SlideShare a Scribd company logo
1 of 21
Download to read offline
Së gd®t qu¶ng b×nh
TR¦êNG THPT Sè 1 Bè TR¹CH
------
S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM
§Ò TµI
øng dông tÝch ph©n
®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n tæ hîp
Gi¸o viªn thùc hiÖn: NguyÔn H÷u QuyÕt
Tæ: To¸n
N¨m häc: 2012-2013
Bố Trạch, tháng 4 năm 2013
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết1
MỤC LỤC
Trang
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................2
1. Lí do chọn đề tài ...............................................................................................2
2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu............................................. ….2
3. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................. 2
NỘI DUNG..........................................................................................................3
1. Nhị thức Newton...............................................................................................3
2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân................................. ..3
3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân ........................................................ 4
3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản ...................................................4
3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước.................................... 9
3.3. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng
........................................................................................................................... 12
4. Bài tập đề nghị............................................................................................... 14
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................................... 16
1. Kết quả từ thực tiễn........................................................................................ 16
2. Kết quả thực nghiệm...................................................................................... 16
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 19
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 20
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết2
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện
trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Trong nội dung này
có một số bài toán ứng dụng tích phân để giải quyết. Tuy nhiên, tích phân được học
ở trong chương trình lớp 12, còn tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11. Hệ
thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các
bài toán tổ hợp thì không được trình bày, học sinh không được rèn luyện kỹ năng
này trên lớp. Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, học sinh
phần lớn không làm được.
Nhằm giúp học sinh vận dụng được tích phân để giải các bài toán tổ hợp,
chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới, tôi chọn đề
tài “Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm
của mình.
2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình.
- Các bài toán của Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, cấu
trúc đề thi tuyển vào Đại học và Cao đẳng của mỗi năm, phân tích kỹ đối tượng học
sinh mà mình đang giảng dạy (đặc thù, trình độ tiếp thu, khả năng tự đọc, tự tìm
kiếm tài liệu học tập,…). Từ đó lựa chọn các bài tập cụ thể giúp học sinh vận dụng
hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của mình để đưa ra lời giải
đúng cho bài toán.
Do khuôn khổ của sáng kiến, ở mỗi phần tôi xin không nhắc lại các kiến thức
cơ bản về đại số tổ hợp và tích phân vì những kiến thức này được trình bày chi tiết
trong sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ nhắc lại công thức khai triển nhị
thức Newtơn và đi chú trọng các bài tập tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết.
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết3
NỘI DUNG
1. Nhị thức Newton
Cho n là số nguyên dương, a và b là hai số thực.
 
n
n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n k n k k
n n n n n
k 0
a b C a C a b C a b ... C b C a b  

       
Nhận xét:
- Trong khai triển n
a b có n + 1 số hạng.
- Tổng các số mũ trong mỗi số hạng của khai triển n
a b bằng n.
- Các hệ số của các số hạng có tính chất đối xứng: k n k
n nC C k , k n
   
 n n n n 1 n 1 2 n 2 2 0 n
n n n na b C a C a b C a b ... C b  
     
- Nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của a thì số hạng tổng quát thứ k + 1 trong
khai triển  n
a b là k n k k
nC a b
Chú ý:
1)  n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n n n
n n n n na b C a C a b C a b C a b ... ( 1) C b  
       
2) n 0 1 2 3 n
n n n n n2 C C C C ... C     
3) 0 1 2 3 n n
n n n n n0 C C C C ... ( 1) C      
2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân
Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số
1 1 1 1
1; ; ; ;...; ;...
2 3 4 n
và
mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ
ngay đến việc sử dụng tích phân. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp.
Bước 2: Tính tích phân trong cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã
khai triển.
Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận.
Chú ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng k k
b a , ta chọn cận từ a đến b, tức là
 
b
a
f x dx
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết4
Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau:
   
 
b b
n 0 1 2 2 n n
n n n n
a a
b bn 1 2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
aa
1) 1 x dx C C x C x ... C x dx
1 x x x x
C x C C ... C
n 1 2 3 n 1
 
     
   
       
      
 
   
