Tich phan %28 nguyen duy khoi%29

CHUYÊN ð :”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN”

GV: NGUY N DUY KHÔI

L I NÓI ð U
Ngày nay phép tính vi tích phân chi m m t v trí h t s c quan tr ng trong Toán h c,
tích phân ñư c ng d ng r ng rãi như ñ tính di n tích hình ph ng, th tích kh i tròn xoay,
nó còn là ñ i tư ng nghiên c u c a gi i tích, là n n t ng cho lý thuy t hàm, lý thuy t
phương trình vi phân, phương trình ñ o hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñư c
ng d ng r ng rãi trong Xác su t, Th ng kê, V t lý, Cơ h c, Thiên văn h c, y h c...
Phép tính tích phân ñư c b t ñ u gi i thi u cho các em h c sinh

l p 12, ti p theo

ñư c ph bi n trong t t c các trư ng ð i h c cho kh i sinh viên năm th nh t và năm th
hai trong chương trình h c ð i cương. Hơn n a trong các kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ
thi Tuy n sinh ð i h c phép tính tích phân h u như luôn có trong các ñ thi môn Toán c a
kh i A, kh i B và c kh i D. Bên c nh ñó, phép tính tích phân cũng là m t trong nh ng
n i dung ñ thi tuy n sinh ñ u vào h Th c sĩ và nghiên c u sinh.
V i t m quan tr ng c a phép tính tích phân, chính vì th mà tôi vi t m t s kinh
nghi m gi ng d y tính tích phân c a kh i 12 v i chuyên ñ “TÍNH TÍCH PHÂN

B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ð I BI N S

VÀ T NG PH N” ñ

ph n nào c ng c , nâng cao cho các em h c sinh kh i 12 ñ các em ñ t k t qu cao trong
kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ thi Tuy n sinh ð i h c và giúp cho các em có n n t ng
trong nh ng năm h c ð i cương c a ð i h c.
Trong ph n n i dung chuyên ñ dư i ñây, tôi xin ñư c nêu ra m t s bài t p minh
h a cơ b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp ñ i bi n s ,
phương pháp tích phân t ng ph n. Các bài t p ñ ngh là các ñ thi T t nghi p THPT và ñ
thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng c a các năm ñ các em h c sinh rèn luy n k năng tính tích
phân và ph n cu i c a chuyên ñ là m t s câu h i tr c nghi m tích phân.
Tuy nhiên v i kinh nghi m còn h n ch nên dù có nhi u c g ng nhưng khi trình bày
chuyên ñ này s không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong ñư c s góp ý chân tình c a
quý Th y Cô trong H i ñ ng b môn Toán S Giáo d c và ðào t o t nh ð ng Nai. Nhân d p
này tôi xin c m ơn Ban lãnh ñ o nhà trư ng t o ñi u ki n t t cho tôi và c m ơn quý th y cô
trong t Toán trư ng Nam Hà, các ñ ng nghi p, b n bè ñã ñóng góp ý ki n cho tôi hoàn
thành chuyên ñ này. Tôi xin chân thành cám ơn./.
Trư ng THPT Nam Hà – Biên Hòa – ð ng Nai

Trang 1



M CL C
L i nói ñ u

1

M cl c

2

I.

Nguyên hàm:

I.1.

ð nh nghĩa nguyên hàm

3

I.2.

ð nh lý

3

I.3.

Các tính ch t c a nguyên hàm

3

I.4.

B ng công th c nguyên hàm và m t s công th c b sung

4

II.

Tích phân:

II.1. ð nh nghĩa tích phân xác ñ nh

5

II.2. Các tính ch t c a tích phân

5

II.3

Tính tích phân b ng phương pháp phân tích

5

Bài t p ñ ngh 1

9

Tính tích phân b ng phương pháp ñ i bi n s

10

II.4

II.4.1 Phương pháp ñ i bi n s lo i 1

10

ð nh lý v phương pháp ñ i bi n s lo i 1

13

M t s d ng khác dùng phương pháp ñ i bi n s lo i 1

14

Bài t p ñ ngh s 2

14

Bài t p ñ ngh s 3

15

Bài t p ñ ngh s 4: Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng

16

II.4.2 Phương pháp ñ i bi n s lo i 2

16

Bài t p ñ ngh s 5

21

Các ñ thi T t nghi p trung h c ph thông

22

Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng

22

II.5. Phương pháp tích phân t ng ph n
Bài t p ñ ngh s 6: Các ñ thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng
III.

23
28

Ki m tra k t qu c a m t bài gi i tính tích phân b ng máy tính
CASIO fx570-MS

29

Bài t p ñ ngh s 7: Các câu h i tr c nghi m tích phân

30

Ph l c

36


Trang 2



I. NGUYÊN HÀM:
I.1. ð NH NGHĨA NGUYÊN HÀM:
Hàm s F(x) ñư c g i là nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) n u v i m i
x∈(a;b):

F’(x) = f(x)
VD1: a) Hàm s F(x) = x3 là nguyên hàm c a hàm s f(x) = 3x2 trên R
b) Hàm s F(x) = lnx là nguyên hàm c a hàm s f(x) =

1
trên (0;+∞)
x

I.2. ð NH LÝ:
N u F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên (a;b) thì:
a) V i m i h ng s C, F(x) + C cũng là m t nguyên hàm c a f(x) trên kho ng ñó.
b) Ngư c l i, m i nguyên hàm c a hàm s f(x) trên kho ng (a;b) ñ u có th vi t
dư i d ng F(x) + C v i C là m t h ng s .
Theo ñ nh lý trên, ñ tìm t t c các nguyên hàm c a hàm s f(x) thì ch c n tìm m t
nguyên hàm nào ñó c a nó r i c ng vào nó m t h ng s C.
T p h p các nguyên hàm c a hàm s f(x) g i là h nguyên hàm c a hàm s f(x) và
ñư c ký hi u: ∫ f(x)dx (hay còn g i là tích phân b t ñ nh)
V y:

∫ f(x)dx = F(x)+C

VD2: a) ∫ 2xdx = x 2 + C

b) ∫ sinxdx = - cosx + C

c)

1

∫ cos x dx = tgx +C
2

I.3. CÁC TÍNH CH T C A NGUYÊN HÀM:
1)

'

( ∫ f(x)dx ) = f(x)

2) ∫ a.f(x)dx = a ∫ f(x)dx

(a ≠ 0 )

3) ∫  f(x) ± g(x)  dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx


4) ∫ f(x)dx = F(x)+C ⇒ ∫ f (u(x) ) u'(x)dx = F (u(x) )+C
VD3: a)

∫ (5x

4

-6x 2 + 8x )dx = x 5 - 2x 3 + 4x 2 +C

b) ∫6cosx.sinxdx = -6 ∫ cosx.d (cosx ) = -3cos 2 x +C


Trang 3



I.4. B NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM:

B NG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ B N
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ C P THƯ NG G P

3/ ∫

x α +1
+C
α +1

dx
= ln x + C
x

2/ ∫ uα du =

( α ≠ -1)

3/ ∫

(x ≠ 0)

4/ ∫ e x dx = e x + C
5/ ∫ a x dx =

H P

1/ ∫ du = u + C

1/ ∫ dx = x + C
2/ ∫ x α dx =

NGUYÊN HÀM CÁC HÀM S

uα +1
+C
α +1

( α ≠ -1)

du
= ln u + C (u = u(x) ≠ 0)
u

4/ ∫ eu du = eu + C

ax
+C
lna

( 0 < a ≠ 1)

5/ ∫ au du =

au
+C
lna

( 0 < a ≠ 1)

6/ ∫ cosx dx = sinx + C

6/ ∫ cosu du = sinu + C

7/ ∫ sinx dx = -cosx + C

7/ ∫ sinu du = - cosu + C

dx
π
= (1+ tg2 x ) dx = tgx + C (x ≠ + k π )
cos 2 x ∫
2
dx
9/ ∫
= (1+ cotg 2 x ) dx = -cotgx + C (x ≠ k π )
sin 2 x ∫
8/ ∫

du
π
= (1+ tg2u ) du = tgu + C (u ≠ + kπ )
cos2u ∫
2
du
9/ ∫
= (1+ cotg2u ) du = -cotgu + C (u ≠ kπ )
sin2u ∫
8/ ∫

CÁC CÔNG TH C B
CÔNG TH C NGUYÊN HÀM THƯ NG G P:

1/

∫

1
dx = 2 x + C
x

2/ ∫ ( ax + b ) dx =
α

α +1

+ C (a ≠ 0)

2/

am
1
= a m-n ; n = a -n
n
a
a

3/

m

1

1
1
3/ ∫
dx = ln ax + b + C (a ≠ 0)
ax + b
a
1 ax +b
ax+b
4/ ∫ e
dx = e
+ C (a ≠ 0)
a
a kx
5/ ∫ a kx dx =
+ C ( 0 ≠ k ∈ R, 0 < a ≠ 1)
k.lna
1
6/ ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C (a ≠ 0)
a
1
7 / ∫ sin ( ax + b ) dx = - cos ( ax + b ) + C (a ≠ 0)
a
8 / ∫ tgx dx = - ln cosx + C (x ≠

CÁC CÔNG TH C LŨY TH A:

1/ a m . a n = a m+n

(x ≠ 0)

1 ( ax + b )
a
α +1

SUNG

π
2

+ kπ )

