايا الخاصة
42ْ 06ْ 06 006ْ 286ْ 176ْ الزاوية 86 6
- - ) ، ( ) ، ( ) ، ( )6 ، 1( )1 ، 6( )6 ،1 ( ) 1 ، 6( )6 ، النقطة ) 1
- جــــــا 6 1 6 1 6
- جتــــا 1 6 1 6 1
ظـــــا 6 غيرمعرف 6
غير
معرف
1 0 6
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
2
0
2
0
2
0
2
1
0
1
2
0
2
0
2
1
2
1
2
0
4
1
4
4
4
1
2
1
2
الحــــــــــــــــــل
مثال

06 + جا 286 0( قا 06 + ظا 2 (
- – 4 = 1 0+2 = )1 ( + 2) 0 ( + المقدار = 2
بدون أستخدام الحاسبة إثبت أن
– 42 06 ظتا 2 8 جتا 0 = 06 4( جا 0 ( 2 جا 42 جتا 42 = 1( جا 86 (
= الايمن = 1 الايمن = ) ( 0
1 = × 2 = × × الايسر = 2
- – 1 × 8 = 2)1( 0) ( الايسر = 8
 الطرفان متساويان
- = 1 =
– 1 06 2 جتا 2 = 2( جتا 06 (
2( جتا 06 جتا 06 جا 06 جا 06 = صفر – (
الايمن =
- - – × × = 1 الايمن × 2= 1 2) ( الايسر= 2
- = 1 =
= = صفر -
6= 2جتا 176 + 0( جا 06 قا 06 + ظا 42 قتا 86 (  الطرفان متساويان
- ) 1 ( 2+ 1 × 1 + 2 × = الايمن
– 2 1 + 1 =
2 = صفر – 2 =
1
2
1
2
1
2
1
2
0
2
0
4
0
2
1
2
1
2
1
2
1
7
1
2
1
2
8
7
1
7
1
2
1
2
0
2
0
2
0
4
0
4
مثال

 الطرفان متساويان
بدون إستخدام الحاسبة أوجد قيمة س حيث 6 > س > 86 التى تحقق أن
4( ظاس = 4 جا 06 جتا 06 ( 1( جاس = 2 جا 42 جتا 42 (
× × ظاس = 4 × × جاس = 2
× ظاس = 4 × جاس = 2
جاس = 1 ظاس = 0
س = 86 س = 06
2( ظتاس = 4 جا 06 جتا 06 ( 2( ظاس = 2 جا 06 (
× × ظتاس = 4 × ظاس = 2
ظـــــــاس = 0
س = 06 ظتاس = 0
س = 06
0( قتاس = 2 جا 86 (
2 = 1 × قتاس = 2
س = 06
1
2
1
2
1
2
0
2
1
2
0
2
0
4
0
2
1
2
مثال

1( العلاقة بين الدوال المثلثية للزاويتين المتتامتين هـ ، 86 هـ – (
لاى زاويتين س ، ص مجموعهما = 86 فإن
جاس = جتاص ، قتاس = قاص ، ظاس = ظتاص .......................وهكذا
ملاحظة هامة :-
1( إذا كان جاس = جتاص فإن س + ص = 86 (
2( إذا كان قتاس = قاص فإن س + ص = 86 (
0( إذا كان ظاس = ظتاص فإن س + ص = 86 (
***************************************************************
أكمل العبارات الاتية
1( جا 26 = جتا ..... ) 2( ظتا 76 = ظا ..... ) 8( قا 28 = قتا ..... (
2( ظا 06 = ظتا....... ) 0( جتا 22 = جا ...... ) 16 ( ظتا 01 = ظا ...... (
0( قتا 86 = قا ........ ) 8( جا 82 = جتا....... ) 11 ( جتا 82 = جا ...... (
4( قا 02 = قتا ...... ) 7( ظا 72 = ظتا ...... ) 12 ( قتا 24 = قا ....... (
10 ( إذا كان جاس = جتاص فإن س+ ص = ....... ) 21 ( جتا) 86 س ( = .......... – (
14 ( إذا كان قتاس = قاص فإن س + ص = ...... ) 22 ( ظتا) 86 هـ ( = ........... – (
26 = جتا .............. / 12 ( إذا كان ظتاس = ظاص فإن س + ص = ..... ) 20 ( جا 26 (
06 = جا ................ / 10 ( إذا كان جا 46 = جتاص فإن ص = ......... ) 24 ( جتا 22 (
26 = ظتا ............... / 18 ( إذا كان جاس = جتا 2س فإن س = .......... ) 22 ( ظا 26 (
خواص الدوال المثلثية
جا ) 86 هـ ( = جتا هـ قتا ) 86 هـ ( = قاهـ – –
جتا) 86 هـ ( = جاهـ قا) 86 هـ ( = قتاهـ – –
ظا) 86 هـ ( = ظتاهـ ظتا) 86 هـ ( = ظاهـ – –

17 ( إذا كان ظا 2س = ظتا 0س فإن س = ......... ) 20 ( قا) 86 ص ( = ................... – (
18 ( إذا كان جاس = جتاس فإن س = .......... ) 28 ( قتا) 86 ن ( = ............ – (
26 ( جا) 86 س ( = ................. ) 27 ( ظا) 86 ع ( = ............ – – (
أوجد قيمة س التى تحقق كلا مما يأتى
– ) 1( ظاس = ظتا 2 س ) 2( ظتا) 2س 06 ( = ظا ) 0ش + 16 (
– 86 = 0 س + 16 + 2س 06 س + 2 س= 86
– 86 = 2س 26 0س = 86
26+ 2س = 86 س = 06
2س = 116
2( جا 4س = جتا 2س س = 22 (
) 0( جا)س + 46 ( = جتا )س + 26 ( 4س + 2س = 86
8س = 86
س= 16
86 = س + 46 + س + 26
86 = 2س + 06 ) 0( جتا)س + 26 ( = جا) س + 26 (
– 06 2س = 86
2س = 06
86 س = 12 = س + 26 + س + 26
86 = 2س + 86
– 8( ظا 4س ظا 2س = 1 ( 86 2س = 86
2س = 26
س = 16
ظا 4س = ـــــــــــــ
– ) 4( قتا)س+ 16 ( = قا)س 46 (
ظا 4 س = ظتا 2 س
–ْ 4 س + 2 س = 86 86 = س + 16 + س 46
–ْ 8 س = 86 86 = 2س 06
06 س = + 2س = 86
2س = 126 س = 16
س = 06
مثال
1
ظا 2س
86
8

ثانيا : العلاقة بين الدوال المثلثية للزاويتين هـ ، 176 هـ –
102 ، 126 ، تستخدم هذه العلاقات فى إيجاد الدوال المثلثية للزوايا 126
06 ( = جا 06 = ومنه قتا 126 = ـــــــ – جا 126 = جا) 176
- - – 2 = 06 ( = جتا 06 = ومنه قا 126 جتا 126 = جتا ) 176
0 ومنه ظتا 126 = ـــــــ – - - - = 06 ( = ظا 06 ظا 126 = ظا ) 176
***************************************************************
– 2 = 06 ( = جا 06 = ومنه قتا 126 جا 126 = جا) 176
06 ( = جتا 06 = ومنه قا 126 = ــــــ – - - - جتا 126 = جتا ) 176
- - - – 0 = 06 ( = ظا 06 = ـــــــ ومنه ظتا 126 ظا 126 = ظا ) 176
***************************************************************
– 2 = 42 ( = جا 42 = ومنه قتا 102 جا 102 = جا) 176
- - – 2 = 42 ( = جتا 42 = ومنه قا 102 جتا 102 = جتا ) 176
- - - – 1 = 1 ومنه ظتا 102 = 42 ( = ظا 42 ظا 102 = ظا ) 176
جا ) 176 هـ ( = جا هـ قتا ) 176 هـ ( = قتاهـ – –
جتا) 176 هـ ( = جتاهـ قا) 176 هـ ( = قاهـ – – - -
ظا) 176 هـ ( = ظاهـ ظتا) 176 هـ ( = ظتاهـ – – - -
0
2
0
2
1
2
- 1
2
1
2
- 1
2
2
0
2
0
1
0
1
0

