Tích phân hàm phân thức luyện thi đại học

3,806 views

Published on

Tích phân hàm phân thức luyện thi đại học

Published in: Education
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
3,806
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
65
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Tích phân hàm phân thức luyện thi đại học

  1. 1. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨCI. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức Có dạng x m (a  bx n ) p dx với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p  0 Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau. m 1 m 1Cụ thể xét bộ ba số p; ; p n nTH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n m 1 s pTH 2: Nếu  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx n n rĐặc biệt r- Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bx n s r- Nếu p   Z và p  2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  2 TPTP một lần, khi p  3 sTPTP hai lần, … m 1 s a  bx nTH 3: Nếu  p  Z , p  , r , s  Z  thì ta đặt  tr n r xnBài tập giải mẫu:TH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n 4 dxBài 1: Tính tích phân sau I   1  x 1 x Giải: 4 1 4 1 dx  1Ta có I     x 1  x 2  dx 1 x 1 x 1    1Nhận xét: m  1, n  , p  1  Z  q  2 2Cách 1: x  t2Đặt x t dx  2tdt 1
  2. 2. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn  x  4 t  2Đổi cận   x  1 t  1 2 2 2 t dt 1 1  2 4Khi đó I  2 2 dt  2   2     2  ln t  ln 1  t   2 ln 1  1 t 1  t  t 1 t 1 t 1 t  1 3Cách 2:  x   t  1 2 Đặt 1  x  t   dx  2  t  1 dt   x  4 t  3Đổi cận   x  1 t  2 2  t  1 dt 3 dt 3  1 1 3 4Khi đó I  2 2  2  2    dt  2  ln t  1  ln t   2ln 2  2  t  1 t t  1 t 2 t 1 t  2 3 m 1 s pTH 2: Nếu  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx n n rĐặc biệt r- Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bx n s r- Nếu p   Z và p  2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  2 TPTP một lần, khi p  3 sTPTP hai lần, … 1Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau I   x 3 1  x 2 dx 0Giải: 1 1Phân tích I   x 3 1  x 2 dx   x 2 1  x 2 .xdx 0 0 1 m 1Nhận xét: m  3, n  2, p    2 2 nCách 1:  x2  1  t 2Đặt t  1  x 2    xdx  tdt x  1 t  0Đổi cận    x  0 t  1 0 1 1 1 1 1  2Khi đó I    t 1  t 2  2  dt   t 1  t  dt   t 2 2 2 t 4  dt   t 3  t 5   3 5  0 15 1 0 0Cách 2: 2
  3. 3. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn x2  1  t  2Đặt t  1  x   dt  xdx    2  x 1  t0Đổi cận    x  0 t  1 1 0 1 1 1 1 1 3 3 3 1 2 1 2 1  2  12 2 2 2  2Khi đó I    t 1  t  dt   t 1  t  dt    t  t dt   t  t   2 21 20 2 0  23 3  15 0Cách 4:Đặt x  cos t  dx   sin tdt   2 2Khi đó I   sin 2 t cos 3 tdt   sin 2 t 1  sin 2 t  cos tdt 0 0Cách 4.1.Đặt sin t  u  cos tdt  duKhi đó 1 1  u 3 u5  1 2I   u 2 (1  u 2 )du    u 2  u 4  du      0 0  3 5  0 15Cách 4.2.    2 2  sin 3 t sin 5 t  2 2 I   sin t 1  sin t d  sin t    2   2 4  sin t  sin t d  sin t      2 . 0 0  3 5  0 15Cách 4.3.     12 1 2 1  cos 4t 12 12I   sin 2 2t costdt   cos tdt   cos tdt    cos 4t cos tdt 40 40 2 80 80Cách 5: 1 1 1 1  I    x2 1  x 2 d 1  x 2   1  x2  1 1  x 2 d 1  x 2 20 20      1 3 1 1 1 1 20    1  x2   d 1  x   1  x2 20 2 2    d 1  x  2 2 dtCách 3: Đặt t  x 2   xdx 2 7 x 3 dxBài 3: Tính tích phân I   3 0 x2  1Giải :  x2  t 3  1  3 2Cách 1: Đặt t  x  1   3 2  xdx  t dt  2 3