9/ ∫ cotgx dx = ln sinx + C (x ≠ k π )

a = am ;

n
m

an = a m

CÁC CÔNG TH C LƯ NG GIÁC:
a. CÔNG TH C H B C:

1/ sin2 x =

1
(1- cos2x )
2

2/ cos2 x =

1
(1+cos2x )
2

b. CÔNG TH C BI N ð I TÍCH THÀNH T NG

1
cos ( a - b ) + cos ( a +b ) 

2
1
2/ sina.sinb = cos ( a - b ) - cos ( a + b ) 

2
1
3/ sina.cosb =  sin ( a - b ) + sin ( a + b ) 

2

1/ cosa.cosb =


Trang 4



II. TÍCH PHÂN:
II.1. ð NH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ð NH:
Gi s hàm s f(x) liên t c trên m t kho ng K, a và b là hai ph n t b t kỳ c a K,
F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên K. Hi u F(b) – F(a) ñư c g i là tích phân t
a ñ n b c a f(x). Ký hi u:
b

b

∫ f(x)dx = F(x) = F(b)-F(a)
a

a

II.2. CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN:
a

1/

∫ f (x )dx

=0

a
a

2/

b

∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx

b
b

3/

a
b

∫ k.f (x )dx = k.∫ f (x )dx

a
b

4/

a
b

b

∫ [f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx

a
b

5/

(k ≠ 0)

a
c

a
b

∫ f(x)dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx

a

a

v i c∈(a;b)

c
b

6 / N u f (x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ 0 .
a
b

b

a

a

7 / N u f (x ) ≥ g (x ), ∀x ∈ [a;b ] thì ∫ f (x )dx ≥ ∫ g(x )dx .
b

8 / N u m ≤ f (x ) ≤ M , ∀x ∈ [a;b ] thì m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) .
a
t

9 / t bi n thiên trên [a;b ] ⇒ G (t ) = ∫ f (x )dx là m t nguyên hàm c a f (t ) và G (a ) = 0
a

II.3. TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH:
b

Chú ý 1: ð tính tích phân I = ∫ f (x )dx ta phân tích f (x ) = k1 f1(x ) + ... + km fm (x )
a

Trong ñó: ki ≠ 0 (i = 1,2, 3,..., m ) các hàm fi (x ) (i = 1,2, 3,..., m ) có trong b ng nguyên
hàm cơ b n.
VD4: Tính các tích phân sau:
Trang 5

2

2

-1


-1

1) I = ∫(3x 2 - 4x +3)dx =(x 3 - 2x 2 +3x)

= (2 3 - 2.2 2 +3.2) -((-1)3 - 2.(-1)2 +3.(-1)) = 12
Nh n xét: Câu 1 trên ta ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 1/ và 2/
trong b ng nguyên hàm.
2
3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4
2) I = ∫
dx
x2
1
Nh n xét: Câu 2 trên ta chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên
hàm, trư c h t tách phân s trong d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng tính ch t 4
và s d ng công th c 1/, 2/, 3/ trong b ng nguyên hàm.
2
2
3x 4 -6x 3 + 4x 2 - 2x + 4
2 4
⇒ I= ∫
dx = ∫(3x 2 -6x + 4 - + 2 )dx
2
x
x x
1
1

4 2
= (x 3 -3x 2 + 4x - 2ln |x |- ) = 4 - 2ln2
x 1
2

x 2 -5x +3
3) I = ∫
dx
x +1
0
Nh n xét: Câu 3 trên ta cũng chưa áp d ng ngay ñư c các công th c trong b ng
nguyên hàm, trư c h t phân tích phân s trong d u tích phân (l y t chia m u) r i áp d ng
tính ch t 4 và s d ng công th c 1/, 2/ trong b ng nguyên hàm và công th c 3/ b sung.
2 2
2
x -5x +3
9 

⇒ I= ∫
dx = ∫  x − 6 +
 dx
x +1
x +1 

0
0

 x2
2
=  -6x +9ln | x +1 | = 2 -12 +9ln3 = 9ln3 -10
2
0
1

4) I = ∫e x (2xe -x +5 x e-x -e-x ) dx
0

Nh n xét: Câu 4: bi u th c trong d u tích phân có d ng tích ta cũng chưa áp d ng
ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t nhân phân ph i rút g n r i áp
d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 1/, 2/, 5/ trong b ng nguyên hàm.

 2 5x
1 4
⇒ I = ∫e (2xe +5 e -e ) dx = ∫ (2x +5 -1 ) dx =  x +
-x  =
ln5  0 ln5

0
0
1

1

x

π
4

-x

x -x

-x

x

π

2
5) I = ∫(4cosx +2sinx - 2 )dx =(4sinx - 2cosx - 2tgx) 4 = 2 2 - 2 - 2+2 = 2
cos x
0
0

Nh n xét: Câu 5 trên ta ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/, 7/ và 8/
trong b ng nguyên hàm.
Trang 6



π

π

8

6) I = ∫(4sin2x - 12cos4x)dx = (-2cos2x - 3sin4x)
0

8

= - 2 -3 + 2 = -1- 2

0

Nh n xét: Câu 6 trên ta cũng ch c n áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/ ,
7/ trong b ng nguyên hàm ph n các công th c b sung.
π
12

7) I =

∫ sin

2

(2x -

π

)dx
4
0
Nh n xét: Câu 7 h c sinh có th sai vì s d ng nh m công th c 2/ trong b ng b ng

nguyên hàm c t bên ph i, b i ñã xem u 2 = sin 2(2x -

π

) (hơi gi ng ñ o hàm hàm s h p).
4
V i câu 7 trư c h t ph i h b c r i s d ng công th c 6/ trong b ng nguyên hàm ph n các
công th c b sung.
π

⇒ I=

π

12

∫ sin

2

(2x -

0

π
4

)dx =

1
2

12

π



π 

1

12


∫  1 - cos(4x - 2 ) dx = 2 ∫ (1 - sin4x )dx


0

π


1
1
1 π 1
π
=  x + cos4x  12 =  + cos
2
4
2  12 4
3
0

0

 1
 π
1
1
 - 2 0 + 4 cos0  = 24 - 16




π
16

8/ I =

∫ cos6x.cos2xdx
0

Nh n xét: câu 8: bi u th c trong d u tích phân có d ng tích ta cũng chưa áp d ng
ngay ñư c các công th c trong b ng nguyên hàm, trư c h t ph i bi n ñ i lư ng giác bi n
ñ i tích thành t ng r i áp d ng tính ch t 4 và s d ng công th c 6/ trong b ng nguyên hàm
ph n các công th c b sung.
π

π

16

16

1
⇒ I = ∫ cos6x.cos2xdx =
2
0
=


1 1
1

∫ (cos8x +cos4x )dx = 2  8 sin8x + 4 sin4x 

0

π
16
0

 1 1
1 1
π 1
π  1 1
1
2 1
1+ 2
=
 sin + sin  −  sin 0 + sin 0  =  +

2 8
2 4
4  2 8
4
8  16
 2 8


(

)

2

9) I =

∫x

2

-1dx

-2

Nh n xét: Câu 9 bi u th c trong d u tích phân có ch a giá tr tuy t ñ i, ta hư ng
h c sinh kh d u giá tr tuy t ñ i b ng cách xét d u bi u th c x2 – 1 trên [-2;2] và k t h p
v i tính ch t 5/ c a tích phân ñ kh giá tr tuy t ñ i.

Trang 7

2

⇒ I=

∫x

-1
2

-1dx =

-2

∫ (x

1

2

2

-1 )dx − ∫ ( x 2 - 1 ) dx + ∫ ( x 2 -1 )dx

-2

-1

1

x
 -1  x
 1 x
2
=  -x  − -x  + -x  = 5
3
 -2  3
 -1  3
1
3

3

3

3

3x +9
dx
x - 4x -5
2
Nh n xét: Câu 10 trên ta không th c hi n phép chia ña th c ñư c như câu 2 và 3,
m t khác bi u th c dư i m u phân tích ñư c thành (x -5)(x +1) nên ta tách bi u th c
3x+9
A
B
4
1
=
+
=
trong d u tích phân như sau: 2
(phương pháp h s
x - 4x -5 x -5 x+1 x -5 x+1
b t ñ nh)
3
3
3
3x +9
1 
 4
⇒ I= ∫ 2
dx = ∫ 
dx = ( 4ln | x -5 |-ln |x +1 |)

2
x - 4x -5
x -5 x +1 
2
2
10) I = ∫

2

= 4ln2 -ln4 - 4ln3 +ln3 = 2ln2 -3ln3 = ln

Chú ý 2: ð tính I = ∫

a'x +b'
dx
ax 2 +bx + c

4
27

(b2 - 4ac ≥ 0) ta làm như sau:

TH1: N u b 2 - 4ac = 0 , khi ñó ta luôn có s phân tích ax 2 +bx + c = a(x +
⇒ I= ∫

b 2
)
2a

b
ba'
ba'
)+b' b' a'
dx
dx
2a
2a dx =
∫ b + a2a ∫
b
b
a x+
a(x + )2
(x + )2
2a
2a
2a

a'(x +

TH2: N u b 2 - 4ac >0 ⇒ ax 2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x 2 ) . Ta xác ñ nh A,B sao cho
A+ B = a'
a'x + b' = A(x - x1 )+ B(x - x 2 ) , ñ ng nh t hai v ⇒ 
Ax1 + Bx 2 = -b'
1 A(x - x1 )+ B(x - x 2 )
1
A
B
I= ∫
dx = ∫(
+
)dx .
a
(x - x1 )(x - x 2 )
a x - x 2 x - x1