ثالثا : العلاقة بين الدوال المثلثية للزاويتين هـ ، 176 + هـ
222 ، 246 ، تستخدم هذه العلاقات فى إيجاد الدوال المثلثية للزوايا 216
06 ( = جا 06 = ومنه قتا 246 = ـــــ - - - + جا 246 = جا) 176
- - 2 = 06 ( = جتا 06 = ومنه قا 246 + جتا 246 = جتا ) 176
0 ومنه ظتا 246 = ـــــ = 06 ( = ظا 06 + ظا 246 = ظا ) 176
***************************************************************
- - 2 = 06 ( = جا 06 = ومنه قتا 216 + جا 216 = جا) 176
06 ( = جتا 06 = ومنه قا 216 = ــــــ - - - + جتا 216 = جتا ) 176
0 = 06 ( = ظا 06 = ـــــ ومنه ظتا 216 + ظا 216 = ظا ) 176
***************************************************************
- - 2 = 42 ( = جا 42 = ومنه قتا 222 + جا 222 = جا) 176
- - 2 = 42 ( = جتا 42 = ومنه قا 222 + جتا 222 = جتا ) 176
1 = 1 ومنه ظتا 222 = 42 ( = ظا 42 + ظا 222 = ظا ) 176
جا ) 176 + هـ ( = جا هـ قتا ) 176 + هـ ( = قتاهـ - -
جتا) 176 + هـ ( = جتاهـ قا) 176 + هـ ( = قاهـ - -
ظا) 176 + هـ ( = ظاهـ ظتا) 176 + هـ ( = ظتاهـ
0
2
- 1
2
- 1
2
2
0
1
0
0
2
- 1
2
- 1
2
2
0
1
0

رابعا : العلاقة بين الدوال المثلثية للزاويتين هـ ، 006 هـ –
012 ، 006 ، 0 تستخدم هذه العلاقات فى إيجاد الدوال المثلثية للزوايا 66
06 ( = جا 06 = ومنه قتا 066 = ــــــ – - - - جا 066 = جا) 006
– 2 = 06 ( = جتا 06 = ومنه قا 066 جتا 066 = جتا ) 006
0 ومنه ظتا 066 = ــــــ – - - - = 06 ( = ظا 06 ظا 066 = ظا ) 006
***************************************************************
- - – 2 = 06 ( = جا 06 = ومنه قتا 006 جا 006 = جا) 006
06 ( = جتا 06 = ومنه قا 006 = ــــــ – جتا 006 = جتا ) 006
- - – 0 = 06 ( = ظا 06 = ــــــ ومنه ظتا 006 ظا 006 = ظا ) 006
***************************************************************
- - – 2 = 42 ( = جا 42 = ومنه قتا 012 جا 012 = جا) 006
– 2 = 42 ( = جتا 42 = ومنه قا 012 جتا 012 = جتا ) 006
- - - – 1 = 1 ومنه ظتا 012 = 42 ( = ظا 42 ظا 012 = ظا ) 006
جا ) 006 هـ ( = جا هـ قتا ) 006 هـ ( = قتاهـ – – - -
جتا) 006 هـ ( = جتاهـ قا) 006 هـ ( = قاهـ – –
ظا) 006 هـ ( = ظاهـ ظتا) 006 هـ ( = ظتاهـ – – - -
0
2
- 1
2
1
2
2
0
1
0
0
2
1
2
- 1
2
2
0
- 1
0

خامساً : العلاقة بين الدوال المثلثية للزاويتين هـ ، هـ –
- - - - - = 06 (= جا 06 جا) 06 ( = جا 06 = طريقة أخرى جا) 06 ( = جا 006 = جا) 006
- - - = 06 ( = جتا 06 جتا) 06 ( = جتا 06 = طريقة أخرى جتا) 06 ( = جتا 006 =جتا) 006
06 (= ظا 06 = ـــــ – - - - - ظا) 06 ( = ظا 06 = ـــــــ طريقة أخرى ظا) 06 (= ظا 006 = ظا) 006
- - - - – = 06 ( = جا 06 جا) 126 ( = جا 126 = جا) 176
- - = 06 ( = جا 06 + أو جا) 126 ( = جا 216 = جا) 176
- - - – = 06 ( = جتا 06 جتا) 126 ( = جتا 126 = جتا) 176
- - - = 06 ( = جتا 06 + أو جتا) 126 ( = جتا 216 = جتا) 176
- - - - - – = جا 06 = جا 06 × = ) 06 جا) 066 ( = جا 066 = جا) 006
- = أو جا) 066 ( = جا 06
جا ) هـ ( = جا هـ قتا ) هـ ( = قتاهـ – – - -
جتا) هـ ( = جتاهـ قا) هـ ( = قاهـ – –
ظا) هـ ( = ظاهـ ظتا) هـ ( = ظتاهـ – – - -
0
2
- 1
2
0
2
- 1
0
- 1
2
0
2
- 1
0
- 1
2
- 1
2
0
2
0
2
0
2

بدون الحاسبة أوجد قيمة كلا من المقادير الاتية
1( جتا 126 جا 066 + جتا 126 جا 216 + ظا 102 (
- – = 06 ( = جتا 06 جتا 126 = جتا) 176
- – = 06 ( = جا 06 جا 066 = جا) 006
- – = 06 ( = جتا 06 جتا 126 = جتا) 176
- = 06 ( = جا 06 + جا 216 = جا) 176
- - – 1 = 42 ( = ظا 42 ظا 102 = ظا) 176
1 = صفر – - - 1 = 1 + = )1 ( + × + × = المقدار
***************************************************************
- – 2 ظا 222 جتا 126 قتا) 066 ( جا 246 )2(
1 = 42 ( = ظا 42 + ظا 222 = ظا) 176
- – = 06 ( = جتا 06 جتا 126 = جتا) 176
قتا ) 066 ( = قتا 06 = ـــــــ -
- = 06 ( = جا 06 + جا 246 = جا) 176
1 = صفر - - + 1 = × ــــــــ × 1 × المقدار = 2
- 0
2
- 0
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
- 1
2
- 0
2
- 0
2
0
4
1
4
- 1
2
- 0
2
2
0
- 0
2
2
0
- 1
2
مثال

بدون استخدام الحاسبة أوجد قيمة كلا من المقادير الاتية
2ظا 222 جتا 126 قتا ) 066 ( جا 246 ]صفر[ – - )1(
- ] [ 2( جا 426 ظا 006 + جتا) 126 ( قتا 216 (
0( جا 716 ظا ) 272 ( + ظتا 082 قتا 006 ]صفر[ - (
– ] [ 4( جتا 216 جا 426 ظا 012 + جا 86 (
- ] [ 2( جا ) 06 ( ظتا 126 + جتا 066 جا 826 (
- – ] [ 0( ظا 222 جتا 246 قا ) 066 ( جا 006 (
- ] 1 [ 8( جا 426 جتا) 086 ( + جا 216 جتا 246 (
7( جتا 126 جا 426 جتا 006 جا 066 ] صفر [ – (
- - – ] 1 [ 8( جا 806 جتا 1626 جتا ) 476 ( جا 216 (
16 ( جتا 006 قا) 126 ( + جا 476 قا ) 06 ( ] صفر[ - - (
- - ] 1 [ 11 ( ظا 866 قا ) 222 ( + جا 066 جتا) 126 ( + جتا 126 جا 006 (
تمارين على خواص الدوال المثلثية
2
4
0
4
1
2
1
2

أى زاوية حادة تقع فى مثلث قائم الزاوية يمكن إيجاد جميع الدوال المثلثية لها بمعلومية أضلاع
المثلث القائم الزاوية
جاجـ = =
جتاجـ = =
ظاجـ = =
***************************************************************
لاحظ أن بالنسبة لزاوية أ يتغير وضع المقابل والمجاور فيكون المقابل ) ب جـ ( والمجاور ) أ ب (
***************************************************************
لاحظ أن :-
) أ جـ( 2 = ) أ ب ( 2 + ) ب جـ( 2
– ) أ ب ( 2 = ) أ جـ( 2 ) ب جـ ( 2
– ) ب جـ( 2 = ) أ جـ( 2 ) أ ب ( 2
***************************************************************
من المثلث القائم الزاوية المقابل أكمل
1( جا جـ = ...... ) 4( قتاجـ = ....... (
2( جتاجـ = ..... ) 2( قاجـ = ....... (
0( ظاجـ = ........ ) 0( ظتاجـ = ....... (
********************
8( جا أ = ......... ) 16 ( قتا أ = ........ (
7( جتا أ = ....... ) 11 ( قا أ = ....... (
الدوال المثلثية للزاوية الحادة
أ
ب
جـ
المقابل
المجاور
الوتر
المقابل
الوتــر
أ ب
أ جـ
المجاور
الوتــر
ب جـ
أ جـ
المقـــابل
المجاور
أ ب
ب جـ
أ
ب
جـ
أ
ب
جـ
0سم
4سم
2سم
مثال