 
 
b b
n n0 1 2 2 n n
n n n n
a a
b bn 1 2 3 n 1
n0 1 2 n
n n n n
aa
2) 1 x dx C C x C x ... 1 C x dx
1 x x x x
C x C C ... 1 C
n 1 2 3 n 1
 
       
 
   
         
      
 
   
 
b b
n 0 n 1 n 1 2 n 2 n
n n n n
a a
b bn 1 n 1 n n 1
0 1 2 n
n n n n
aa
3) x 1 dx C x C x C x ... C dx
x 1 x x x
C C C ... C
n 1 n 1 n n 1
 
  
     
   
       
       
 
   
b b
n n0 n 1 n 1 2 n 2 n
n n n n
a a
4) x 1 dx C x C x C x ... 1 C dx        
  
 
 
b bn 1 n 1 n n 1
n0 1 2 n
n n n n
aa
x 1 x x x
C C C ... 1 C
n 1 n 1 n n 1
     
        
       
Ta sẽ gọi hàm số  n
y x 1  và  n
y x 1  là các hàm đa thức cơ bản.
3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân
3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản
Bài 1. Cho *
n  . Tính tổng:
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
S C C C ... C
2 3 n 1

  
    

(ĐH Khối B-2003)
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một
đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết5
phân, các cận và số được thay vào cho biến. Vì số hạng cuối cùng có hệ số
n 1
2 1
n 1



nên ta biết cận từ 1 đến 2 và tổng không đan dấu nên ta sử dụng  
2
n
1
1 x dx
Giải
Ta có  n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n1 x C C x C x C x ... C x      
Suy ra    
2 2
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1 1
1 x dx C C x C x C x ... C x dx       
 
2 2n 1
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
11
n 1 n 1 2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
1 x 1 1 1
C x C x C x ... C x
n 1 2 3 n 1
3 2 2 1 2 1 2 1
C C C ... C
n 1 2 3 n 1


  
  
        
   
     
 
Vậy
2 3 n 1 n 1 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1 3 2
S C C C ... C
2 3 n 1 n 1
  
   
     
 
Bài 2. Cho *
n  . Chứng minh rằng:
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 2 1
C C C ... C
2 3 n 1 n 1


    
 
(ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000)
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân.
Tổng không đan dấu, ta sử dụng  
1
n
0
1 x dx
Giải
Xét  n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n1 x C C x C x C x ... C x      
 
 
1n 11 n 1
n
0 0
1 x 2 1
1 x dx
n 1 n 1
  
  
  (1)
 
1
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0
C C x C x C x ... C x dx    
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết6
1
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
0
1 1 1
C x C x C x ... C x
2 3 n 1
 
     
 
0 1 2 n
n n n n
1 1 1
C C C ... C
2 3 n 1
    

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 2 1
C C C ... C
2 3 n 1 n 1


    
 
Bài 3. Cho *
n  . Chứng minh rằng:
   n n0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
1 1 1 1
2C C 2 C 2 ... 1 C 2 1 1
2 3 n 1 n 1
         
  
(ĐH Giao thông Vận tải - 1996)
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Vì
số hạng cuối cùng có hệ số
n 1
2
n 1


nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử
dụng  
2
n
0
1 x dx
Giải
Xét    n n0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n1 x C C x C x C x ... 1 C x       
 
 
 
2n 12
n n
0 0
1 x 1
1 x dx 1 1
n 1 n 1
         
    
 (3)
  
2
n0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0
C C x C x C x ... 1 C x dx     
 
2
n0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
0
1 1 1
C x C x C x ... 1 C x
2 3 n 1
 
       
 n0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
1 1 1
C 2 C 2 C 2 ... 1 C 2
2 3 n 1

     

(4)
Từ (3) và (4) suy ra
   n n0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
1 1 1 1
2C C 2 C 2 ... 1 C 2 1 1
2 3 n 1 n 1
         
  
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết7
Bài 4. Cho *
n  . Chứng minh rằng:
  n
1 2 3 n
n n n n
n-1 2 +11 2 3 n
C + C + C +...+ C =
2 3 4 n+1 n+1
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số
hạng cuối cùng có hệ số
n
n 1
nên ta không thể nghĩ ra ngay một hàm số nào đó để
tính tích phân. Bằng cách phân tích số hạng tổng quát k k
n n
k 1
C = 1- C
k+1 k+1
 