Trang 8



Chú ý 3:
TH1: ð tính I = ∫

P(x)
dx ta làm như sau:
(x -a1 )(x -a2 )...(x -an )

P(x)
A1
A2
An
=
+
+...+
(x -a1 )(x -a2 )...(x -an ) (x -a1 ) (x -a2 )
(x -an )


P(x)
dx ta làm như sau:
(x -a1 ) (x -a2 )k ...(x - an )r
m

A1
A2
Am
P(x)
=
+
+ ...+
+ ...
m
m -1
k
r
(x - a 1 )
(x - a 2 )
(x - a m )
(x -a1 ) (x -a2 ) ...(x -an )
P(x)
dx v i P(x) và Q(x) là hai ña th c:
Q(x)
m

* N u b c c a P(x) l n hơn ho c b ng b c c a Q(x) thì l y P(x) chia cho Q(x).
* N u b c c a P(x) nh hơn b c c a Q(x) thì tìm cách ñưa v các d ng trên.
Nh n xét: Ví d 4 trên g m nh ng bài t p tính tích phân ñơn gi n mà h c sinh có
th áp d ng ngay b ng công th c nguyên hàm ñ gi i ñư c bài toán ho c v i nh ng phép
bi n ñ i ñơn gi n như nhân phân ph i, chia ña th c, ñ ng nh t hai ña th c, bi n ñ i tích
thành t ng...Qua ví d 4 này nh m giúp các em thu c công th c và n m v ng phép tính
tích phân cơ b n.
BÀI T P ð NGH 1: Tính các tích phân sau:
1

1) I = ∫(x x + 2x 3 +1)dx
0

2

2x 2 x + x 3 x - 3x + 1
dx
x2
1

2) Ι = ∫

0

3) I =

x 3 -3x 2 -5x +3
dx
∫
x -2
-1

2

4) I =

∫ (x

+ x - 3 ) dx
2

-2

π

π

6

5) I =

2

12

∫ (sinx + cos2x - sin3x )dx

6) I =

0

∫ 4sinx.sin2x.sin3xdx
0

π

16

7) I =

∫ cos

2

4

2xdx

8) I =

∫x

2

+ 2x -3 dx

-2

0
4

dx
9) I = ∫ 2
x -5x +6
1
2

1

10) I = ∫
0

dx
x +1+ x

x + 2x +6
11) I = ∫
dx
(x -1)(x - 2)(x - 4)

x 2 +1
12) I = ∫
dx
(x -1)3 (x +3)

xdx
13) I = ∫ 4
x -6x 2 +5

x 7 dx
14) I = ∫
(1+ x 4 )2


Trang 9



II.4. TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP ð I BI N S :
II.4.1. Phương pháp ñ i bi n s lo i 1:
b

Ta có chú ý (SGK trang 123): Tích phân

∫ f(x)dx

ch ph thu c vào hàm s f(x),

a

c n a và b mà không ph thu c vào cách ký hi u bi n s tích phân. T c là:
b

b

b

a

a

a

∫ f(x)dx = ∫ f(t)dt = ∫ f(u)du = ...
Trong m t s trư ng h p tính tích phân mà không tính tr c ti p b ng công th c hay
qua các bư c phân tích ta v n không gi i ñư c. Ta xét các trư ng h p cơ b n sau:
VD5: Tính các tích phân sau:
1) I =

2
2

dx
2 -x2

∫
0

Phân tích: Bi u th c trong d u tích phân có ch a căn b c hai, ta không kh căn
b ng phép bi n ñ i bình phương hai v ñư c, ta th tìm cách bi n ñ i ñưa căn b c hai v
2
2
d ng A 2 , khi ñó ta s liên tư ng ngay ñ n công th c: 1-sin x = cos x = cosx , do ñó:

π π

ð t x = 2sint ⇒ dx = 2costdt , t ∈ - ; 
 2 2


ð i c n:

x=

2
2
π
⇒ 2sint =
⇒t =
2
2
6

x =0 ⇒
π
6

⇒ I= ∫
0

2sint = 0 ⇒ t = 0
π

π

π

6
2cost.dt 6 2cost.dt
π
π
6
=∫
= ∫ dt = t =
( vì t ∈ 0;  ⇒ cost > 0 )
 6
2
2
6


2 -2sin t 0 2(1-sin t) 0
0

Trong VD trên khi ta thay ñ i như sau: I =

2

∫
0

ñư c k t qu I =

π
2

. K t qu trên b sai vì hàm s

Do ñó khi ra ñ

f (x) =

dx
. H c sinh làm tương t và
2 -x2

1
không xác ñ nh khi x= 2 .
2-x2

d ng trên Giáo viên c n chú ý: hàm s


f (x) xác ñ nh trên [a;b]

Trang 10



6
2

2) I =

∫

3 - x 2 dx

0

π π

ð t x = 3 sint ⇒ dx = 3 costdt , t ∈ - ; 
 2 2


ð i c n:

x=

6
6
π
⇒ 3sint =
⇒t =
2
2
4

x =0 ⇒
π
4

⇒I = ∫
0

2sint = 0 ⇒ t = 0
π

π

π

34
3
1
3 π 1 
4
3 -3sin t . 3cost.dt = ∫ 3cos t.dt = ∫ (1+cos2t ).dt =  t+ sin2t  =  + 


20
2 2
24 2

0
4

2

2

0

β

a) Khi g p d ng

∫
α

β

∫
α

a 2 - x 2 dx hay

dx
(a > 0)
a2 - x 2
π π

ð t x = a.sint ⇒dx = a.cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2


2
2
2
2
2
( ð bi n ñ i ñưa căn b c hai v d ng A 2 , t c là: a -a sin x = a cos x =a. cosx )

π π

x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; 
 2 2



ð i c n:

π π

x = α ⇒ t = α’ ∈ - ; 
 2 2


π π

π π

Lưu ý: Vì t ∈ - ;  ⇒ α ', β ' ∈ - ;  ⇒ cost > 0
 2 2
 2 2




β

⇒ ∫ a - x dx =
2

α

β'

∫
α

β'

a -a sin t .acostdt = ∫ a 2cost 2dt , h b c cos2t.
2

2

2

α'

'

β

hay

2

β'
β'
dx
a.costdt
=∫
= ∫ dt
a 2 - x 2 α ' a 2 -a 2sin 2 t α '

∫

α

ð n ñây, công th c nguyên hàm không ph thu c vào bi n s nên ta tính ñư c tích
ñây ta c n lưu ý: Bi u th c trong d u tích phân

phân theo bi n s t m t cách d dàng.

này là hàm s theo bi n s t ñơn ñi u trên [α;β].
Ta m r ng tích phân d ng trên như sau:
β

b) Khi g p d ng

∫
α

β

a 2 -u 2(x)dx hay

∫
α

dx
(a > 0)
a 2 - u 2(x)
π π

ð t u(x) = a.sint ⇒ u'(x).dx = a.cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2



Trang 11

π π
ð i c n:
x = β ⇒ t = β’ ∈ - ; 
 2 2


π π
x = α ⇒ t = α’ ∈ - ; 
 2 2

2+

VD6: Tính tích phân sau: I =

6
2

∫


2+

-x 2 + 4x -1 dx . Ta có: I =

2

6
2

∫

3 - (x -2 ) dx
2

2

π π

ð t x - 2 = 3 sint ⇒ dx = 3 cost.dt , t ∈ - ; 
 2 2


ð i c n:

x = 2+

6
2
π
⇒ sint =
⇒t =
2
2
4

x = 2 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0
π

π

4

⇒ I=

4

3 - 3sin 2 t . 3 cost.dt = ∫ 3cos 2 t.dt

∫
0

0

π

3 4
3
1

= ∫ (1+ cos2t ).dt =  t + sin2t 
20
2
2

2

VD7: Tính tích phân sau: I = ∫
0

π
4

=

0

3 π 1 
+ 
24 2


dx
dx
2+x 2

Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai

m u s vô nghi m nên ta không s d ng

phương pháp h s b t ñ nh như ví d 4.10 và không phân tích bi u th c trong d u tích
phân ñư c như chú ý 2 và chú ý 3.
 π π
ð t: x = 2tgt ⇒ dx = 2. (1+tg 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2
x = 2 ⇒ 2tgt = 2 ⇒ t =

ð i c n:

x =0 ⇒
π
4

⇒ I= ∫
0

π
4

2tgt = 0 ⇒ t = 0
π

2.(1+tg 2t )dt 4 2
2 4
2π
= ∫ dt =
t =
2
2+2tg t
2
8
0 2
π

0

β

dx
(a > 0)
+x2
Nh n xét: a2 + x2 = 0 vô nghi m nên ta không phân tích bi u th c trong d u tích
phân ñư c như chú ý 2 và chú ý 3.
 π π
2
ð t x = a.tgt ⇒ dx = a. (1+ tg t ) dt , t ∈  - ; 

c) Khi g p d ng

∫
αa

2

 2 2


Trang 12


 π π
x = β ⇒ t = β’ ∈  - ; 
 2 2
 π π
x = α ⇒ t = α’ ∈  - ; 

ð i c n:


 2 2

Ta xét ví d tương t ti p theo:
1+ 2

VD8: Tính tích phân sau: I =

∫
1

dx
x -2x+3
2

Nh n xét: Ta th y tam th c b c hai

m u s vô nghi m nên ta phân tích m u s

ñư c thành: a2 + u2(x).
1+ 2

Ta có: I =

∫
1

1+ 2
dx
dx
= ∫
2
2
x -2x+3
1 2+ ( x -1)

 π π
ð t x -1= 2tgt ⇒ dx = 2. (1+tg 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2

ð i c n:
π

x = 1+ 2 ⇒ tgt = 1 ⇒ t =
x = 1 ⇒ tgt = 0
π
4

⇒ I= ∫
0

4

⇒t = 0

π

2.(1+tg 2t )dt 4 2
2
= ∫ dt =
t
2
2+2tg t
2
2
0

π
4

0

=

2π
8

V y:
β

dx
(a > 0)
+u 2 (x )
V i tam th c b c hai a 2 +u 2 (x ) vô nghi m thì

d) Khi g p d ng

∫
αa

2

 π π
ð t u(x) = a.tgt ⇒ u'(x)dx = a.(1+tg 2t )dt , t ∈  - ; 
 2 2
 π π
ð i c n:
x = β ⇒ t = β’ ∈  - ; 
 2
 π
x = α ⇒ t = α’ ∈   2

2
π
; 
2

Tóm l i: Phương pháp ñ i bi n s d ng 1:
ð nh lý: N u
1. Hàm s x = u(t) có ñ o hàm liên t c, ñơn ñi u trên ño n [α;β].
2. Hàm s h p f [u(t)] ñư c xác ñ nh trên ño n [α;β].