  4. 4. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn x  7  t  2Đổi cận   x  0  t  1 3  t  1 .t dt 3 7 2 3 2 2 x 2 .xdx 3  t 5 t 2  2 93Khi đó I        t  t  dt      4 0 3 x2  1 2 1 t 21 2  5 2  1 10Cách 2: x2  t  1 Đặt t  x 2  1   dt  xdx   2 x  7  t  8Đổi cận   x  0  t  1 1  t  1 dt 1  3  3  8 8 2 1 5 2 13 3 3 3  8Khi đó I   1    t  t  dt   t  t  21 3 2 1  25 2 1 t 2 x3 xCách 3: Phân tích x 3  x  x 2  1  x   x  x 2  1 3  3 2 3 2 x 1 x 1Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần u  x 2 du  2 xdx   1 d  x  1   2Đặt  x 3 3  dv  dx   v   x 2  1 2  3 2 x 1 2 3 x2  1  4 4 dxBài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân I  x 7 x2  9Giải:Phân tích 4 4 1 dx  x x  9  dx 1 2I x  2 7 x2  9 7 1 m 1Nhận xét: m  1, n  2, p     0 2 n  x2  t 2  9Đặt t  x 2  9    xdx  tdt x  4  t  5Đổi cận   x  7  t  4 4 5 5 xdx tdt dt 1 t 3 5 1 7Khi đó I  x   2  ln  ln 7 2 x2  9 4 t (t 2  9) 4 t  9 6 t  3 4 6 4Cách 2: 4
  5. 5. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn x2  t  9 2 Đặt t  x  9   dt  xdx   2 25 1 dtKhi đó I   1 ... đến đây liệu ta có thể làm được không, có thể đó bằng cách đặt 2 16 t  9 t 2 1 u 2  tu  t2   … bạn đọc giải tiếp nhé 2udu  dt 1 6Bài 5: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1  x3  dx 0Giải: 1 1 3 6 6I   x 1  x 5  dx   x 3 1  x 3  x 2 dx 0 0 m 1Nhận xét: m  5, n  3, p  6  Z   0 nCách 1:  dt 2   x dx 3Đặt t  1  x   3  x3  1  t  x  1 t  0Đổi cận    x  0 t  1 0 1 1 1 6 1 6 1 6 7 1  t 7 t8  1Khi đó I    t 1  t dt   t 1  t dt    t  t dt      31 30 30 3  7 8  168Cách 2: 1 1 1 1 6 6 6 7I   x5 1  x3  dx   x 2 1  1  x 3   1  x3  dx   x 2 1  x 3  dx   x 2 1  x 3  dx   0 0 0 0 3 7 3 8 1 1  x  1 1  x  1 1 1 6 7 1 1 1   1  x3  d 1  x 3    1  x3  d 1  x3    .  .  30 0 3 7 0 3 8 0 168 2 2Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau I   x  x  1 dx 0Giải:Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần du  2  x  1 dx u   x  12  Đặt   x2   dv  xdx  v  2 2 2 2 2 x 2  x 4 x 3  2 34Khi đó I   x  1   x  x  1 dx  6    x 3  x   dx  6      2 2 0 0 0  4 3 0 3 5
  6. 6. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vnCách 2: x  t  1Đặt t  x  1   dx  dt  x  2 t  3Đổi cận    x  0 t  1Khi đó 3 3  t 4 t 3  3 34I    t  1 t dt    t 3  t 2  dt      2 1 1  4 3 1 3Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích 2Ta có x  x  1  x  x 2  2 x  1  x 3  2 x 2  x 2  x 4 2 x 3 x 2  2 34Khi đó I    x3  2 x 2  x  dx       0  4 3 2 0 3Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân 2 2 3 2Ta có x  x  1   x  1  1  x  1   x  1   x  1   4 3 2 3 2 2 2 3 2 2  x  1  x  1 34Khi đó I    x  1 dx    x  1 dx    x  1 d  x  1    x  1 d  x  1    0 0 0 0 4 3 3 m 1 s a  bx nTH 3: Nếu  p  Z , p  , r , s  Z  thì ta đặt  tr n r xn 2 dxBài 7: Tính tích phân sau I   1 x 4 1  x2Giải: 1 m 1 x2  1 2Nhận xét: m  2; n  2; p    p  2  Z nên đặt t 2 n x2  2 1 x  t2 1 1  x2 Đặt 2  t2   tdt x  xdx   2    t 2  1  5  x  2 t Đổi cận   2 x  1 t  2 Ta có 5 3 2I 2 dx 2  dx  2 t 2  1 tdt 2  t3     t  1 dt    t  2 7 5 8 2  t . 2 5 1 x4 1  x2 1 x6 1 1 2 t 2  1 5 3  24 2 x2 2 6