 
 
, cho ta
tổng  1 2 3 n 1 2 3 n
n n n n n n n n
1 1 1 1
C +C +C +...+C - C + C + C +...+ C
2 3 4 n+1
 
 
 
.
Từ đó, ta sử dụng  
2
nn
1
2 1 x dx 
Giải
Cách 1: Xét số hạng tổng quát trong vế trái k k
n n
k 1
C = 1- C
k+1 k+1
 
 
 
với k = 0, 1, 2,…,n.
Do đó,
 1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n
n n n n n n n n n n n n
1 2 3 n 1 1 1 1
C + C + C +...+ C = C +C +C +...+C - C + C + C +...+ C
2 3 4 n+1 2 3 4 n+1
 
 
 
=  
  nn+11
nn n
0
n-1 2 +12 -1
2 - 1+x dx=2 - =
n+1 n+1
Cách 2: Xét  
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n1+x =C +C x+C x +C x +...+C x
Lấy đạo hàm hai vế ta được:  n-1 1 2 3 2 n n-1
n n n nn 1+x =C +2C x+3C x +...+nC x
Ta có         
1 1 1
n-1 n-1 n n-1
0 0 0
nx 1+x dx= n 1+x-1 1+x dx=n 1+x - 1+x dx   
        
   
   
 
1
n+1 n n
n+1 n
0
1+x 1+x n-1 2 +1n
= n - = 2 -1 - 2 -1 = (5)
n+1 n n+1 n+1
 
 
  
 
1
1 2 3 2 n n-1 1 2 3 n
n n n n n n n n
0
1 2 3 n
C +2C x+3C x +...+nC x dx= C + C + C +...+ C
2 3 4 n+1 (6)
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết8
Từ (5) và (6) suy ra
  n
1 2 3 n
n n n n
n-1 2 +11 2 3 n
C + C + C +...+ C =
2 3 4 n+1 n+1
Bài 5. Cho *
n  . Chứng minh rằng:
2n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1 2 1
C C C ... C
2 4 6 2n 2n 1
 
    

(ĐH khối A - 2007)
Giải
Xét các khai triển
 2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x       (7)
 2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n
n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x       (8)
Trừ vế theo vế (7) và (8) ta được:
     2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 1
2n 2n 2n1 x 1 x 2 C x C x ... C x 
      
   2n 2n
1 3 3 2n 1 2n 1
2n 2n 2n
1 x 1 x
C x C x ... C x
2
   
    
Suy ra
   
 
2n 2n1 1
1 3 3 2n 1 2n 1
2n 2n 2n
0 0
1 x 1 x
dx C x C x ... C x dx
2
   
    
   
1
12n 1 2n 1
1 2 3 4 2n 1 2n
2n 2n 2n
0
0
1 x 1 x 1 1 1
C x C x ... C x
2(2n 1) 2 4 2n
 

               
2n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1 2 1
C C C ... C
2 4 6 2n 2n 1
 
     

Nhận xét: Nếu phải tính tổng 0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
1 1 1
C + C + C +...+ C
3 5 2n+1
thì ta xét
 
   
2n 2n
0 2 2 2n 2n
2n 2n 2n
1+x + 1-x
P x = =C +C x +...+C x
2
Sau đó tính tích phân  
1
0
P x dx .
Còn nếu phải tính tổng 0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1
C + C + C +...+ C
2 4 6 2n+2
thì ta lại xét
    0 2 3 2n 2n+1
2n 2n 2nQ x =x.P x =C x+C x +...+C x
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết9
Sau đó tính tích phân  
1
0
Q x dx . Ta sẽ gặp dạng này ở phần tiếp theo.
Bài 6. Cho *
n  . Chứng minh rằng:
2n 1
0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
2 2 2 2
2C C C ... C
3 5 2n 1 2n 1

    
 
Giải
Xét  2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x      
 
 
1
2n 11 2n 1
2n
1 1
1 x 2
1 x dx
2n 1 n 1
 
 
 