Trang 13



3. u(α) = a, u(β) = b.
β

b

thì

∫ f(x)dx = α f [u(t)]u'(t).dt
∫
a

T ñó ta rút ra quy t c ñ i bi n s d ng 1 như sau:
B1: ð t x = u(t) (v i u(t) là hàm có ñ o hàm liên t c trên [α ;β ] , f(u(t)) xác ñ nh trên
[α ;β ] và u(α ) = a, u( β ) = b ) và xác ñ nh α , β
β

β

b

B2: Thay vào ta có: I = ∫ f(u(t)).u'(t)dt = ∫ g(t)dt = G(t)
α

a

α

= G( β ) -G (α )

M t s d ng khác thư ng dùng phương pháp ñ i bi n s dang 1:
1
a
* Hàm s trong d u tích phân ch a a 2 -b 2 x 2 hay
ta thư ng ñ t x = sint
b
a 2 -b 2 x 2
1
a
* Hàm s trong d u tích phân ch a b 2 x 2 - a 2 hay
ta thư ng ñ t x =
bsint
b2 x 2 - a 2
a
1
* Hàm s trong d u tích phân ch a 2
ta thư ng ñ t x = tgt
2 2
b
a +b x
a
* Hàm s trong d u tích phân ch a x(a -bx) ta thư ng ñ t x = sin 2t
b
1
1
x2
2
1) I = ∫ x 1 - x dx
2) I = ∫
dx
2
0
0 4 - 3x
1

3) I = ∫
0
3
2

5) I =

∫

1

2

x
3 + 2x - x 2

dx

4) I =

x2 - 1
dx
x

∫
1
1

x +1
dx
x(2 - x)

dx
0 x + x +1

6) I = ∫

Hư ng d n: Câu 4: ð t x =

1
sint

2

Câu 5: ð t x = 2sin 2t

π
VD9: Ch ng minh r ng: N u hàm s f(x) liên t c trên 0;  thì
 2


π

π

2

2

0

0

∫ f (sinx )dx = ∫ f (cosx )dx

Áp d ng phương pháp trên ñ tính các tích phân sau :
π

π

4
sin x
1) I = ∫
dx
2) I = ∫ ln(1+ tgx)dx
sin 4x + cos 4x
0
0
2

4

Trang 14



Gi i
π
2

VT =

∫ f (sinx )dx

ð t x=

0

ð i c n x =0 ⇒t =

π

π

;x=

2

2

π
2

- t ⇒ dx = -dt .

⇒t =0

π

2
 π

⇒ VT = − ∫ f  sin  − t  dt = ∫ f (cosx )dx = VP (ñpcm)
2

π 
0
0

2

Áp d ng phương pháp trên ñ tính các tích phân sau :
π

sin 4x
dx
∫ 4
4
0 sin x + cos x
2

1) I =

π

ð t x=

2

- t ⇒ dx = -dt .

ð i c n x =0 ⇒t =
sin 4(

0

I= - ∫
π

2

sin 4(

π

π

2

π
2

π

π

;x=

2

2

⇒t =0
π

- t)

π
4

2
cos t
cos 4x
dt = ∫
dx
∫ 4
4
4
4
0 sin t + cos t
0 sin x + cos x
2

π

- t)+ cos 4(

2

dt =
- t)
π

π

2
sin x
cos x
π
π
dx + ∫
dx = ∫ dx = ⇒ I = .
∫ sin 4x + cos 4x
4
4
2
4
0
0 sin x + cos x
0
4

2

⇒ 2I =

4

2

π

4

2) I = ∫ ln(1+ tgx)dx
0

ð t x = π - t ⇒ dx = -dt
4

ð i c n x =0 ⇒t =

π
4

;x=

π
4

⇒t =0

π

π

4

π

4

π

4
1-tgt
⇒ I = - ∫ ln[1+tg( -t)]dt = ∫ ln(1+
)dt = ∫ [ln2 -ln(1+tgt)]dt = ln2. ∫ dt - I
4
1+tgt
π
0
0
0
0

4

⇒2I =

πln2
4

⇒I =

π.ln2
8



Trang 15

π
2

1)

π
2

n
n
∫ sin xdx = ∫ cos xdx

0

HD: ð t x =

0

π
2


-t .

a

2) Cho I =

∫ f(x)dx . CMR:

-a
a

a) I = 2 ∫ f(x)dx n u f(x) là hàm s ch n.
0

b) I = 0 n u f(x) là hàm s l .
b

b
f(x)
3) Ch ng minh r ng: N u f(x) là hàm s ch n thì ∫ x
dx = ∫ f(x)dx .
-b a + 1
0
2

2x 2 + 1
Áp d ng: Tính I = ∫ x
dx .
-2 2 + 1
π

ππ

0

20

4) Ch ng minh r ng: ∫ xf(sinx)dx =
π

Áp d ng: Tính I =

∫ f(sinx)dx (HD: ð t x = π - t )

xsinx

∫ 4+ sin 2 x dx .

0

BÀI T P ð NGH 4: Tính các tích phân sau: (Các ñ tuy n sinh ð i h c)
a) I =

2
2

∫
0
2

1

x2
1- x 2

dx

c) I = ∫ x 2 4 - x 2 dx

(ðH TCKT 1997)
(ðH T.L i 1997)

d) I = ∫ x 2 a 2 - x 2 dx (ðH SPHN 2000)

1- x

1
2

-1

1

dx

∫x

g) I = ∫

(ðH Y HP 2000)

0

3
2

1

2 3

0
a

0

e) I =

(1- x ) dx

b) I = ∫

2

dx

(1+ x )

2 2

(ðH TCKT 2000)

f) I = ∫
0

(ðH N.Ng 2001)

h) I =

dx
(ðH T.L i 2000)
x + 4x 2 +3
4

2

∫x
2
3

dx
x 2 -1

(ðH BKHN 1995)

II.4.2. Phương pháp ñ i bi n s lo i 2: (D ng ngh ch)
b

N u tích phân có d ng ∫ f u(x)  u'(x)dx


a

ð t: u = u(x) ⇒ du = u'(x)dx
ð i c n:

x = b ⇒ u2 = u(b)
x = a ⇒ u1 = u(a)

u2

⇒ I = ∫ f (u )du
u1


Trang 16



a) M t s d ng cơ b n thư ng g p khi ñ i bi n s lo i 2:(D ng ngh ch)
Trong m t s trư ng h p tính tích phân b ng phương pháp phân tích hay tính tích
phân b ng tích phân ñ i bi n s lo i 1 không ñư c nhưng ta th y bi u th c trong d u tích
phân có ch a:
1. Lũy th a thì ta th ñ t u b ng bi u th c bên trong c a bi u th c có ch a lũy th a
cao nh t.
2. Căn th c thì ta th ñ t u b ng căn th c.
3. Phân s thì ta th ñ t u b ng m u s .
4. cosx.dx thì ta th ñ t u = sinx.
5. sinx.dx thì ta th ñ t u = cosx.
6.

dx
hay (1 + tg2x)dx thì ta th ñ t u = tgx.
2
cos x

7.

dx
hay (1 + cotg2x)dx thì ta th ñ t u = cotgx.
2
sin x

8.

dx
và ch a lnx thì ta th ñ t u = lnx.
x

VD 10: Tính các tích phân sau:
1

3
5 2
1. a) I = ∫(x +1) x dx
0
3
2
2
ð t: u = x +1 ⇒ du = 3x dx ⇒ x dx =

du
3

ð i c n:
x

0

1

u

1

2

2

⇒ I = ∫ u5
1

du 1 2 5
u6 2 2 6 16 7
= ∫ u du =
=
=
3 31
18 1 18 18 2

π
2

b) I = ∫(1+sinx )3 .cosx.dx

(Tương t )

0

2

2. a) I = ∫ 4+3x 2 .12x.dx
0

ð t: u = 4+3x 2 ⇒ u 2 = 4+3x 2

Trang 17

⇒ 2udu = 6xdx ⇒ 12xdx = 4udu


ð i c n:
x

0

2

u

2

4

4

4

⇒ I = ∫ u.4u.du = ∫ 4u 2 .du =
2

2

4

4u 3
3

2

=
2

4.43 4.2 3 224
=
3
3
3
2

b) I = ∫ 1+2x 2 .x 3 .dx

(HD: I = ∫ x 2 . 1+2x 2 .xdx )