  7. 7. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn 1Bài 8: Tính tích phân sau: I   1 x  x  3 3 dx . 1 x4 3HD: 1 1 1 1  1 3 1Ta có I    2  1 . 3 dx   x 3  1  x 2  3 dx 1 x  x 1 3 3 1 m 1Nhận xét: m  3, n  2, p    1 Z 3 n 1 dt dxĐặt t  2  1    3 ….  I  6 bạn đọc tự giải x 2 x 3 dxBài 9: Tính tích phân sau I   3 (1  x 2 )3 2Giải : 3 m 1Ta có m  0; n  2; p    p  1  Z 2 n  1 2 2 x 1 2 t2 1  x Đặt 2 t  x  xdx  tdt   (t 2  1) 2 x  3  2 3  t Đổi cận  3  3 x  t  3  2  3 3 3 3 xdx tdt dt 1 1Khi đó I       2  2 3  1 .t 2 .t 2 3 t t 2 2 3 (1  x ) 1  x 2 2 2 3 (t  1) . 2 3 2 x4. 2 . 3 2 (t  1) 2 3 3 x xBài tập tự giải: 2 dxBài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân I   1 x x3  1HD: 3x2 dx dtĐặt t  x3  1  dt  dx   2 2 x3  1 x x3  1 t 1 4 dx 1 7Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân I  x  ln 7 x2  1 6 4 7
  8. 8. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn 2 dx Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân I    2 x x2  1 12 3Cách 1: x dx xdx dt   dtĐặt t  x 2  1  dt  dx    2 và t  tanu ,   u  , 2  du . x2  1 x x2  1 x2 x2  1 t 1 2 2 t 1 1   dxCách 2: Đặt t  , t   0;    dt cos t  2 x x2  1 1  π 1C1: Đặt x  với t   0;  hoặc x  cos t  2 sin tC2: Đặt x 2  1  tC3: Đặt x 2  1  t 1C4: Đặt x  tC5: Phân tích 1    x 2  1  x 2    1 x3Bài 4: Tính tích phân I   dx  0 1 x2  1C1: Đặt x  tan tC2: Phân tích x 3  x  x 2  1  x u  x 2 C3: Đặt  x dv  dx  x2  1C4: Đặt x  tC5: Phân tích x 3 dx  x 2 xdx   x 2  1  1 d  x 2  1   7 x3 141Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân I   dx  0 3 1 x 2 20 2 x4Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân I   dx 0 x5  1 3 14 3Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân I   x 3 x 2  1 dx  1 5 9 468Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân I   x. 3 1  x dx   1 7 1 2 2 1Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân I   x x 2  1dx  0 3 3 848Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân I   x 3  1.x5 dx  0 105 8
  9. 9. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn 1 6 3 8Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân I   x3 . x 2  3dx  0 5 1 8Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân I   x5 1  x 2 dx  0 105 1 x 1Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân I   2 dx  ln 2 0 1 x 2 1 2Bài 14: Tính tích phân I   x 2 2  x 3 dx  0 9 3 32 2  Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007) Tính tích phân 3 dx 3 I  x x  1  1 2 2  1 3 12 2 3 dx 2 3Bài 16: Tính tích phân I     3 x2 x 2  1 3 2 2b. Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức  pMở rộng I   u m  x   a  bu n  x   d u  x   với với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p  0     Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau m 1 s pNếu  Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bu n  x   hoặc t  a  bu n  x    n r rĐặc biệt : Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bu n  x  sTa xét các thí dụ sau đây ln 5 e2 xThí dụ 1. (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau I   dx ln 2 ex  1Lời giải. ln 5 ln 5 1 e2 x Ta có I  e 1 ln 2 x ln 2 dx    e x 1  e x  2 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 m 1m  n  1, p     2  Z và u  x   e x 2 n x 2 e  t 2  1  xĐặt e  1  t   x e dx  2tdt   x  ln 5 t  2Đổi cận    x  ln 2 t  1  2 t 2  1 tdt  2 2 2 2 20Khi đó I  2  t 3 1   2  t 2  1 dt  t 3  2t   1 3 1 1 9