8( ظا أ = ........ ) 12 ( ظتا أ = ........ (
إذا كان جا هـ = 6.0 حيث 6 > هـ > 86 أوجد جميع الدوال المثلثية لزاوية هـ
جاهـ = ـــــ =
– – 2)0( 2)16( = ) ب جـ ( 2 = ) أ جـ( 2 ) أ ب ( 2
– 04 = 00 166 =
7 سم = ب جـ = 04
جاهـ = ــــــ جتاهـ = ــــــ ظاهـ =
قتاهـ = قاهـ = ظتاهـ =
***************************************************************
إذا كان جتاس = حيث 6 > س > 86 أوجد قيمة ظا س + قاس
جتاس = =
– – 2)12( 2)10( = )أ ب ( 2 = ) أ جـ( 2 ) ب جـ ( 2
– 22 = 144 108 =
2 = أ ب = 22
ظاس = جتاس = قاس =
المقدار = ظاس + قاس = + = =
***************************************************************
إذا كان ظاس = حيث 6 > س > 86 أثبت قيمة ظتاس + قتاس = 4
ظاس = =
278=04+222 = 2)7( + 2)12( = ) أ جـ( 2 = ) أ ب ( 2 + ) ب جـ( 2
18 سم = أ جـ = 278
ظاس = ظتاس = جتا س = قاس =
0
16
0
16
المـــقابل
الــــوتر
هـ
أ
ب
جـ
0
16
16
0
7
16
16
7
0
7
7
0
12
10
12
10
المجاور
الوتــــر
أ
ب
جـ
12
10
0
س
2
12
12
10
10
12
2
12
10
12
17
12
0
2
7
12
7
12
أ
ب
جـ
س
12
7
المــقابل
المجاور
7
12
12
7
7
18
18
7
12
7
18
7
02
7
مثال
مثال
مثال

ظتاس + قتاس = + = = 4
إذا كان ظاجـ = حيث 6 > جـ > 86 أوجد قيمة كلا مما ياتى
1( جا) 86 جـ ( ) 2( جتا) 86 جـ ( ) 0( ظا ) 86 جـ ( – – – (
22 = 10+ 8 = ) أ جـ ( 2 = ) أ ب( 2 + ) ب جـ ( 2
أ جـ = 2سم
جا) 86 جـ ( = جتاجـ = ،،،،،، جتا ) 86 جـ ( = جاجـ = – –
ظا) 86 جـ ( = ظتا جـ = –
***************************************************************
إذا كان قاجـ = حيث 6 > جـ > 86 أوجد قيمة كلا مما ياتى
1( جا) 176 جـ ( ) 2( جتا) 176 جـ ( ) 0( ظا ) 176 جـ ( – – – (
- - – 1066=71 1071=2)8( 2)41( = ) أ ب ( 2 = ) أ جـ( 2 ) ب جـ ( 2
أ ب = 46 سم
جا) 176 جـ ( = جاجـ = ،،،،،، جتا ) 176 جـ ( = جتاجـ = – – -
ظا) 176 جـ ( = ظا جـ = – -
***************************************************************
إذا كان جاجـ = حيث 6 > جـ > 86 أوجد قيمة كلا مما ياتى
1( جا) 176 + جـ ( ) 2( جتا) 176 + جـ ( ) 0( ظا ) 176 + جـ ( (
- – – 144=22 108 = 2)2( 2)10( = ) ب جـ ( 2 = ) أ جـ( 2 ) أ ب ( 2
ب جـ = 12 سم
جا) 176 + جـ ( = جاجـ = ،،،،،، جتا ) 176 + جـ ( = جتاجـ = - -
ظا) 176 + جـ ( = ظا جـ =
أ
ب
جـ
0
4
0
4
4
2
0
2
4
0
أ
ب
جـ
41
8
8
46
41
41
- 8
41
- 46
8
أ
ب
جـ
2
10
2
- 2
10
10
- 12
10
2
12
مثال
مثال
مثال

6 حيث 86 > س > 176 أوجد قيمة كلا مما يأتى – = إذا كان 2 جا س 0
الحــــــــــــــــــــــــــــل
1( جا) 176 + س ( ) 2( جتا) 176 + س( ) 0( ظا ) 176 + س ( (
– 6 = 2جاس 0
2جاس = 0
جاس =
جا) 176 + س( = جاس = -
- - = × = جتا) 176 + س ( = جتاس
ظا) 176 + س ( = ظاس = =
***************************************************************
6 حيث 176 > س > 286 أوجد قيمة كلا مما يأتى – = إذا كان 12 ظا س 2
1( جا) 176 س ( ) 2( جتا) 176 س( ) 0( ظا ) 176 س ( - - - (
– 6 = 12 ظاس 2
12 ظاس = 2
ظاس =
جا) 176 س( = جاس = -
- - - = × = جتا) 176 س ( = جتاس
- - = × = ظا) 176 + س ( = ظاس
0
2
0
2
- 4
س
- 0
2
- 4
2
0
- 4
4
2
- 0
4
2
12
- 12
10
- 2
س
- 2
10
- 12
10
2
12
12
10
- 2
12
مثال
مثال

6 حيث جـ زاوية حادة موجبة أوجد قيمة جاجـ + جتاجـ ] [ - = 1( إذا كان 4 ظاجـ 0 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 حيث 86 > هـ > 176 أوجد قيمة المقدار = 2( إذا كان 2 جتاهـ + 4 (
– – ] [ جتا ) 006 هـ ( + جتا) 86 هـ ( + ظا 222
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 حيث 286 > هـ > 006 أوجد قيمة المقدار - = 0( إذا كان 10 جتاهـ 2 (
- 222 2 ظا هـ 0 جا 286 + قا 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
4( إذا كان جتا ) 86 س ( = حيث جـ – (  86 ] أوجد قيمة المقدار ، 6 ]
– ]4[ 006 جا 86 222 جتا 2 ظاجـ + 2 قتا 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 حيث 86 > س > 176 أثبت أن – = 2( إذا كان 2 قتاس 10 (
- – – – 1 = 222 10 جتا) 176 س ( 2 ظتا ) 006 س ( + 0 قتا 006 جتا 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 حيث س أكبر زاوية موجبة أوجد قيمة المقدار – = 0( إذا كان 0 ظاس 4 (
- – ] 1 [ 0 جتا 176 2 جتا س + ظا 102
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 حيث ب قياس أكبر – – = 0 ظاب 4 ، 6 حيث 286 > أ > 006 = 8( إذا كان 10 جتاأ 2 (
قا ) 86 + ب ( ] [ × ) زاوية موجبة أوجد قيمة جتا) 286 + أ
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
– 10 جتا ص = 12 حيث 286 >ص> 006 ، 6 حيث 86 > س > 176 = 7( إذا كان 2 جاس 4 (
أوجد قيمة قاس جتاص + 0 ظاس جاص
تمارين على الدوال المثلثية للزاوية الحادة
8
2
4
2
0
2
- 12
10

حل المعادلات المثلثية معناه إيجاد قيمة الزاوية التى تحقق المعادلة
 خطوات حل المعادلات المثلثية
-1 تحديد الربع الذى تقع فيه الزاوية ) على حسب إشارة الدالة(
جا+ ) فى الربع الاول أو الثانى ( جا ) فى الربع الثالث أو الرابع ( -
جتا+ ) فى الربع الاول أو الرابع ( جتا ) فى الربع الثانى أو الثالث( -
ظا+ ) فى الربع الاول أو الثالث ( ظا ) فى الربع الثانى أو الرابع ( -
-2 تحديد الزاوية الحادة التى تحقق المعادلة ) هـ (
-0 أيجاد قيمة الزاوية حسب الربع الذى تقع فيه
***************************************************************
أوجد مجموعة الحل للمعادلات الاتية
– 6 = 2جاس + 1 )2( 6 = 2 جاس 1 )1(
- 2جاس = 1 2جاس = 1
جاس = ]الاول الثانى[ جاس = ] الثالث الرابع [ – –
هـ = 06 هـ = 06
الاول الثانى الثالث الرابع
س=هـ س= 176 هـ س = 176 + هـ س= 006 هـ – –
- – 06 006 = 06 +176= 06 176 = س= 06
006 = 216= 126 =
006 ، 126 م 6 ح = } 216 ، م 6 ح = } 06
حل المعادلات المثلثية
كل+
جا+
ظا+
جتا+
س = هـ
س = 176 هـ –
س = 176 + هـ
س = 006 هـ –
1
2
- 1
2
مثال

– 6 = 2جاس + 0 )4( 6 = 2 جاس 0 )0(
- 2جاس = 0 2جاس = 0
جاس = ]الاول الثانى[ جاس = ] الثالث الرابع [ – –
هـ = 06 هـ = 06
س=هـ س= 176 هـ س = 176 + هـ س= 006 هـ – –
- – 06 006 = 06 +176= 06 176 = س= 06
066 = 246= 126 =
066 ، 126 م 6 ح = } 246 ، م 6 ح = } 06
– 6 = 2جاس + 1 )0( 6 = 2 جاس 1 )2(
- 2جاس = 1 2جاس = 1
جاس = ـــــــ ]الاول الثانى[ جاس = ــــــ ] الثالث الرابع [ – –
هـ = 42 هـ = 42
س=هـ س= 176 هـ س = 176 + هـ س= 006 هـ – –
- – 42 006 = 42 +176= 42 176 = س= 42
012 = 222= 102 =
012 ، 102 م 6 ح = } 222 ، م 6 ح = } 42
0
2
- 0
2
1
2
- 1
2