0

0

ð t u = 1+2x 2 ⇒ u 2 = 1+2x 2 ⇒ x 2 =
⇒ 2udu = 4xdx ⇒ xdx =
1

udu
...
2

x2
dx
1+7x 3

c) I = ∫ 3
0

u2 -1
2

ð t u 3 = 3 1+7x 3 ⇒ u 3 = 1+7x 3
⇒ 3u 2du = 21x 2dx ⇒ x 2dx =

u 2du
7

ð i c n:
x

0

u
2

1

1

2
2

2

2 2

u
1
1u
du = ∫ udu =
7u
71
14
1

⇒I = ∫

1

3.a) I = ∫

x3

=
1

2 2 12 3
=
14 14 14
1

x 2 .x
dx
x 2 +1
0

dx

Ta có: I = ∫

x

0

1

u

1

2

x 2 +1
ð t u = x 2 +1 ⇒ x 2 = u -1
du
⇒ du = 2xdx ⇒ xdx =
2
ð i c n:
0

2

2
u -1
12
1
1
1
du = ∫ 1- du = (u -ln |u |) = (2 -ln2 -1 ) = (1-ln2 )


2u
2 1 u
2
2
1
1

⇒ I= ∫
2

b) I = ∫
1

x2
dx
x 3 +2

(HD: ð t u = x 3 +2 )


Trang 18



π
6

4
4.a) I = ∫ sin x.cosx.dx

ð t: u = sinx ⇒ du = cosx.dx

0

ð i c n:
x
u

π

0
0

6
1
2

1
2

 u5 
⇒ I = ∫ u du =  
5 
0
4

1
2

0

=

1
160

π

sinx
dx
1+3cosx
0
2

b) I = ∫

(HD: ð t u = 1+3cosx )

π
2

c) I = ∫ 1+3sinx.cosxdx

(HD: ð t u = 1+3sinx )

0

π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2

5.a) I = ∫

π

(ð ðH kh i A – 2005)
π

2
sinx (2cosx +1 )
2sinxcosx +sinx
Ta có I = ∫
dx = ∫
dx
1+3cosx
1+3cosx
0
0
2

ð t u = 1+3cosx ⇒ u 2 = 1+3cosx ⇒ cosx =
⇒ 2udu = -3sinxdx ⇒ sinxdx =

u2 -1
3

-2udu
3

ð i c n:
π

0

x
u

2

2

1

 u -1
 -2udu 
+1  
2


3
  3  dx = 2
⇒I = ∫
2

1

2

=

u

2

(2u
9∫

2

+ 1 )du

1

 2 2  2.2 3
2  2u 3
2.13  34
+u  = 
+2 -1 =
9 3
3

1 9 3
 27


Trang 19



Nh n xét: ð i v i nh ng bài ch a căn th c, h c sinh có th ñ t u b ng bi u th c
trong d u căn, nhưng sau khi ñ i bi n thì tích phân m i v n còn ch a căn th c nên vi c
tính ti p theo s ph c t p hơn (t c là h c sinh ph i ñưa v xα). Ví d : Cách 2 c a câu 5
π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2

5.a) I = ∫

(ð ðH kh i A – 2005)

π

π

2
sinx (2cosx +1 )
2sinxcosx +sinx
dx = ∫
dx
1+3cosx
1+3cosx
0
0
2

Ta có I = ∫

ð t u = 1+3cosx ⇒ cosx =

u -1
3

⇒ du = -3sinxdx ⇒ sinxdx =

-du
3

ð i c n:
x
u

π

0
4

2

1

-du 
 u -1
+1  
4
2


 3
 3  du = 1 (2u+1 ) du
⇒I = ∫
∫
1

9

u

4

u

1

4
4
1
− 
1 4
1  1  1
14

2 u+
= ∫ 2u 2 + u 2  =  u u + 2 u 

9 ∫
u  9 1
1
 9 3
1
1  32
4  34
= 
+4- -2  =
9 3
3  27

=

Nh n xét: Rõ ràng cách gi i 2 ñ t u b ng bi u th c trong căn th y ph c t p hơn so
v i cách 1.
π

sin2x.cosx
dx
1+cosx
0
2

b) I =

∫

π
4

6.a) I = ∫
0

(tgx +1 ) dx

(ðH kh i B – 2005)

2

2

cos x

ð t: u = tgx +1 ⇒ du =

ð i c n:
x
u
2

0
1

dx
cos 2 x

π
4

2

 u3  2 8 1 7
 = - =
3 1 3 3 3

⇒ I = ∫ u 2du = 
1


Trang 20



π
4

tg 2 x - 3tgx +1
dx
cos 2 x
0

b) I = ∫

(HD: ð t u = tgx )

π
2

ecotgx

7.a) I = ∫ sin 2 x dx
π
4

ð t: u = cotgx ⇒ du =
ð i c n:

-dx
sin 2x

π

u

π

4

x

2

1

0

0

1

1

1

0

0

⇒ I = - ∫e udu = ∫e udu = e u = e - 1
π
2

b) I =

3cotgx +1
dx
sin 2 x

∫
p
4
e3

8.a) I =

∫
1

(HD: ð t u = 3cotgx +1 )

1+lnx.dx
x

ð t u = 1+lnx ⇒ u 2 = 1+lnx ⇒ 2udu =

dx
x

ð i c n:
x

1

e3

u

1

2

2

2

⇒ I = ∫ u.2udu = 2 ∫ u 2du =
1

1

2u 3
3

2

=
1

2.2 3 2.13 14
=
3
3
3

e7

lnx.3 1+lnx
dx
x
1

b) I = ∫

ð t u = 3 1+lnx ⇒ u 3 = 1+lnx ⇒ u 3 - 1= lnx ⇒ 3u 2du =

dx
x

ð i c n:
x

1

e7

u

1

2

2

2

1

1

 u7 u 4  2
 27 2 4  300
-  = 3  - =
7
7 4 1
7 4 

⇒ I = ∫ (u 3 -1 ) .u.3u 2du = 3 ∫ (u 6 -u 3 )du = 3 
BÀI T P ð NGH 5:

Trang 21



1. Tính các tích phân sau:
π
2

2

a) I = ∫ (5sinx -1 ) cos x.dx
3

1

b) I = ∫ 1+ 2x .x .dx
2

3

3

c) I =

0

0

∫
0

x2
3

π

p
2

p
4

6

sinx
dx
1+3cosx
0

e) I = ∫ sin 4x.cosx.dx

d) I = ∫

f) I = ∫ cos5 x.
dx

0

π

0

π

π

6

4

2

g) I = ∫ sin 2 x.cos 3 x.dx

h) I =

0

∫

i) I = ∫(1+sin2x )3 .cos2x.dx

1+3sinx .cosxdx

0

0

π

π

p
2

e tgx + 1
l) I = ∫
dx
cos 2 x
0
4

2

sin2x
k) I = ∫
dx
1+cos 2 x
0

j) I = ∫ sinx - sin x .dx
3

0

dx

1+ 26x 3

2. Tính các tích phân sau: (Các ñ thi t t nghi p)
π
2

a) I = ∫ sin 5 x. (TNTHPT Năm 93-94)
dx

2

x2

b) I = ∫

x3 + 2

1

0

dx (TNTHPT Năm 95-96)

π
2

∫

c) I =

2

∫

2
x + 2.x .dx (TNTHPT Năm 96-97) d) I = cos 4x.dx (TNTHPT Năm 98-99)
2

3

0

1

π

π

6

e) I = ∫(sin6xsin2x+6).dx (TNTHPT 00-01)
0

2

f) I = ∫(x+sin2x)cosx.dx (TNTHPT 04-05)
0

3. Tính các tích phân sau: (Các ñ thi tuy n sinh ð i h c)
π

sin2x +sinx
dx
1+3cosx
0
2

∫

a) I =

(ðH kh i A – 2005)

π

sin2x.cosx
dx
1+cosx
0
2

b) I =

∫

(ðH kh i B – 2005)

π
2

c) I = ∫ (esinx +sinx )cosxdx

(ðH kh i D – 2005)

0

π

sin2x
dx
cos x + 4sin 2 x
0
ln5
dx
e) I = ∫ x
e +2e -x -3
ln3
2

d) I =

∫

2

(ðH kh i A – 2006)
(ðH kh i B – 2006)

1

f) I = ∫(x -2)e 2xdx

(ðH kh i D – 2006)

0

4. Tính các tích phân sau: (Các d ng khác)
13

a) I =

∫
0

dx
3
2x +1

3

b) Ι = ∫ x x +1.dx
0


1

dx
0 1+ x +1

c) I = ∫

3

Trang 22

p
3

2sin2x +3sinx
d) I = ∫
dx
6cosx - 2
0

e7

1

e4

h) I =

1+e x

0

1
5
4

1

∫

x +1
.dx
x -1

i) I = ∫

∫ x.lnx.ln(lnx) dx

5
3

ln5

l) I =

1+lnx .dx
x.lnx

∫

f) I =

e -1

dx

k) I = ∫

e3

1
e) I = ∫ 3
dx
1 x 1+lnx

e7

lnx.3 1+lnx
g) I = ∫
dx
x
1


e

(x +1)
x
dx (HD: t = xe )
x(1+ xe x )
0

m) I = ∫

e x -1 dx

0

1

7

x 3dx

∫

1) I =

(ðH T.M i 1997);