  10. 10. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn Cách khác: Đặt e x  1  t e 1  3ln x .ln x Thí dụ 2. (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau I   dx 1 x Lời giải. e e 1 1  3ln x .ln x Ta có I   dx   ln x 1  3ln x  3 d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x 1 1 m 1 m  n  1, p    2  Z và u  x   ln x 2 n  t2 1  ln x   3 Đặt 1  3ln x  t 2    dx  2 tdt x 3   x  e t  2 Đổi cận   x  1 t  1 2 2 2 t2 1 2 2 2  t 5 t 3  2 116 Khi đó I   t dt   (t 4 t 2 )dt      31 3 91 9  5 3  1 135 Cách khác: t  1  3ln x e ln x. 3 2  ln 2 x Thí dụ 3. (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I   dx 1 x Lời giải. e e 1 ln x. 3 2  ln 2 x Ta có I   dx   ln x 1  ln 2 x  3 d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x 1 1 m 1 m  1, n  2, p    1  Z và u  x   ln x 3 n 3 2 ln x Đặt t 3  2  ln 2 x  t dt  dx 2 x  x  e t  3 3  Đổi cận   x  1 t  3 2  3 3 3 3 3 3 3 3 3 t4 3 3 3 232 2 Khi đó I   t.t dt   t dt  . 2 32 2 4 3 2  8 3 3  23 2  Cách khác: Đặt 2  ln 2 x  t e ln x Thí dụ 4. (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau I   2 dx 1 x  2  ln x  Lời giải. 10
  11. 11. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn e 2 ln x 2Ta có I   2 dx   ln x  2  ln x  d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với 1 x  2  ln x  1 m 1m  1, n  1,   2  Z , p  2  Z và u  x   ln x n ln x  t  2 Đặt t  2  ln x   dx  x  dt  3 t  2 1 2 3   2 3 3 1Khi đó I   2 dt     2 dt   ln t    ln  2 t 2t t   t2 2 3 ln 3 e x dxThí dụ 5. (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau I   3 0 e x  1Lời giải. ln 3 ln 3 1 e x dx   e  xTa có I    1 3 de x thì đây chính là tích phân nhị thức với 3 0 e x 1  0 1 m 1m  0, n  1, p     1  Z và u  x   e x 2 nĐặt t  e  1  2tdt  e x dx  dx  2tdt 2 x 2 tdt 12Khi đó I  2  3  2.  2 1 2 t t 2 2 dxThí dụ 6. Tính tích phân sau I   1 x  x3 5Lời giải. 2 2 dx 1Ta có I   5 3   x 3 1  x 2   dx đây là tích phân nhị thức với m  3, n  2, p  1  Z 1 x  x 1 x2  t 1 Đặt t  x 2  1   dt   xdx 2  x  2 t 5Đổi cận   x  1 t 2 2 2 1 xTa có I   dx   dx 1 3 x x 1  2  1 x 4 x 2 1  1  1 1 5 5 dt 1 1 1 t 5 3 1 5Khi đó I   2   2    dt     ln  2   ln 2  ln t  t  1 2 2   t  1 t 1 t  2  t 1 t 1  8 2 2 2   11
  12. 12. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn x 2 dx Thí dụ 7. Tìm nguyên hàm: I   39 1  x  Lời giải. x 2 dx 39 m 1 Ta có I   39   x 2 1  x  dx đây là tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  39  Z   3 Z 1  x  n Đặt t  1  x  x  1  t  dx   dt Khi đó 2 1  t  dt 1 1 1 1 1 2 1 1 1 I   39    39 dt  2  38 dt   37 dt  38  37   C với t  1  x t t t t 38 t 37 t 36 t 36  2 sin 2 x.cos x Thí dụ 8. (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I   dx 0 1  cos x Lời giải. Phân tích    2 sin 2 x.cos x 2 sin x.cos 2 x 2 1 I dx  2  dx  2  cos 2 x 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tích phân nhị thức 0 1  cos x 0 1  cos x 0 với m  2, n  1, p  1  Z và u  x   cos x dt   sin xdx Đặt t  1  cos x   cos x  t  1   x  t  1 Đổi cận  2  x  0 t  2  2 1  t  1 2  1  t2 2 Khi đó I  2  dt  2   t  2   dt  2   2t  ln t   2 ln 2  1 2 t 1 t 2 1  2 2 Thí dụ 9. (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx 0 Lời giải.   2 2 2 2 Ta có I   sin x cos x 1  cos x  dx    cos x 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tích phân nhị thức với 0 0 m  1, n  1, p  2  Z và u  x   cos x sin xdx   dt Đặt t  1  cos x   cos x  t  1 12