   
   
 (9)
1
0 1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n
1
C C x C x C x ... C x dx

     
 
1
0 1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 2n 2n 2n 2n
1
1 1 1 1
C x C x C x C x ... C x
2 3 4 2n 1


 
      
 
0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
2 2 2
2C C C ... C
3 5 2n 1
    

(10)
Từ (9) và (10) suy ra
2n 1
0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
2 2 2 2
2C C C ... C
3 5 2n 1 2n 1

    
 
3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước
Đối với dạng này, thông thường trong một câu có hai ý: ý thứ nhất yêu cầu tính
tích phân và ý thứ hai là chứng minh đẳng thức tổ hợp hoặc tính tổng. Khi đó, ta linh
hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau.
Bài 1. Cho 2 n .
a) Tính  
1 n2 3
0
I x 1 x dx 
b) Chứng minh rằng:
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2 1
C C C ... C
3 6 9 3(n 1) 3(n 1)


    
 
(ĐH Mở Hà Nội - 1999)
Giải
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết10
a) Đặt 3 2dt
t 1 x x dx
3
   
Đổi cận x 0 t 1   ; x 1 t 2  
Khi đó,
22 n 1 n 1
n
1 1
1 1 t 2 1
I t dx
3 3 n 1 3(n 1)
   
   
   
 (11)
b) Xét  
1
2 0 1 3 2 6 3 9 n 3n
n n n n n
0
I x C C x C x C x ... C x dx     
 
1
0 2 1 5 3 8 5 11 n 3n 2
n n n n n
0
C x C x C x C x ... C x dx
     
1
0 3 1 6 2 9 n 3n 3
n n n n
0
1 1 1 1
C x C x C x ... C x
3 6 9 3n 3
 
      
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
C C C ... C
3 6 9 3(n 1)
    

(12)
Từ (11) và (12) suy ra
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2 1
C C C ... C
3 6 9 3(n 1) 3(n 1)


    
 
Bài 2. Cho *
n  .
a) Tính tích phân  
1
n
2
0
x 1-x dx
b) Chứng minh rằng:
 
n
0 1 2 3 n
n n n n n
-11 1 1 1 1
C - C + C - C +...+ C =
2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1)
(ĐH Luật, ĐH Bách Khoa Hà Nội - 1997)
Giải
a) Đặt 2 dt
t 1 x xdx
2
    
Đổi cận x 0 t 1   ; x 1 t 0  
Khi đó,
10 n 1
n
1 0
1 1 t 1
I t dx
2 2 n 1 2(n 1)
 
    
   
 (13)
b) Xét   
1
n0 1 2 2 4 3 6 n 2n
n n n n n
0
I x C C x C x C x ... 1 C x dx      
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết11
  
1
n0 1 3 2 5 3 7 n 2n 1
n n n n n
0
C x C x C x C x ... 1 C x dx
      
1
0 2 1 4 1 6 1 2n 2
n n n n
0
1 1 1 1
C x C x C x ... C x
2 4 6 2n 2
 
      
 n0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
C C C ... 1 C
2 4 6 2(n 1)
     

(14)
Từ (13) và (14) suy ra
 
n
0 1 2 3 n
n n n n n
-11 1 1 1 1
C - C + C - C +...+ C =
2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1)
Bài 3. Cho *
n  .
a) Tính tích phân  
1
n2
n
0
I = 1-x dx
b) Chứng minh rằng:
   
 
n
1 2 3 n
n n n n
-1 2n !!1 1 1
1- C + C - C +...+ C =
3 5 7 2n+1 2n+1 !!
Giải
a) Đặt    
n n 1
2 2
u 1 x du 2nx 1 x dx
dv dx v=x
 
     
 
  
Khi đó,
   
    
 
1 1n n 1
2 2 2
n
0 0
1 1n 1 n 12 2 2
0 0
n 1 n
n
n 1
I x 1 x 2nx 1 x dx
2n 1 x dx- 1-x 1 x dx
2n I I
I 2n
I 2n 1

 


 
     
 
   
  
 
 


 
Do đó,
   
 
n n 1 1
n 1 n 2 0
2 n 1 2n !!I I I 2n 2
. ..... . .....
I I I 2n 1 2n 1 3 2n 1 !!