1+ x 2

0

2) I = ∫x5 (1-x3 ) dx (ðH KTQD 1997)
6

0

π

sin 3 x
dx (ðH QGHN 1997);
1+cos 2 x
0

1

2

3) I = ∫

xdx
(ðHQGTPHCM 1998)
2x +1

∫

4) I =

0

π

π

5) Ι = ∫ cosx sinxdx (ðHBKHN98);
0
7
3

7) I = ∫ 3
0

x +1
dx (ðH GTVT 1998);
3x +1

2

6) I = ∫cos2x (sin4x+cos 4x ) dx (ðHBKHN 98)
0
1

dx
e +1
0

8) I = ∫

x

(ðH QGHN 1998)

π

π

9) I = ∫ sin 3 xcosxdx (ðH DLHV 1998);

2

sin2x
dx (ðHQGTPHCM 1998)
1+cos 4x
0

10) I = ∫

0

π

π

2

sin 4x
dx (ðH GTVT 1999)
sin 4x +cos 4x
0
2

11) I = ∫ sin2x (1+ sin 2 x ) dx (ðHNT 1999); 12) I = ∫
3

0
1

dx
(ðH Cñoàn 2000);
2x
e +3
0

13) I = ∫

14) I =

ln2

∫
0

e 2xdx
e x +1

(ðH BKHN 2000)

π
4

2

sin4x
dx
dx (ðH CThơ 2000); 16) I = ∫
4
4
3
sin x +cos x
1 x ( x +1 )
0

15) I = ∫
π

(ðH NNghi p 2000)

π
6

2

sin x
dx (ðH Hu 2000);
6
cos x + sin 6 x
0

17) I = ∫

2

18) I = ∫
0

cosx
dx (ðHNN1-KB 01)
sinx + cosx

π
2

dx
4
1 x ( x +1 )

19) I = ∫

2

(ðH Aninh 2001)

20) Ι = ∫ cos 2 xsin2xdx (ðH NL HCM 2001)
0

1

3

0

x7
dx (CðSPNtrang 2002)
1+ x 8 - 2x 4
2

π

π

21) I = ∫ x 5 1 - x 3 dx (ðH Lu t HCM 2001); 22) I = ∫
2

23) I = ∫
0

(

3

2 3

25) I =

∫

5

)

4

1- 2sin 2 x
dx (ðHCð kh i B 2003)
1+ sin2x
0

cosx - sinx dx (CðSPQN 2002); 24) I = ∫
3

dx
x x2 + 4

1

(ðH-Cð kh i A 2003); 26) I = ∫ x 3 1- x 2 dx (ðH-Cð kh i D 2003)


0

Trang 23



II.5. TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N:
ð nh lý: N u u(x) và v(x) là hai hàm s có ñ o hàm liên t c trên ño n [a;b] thì:
b

∫ u(x).v'(x)dx = [u(x).v(x) ]

b

a

a

b

∫ u(x).dv = [u(x).v(x)]
a

hay

b

a

b

a

− ∫ v(x).u'(x).dx
a

b

− ∫ v(x).du
a

b

a

hay

b

b

a

∫ u.dv = u.v - ∫ v.du

a) Phương pháp tính tích phân t ng ph n:
b

b

a

a

Bư c 1: Bi n ñ i I = ∫ f ( x ) dx = ∫ f1 ( x ) f2 ( x ) dx

u = f1 ( x )

du = df1 ( x )
⇒
Bư c 2: ð t 
dv = f2 ( x ) dx
v = ∫ f2 ( x ) dx (v là m t nguyên hàm c a f2(x) )


b

Bư c 3: Tính I = u.v a

b

∫ v.du
a

Chú ý: Khi tính tích phân t ng ph n ta ph i n m nguyên t c sau:
+ Ch n phép ñ t dv sao cho d xác ñ nh ñư c v
+

b

∫ vdu
a

ph i d xác ñ nh hơn

b

∫ udv
a

b) M t s d ng thư ng dùng phương pháp tích phân t ng ph n:
N u bi u th c trong d u tích phân có ch a:
D ng 1: P (x ) sin(nx).dx ; P ( x ) cos(nx).dx ; P ( x ) .enxdx ; P (x ).a nxdx ta nên ñ t:
u = P(x)

nx
nx
dv = sin(nx)dx hay cos(nx)dx hay e dx hay a dx

D ng 2: P ( x )lnx.dx ; P ( x ) loga x.dx ta nên ñ t:
u = lnx hay u = loga x

dv = P(x)dx
x
x
x
x
D ng 3: a sin(nx)dx hay e cos(nx)dx hay a cos(nx)dx hay a cos(nx)dx thì
ph i s d ng tích phân t ng ph n ñ n hai l n.
Trang 24



VD 11: Tính các tích phân sau:
π
3

1. I = ∫(3x -1)cos3xdx
0

du = 3dx
u = 3x -1

⇒
1
v = sin3x
dv = cos3xdx

3


ð t: 


π

π

π

3
3
2
⇒ I = 1 (3x -1)sin3x - ∫ sin3xdx = 0+ 1 cos3x = 3
3
3
0
0
0
3

1

2. I = ∫(2x +1)ln(x +1)dx
0



dx
u = ln(x +1)
du =


x+1
ð t: 
⇒

2
dv =(2x +1)dx

 v = x + x = x(x + 1)

1

1

1

⇒ I = (x 2 + x)ln(x +1) 0 - ∫ xdx = 2ln2 0

x2
1
1
= 2ln2 - = - +ln4
2 0
2
2

1

2
2x
3. I = ∫ ( 4x - 2x -1 )e dx (ðH GTVT 2004)
0



du = (8x - 2)dx

u = 4x 2 - 2x -1


⇒
ð t: 
1
2x
 v = e2x
dv = e dx


2

1 1
1
1
⇒ I = (4x 2 - 2x -1). e 2x - ∫(4x - 1) e 2xdx = A - Β
2
2
0 0
1
2

1

1
2

A = (4x 2 - 2x -1). e 2x = e 2 +

du = 4dx
u = 4x -1
⇒

ð t: 
1
2x
 v = e2x
dv = e dx
2


1

Β = ∫(4x - 1)e dx
2x

0

1
⇒ ( 4x -1 ) e 2x
2

1

0

1
2

1

3
1
− ∫ 2e 2x dx = e 2 + -e 2x
2
2
0
0

1

0

1
3
= e2 +
2
2

⇒ I = A - Β = -1

Nh n xét: Ví d trên là d ng 1 c a tích phân t ng ph n ∫ P ( x ) .enxdx do ñó hư ng

h c sinh ñ t u = P(x) nhưng do P(x) là tam th c b c hai nên ta tính tích phân t ng ph n
hai l n. Tù ñó rút ra nh n xét chung cho h c sinh: N u P(x) là ña th c b c k thì tính tích
phân t ng ph n k l n.

Trang 25



π
4
x
2
4. I = ∫ 4e cos xdx
0

Nh n xét: D ng 3 c a tích phân t ng ph n là tích phân có d ng

∫ e sin(nx)dx
x

nhưng bi u th c trong d u tích phân c a ví d trên ch a cos 2 x do ñó h b c ta s ñưa tích
phân v ñúng d ng 3.
π

π

π

π

4

4

4

4

π
4

I = ∫ 4e cos xdx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e (1+cos2x )dx = ∫ 2e dx+ ∫ 2excos2x. = I1 + I2
dx
x

2

x

0

x

0

x

0

0

0

Ta có:
π

π

4

x 4

I1 = ∫ 2e dx = 2e
x

0

π

= 2e 4 -2

0

π
4

I2 = ∫ 2excos2x. x
d
0

du = -2.sin2xdx
u = cos2x
⇒

ð t: 
x
 v = 2ex
dv = 2e dx

π
4

⇒ I2 = 2e cos2x
x

0

1

+ ∫ 4e x sin2xdx = -2 + Β
0

1

Β = ∫ 4e x sin2xdx
0

du = 2.cos2xdx
u = sin2x
⇒

ð t: 
x
 v = 4e x
dv = 4e dx

π

⇒ B = 4e sin2x
x

4

0

π

1

− ∫ 8e cos2xdx = 4e 4 − 4 I2
x

0

π

⇒ I2 = -2 + B = -2 + 4e 4 − 4I2
π

π

1
⇔ 5 I2 = -2 + 4e ⇔ I 2 =  -2 + 4e 4
5

4






π

π
 14 π 12
1
4
I = I1 + I2 = 2e -2+  -2 + 4e  = e 4 −

5
5

 5
4

Nh n xét:

ví d trên h c sinh ph i tính tích phân t ng ph n hai l n, trong khi tính

l n hai bi u th c xu t hi n tích phân I c n tính ban ñ u nên ta còn g i d ng trên là

Trang 26



tích ph n t ng ph n l p. Trong d ng bài t p này khi làm h c sinh c n lưu ý v d u
khi s d ng công th c tích phân t ng ph n.
π

π

4

4
x
dx . T ñó suy ra: B = ∫ x.tg 2xdx (ðH NN Kh i B 2000)
5. A = ∫
2
cos x
0
0
π

u = x
du = dx

ð t
dx ⇒ 
v = tgx
dv = cos 2 x


π

=

4

π

+ ln cosx

4
0

=

⇒ A = x.tgx

4

0

π

π

4

4
- ∫ tgxdx = π + d(cosx)
4 ∫ cosx
0
0

π 1

- ln2
4 2

π

π

π

4

4

4

π

4
1
π 1
π2
1
dx - ∫ xdx = - ln2 ⇒ B = ∫ x.tg xdx = ∫ x.(
-1)dx = ∫ x.
cos 2 x
4 2
32
cos 2x
0
0
0
0
2