  13. 13. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn   x  t  1Đổi cận  2  x  0 t  2  1 2  t 4 t 3  2 17Khi đó I     t  1 t 2 dt    t 3  t 2  dt      2 1  4 3  1 12Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính nhưtrong lý thuyết  2 sin 2 x  sin xThí dụ 10. (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I   dx 0 1  3cos xLời giải.    2 sin x  2 cos x  1 2  1 2  1Ta có I   dx    2 cos x 1  3cos x  d  cos x    1  3cos x  2 d  cos x  2 0 1  3cos x    0 0   I1 I2 m 1Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức u  x   cos x với I1 ta có m  n  1   2  Z và với I 2 n m 1ta có m  0, n  1   1 Z . nVậy chung qui lại ta có thể  t2 1  cos x   3Đặt 1  3cos x  t 2    sin x dx   2dt  1  3cos x  3   x  t  1Đổi cận  2  x  0 t  2  2  4t 2 2   4 2  2 34Khi đó I      dt   t 3  t   1 9 9  27 9  1 27  2 sin 3 xThí dụ 11. (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I   dx 0 1  cos xLời giải.    2 2 3 2 sin 3 x 3sin x  4sin x 1Ta có I   dx   dx     4cos 2 x  1 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tổng của 0 1  cos x 0 1  cos x 0 m 1hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  1  Z   3  Z và u  x   cos x nên ta n cos x  t  1đặt t  1  cos x    dt  sin xdx 13
  14. 14. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn   x  t  1Đổi cận  2  x  0 t  2  2 1 4  t  1  1  2 3  2Khi đó I    dt    4t   8  dt   2t 2  3ln t  8t   3ln 2  2 2 t 1 t  1Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau e3 ln 2 x 76Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I  x dx  1 ln x  1 15 ln 2 2x e 2 2Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau I   dx  0 x e 1 3 e ln x 42 2Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I =  x. dx  1 1  ln x 3 e 3  2 ln x 10 2  11Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau I  x dx  1  2 ln x 1 3 e ln x 1Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau I   dx  (ln 2  1) 1 x  ln x  1 2 2 e log 3 x 2 4Bài 7: Tính tích phân sau I   dx  1 x 1  3ln x 2 27 ln 3 2 ln 8 ln 8Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau I   e x  1.e 2 x dx   e x  1.e x .e x dx ln 3 ln 3Bài 9: Tính tích phân sau I  ln 5 e x  1 e x dx  ln 2 ex  1  2 sin 4 x 3Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I   2 dx  2  6 ln 0 1  cos x 4  2 3 15Bài 11: Tính tích phân sau I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx  0 4  2 sin x cos 3 xBài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau I   dx 0 1  cos 2 x  6 sin 3 x  sin 3 3 x 1 1Bài 13: Tính tích phân I   dx    ln 2 0 1  cos 3 x 6 3 14
  15. 15. TT Gia Sư Đức Trí - http://giasuductri.edu.vn 3 dx 6Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau I   xx 3  ln 0 2 3 x dx 1 1 3 1 3 1 1 1Bài 15: Tìm nguyên hàm I   10  6  7  8  C ( x  1) 6 ( x  1) 7 ( x  1) 8 ( x  1) 9 ( x  1)9 15

×