 

 
  
Suy ra
 
 
 
 n 0
2n !! 2n !!
I I
2n 1 !! 2n 1 !!
 
 
(15)
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết12
b) Xét     
1 1n n2 0 1 2 2 4 3 6 n 2n
n n n n n
0 0
I= 1-x dx C C x C x C x ... 1 C x dx       
 
 
1
n0 1 3 2 5 3 7 n 2n 1
n n n n n
0
n
1 2 3 n
n n n n
1 1 1 1
C x C x C x C x ... 1 C x
3 5 7 2n 1
-11 1 1
1- C + C - C +...+ C (16)
3 5 7 2n+1
 
        

Từ (15) và (16) suy ra
   
 
n
1 2 3 n
n n n n
-1 2n !!1 1 1
1- C + C - C +...+ C =
3 5 7 2n+1 2n+1 !!
3.3. Tính tích phân của hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng
Khi bài toán cho mà số hạng tổng quát không phải là k
n
1
C
k+1
mà là k
n
1
C
k+2
thì ta
phải nhân thêm x vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân, còn nếu là
k
n
1
C
k+3
thì ta phải nhân thêm x2
vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân,…
Bài 1. Cho *
n  . Chứng minh rằng:
  
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 n2 1
C C C ... C
2 3 4 n 2 n 1 n 2


    
  
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số
hạng cuối cùng có hệ số k
n
1
C
k+2
thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước
khi tính tích phân. Khi đó, ta sử dụng  
1
n
0
x 1 x dx .
Giải
Xét    n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n nx 1 x x C C x C x C x ... C x      
     
   
1 1 1
n n 1 n
0 0 0
1
n 2 n 1
0
x 1 x dx 1 x dx 1 x dx
1 x 1 x
n 2 n 1

 
    
  
  
  
 
  
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết13
  
 
n 2 n 1 n 1
2 1 2 1 n2 1
17
n 2 n 1 n 1 n 2
  
  
  
   
   
 
1 1
n 0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
1
0 1 2 2 3 3 4 n n 1
n n n n n
0
x 1 x dx x C C x C x C x ... C x dx
C x C x C x C x ... C x dx
      
     
 

1
0 2 1 3 2 4 n n 2
n n n n
0
1 1 1 1
C x C x C x ... C x
2 3 4 n 2
 
     
 
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
C C C ... C
2 3 4 n 2
    

(18)
Từ (17) và (18) suy ra
  
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 n2 1
C C C ... C
2 3 4 n 2 n 1 n 2


    
  
Bài 2. Cho *
n  . Chứng minh rằng:
 
  
n0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 1
C C C ... 1 C
2 3 4 n 2 n 1 n 2
     
  
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số
hạng cuối cùng có hệ số k
n
1
C
k+2
thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước
khi tính tích phân. Vì tổng đan dấu nên ta sử dụng  
1
n
0
x 1 x dx .
Giải
Xét     n n0 1 2 2 3 3 n n
n n n n nx 1 x x C C x C x C x ... 1 C x       
Đặt u 1 x du dx    
Đổi cận x 0 u 1   ; x 1 u 0  
Khi đó,    
11 1 n 1 n 2
n n
0 0 0
u u
x 1 x dx 1 u u dx
n 1 n 2
  
        
 
  
 
1 1 1
19
n 1 n 2 n 1 n 2
  
   
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết14
    
  
1 1
n n0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
1
n0 1 2 2 3 3 4 n n 1
n n n n n
0
x 1 x dx x C C x C x C x ... 1 C x dx
C x C x C x C x ... 1 C x dx
       
      
 

 
1
n0 2 1 3 2 4 n n 2
n n n n
0
1 1 1 1
C x C x C x ... 1 C x
2 3 4 n 2
 
      
 
 n0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
C C C ... 1 C
2 3 4 n 2
     

(20)
Từ (19) và (20) suy ra  
  
n0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
C C C ... 1 C
2 3 n 1 n 1 n 2
     
  
4. Bài tập đề nghị
Bài 1. Cho *
n  . Chứng minh rằng:
 n0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
C C C ... 1 C
2 3 n 1 n 1
     