3

2
6. I = ∫ ln ( x - x )dx (ðHCð Kh i D 2004)
2



(2x - 1)dx = (2x - 1)dx
x ( x -1 )

du =
u = ln(x 2 - x)

x2 - x
⇒
ð t: 


dv = dx

v = x - 1


(nguyên hàm v = x + c nên thay c = -1 ñ kh m u s )
3 3
2x - 1
2
⇒ I = (x -1).ln(x - x) - ∫
dx = 2ln6 -2ln2 +1 = 2ln3 + 1
x
2 2
Nh n xét: Trong d ng bài t p tích phân t ng ph n có ch a ln(u(x)) thư ng xu t hi n
phân s nên rèn luy n cho h c sinh khéo léo k t h p thêm tính ch t c a nguyên hàm
∫ f(x)dx = F(x)+C v i C là m t h ng s thích h p ta có th ñơn gi n ñư c phân
s ñ cho bư c tính tích phân ti p theo ñơn gi n hơn.
4

M t ví d tương t : I = ∫ 2xln(x - 2)dx
3
3

π 

 
2 

7. I =

∫

sin 3 x dx (ðH KTrúc HN 2001);

0

Nh n xét:

ví d trên h c sinh ph i nh n xét ñư c r ng bư c ñ u ph i ñ i bi n s .

ð t u = 3 x ⇒ u 3 = x ⇒ 3u 2 = dx
ð i c n:
x

0

π 
 
2

3


Trang 27


π

0

u


2

π

π

2

2

0

0

⇒ I = ∫ 3u 2sinudu ⇒ I = ∫ 3x 2sinx dx ta bi n ñ i như trên ñ h c sinh d nh n d ng tích

phân t ng ph n d ng 1.
Nh n xét: ð n ñây tích phân ti p theo có d ng 1 c a tích phân t ng ph n.
Do ña th c là b c hai nên ñ tính I, h c sinh ph i tính tích phân t ng ph n 2 l n:
u = 3x 2
du = 6xdx
⇒
ð t
v = sinx
dv = cosx.dx
π

⇒ I = 3x sinx
2

2

0

π

3π 2
− ∫ 6xsinx dx =
− I1
4
0
2

π
2

I1 = ∫ 6xsinx dx
0

u = 6x
du = 6dx
⇒
ð t
dv = sinxdx
v = -cosx
π

π

⇒ I1 = −6x.cosx

2

+ ∫ 6cosx dx = 6x.sinx
0

0

⇒I=−

π

2

2

= 3π

0

3π
3π
+ I1 =
− 3π
4
4
2

2

Nh n xét: Qua ví d trên, ñ tính tích phân ñôi khi h c sinh ph i áp d ng c hai
phương pháp ñ i bi n s lo i 2 và tích phân t ng ph n.
Ví d tương t : (ph i h p hai phương pháp)
π2

π2

4

a) I =

∫ sin

e4

1

x dx

b) I = ∫ x.ln(1+ x 2 )dx

0

0

π

∫

c) I =

cos lnx
dx
x

π
3

2

d) I = ∫ ecosx sin2x.dx
0

e) I =

ln tgx
∫ cos 2 x dx
π

0
4

f) I = ∫ e x dx
0

4

BÀI T P ð NGH 6:
1. Tính các tích phân sau:


Trang 28

ln2

π
6

6

-x
∫ xe dx

a) I =


π

c) I = ∫(2x 2 -4)sin2xdx

b) I = ∫(12x - 2)cos2xdx

0

0

1

3

0

π

d) I = ∫(2x -1)ln(x +1)dx

2

e) I = ∫(2x -1)ln(x -1)dx

0

f) I =

2

xdx

∫
π sin x
2

4

π
1

g) I = ∫ 2xln 2(x +1)dx

3

2

i) I = ∫ 2xln2(x -1)dx

h) I = ∫(12x - 4+e )sinxdx

0
π
2

x

2

0

j) I = ∫(x + sin 2 x)cosxdx (TNTHPT – 2005)
0

π
4

a) I = ∫ e3x sin4xdx (ðH A.Ninh 1997)

b) I = ∫ ( x -1)e2xdx (ðH DLNN-T.H c 1997)
1

0

0

2

π 
 
4

π

c) I = ∫ x 2sinxdx (ðH A.Ninh 1998)

∫

d) I =

cos xdx (ðH DLNN-T.H c 1998)

0

0

π
2

lnx
e) I = ∫ 2 dx (ðH Hu 1998)
x
1

4

f) I = ∫ x (2cos 2 x -1 )dx (ðH TCKT 1998)
0

ln ( x +1 )
2
g) I = ∫
dx (ðH Cñoàn 2000) h) I = ∫ xlg xdx (ðH Y Dư c 2001)
2
x
1
1
10

2

3

π 
 
2 

∫

i) I =

0

e

sin 3 x dx (ðH KTrúc HN 2001); j) I = ∫ x 2ln 2 xdx (ðH KT HDương 2002)
1

e

0
x 2 +1
lnxdx (ðHCð D b 2-2003); l) I = ∫ x e2x + 3 x +1 dx (ðHCð D.b 2003)
x
1
-1

(

k) I = ∫

)

1

m) I = ∫ x 3e x dx (ðHCð D b 2-2003); n) I = ∫ ( x 2 + 2x )e -xdx (ðH GTVT 2003)
0
1

2

0

III. Ki m tra k t qu c a m t bài gi i tính tích phân b ng máy tính CASIO fx570-MS
Trong m t s trư ng h p m t s bài tích phân ph c t p ñã gi i ñư c k t qu
nhưng chưa ñánh giá ñư c ñ chính xác c a k t qu là ñúng hay sai, khi ñó ta có th
s d ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS ñ ki m tra k t qu . Ví d v i ñ thi
π

sin2x +sinx
dx ta s d ng máy tính như sau:
1+3cosx
0
2

Kh i A năm 2005 I = ∫


Trang 29

34
+ V i k t q a gi i tay là
ta chuy n sang s th p phân ≈ 1,259259…
27

+ ð i v i bài tích phân lư ng giác trư c h t chuy n sang ch ñ Rad.
+ Quy trình b m máy CASIO fx-570MS như sau:

(

∫ dx

(

sin

(

÷

ALPHA

X

)

)

,

0

X

,

2

ALPHA

(
SHIFT

1

π

)

X

+

+

3

cos

÷

2

sin

)

ALPHA

=

Và k t q a máy tính là 1,2593. So v i k t qu g n ñúng trên ñ ng nghĩa v i ñáp s
bài gi i b ng tay trên ñã ñúng.

BÀI T P ð NGH 7: CÂU H I TR C NGHI M TÍCH PHÂN
1

Câu 1: ∫ 2x +1 dx có giá tr b ng:
0

A. 2

B. 0

C. -2

D. 3

C. -1

D.

e

Câu 2: ∫ x 2 -1 dx có giá tr b ng:
0

A. 1

B. 0

1
2

Câu 3: Ch n m nh ñ ñúng:
A.

π
4

≤

3π
4

dx

≤
∫
π 3 - 2sin x
2

π
2

B. 0 ≤

4
3π
4

C. 0 ≤

∫
π

3π
4

dx

≤
∫
π 3 - 2sin x
2

π
2

4

dx
π
≤
2
3 - 2sin x
4

1
D. ≤
4

4

3π
4

dx

≤
∫
π 3 - 2sin x
2

π
2

4

e

Câu 4:

lnx
dx có giá tr b ng:
x
1

∫

A. 1
1

B. 0

C. -1

D. e

Câu 5: ∫ ( x + 2 ) dx có giá tr b ng:
4

0


Trang 30

211
A.
B. 211
C. 201
5

201
D.
5

π
2

Câu 6: ∫ e sinxcosx dx có giá tr b ng:
0

A. e - 1

B. 0

C. e

D. 1 - e

C. 1

D. 2

π
2

Câu 7: ∫ 3 1 + 3cosx . sinx dx có giá tr b ng:
0

A. 3
1

Câu 8:

∫x

B.

5
3

dx
có giá tr b ng:
+ x +1

2

0

A.

π 3
9

B.

π

C.

9

π
9 3

D.

π 3
3

(2x -1 )dx có giá tr b ng:
∫ 2
2

Câu 9:

x - x -1

1

A. ln

2
3

B. ln

3
2

C. ln

4
9

D. ln

9
4

( 4x + 2 )dx có giá tr b ng:
∫ 2
1

Câu 10:

x + x +1

0

A. 3ln2
1

Câu 11:

dx

∫

x 2 + 2x + 2

-1

A. ln (2 + 5 )
2

Câu 11:

dx

∫

-3x 2 +6x +1

1

A.
2

Câu 12:

∫
1

π 3
3

B. 2ln3

C. ln4

D. ln6

C. ln ( 2 + 5 )

D. ln ( 5 - 2 )

có giá tr b ng:
B. ln ( 2 +5 )
có giá tr b ng:
B.

π 3
9

C.

π 3
12

D.