– 6 = 2جتاس + 1 )7( 6 = 2 جتاس 1 )8(
- 2جتاس = 1 2جتاس = 1
جتاس = ]الاول الرابع[ جتاس = ] الثانى الثالث [ – -
هـ = 06 هـ = 06
الاول الرابع الثانى الثالث
س=هـ س= 006 هـ س = 176 هـ س= 176 + هـ – -
- – 06+176 = 06 176= 06 006 = س= 06
246 = 126= 066 =
246 ، 066 م 6 ح = } 126 ، م 6 ح = } 06
– 6 = 2جتاس + 0 )16( 6 = 2 جتاس 0 )8(
- 2جتاس = 0 2جتاس = 0
جتاس = ]الاول الرابع[ جتاس = ] الثانى الثالث [ – -
هـ = 06 هـ = 06
س=هـ س= 006 هـ س = 176 هـ س= 176 + هـ – -
- – 06+176 = 06 176= 0 006 = س= 06
216 = 126= 006 =
216 ، 006 م 6 ح = } 126 ، م 6 ح = } 06
– 6 = 2جتاس + 1 )12( 6 = 2 جتاس 1 )11(
- 2جتاس = 1 2جتاس = 1
جتاس = ـــــــ ]الاول الرابع[ جتاس = ــــــ ] الثانى الثالث [ – -
هـ = 42 هـ = 42
س=هـ س= 006 هـ س = 176 هـ س= 176 + هـ – -
- – 42+176 = 42 176= 42 006 = س= 42
1
2
- 1
2
0
2
- 0
2
1
2
- 1
2

222 = 102= 012 =
222 ، 012 م 6 ح = } 102 ، م 6 ح = } 42
– 6 = 0 ظاس + 1 )14( 6 = 0 ظاس 1 )10(
- 0ظاس = 1 0 ظاس = 1
ظاس = ــــــ ]الاول الثالث[ ظاس = ـــــــ ]الثانى الرابع [ – –
هـ = 06 هـ = 06
الاول الثالث الثانى الرابع
س= هـ س = 176 + هـ س= 176 هـ س= 006 هـ – –
- - 06 س= 06 006 06 س= 176 + س= 06 س= 176
006 = 126 = 216 =
006 ، 216 م 6 ح = } 126 ، م 6 ح = } 06
– 6 = 10 ( ظاس + 0 ( 6 = 12 ( ظاس 0 (
ظاس = 0 ]الاول الثالث[ ظاس = 0 ]الثانى الرابع [ – – -
هـ = 06 هـ = 06
س= هـ س = 176 + هـ س= 176 هـ س= 006 هـ – –
- - 06 06 س= 006 06 س= 176 + س= 06 س= 176
066 = 126 = 246 =
066 ، 246 م 6 ح = } 126 ، م 6 ح = } 06
– 6 = 17 ( ظاس + 1 ( 6 = 18 ( ظاس 1 (
ظاس = 1 ]الاول الثالث[ ظاس = 1 ]الثانى الرابع [ – –
هـ = 42 هـ = 42
س= هـ س = 176 + هـ س= 176 هـ س= 006 هـ – –
- - 42 42 س= 006 42 س= 176 + س= 42 س= 176
1
0
1
0

012 = 102 = 222 =
012 ، 222 م 6 ح = } 102 ، م 6 ح = } 42
26 ( جتاس = 6.2208 ( 18 ( جاس = 6.0447 (
جاس = 6.0447 ]الاول الثانى [ جتاس = 6.2208 ]الاول الرابع [ – –
82 / 46 هـ = 17 / هـ = 8
الاول الثانى الاول الرابع
س= هـ س = 176 هـ س = هـ س = 006 هـ – –
8= / – – 17 006= 82 / 17 = 46 / 8 176 = 46
/ 82
21 = / 274 / 42 = 108
274 / 42 ، 82 / 108 م 6 ح = } 17 / 21 ، 46 / م 6 ح = } 8
- - 26 ( جتاس = 6.2208 ( 18 ( جاس = 6.0447 (
جاس = 6.0447 ]الثالث الرابع [ جتاس = 6.2208 ]الثانى الثالث [ – – - -
82 / 46 هـ = 17 / هـ = 8
الثالث الرابع الثانى الثالث
س= 176 + هـ س = 006 هـ س = 176 هـ س = 176 + هـ – -
8+176= / - – / 17 + 176= 82 / 17 176= 46 / 8 006 = 46
82
8= / / 17 = 164 / 42= 008 / 21 = 226
222
222 / 17 ، 164 / 008 م 6 ح = } 42 / 21 ، 226 / م 6 ح = } 8

تمارين
على
الهندسة

أولا التقسيم من الداخل
8 ( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الداخل بنسبة - ، 2( ، ب = ) 0 ، 1( إذا كانت أ=) 1 (
) 2 ، 2( 4 : 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2 ( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الداخل بنسبة - - ، 2( ، ب = ) 4 ، 2( إذا كانت أ=) 0 (
) 8 ، 2 ( 2 : 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
) 0 ، 2( 2 : 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0 ( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الداخل بنسبة - - ، 0( ، ب = ) 7 ، 4( إذا كانت أ=) 1 (
) 2 ، 4( 4 : 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
) 8 ، 4( 2 : 8
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2 ( أوجد أحداثيات النقطة التى تقع عند ربع المسافة من - ، 1 ( ، ب = ) 0 ، 0( إذا كانت أ=) 2 (
- ) 2 ، أ إلى ب ) 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
12 ( أوجد أحداثيات النقطة التى تقع عند خمس المسافة من - ، 2( ، ب = ) 4 ، 8( إذا كانت أ=) 1 (
) 4 ، أ إلى ب ) 6
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
8 ( أوجد أحداثيات النقطة التى تقع عند ثلث المسافة من - ، 0 ( ، ب = ) 1 ، 7( إذا كانت أ=) 2 (
- ) 2 ، أ إلى ب ) 1
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
4 ( أوجد أحداثيات النقط التى تقسم أ ب من الداخل إلى - ، 1 ( ، ب = ) 2 ، 8( إذا كانت أ=) 1 (
] ) 0 ، 1( ، ) 2 ، ثلاث أجزاء متساوية ]) 6
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
تمارين على التقسيم

2( أوجد أحداثيات النقط التى تقسم أ ب من الداخل إلى - ، 4( ، ب = ) 8 ، 16 ( إذا كانت أ=) 1 (
- ] ) 6 ، 2( ، ) 2 ، ثلاث أجزاء متساوية ] ) 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
4 ( أوجد أحداثيات النقط التى تقسم أ ب من الداخل إلى - ، 1 ( ، ب = ) 0 ، 11 ( إذا كانت أ = ) 0 (
- ] ) 0 ، 1( ، ) 2 ، ثلاث أجزاء متساوية ]) 1
- - )0 ، 2( أوجد منتصف أ ب ) 1 ، 1( ، ب = ) 0 ، 12 ( إذا كانت أ=) 2 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- - - )2 ، 0( أوجد منتصف أ ب ) 0 ، 8( ، ب = ) 1 ، 10 ( إذا كانت أ=) 2 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- )4 ، 8( أوجد منتصف أ ب ) 1 ، 1( ، ب = ) 0 ، 14 ( إذا كانت أ=) 1 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد أحداثيات ب - ، 1( ، جـ = ) 0 ، 12 ( إذا كانت أ=) 2 (
)8 ، 11(
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد أحداثيات ب - ، 1( ، جـ = ) 0 ، 10 ( إذا كانت أ=) 1 (
)0 ، 8(
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد أحداثيات أ ، 1( ، جـ = ) 0 ، 18 ( إذا كانت ب=) 2 (
)8 ، 4(
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد أحداثيات أ ، 2( ، جـ = ) 0 ، 17 ( إذا كانت ب =) 2 (
- )2 ، 1(
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
4( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد - ، 18 ( إذا كانت أ = ) س ، 1 ( ، ب = ) 2 ، ص( ، جـ = ) 0 (
] قيمتى س ، ص ] س = 7 ، ص = 8
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
4( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد - ، 26 ( إذا كانت أ = ) س ، 0 ( ، ب = ) 2 ، ص( ، جـ = ) 1 (
] قيمتى س ، ص ] س = 6 ، ص = 11
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( فإذا كانت جـ منتصف أ ب أوجد - - ، 21 ( إذا كانت أ = ) س ، 1 ( ، ب = ) 2 ، ص( ، جـ = ) 0 (
] قيمتى س ، ص ] س = 7 ، ص = 11
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
1( أوجد أحداثيات نقطة تلاقى متوسطات - ، 0(، جـ=) 0 ، 2(، ب=) 4 ، 22 ( إذا كانت أ=) 1 (
)0 ، أ ب جـ ) 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- )2 ، أ ب جـ ) 1