 
HD: Vì tổng đan dấu và hệ số
1
n 1
gắn với n
nC nên sử dụng  
1
n
0
1 x dx
Bài 2. Cho *
n  . Chứng minh rằng:
 
 n
n0 1 2 n
n n n n
11 1 1
C C C ... 1 C
n 1 n n 1 n 1

     
  
HD: Vì tổng đan dấu và hệ số
1
n 1
gắn với 0
nC nên sử dụng  
1
n
0
x 1 dx
Bài 3. Cho *
n  . Chứng minh rằng:
n 1
0 1 2 2 3 n n n 1
n n n n
1 1 1 3 1
2C C 2 C 2 ... C 2
2 3 n 1 n 1

 
    
 
(ĐH Đà Nẵng - 2001)
HD: Sử dụng  
2
n
0
1 x dx
Bài 4. Tính tổng: 0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
S C C C ... C
3 4 5 n 3
    

Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết15
HD: Sử dụng  
0
n2
0
x 1 x dx
Bài 5. Chứng minh rằng:
a)
 n+1 n+1n n
k k k 1
n n
k=0 k=0
1+e 1 2 1
+ C + C e
n+1 k+1 n+1 k+1

 
b)
   
2n+2 n+1n n
k k
n nk 1 n 1
k=0 k=0
1 1 2 3
C C
k+1 k+1 2 n+1 2 

  
Bài 6. Đặt n
1 1 1 1
S 1 ...
2 3 4 n
      . Chứng minh rằng:
a)  n 11 2 3 4 n
n n n n n n
1 1 1 1
S C C C C ... 1 C
2 3 4 n

      
b)  
 n 1
n1 2 n 1
n n n 1 n n 2 n 1
1
S C S C S ... 1 C S
n


 

     
Bài 7. Tính tổng
  n0 1 2
nn n n
1 1 1 1
1 2 3 n 1
n 1 .C1.C 2.C 3.C
S ...
A A A A 

     , biết 0 1 2
n n nC C C 211  
HD: Phân tích  0 1 2 3 n 1 2 n
n n n n n n n n
1 1 1
S C C C C ... C C C ... C
2 3 n 1
 
          
 
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết16
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Kết quả từ thực tiễn
Trước khi dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát cả ba lớp mà mình đang
đảm nhiệm. Qua kết quả khảo sát, tôi thấy rằng phần lớn học sinh không làm được
các bài toán nêu ra. Học sinh không làm được là tất nhiên vì các lý do sau:
+ Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để
giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày.
+ Các kiến thức của Đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11, học sinh đã quên.
+ Học sinh chưa định hình được cách giải.
Tuy nhiên, trước khi bắt đầu dạy thực nghiệm, tôi đã yêu cầu học sinh ôn tập
lại các kiến thức của Đại số tổ hợp. Trong khi giảng dạy, tôi hướng dẫn học sinh tỉ
mỉ cách nhận biết bài toán tổ hợp vận dụng được tích phân, phân tích các yếu tố có
trong bài toán để từ đó đưa ra hàm lấy tích phân, các cận của tích phân và thay số
tương ứng để đi đến lời giải đúng.
Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài toán
có sử dụng tích phân để giải thì các em đã thận trọng trong khi đi tìm hàm lấy tích
phân và trình bày lời cho bài toán đặt ra.
2. Kết quả thực nghiệm
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2012-2013.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả
thi và hiệu quả của đề tài.
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại lớp 12A1, 12A2, 12A3, trường
THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình.
+ Lớp 12A1 ( 46 học sinh), 12A2( 44 học sinh), được áp dụng sáng kiến.
+ Lớp 12A3 ( 46 học sinh) không áp dụng sáng kiến.
Sau khi dạy thực nghiệm cho lớp 12A1, 12A2, còn không dạy thực nghiệm ở
lớp 12A3, tôi cho cả 3 lớp làm bài kiểm tra.
Với kết quả như sau:
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết17
Xếp loại
Đối tượng
Giỏi Khá Tb Yếu Kém
12A1 10,9% 26,1% 34,8% 15,2% 13,0%
12A2 9,1% 22,7% 36,4% 18,2% 13,6%
12A3 0% 0% 13,6% 25,0% 61,4%
Vì như đã nêu ở trên nên đa số các em lớp 12A3 làm không được, chỉ tính
được tích phân ở Bài 3. Còn lớp 12A1, 12A2, do các em đã được trang bị các kiến
thức và phương pháp giải quyết vấn đề nên phần lớn các em biết cách làm. Do đó,
kết quả kiểm tra cho ta sự khác biệt giữa lớp dạy thực nghiệm và lớp không dạy thực
nghiệm.
Đề kiểm tra khảo sát 45 phút
SỞ GDĐT QUẢNG BÌNH KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM
TRƯỜNG THPT SỐ 1 BỐ TRẠCH Thời gian làm bài: 45 phút
Họ và tên:………………………………………………………………………….Lớp: 12A…
Bài 1. (2,0 điểm) Chứng minh rằng:
2013
0 2 4 2012
2013 2013 2013 2013
1 1 1 2
C C C ... C
3 5 2013 2014
    