π 3
15

( 4x +6 )dx có giá tr b ng:
2
x - 2x +3

A. 4ln (2 + 3 )

B. 6ln (2 + 3 )

C. 8ln (2 + 3 )

D. 10ln (2 + 3 )

2 2

Câu 13:

∫

x x 2 +1 dx có giá tr b ng:

0


Trang 31

26
28
32
A.
B.
C.
3
3
3
6

Câu 14:

∫x
2

A.
1

Câu 15:

dx

có giá tr b ng:

x 2 -3

π 3

B.

2
dx

∫

A. ln 2
2

Câu 16:

π 3

C.

6

π 3
12

D.

π 3
36

có giá tr b ng:

x 2 +1

0

34
D.
3

C. ln ( 2 +1 )

dx

∫ cosx +1

D. ln ( 2 + 2 )

C. 2

D. 3

C. 2

D. 3

C. 1 -ln2

B. ln2

D. 1+ln2

có giá tr b ng:

1

A. 0
π

Câu 17:

B. 1

dx

∫ sinx +1

có giá tr b ng:

0

A. 0
π

Câu 18:

B. 1
dx

∫ sinx - 2cosx - 2

có giá tr b ng:

0

A. -ln2

B. ln2
2

π

sinx -cosx 
Câu 19: ∫ 
 dx có giá tr b ng:
sinx +cosx 
0 

A. 1+
π

Câu 20:

π

B. -1+

4
cosx

∫ 11 -7sinx -cos x dx
2

π
4

C. 1 -

π

D. -1-

4

π
4

có giá tr b ng:

0

1
3

A. - ln

5
8

1
3

B. - ln5

1
3

C. ln

8
5

1
3

D. ln

5
8

π
2

Câu 21:

x +cosx

∫ 4 - sin x dx
π
2

có giá tr b ng:

2

A.

1
ln3
8

1
6

B. ln3

1
4

C. ln3

1
2

D. ln3

π
2


Câu 22: ∫ ln 

 dx có giá tr b ng:
1+cosx 

0
1+ sinx


Trang 32

π
3π
A.
B.
C. 0
2
2


D. 1

π
4

Câu 23:

sin4x

∫ sin x +cos x dx
4

4

có giá tr b ng:

0

A. -ln2

B. -ln2

C. -ln3

D. -ln3
-

Câu 24: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a f(-x) + f(x) = cos7x.

π
2

∫ f(x) dx
π

-

có giá tr

2

b ng:
16
35

A.

B.

32
35

C.

24
35

D.

12
35
-

4

5

Câu 25: Cho hàm s f(x) liên t c trên R và th a 3 f(-x) + f(x) = cos x.sin x .

π
2

∫ f(x) dx
π

-

có

2

giá tr b ng:
A. -

1
4

B. -

1
2

1
4

C. 0

D.

C. 2

D. 3

C. 14

D.

2

Câu 26: ∫ x 2 - x dx có giá tr b ng:
0

A. 0

B. 1

2

Câu 27: ∫ x 3 - 2x 2 - x + 2 dx có giá tr b ng:
-1

9
4

A.

B.

37
12

41
12

2

Câu 28:

∫x

2

-3x + 2 dx có giá tr b ng:

-3

A.

59
2

B.

π
2

Câu 29:

∫

2

5 - 4cos x - 4sinx dx

0

A. -2 3 - 2 -

π
6

2
59

C. -

59
2

D. -

2
59

π
π
2
2
có giá tr b ng:  ∫ 5 - 4cos 2 x - 4sinx dx = ∫ 2sinx -1 dx

0
0


B. 2 3 - 2 -

π
6


C. 2 3 + 2 -

π
6







D. 2 3 + 2 +

π
6

Trang 33



π
2

Câu 30: ∫ 2cosx -1 dx có giá tr b ng:
0

A. 2 3 - 2 +

∫(2

x

A. 2 +
Câu 32:

3

π

C. 2 3 - 2 +

3

π
6

D. 2 3 - 2 -

π
6

- 4 dx có giá tr b ng:

-1

2

B. 2 3 - 2 -

)

2

Câu 31:

π

1
ln2

dx

∫ 1+ 1- x

B. 3 +

1
ln2

C. 4+

1
ln2

D. 5 +

1
ln2

có giá tr b ng:

-1

A. ln2

B. 2ln2

C. 3ln2

D. 4ln2

C. 2

D. 3

C. 9

D. 11

2

Câu 33:

∫ ( x - x -1 )dx

có giá tr b ng:

-1

A. 0

B. 1

2

Câu 34:

∫ ( 1- x - 1+ x )dx

có giá tr b ng:

0

A. 5

B. 7

1

Câu 35: ∫ xlnxdx có giá tr b ng:
0

A.

e 2 +1
2

B.

e 2 +1
4

C.

e 2 +1
1

D.

e 2 +1
3

π
2

Câu 36: ∫ xcosxdx có giá tr b ng:
0

A.

π
2

B.

+2

π
2

C.

-2

π
2

+1

D.

π
2

-1

1

Câu 37: ∫ xe xdx có giá tr b ng:
0

A. 7

B. 5

C. 3

D. 1

π
2

Câu 38: ∫ e x sin2x dx có giá tr b ng:
0

2

π



A. -  e 2 +1 
5




1

π



B. -  e 2 +1 
5





C.


2 π
2
 e +1 
5


D.


1 π
2
 e +1 
5

Trang 34



π
2

Câu 39: ∫ e 2xcosx dx có giá tr b ng:
0

A.

1 π
(e + 2 )
5

B.

1 π
(e - 2 )
5

C.

1
(2 eπ +1 )
5

D.

1
(2 eπ -1 )
5

C.

3e 2 -5
2

D.

5 -3e 2
2

C.

1 π
(e - 1)
2

D.

1 π
(-e +1 )
2

1

Câu 40: ∫ e 2x (x - 2 ) dx có giá tr b ng:
0

A.

5 -3e 2
4

B.

3e 2 -5
4

ex

Câu 41: ∫ cos (lnx )dx có giá tr b ng:
0

A.

1 π
( e +1 )
2

B. −

1 π
( e +1 )
2

e

Câu 42: ∫ sin (lnx )dx có giá tr b ng:
0

A.
e

Câu 43: ∫ e x
0

(sin1-cos1 )e+1 B. (sin1-cos1 )e -1
2

π

e

0

B. eπ

1+ x 2

(1+ x )

2

A. 0
e

Câu 45: ∫ e x
0

A.

(cos1- sin1 )e+1
2

D.

(cos1-sin1)e+1
2

1+ sinx
1+cosx

A. e 2
Câu 44: ∫ e x

2

C.

(1+ x )

2

e-2
2

D. e2 π

C. e

D. 2


B. 1
x

3π

C. e 2


B.

e+ 2
2


C.

e -1
2

D.

e+1
2

Trang 35



Nh n xét: Trong ph n n i dung chuyên ñ trên, tôi ch nêu ra m t s bài t p minh
h a cơ b n tính tích phân ch y u áp d ng phương pháp phân tích, phương pháp ñ i bi n s ,
phương pháp tích phân t ng ph n. Các bài t p ñ ngh là các ñ thi T t nghi p THPT và ñ
thi tuy n sinh ð i h c Cao ñ ng c a các năm trư c ñ các em h c sinh rèn luy n k năng
tính tích phân, bên c nh ñó cũng hư ng d n h c sinh ki m tra k t qu bài gi i c a mình có
k t qu ñúng hay sai b ng máy tính c m tay CASIO fx-570MS và ph n cu i c a chuyên ñ
là m t s câu h i tr c nghi m tích phân. ð ph n nào c ng c , nâng cao cho các em h c sinh
kh i 12 ñ các em ñ t k t qu cao trong kỳ thi T t nghi p THPT và kỳ thi Tuy n sinh ð i
h c và giúp cho các em có n n t ng trong nh ng năm h c ð i cương c a ð i h c.
Tuy nhiên v i kinh nghi m còn h n ch nên dù có nhi u c g ng nhưng khi trình bày
chuyên ñ này s không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong ñư c s góp ý chân tình c a
quý Th y Cô trong H i ñ ng b môn Toán S Giáo d c và ðào t o t nh ð ng Nai. M t l n
n a tôi xin c m ơn Ban lãnh ñ o nhà trư ng t o ñi u ki n t t cho tôi và c m ơn quý th y cô
trong t Toán trư ng Nam Hà, các ñ ng nghi p, b n bè ñã ñóng góp ý ki n cho tôi hoàn
thành chuyên ñ này. Tôi xin chân thành cám ơn./.


Trang 36



TÀI LI U THAM KH O
1. Sách giáo khoa gi i tích 12
2. Sách giáo viên gi i tích 12
3. Tuy n t p các chuyên ñ và k thu t tính tích phân - Tr n Phương
4. ð o hàm và tích phân - Võ ð i Mau & Võ ð i Hoài ð c
5. Chuyên ñ tích phân và ñ i s t h p xác su t - Ph m An Hòa & Nguy n Vũ Thanh
6. Các d ng toán cơ b n gi i tích 12 - Nguy n Ng c Khoa
7. Tr c nghi m khách quan gi i tích và tích phân - ðoàn Vương Nguyên.


Trang 37



NH N XÉT
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Trang 38



.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................


Trang 39



.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................


Trang 40

Tich phan %28 nguyen duy khoi%29

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Tich phan %28 nguyen duy khoi%29

Similar to Tich phan %28 nguyen duy khoi%29 (20)

More from trongphuckhtn

More from trongphuckhtn (11)

Tich phan %28 nguyen duy khoi%29