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
)4 ، أ ب جـ ) 1
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0( وكانت م هى نقطة تلاقى متوسطات - ، 2(،م =) 2 ، 1(، ب=) 4 ، 22 ( إذا كانت أ=) 6 (
- )0 ، أ ب جـ أوجد أحداثيات جـ ) 16
1( وكانت م هى نقطة تلاقى متوسطات - - ، 2(،م =) 2 ، 1(، جـ =) 0 ، 20 ( إذا كانت ب =) 2 (
- )6 ، أ ب جـ أوجد أحداثيات أ ) 7
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( وكانت م هى نقطة تلاقى متوسطات ، 2(،م =) 6 ، 1(، جـ =) 4 ، 28 ( إذا كانت أ=) 6 (
- )6 ، أ ب جـ أوجد أحداثيات ب ) 4
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
)0 ، 1( ، م = ) 2 ، 27 ( إذا كانت أ=)س ، 2(، ب=) 4 ، ص( ، جـ = ) 0 (
- ] وكانت م هى نقطة تلاقى متوسطات أ ب جـ أوجد قيمتى س ، ص ]س= 1 ، ص= 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- )4 ، 1(، ب=)س ، 2( ، جـ = ) 1 ، ص( ، م = ) 1 ، 28 ( إذا كانت أ=) 6 (
] وكانت م هى نقطة تلاقى متوسطات أ ب جـ أوجد قيمتى س ، ص ]س= 4 ، ص= 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- - ) 2 ، 0 ( ، جـ = )س ، 8 ( ، م = ) 1 ، 06 ( إذا كانت أ=) 4 ، ص(، ب=) 1 (
] وكانت م هى نقطة تلاقى متوسطات أ ب جـ أوجد قيمتى س ، ص ]س= 6 ، ص= 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0 أوجد - : 7( فإذا كانت جـ تقسم أ ب من الداخل بنسبة 4 ، 4 ( ، جـ = ) 0 ، 1( إذا كانت أ=) 1 (
)11 ، أحداثيات ب ) 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2 أوجد : 0( فإذا كانت جـ تقسم أ ب من الداخل بنسبة 0 ، 7( ، جـ = ) 0 ، 2( إذا كانت ب = ) 2 (
)0 ، أحداثيات أ ) 6
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( وكانت جـ تقسم أ ب من الداخل بنسبة ، 0( إذا كانت أ=)س ، 2 ( ، ب = ) 4 ، ص( ، جـ = ) 2 (
- ] 2 أوجد قيمتى س ، ص ] س = 1 ، ص = 8 : 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( وكانت جـ تقسم أ ب من الداخل - ، 4( إذا كانت أ = ) 2 ، ص ( ، ب = ) س ، 7 ( ، جـ = ) 2 (
] 0 أوجد قيمتى س ، ص ] س = 2 ، ص = 1 : بنسبة 4
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0 ( ، جـ = ) 0 ، ص( فإذا كانت جـ تقسم أ ب من الداخل - ، 2( إذا كانت أ=)س، 0( ، ب = ) 16 (
للمتفوقين

] 4 أوجد قيمتى س ، ص ]س= 1 ، ص = 2 : بنسبة 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( ، ب = ) 4 ، ص( ، جـ = )س ، 8( فإذا كانت جـ تقسم أ ب من الداخل - ، 0( إذا كانت أ = ) 0 (
التقسيم من الخارج :-
8( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الخارج بنسبة ، 4( ، ب = ) 0 ، 1( إذا كانت أ = ) 1 (
)11 ، 7( 2 : 8
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الخارج بنسبة - ، 2( ، ب = ) 0 ، 2( إذا كانت أ = ) 1 (
)11 ، 7( 2 : 8
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
)7 ، 0( 2 : 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( أوجد أحداثيات النقطة التى تقسم أ ب من الخارج بنسبة ، 0( ، ب = ) 0 ، 4( إذا كانت أ = ) 1 (
) 16 ، 7( 2 : 8
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
) 0 ، 7( 0 : 8
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2 أوجد - : 7( وكانت جـ تقسم أ ب من الخارج بنسبة 8 ، 1( ، جـ = ) 0 ، 0( إذا كانت أ = ) 4 (
- ) 0 ، أحداثيات ب ) 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2 أوجد - : 0( وكانت جـ تقسم أ ب من الخارج بنسبة 8 ، 1( ، جـ = ) 0 ، 8( إذا كانت ب = ) 2 (
- - ) 1 ، أحداثيات أ ) 4
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
7 ( وكانت جـ تقسم أ ب من الخارج - ، 7( إذا كانت أ = ) 1 ، ص( ، ب = ) س ، 2( ، جـ = ) 0 (
] 0 أوجد قيمتى س ، ص ]س = 0 ، ص = 1 : بنسبة 8
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
8 ( وكانت جـ تقسم أ ب من الخارج ، 8( إذا كانت أ = )س ، 2( ، ب = ) 0 ، ص ( ، جـ = ) 0 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( ، ب = )س ، 4 ( ، جـ = ) 0 ، ص ( وكانت جـ تقسم أ ب من الخارج - ، 16 ( إذا كانت أ = ) 1 (
] 2 أوجد قيمتى س ، ص ]س = 1 ، ص = 8 : بنسبة 8

مسائل عامة على التقسيم:-
2 ( أوجد أحداثيات النقطة جـ حيث - ، 6( ، ب = ) 4 ، 1( إذا كانت أ = ) 1 (
1( جـ  ) 2 ، أ ب حيث 0 أ جـ = 2 جـ ب ) 1
2( جـ  أ ب ، جـ  ) 8 ، أ ب حيث 2أ جـ = 8 جـ ب ) 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
1( جـ  ) 0 ، أ ب حيث 0 أ جـ = جـ ب ) 6
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
1( جـ  ) 2 ، أ ب حيث 0 أ ب = 8 جـ ب ) 1
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0 ( أوجد أحداثيات النقطة جـ حيث - - ، 0( ، ب = ) 7 ، 4( إذا كانت أ = ) 1 (
1( جـ  ) 2 ، أ ب حيث 4 أ جـ = 8 جـ ب ) 4
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
1( جـ  ) 6 ، أ ب حيث 0 ب جـ = 2 أ جـ ) 4
2( جـ  أ ب ، جـ  ) 4 ، أ ب حيث 2أ ب = 2 جـ ب ) 7
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( أوجد - ، 7 ( ، جـ = ) 1 ، 0( ، ب = ) 4 ، 0( إذا كانت أ = ) 1 (
0 من الداخل [ - : 1 النسبة التى تقسم بها جـ القطعة المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ] 2
0 من الخارج [ - : 2 النسبة التى تقسم بها ب القطعة المستقيمة أ جـ مبينا نوع التقسيم ] 2
2 من الخارج [ - : 0 النسبة التى تقسم بها أ القطعة المستقيمة ب جـ مبينا نوع التقسيم ] 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
4( أوجد - - ، 0 ( ، جـ = ) 2 ، 1( ، ب = ) 4 ، 8( إذا كانت أ = ) 0 (
2 من الداخل [ - : 1 النسبة التى تقسم بها جـ القطعة المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ] 2
2 من الخارج [ - : 2 النسبة التى تقسم بها ب القطعة المستقيمة أ جـ مبينا نوع التقسيم ] 8
2 من الخارج [ - : 0 النسبة التى تقسم بها أ القطعة المستقيمة ب جـ مبينا نوع التقسيم ] 8
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0( أوجد النسبة التى تقسم بها جـ القطعة - ، 0( ، ب =) 0 ، ص ( ، جـ = ) 2 ، 7( إذا كانت أ=) 1 (