Bài 2. (2,0 điểm) Tính tổng:  n0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
S C C C ... 1 C
n 3 n 2 n 1 3
     
  
Bài 3. (4,0 điểm) Cho *
n .
a) Tính tích phân  
1
n
2
0
x 1+x dx
b) Chứng minh rằng:
n n+1
0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1 1 2 -1
C + C + C + C +...+ C =
2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1)
Bài 4. (2,0 điểm) Tìm hệ số chứa 2
x trong khai triển
n
4
1
x
2 x
 
 
 
, biết n là số
nguyên dương thỏa mãn
2 3 n 1
0 1 3 n
n n n n
2 2 2 6560
2C C C ... C
2 3 n 1 n 1

    
 
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết18
Hướng dẫn:
Bài 1. Sử dụng  
1
2013
1
1 x dx


Bài 2. Sử dụng  
1
n2
0
x x 1 dx
Bài 3. a) Đặt 2
u 1 x  .
b) Từ câu a), ta khai triển  
n
2
x 1+ x và tính tích phân cả hai vế.
Ta có thể rút gọn
1
2
và sử dụng  
1
n
0
1 x dx
Bài 4. Sử dụng  
2
n
0
1 x dx . Kết quả: Hệ số cần tìm là
21
4
.
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết19
KẾT LUẬN
Trong các đề thi Đại học và Cao đẳng có nhiều dạng toán mà trong chương
trình sách giáo khoa không được giới thiệu, trên cơ sở những kinh nghiệm của bản
thân trong quá trình dạy học lớp 12, tôi đã mạnh dạng đưa ra một số bài tập của Đại
số tổ hợp có ứng dụng tích phân để giới thiệu cho các em trên lớp và hy vọng vấn đề
này trong những năm học tiếp theo học sinh được biết đến trên lớp và trong nội dung
của chương trình học.
Do sự hạn chế về thời gian cũng như kinh nghiệm giảng dạy và nghiên cứu,
trong sáng kiến này không thể tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong sự góp ý, bổ sung
của quý thầy cô và các bạn để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn.
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục 2009.
2. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản giáo
dục 2009.
3. Phạm Trọng Thư, Tuyển chọn 36 đề thử sức Đại học môn Toán, Nhà xuất bản Đại
học Sư phạm 2012.
4. Nguyễn Đức Hoàng, Giới thiệu nhanh đề thi toán học, Toán, Nhà xuất bản Đại
học Sư phạm 2010
5. Võ Thanh Văn (chủ biên), Chuyên đề ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong giải
toán THPT, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2009.
6. Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, Nhà xuất bản tri
thức 2006.
----------- HẾT ---------

More Related Content

What's hot

Hinh hoc so cap va thuc hanh giai toan
Hinh hoc so cap va thuc hanh giai toanHinh hoc so cap va thuc hanh giai toan
Hinh hoc so cap va thuc hanh giai toanTamPhan59
 
phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson caovanquy
 
Phương pháp giải toán hoá hữu cơ lớp 11
Phương pháp giải toán hoá hữu cơ lớp 11Phương pháp giải toán hoá hữu cơ lớp 11
Phương pháp giải toán hoá hữu cơ lớp 11Alice Jane
 