] 4 من الداخل ، ص = 16 : المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ثم أوجد قيمة ص ] 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0 ( أوجد النسبة التى تقسم بها جـ القطعة ، 7 ( ، جـ = ) 4 ، 8( إذا كانت أ=)س ، 0( ، ب =) 0 (
] 2 من الداخل ،، س= 1 : المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ثم أوجد قيمة س ] 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
16 ( ، جـ = )س ، 2( أوجد النسبة التى تقسم بها جـ القطعة - ، 1( ، ب =) 0 ، 16 ( إذا كانت أ=) 0 (
] 2 من الداخل ، س = 1 : المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ثم أوجد قيمة س ] 4
2( ، جـ = ) 0 ، ص( أوجد النسبة التى تقسم بها جـ القطعة - ، 1( ، ب =) 0 ، 11 ( إذا كانت أ=) 1 (
] 0 من الخارج ، ص = 7 : المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ثم أوجد قيمة ص ] 8
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
8( أوجد النسبة التى تقسم بها جـ القطعة ، 2( ، ب =)س، 4( ، جـ = ) 7 ، 12 ( إذا كانت أ=) 1 (
] 2 من الخارج ، س = 0 : المستقيمة أ ب مبينا نوع التقسيم ثم أوجد قيمة س ] 8
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0( أوجد النسبة التى تنقسم بها القطعة المستقيمة أ ب - ، 2 ( ، ب = ) 4 ، 10 ( إذا كانت أ=) 0 (
بواسطة
4 من الداخل [ - - : 0 من الخارج[ 2 محور الصادات ] 0 : 1 محور السينات ] 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0( أوجد النسبة التى تنقسم بها القطعة المستقيمة أ ب - ، 2 ( ، ب = ) 8 ، 14 ( إذا كانت أ=) 4 (
بواسطة
8 من الخارج [ - - : 0 من الداخل[ 2 محور الصادات ] 4 : 1 محور السينات ] 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
4( أوجد النسبة التى تنقسم بها القطعة المستقيمة أ ب - - ، 2 ( ، ب = ) 8 ، 12 ( إذا كانت أ=) 0 (
بواسطة
8 من الداخل [ - - : 4 من الداخل[ 2 محور الصادات ] 0 : 1 محور السينات ] 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
8( أوجد النسبة التى تنقسم بها القطعة المستقيمة أ ب ، 2 ( ، ب = ) 4 ، 10 ( إذا كانت أ=) 0 (
بواسطة
4 من الخارج [ - - : 8 من الخارج[ 2 محور الصادات ] 0 : 1 محور السينات ] 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

أولا : معادلة مستقيم بمعلومية نقطة يمر بها وميله :-
– – ] 6 = 2 ( وميله = ] 2س 4 ص 0 ، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 1 (
- ]6= 2 ( وميله = ] 8ص + 2س 28 ، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
- – ] 6 = 0 ( وميله = ] 4ص 2 س + 18 ، 0( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 1 (
- – ] 6 = 2 ( وميله = ] 0ص + 4 س 11 ، 4( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 1 (
- - – ] 6 = 0 ( وميله = ] 8ص 4 س + 10 ، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
– ] 0( أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة الاصل وميله = ] 8 ص 0 س = 6 (
– – ] 6 = 2 ( وميله = ] 2ص 8 س 16 ، 8( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 6 (
– ] 6 = 6 ( وميله = ] 8ص + 2س 12 ، 7( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
– ] 6 = 2 ( وميله = 4 ] ص 4 س + 2 ، 8( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 1 (
- – ] 6 = 1 ( وميله = 2 ] ص 2 س + 10 ، 16 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
ثانيا معادلة مستقيم بمعلومية نقطتين :-
– – ] 6 = 2ص 0 س 1 [ ) 2 ، 2( ، ب ) 0 ، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ) 1 (
- – – ] 6 = 2ص 0 س 21 [ )8 ، 4( ، ) 0 ، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ) 1 (
- - – ]6= 0ص 2 س + 10 [ ) 1 ، 2( ، ) 0 ، 0( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ) 2 (
– ] 6 = 0ص+ 4س 12 [ ) 6 ، 0( ، ) 4 ، 4( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ) 6 (
تمارين على معادلة الخط المستقيم
4
2
- 2
8
- 4
0
2
4
0
8
4
8
- 2
8
8
2

- - – ] 6 = 2ص 8 س + 1 [ )8 ، 4( ، ) 2 ، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ) 1 (
– ] 6 = 0( أوجد معادلة أ ب ] 2ص+ 2س 22 ، 1( ، ب = ) 2 ، 0( إذا كانت أ = ) 4 (
- - – ] 6 = 7( أوجد معادلة س ص ] 2ص+ 8س 12 ، 1( ، ص = ) 4 ، 8( إذا كانت س = ) 2 (
- – 6 = 8( أوجد معادلة جـ ء ] 0ص + 2س 12 ، 4 ( ، ء = ) 0 ، 7( إذا كانت جـ = ) 6 (
معادلة مستقيم بمعلومية ميله والجزء المقطوع من محور الصادات :-
1( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 4 ويقطع خمس وحدات من الجزء الموجب لمحور الصادات (
] ] ص = 4س+ 2
2( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 2 ويقطع ثلاث وحدات من الجزء السالب لمحور الصادات (
– ] ] ص = 2س 0
0( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 0 ويقطع وحدتان من الجزء الموجب لمحور الصادات - (
- ] ] ص= 0س + 2
4( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = ويقطع أربعة وحدات من الجزء الموجب لمحور الصادات (
] ] ص = س + 4
2( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = ويقطع ثلاث وحدات من الجزء السالب لمحور الصادات (
– ] ] ص = س 0
)4 ، 0( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 0 ويقطع محور الصادات فى النقطة ) 6 (
] ] ص = 0س+ 4
- )2 ، 8( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 2 ويقطع محور الصادات فى النقطة ) 6 (
– ] ] ص = 2س 2
- )2 ، 7( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 4 ويقطع محور الصادات فى النقطة ) 6 (
4 س [ – ] ص = 2
- - )2 ، 8( أوجد معادلة المستقيم الذى ميله = 0 ويقطع محور الصادات فى النقطة ) 6 (
- – ] ]ص= 0س 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
16 ( أوجد الميل والجزء المقطوع من محور الصادات فى كلا من المستقيمات الاتية (
2
0
2
0
- 4
8
- 4
8

0س – أ( ص = 0 س + 8 )ب( ص = 2
0 س – )جـ( 0ص = 4س + 0 )ء( 2ص = 16
– – – 6 = 6 )و( 4ص 0س 2 = )هـ( ص 2س + 2
2س – = )ر( ص 0س = 2 )ز( ص + 8
)س( 2ص = س + 2 )ش( ص = 2س + 4
رابعا معادلة مستقيم بمعلومية الجزئين المقطوعين من محورى الاحداثيات :-
1( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع وحدتان من الجزء الموجب لمحور السينات وخمس وحدات من (
] الجزء الموجب لمحور الصادات ] 2س + 2ص = 16
2( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع وحدتان من الجزء الموجب لمحور السينات وثلاث وحدات من (
– ] الجزء السالب لمحور الصادات ] 0س 2 ص = 0
0( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع أربعة وحدات من الجزء السالب لمحور السينات وخمس (
– ] وحدات من الجزء الموجب لمحور الصادات ] 4 ص 2 س = 26
4( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع وحدتان من الجزء السالب لمحور السينات وخمس وحدات من (
- ] الجزء السالب لمحور الصادات ] 2 س + 2ص = 16
2( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع ثلاث وحدات من الجزء الموجب لمحور السينات وخمس (
– ] وحدات من الجزء السالب لمحور الصادات ] 2س 0 ص = 12
6 ( ويقطع محور الصادات ، 0( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع محور السينات فى النقطة ) 0 (
] 4س + 0ص = 12 [ ) 4 ، فى النقطة ) 6
6 ( ويقطع محور الصادات ، 8( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع محور السينات فى النقطة ) 2 (
- – ] 0س 2 ص = 12 [ ) 0 ، فى النقطة ) 6
6 ( ويقطع محور الصادات - ، 7( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع محور السينات فى النقطة ) 4 (
– ] 6 = 2س 4 ص + 26 [ ) 2 ، فى النقطة ) 6
6 ( ويقطع محور الصادات - ، 8( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع محور السينات فى النقطة ) 2 (
- ] 6= 2س + 2 ص + 16 [ ) 2 ، فى النقطة ) 6
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
16 [ أوجد المقطوعتين السينية والصادية لكلا من المستقيمات الاتية [
1
0
1
0

– 6 = 0س + 2 ص 12 )2( 2س + 0 ص = 0 )1
– 0س 4 ص = 12 )4( 6 = 2س + 2ص + 16 )0
– 2س + 0ص = 7 )0( 0ص 0س = 17 )2
2س + 8 ص = 4 )7( 0س + 2 ص = 16 )8(
– 2س + 2ص = 8 )16( 0س 2ص = 8 )8(
تمارين على معادلة مستقيم بمعلومية نقطة يمر بها وميل المستقيم الموازى له
2 ( والموازى للمستقيم الذى ميله = ، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 1 (
– – ] 6 = 0ص 2 س 1 [
0 ( والموازى للمستقيم الذى ميله = - ، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 1 (
– ] 6= 8ص 4 س + 22 [
2 ( والموازى للمستقيم الذى ميله = - ، 0( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 4 (
] 6= 0ص + 2س + 14 [
1( والموازى للمستقيم الذى معادلته - ، 4( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
– ]6= 0ص 2س + 10 [ 0ص = 2س + 1
– ]6 = 2س ] 0ص+ 2س + 2 0ص = 4
6( والموازى للمستقيم الذى معادلته ، 0( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
- – ]6= 8 ص 2س + 16 [ 6 = 8ص 2س + 1
] 6= 2ص + 4س + 2 [ 6= 4ص + 2س + 2
1( والموازى للمستقيم الذى معادلته - - ، 7( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
– – ] 6 = ص = 2س + 1 ] ص 2 س 14
8( أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة الاصل والموازى للمستقيم الذى معادلته (
– ] 0ص 8 س = 6 [ 0ص = 8س + 2
0 ( والموازى للمستقيم المار بالنقطتين - ، 16 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
] 6 = 4ص + 0س + 0 [ ) 6 ، 2( ، ) 0 ، 1 (
2
0
4
8
- 2
0

4 ( والموازى للمستقيم المار بالنقطتين - ، 11 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
- ]6 = 4ص + 2س + 0 [ ) 2 ، 2( ، ) 0 ، 1 (
4 ( والموازى للمستقيم المار بالنقطتين ، 12 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 6 (
- – – ]6 = 0ص 2س 24 [ ) 7 ، 2( ، ) 0 ، 1 (
] 4 ( والموازى لمحور السينات ]ص = 4 ، 10 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
- - ] 2 ( والموازى لمحور السينات ] ص = 2 ، 14 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
] 4 ( والموازى لمحور الصادات ]س = 0 ، 12 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
- - ] 4 ( والموازى لمحور الصادات ] س = 0 ، 10 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
0 ( ويصنع زاوية 42 مع الاتجاه الموجب لمحور ، 18 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
– – ] 6 = السينات ] ص س 1
0 ( ويصنع زاوية 102 مع الاتجاه الموجب - ، 17 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
] 6 = لمحور السينات ] ص + س + 2
4 ( ويصنع زاوية 06 مع الاتجاه الموجب لمحور - ، 18 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
- – ]6 = 0 2 السينات ] ص 0 س + 4
0 ( ويصنع زاوية مع الاتجاه الموجب لمحور ، 26 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
– – ] 6 = 0 0 السينات ] 0 ص س + 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- - )8 ، 0( ،ب ) 2 ، 1( وبمنتصف أ ب حيث أ=) 1 ، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
] 6= 2ص + 0س + 1 [
4 حيث : 2( أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة الاصل وبالنقطة التى تقسم أ ب من الداخل بنسبة 0 (
- – ] 7 ( ] ص 4 س = 6 ، 1( ، ب = ) 2 ، أ = ) 2
0 ( أوجد معادلة المستقيم المار بمنتصف أ ب ويوازى - ، 2 ( ، ب = ) 2 ، 0( إذا كانت أ = ) 1 (
– – ] 6 = 2ص 2 س 24 [ المستقيم 2ص = 2س + 0
0 ( أوجد معادلة المستقيم المار بمنتصف أ ب ويوازى - - ، 1 ( ، ب = ) 2 ، 4( إذا كانت أ = ) 0 (
ط
0
للمتفوقين

] 6 = 4ص + 0س + 4 [ المستقيم 0س + 4 ص = 1
2( رؤوس مثلث أ ب جـ أوجد معادلة - ، 1( ، جـ = ) 2 ، 2 ( ، ب = ) 4 ، 2( إذا كانت أ = ) 1 (
– ] 6 = المتوسط أ ء ] 2 ص + س 8
8( رؤوس مثلث أ ب جـ أوجد معادلة - ، 1( ، جـ = ) 0 ، 2 ( ، ب = ) 4 ، 0( إذا كانت أ = ) 1 (
– ] 6 = المتوسط ب هـ ] 0 ص 2 س + 18
تمارين على معادلة مستقيم بمعلومية نقطة يمر بها وميل المستقيم الموازى له
2 ( والعمودى على المستقيم الذى ميله = ، 1( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 1 (
– ]6= 2ص + 0س 10 [
0 ( والعمودى على المستقيم الذى ميله = - ، 2( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 1 (
]6= 4ص + 8س+ 2 [
2 ( والعمودى على المستقيم الذى ميله = - ، 0( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 4 (
– – ] 6= 2ص 0س 22 [
1( والعمودى على المستقيم الذى معادلته - ، 4( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
– ] 6= 2ص+ 0س 1 [ 0ص = 2س + 1
– – – ] 6 = 2س ] 2ص 0 س 14 0ص = 4
6( والعمودى على المستقيم الذى معادلته ، 0( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
- – ] 6 = 2ص + 8س 14 [ 6 = 8ص 2س + 1
– ] 6 = 2ص 4 س + 2 [ 6= 4ص + 2س + 2
1( والعمودى على المستقيم الذى معادلته - - ، 7( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
]6 = 2ص + س + 7 [ ص = 2س + 1
8( أوجد معادلة المستقيم المار بنقطة الاصل والعمودى على المستقيم الذى معادلته (
] 8ص + 0س = 6 [ 0ص = 8س + 2
0 ( والعمودى على المستقيم المار بالنقطتين - ، 16 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
– ] 6 = 0ص 4 س + 18 [ ) 6 ، 2( ، ) 0 ، 1 (
2
0
4
8
- 2
0

4 ( والعمودى على المستقيم المار بالنقطتين - ، 11 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 2 (
- – ] 6 = 2 ص 4 س + 27 [ ) 2 ، 2( ، ) 0 ، 1 (
4 ( والعمودى على المستقيم المار بالنقطتين ، 12 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 6 (
- – ] 6 = 2 ص + 0س 26 [ ) 7 ، 2( ، ) 0 ، 1 (
10 ( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع المستقيم أ ب على التعامد عند أ حيث (
- – – ]6 = 4ص 0س 18 [ ) 6 ، 4( ، ب = ) 2 ، أ = ) 1
14 ( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع المستقيم 2س + ص = 2 على التعامد عندما س= 0 (
– ]6 = 2ص س + 2 [
12 ( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع المستقيم 0س + 2ص = 8 على التعامد عندما ص= 2 (
– – ]6 = 0ص 2 س 18 [
0 ( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع أ ب على التعامد ، 2 ( ، ب = ) 0 ، 10 ( إذا كانت أ = ) 1 (
– ] 6 = من منتصفه ]ص + س 0
18 ( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع المستقيم 2س + 0ص = 0 على التعامد عند نقطة تقاطعه (
– ] 6 = مع محور السينات ] 2ص 0 س + 8
17 ( أوجد معادلة المستقيم الذى يقطع المستقيم 2س + 0ص = 0 على التعامد عند نقطة تقاطعه (
– – ]6 = مع محور الصادات ] 2ص 0 س 4
6 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة أ - ، 1( ، جـ = ) 0 ، 2( ، ب = ) 4 ، 18 ( إذا كان أ = ) 1 (
– ] 6 = عمودى على ب جـ ] ص 8 س + 2
6 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ب - ، 1( ، جـ = ) 0 ، 2( ، ب = ) 4 ، 26 ( إذا كان أ = ) 1 (
– ]6 = عمودى على أ جـ ] 2ص + 4س 21
6 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة جـ - ، 1( ، جـ = ) 0 ، 2( ، ب = ) 4 ، 21 ( إذا كان أ = ) 1 (
– – ] 6 = عمودى على أ ب ] 4ص 0س 8
2 ( والعمودى على محور السينات - ، 22 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
- ] ] س = 0
2 ( والعمودى على محور الصادات - ، 20 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (

] ] ص = 2
- 4 ( والعمودى على المستقيم ص = 2 ، 24 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
- ] ] س = 0
- 2 ( والعمودى على المستقيم س = 4 ، 22 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 0 (
] ] ص = 2
- ) 2 ، 0 ( ، ب = ) 4 ، 20 ( أوجد معادلة محور تماثل أ ب حيث أ = ) 2 (
– – ] 6 = ]ص 0س 8
2 ( أوجد معادلة - ، 1 ( ، ب = ) 0 ، 28 ( إذا كان أ ب قطر فى دائرة مركزها م فإذا كان أ = ) 1 (
– – ] 6 = المماس للدائرة عند نقطة أ ] 0ص 2 س 1
4 ( أوجد معادلتى قطريه - ، 2 ( ، جـ = ) 1 ، 27 ( إذا كان أ ب جـ ء مربع فيه أ = ) 0 (
– – – ] 6 = 6، ص 2 س 1 = 2ص+س 8 [
– ] 6 يساوى 2 فأوجد قيمة أ ] 1 = 28 ( إذا كان ميل المستقيم ) 0أ+ 1( س 2 أ ص + 0 (
2 ( ويصنع مع الاتجاه الموجب لمحور السينات ، 06 ( أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة ) 1 (
– – ] 6 = زاوية ظلها ] 4ص 0س 2
– – ] 6 = زاوية جيبها ] 0ص 4 س 2
– – ] 6 = زاوية جيب تمامها ] 7ص 12 س 1
0
4
4
2
7
18

1( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين (
– – 120 / 22 ، 20 / 7[ 6 = 2س+ 4ص 8 ، 6 = س 2 ص + 2
]
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
– – 102 ، 42 [ 6 = 6 ، س 0 ص + 1 = س 2 ص + 2
]
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
– [ 2س 0ص = 2 ، ص = 4س + 1
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 والمستقيم الذى ميله= – = 4( أوجد قياس الزاوية بين المستقيم س 0 ص + 2 (
] [
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2( أوجد قياس الزاوية بين المستقيم 2ص = س + 0 والمستقيم الذى ميله = (
] [
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين اللذين ميلاهما ، (
] [
الزاوية بين مستقيمين
1
4
0
2
- 1
2

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
، 8( أوجد قياس الزاوية بين المستقيمين اللذين ميلاهما 4 (
] [
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 والمستقيم المار بالنقطتين – – = 7( أوجد قياس الزاوية بين المستقيم 0س 4 ص 2 (
117 /44 ، 01 /10 [ ) 7 ، 1( ، ) 1 ، 2(
]
- - - ) 2 ، 4( ، جـ =) 2 ، 0( ، ب=) 0 ، 8( أوجد قياسات زوايا المثلث أ ب جـ الذى فيه أ=) 2 (
] 42 ، 42 ، 86[
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- - - )4 ، 1( ، جـ = ) 2 ، 8( ، ب=) 2 ، 16 ( أوجد قياسات زوايا المثلث أ ب جـ الذى فيه أ=) 4 (
04[ / 00 / 20 ، 86 ، 20
]
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- ] 00 / 2( أوجد ق ) أ ب جـ ( ] 41 ، 0 ( ، جـ = ) 2 ، 0 ( ، ب = ) 1 ، 11 ( إذا كان أ = ) 2 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
] 20 / 1 ( أوجد ق ) أ جـ ب ( ] 7 ، 1 ( ، جـ = ) 0 ، 2 ( ، ب = ) 0 ، 12 ( إذا كان أ = ) 0 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
– 6 = 6 ، س + ك ص + 2 = 10 ( إذا كان قياس الزاوية بين المستقيمين س 2 ص + 1 (
تساوى 42 أوجد قيمة ك ] ك = [
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
– – 6 = 2س ص + 2 ، 6 = 14 ( إذا كان قياس الزاوية بين المستقيمين س + ك ص 7 (
- ] يساوى 42 أوجد قيمة ك ] ، 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 ، ك س ص = 0 تساوى – – – = 12 ( إذا كان قياس الزاوية بين المستقيمين 0س 2 ص 1 (
2
0
- 1
0
1
0
ط
4
- 1
4

] أوجد قيمة ك ] ، 4
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 ، س + ص = 0 يساوى = 10 ( إذا كان ظل قياس الزاوية بين المستقيمين ك ص + س + 1 (
] ، أوجد قيمة ك ] 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
– – 6 = 6 ، أ س 2 ص + 4 = 18 ( إذا كان جيب تمام الزاوية بين المستقيمين س ص + 0 (
] ، يساوى أوجد قيمة أ ] 14
] [ 6 = 1( على المستقيم 0س + 4 ص + 1 ، 1( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 2 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- ] [ 6 = 1( على المستقيم 4س 0 ص + 2 ، 2( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 2 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- ]6.2[ 6 = 1( على المستقيم 0س + 7 ص + 12 ، 0( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 0 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- - ]4[ 6 = 4( على المستقيم 12 س 2 ص + 7 ، 4( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 2 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- ]2 0[ 6 = 1( على المستقيم س + ص 12 ، 2( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 2 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
]16 [ 6 = 4( على المستقيم س + 0 ص + 1 ، 0( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 2 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
]8[ 6 = 0( على المستقيم س + 2 ، 8( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 2 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
]8[ 6 = 2( على المستقيم ص + 4 ، 7( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 2 (
0
4
- 2
11
2
8
4
2
البعد العمودى
2
0
8
2
11
2

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
] 2[ 0( على المستقيم س = 8 ، 8( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 2 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
] 2 [ 1( على المستقيم ص = 0 ، 16 ( أوجد طول العمود النازل من النقطة ) 4 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
11 ( أوجد طول العمود النازل من نقطة الاصل الى المستقيم الذى معادلته (
– ] 4 [ 6 = 4س + 0ص 26
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
– – ]1.2[ 6 = 12 ( أوجد طول العمود النازل من نقظة الاصل إلى المستقيم 0س 7 ص 12 (
10 ( أوجد طول العمود المرسوم من نقطة الاصل على المستقيم المار بالنقطتين (
- ] 10 [ ) 0 ، 2 ( ، ) 2 ، 1 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- ) 6 ، 4( إلى المستقيم المار بالنقطة ب=) 2 ، 14 ( أوجد طول العمود المرسوم من النقطة أ) 2 (
وميله = ] ــــــ [
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- - ]1[ ) 0 ، 1( ، ب=) 2 ، 2( عن المستقيم المار بالنقطتين أ = ) 2 ، 12 ( أوجد بعد النقطة ) 8 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
2 ( أوجد طول العمود المرسوم من أ - ، 6 ( ، جـ = ) 4 ، 0 ( ، ب = ) 2 ، 10 ( إذا كان أ = ) 1 (
على ب جـ ] ـــــــ [
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- 6= 1( والمستقيم 4س + 0ص + 0 ، 18 ( أحسب طول نصف قطر الدائرة التى مركزها م = ) 0 (
] مماس لها ] 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- ] [ 6= 1 ( والمستقيم 2س + 12 ص + 4 ، 17 ( أوجد مساحة الدائرة التى مركزها م = ) 2 (
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
1 ( على المستقيم أ س + 4ص= 6 يساوى 2 ، 18 ( إذا كان طول العمود النازل من النقطة ) 2 (
4
01
2
0
0
01
187
8

] أوجد قيمة أ ] 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 = 26 ( إذا كان طول العمود المرسوم من نقطة ) 1 ، جـ ( على المستقيم 2س+ 0ص + 2 (
] ، يساوى 10 فأوجد قيمة جـ ] 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
1 ( على المستقيم أ س + ص = 6 يساوى - ، 21 ( إذا كان طول العمود الساقط من النقطة ) 8 (
16 أوجد قيم أ الممكنة ] 0 أو [ 2
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 متوازيان وأوجد – – – = 0س 7 ص + 11 ، 6 = 22 ( إثبت أن المستقيمين 0س 4 ص 8 (
] البعد بينهما ] 6.8
6 متوازيان وأوجد البعد – = 8س + 12 ص 8 ، 6= 20 ( إثبت أن المستقيمان 0س + 4ص + 0 (
بينهما ] [
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0 ( تقعان على جانبين مختلفتين من المستقيم - ، 2 ( ، ) 1 ، 24 ( إثبت أن النقطتين ) 1 (
6 وعلى بعدين متساويين منه – = 2س ص + 0
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
- – 6= 0 ( تقعان على نفس الجانب من المستقيم 2س ص + 0 ، 2 ( ، ) 4 ، 22 ( هل النقطتان ) 1 (
أم على جانين مختلفين
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0 ( تقع على أحد منصفى الزاوية بين المستقيمين ، 20 ( إثبت أن النقطة ) 4 (
– – – 6 = 6 ، س 0 ص + 4 = 8س 10 ص 7
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0 ( هى رؤوس مثلث أوجد - - ، 0 ( ، جـ = ) 2 ، 1 ( ، ب = ) 2 ، 28 ( إذا كان أ = ) 4 (
- - - ]6= 2 معادلة المستقيم ب جـ ] 4ص+ 0س 17 ] 1 طول ب جـ ] 2
- - ] 0 طول العمود المرسوم من أ على ب جـ ] [ 4 مساحة أ ب جـ ] 10
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
6 ( هى رؤوس مثلث أوجد - ، 0 ( ، جـ = ) 1 ، 2 ( ، ب = ) 2 ، 28 ( إذا كان أ = ) 1 (
- 26
0
- 10
8
2
0
20
2

- - - ]6= 2 معادلة المستقيم ب جـ ] 0س+ 4ص 0 ] 1 طول ب جـ ] 2
4 مساحة أ ب جـ ] 16 وحدة مربعة[ - - ] 0 طول العمود المرسوم من أ على ب جـ ] 4
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
1( ونصف قطرها ، 6 يمس الدائرة التى مركزها م = ) 2 = 27 ( هل المستقيم 4س + 0 ص + 4 (
0سم ] نعم [
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
0( ونصف قطرها ، 6 يمس الدائرة التى مركزها م = ) 2 = 27 ( هل المستقيم 0س + 7 ص + 4 (
2سم ] لا [
موقع الامتحان التعليمى
eg.com-www.exam

حساب المثلثات أولى ثانوى تيرم أول

More Related Content

What's hot

Similar to حساب المثلثات أولى ثانوى تيرم أول

More from أمنية وجدى

Recently uploaded

حساب المثلثات أولى ثانوى تيرم أول