Bai7 khai trien_taylor
Bai7 khai trien_taylorBai7 khai trien_taylor
Bai7 khai trien_taylorljmonking
 
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy sốỨng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy sốSirô Tiny
 
[Math educare] bai giang phuong trinh vi phan-trinh duc tai
[Math educare] bai giang phuong trinh vi phan-trinh duc tai[Math educare] bai giang phuong trinh vi phan-trinh duc tai
[Math educare] bai giang phuong trinh vi phan-trinh duc taiNguyen Vietnam
 
50 bài toán casio số phức nâng cao
50 bài toán casio số phức nâng cao50 bài toán casio số phức nâng cao
50 bài toán casio số phức nâng caoLâm Trần Khắc
 
[Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn
 [Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn [Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn
[Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vnMegabook
 
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ
CHƯƠNG 2  GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐCHƯƠNG 2  GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐĐinh Công Thiện Taydo University
 
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phân
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phânPhương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phân
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phânHajunior9x
 
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2
Chuong 2   dai so tuyen tinh 2Chuong 2   dai so tuyen tinh 2
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2Trương Huỳnh
 
Bo de toan roi rac (on thi cao hoc khmt)
Bo de toan roi rac (on thi cao hoc khmt)Bo de toan roi rac (on thi cao hoc khmt)
Bo de toan roi rac (on thi cao hoc khmt)lieu_lamlam
 
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )Bui Loi
 
Bài Tập Xử Lí Tín Hiệu Số
Bài Tập Xử Lí Tín Hiệu SốBài Tập Xử Lí Tín Hiệu Số
Bài Tập Xử Lí Tín Hiệu Sốviethung094
 
xử lý số tín hiệu -Chuong 2
xử lý số tín hiệu -Chuong 2xử lý số tín hiệu -Chuong 2
xử lý số tín hiệu -Chuong 2Ngai Hoang Van
 

What's hot (20)

Hinh hoc so cap va thuc hanh giai toan
Hinh hoc so cap va thuc hanh giai toanHinh hoc so cap va thuc hanh giai toan
Hinh hoc so cap va thuc hanh giai toan
 
phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson phương pháp hình thang,Công thức Simpson
phương pháp hình thang,Công thức Simpson
 
Bài tập hàm biến phức
Bài tập hàm biến phứcBài tập hàm biến phức
Bài tập hàm biến phức
 
Chuong02
Chuong02Chuong02
Chuong02
 
Phương pháp giải toán hoá hữu cơ lớp 11
Phương pháp giải toán hoá hữu cơ lớp 11Phương pháp giải toán hoá hữu cơ lớp 11
Phương pháp giải toán hoá hữu cơ lớp 11
 
Bai7 khai trien_taylor
Bai7 khai trien_taylorBai7 khai trien_taylor
Bai7 khai trien_taylor
 
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy sốỨng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
Ứng dụng tích phân tính giới hạn của dãy số
 
Bìa tập đại số tổ hợp
Bìa tập đại số tổ hợpBìa tập đại số tổ hợp
Bìa tập đại số tổ hợp
 
[Math educare] bai giang phuong trinh vi phan-trinh duc tai
[Math educare] bai giang phuong trinh vi phan-trinh duc tai[Math educare] bai giang phuong trinh vi phan-trinh duc tai
[Math educare] bai giang phuong trinh vi phan-trinh duc tai
 
50 bài toán casio số phức nâng cao
50 bài toán casio số phức nâng cao50 bài toán casio số phức nâng cao
50 bài toán casio số phức nâng cao
 
[Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn
 [Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn [Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn
[Phần 1l Tổng hợp 55 công thức giải nhanh bài tập hữu cơ, vô cơ - Megabook.vn
 
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ
CHƯƠNG 2  GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐCHƯƠNG 2  GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ
CHƯƠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ
 
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phân
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phânPhương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phân
Phương pháp số và lập trình - Nội suy, Đạo hàm, Tích phân
 
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2
Chuong 2   dai so tuyen tinh 2Chuong 2   dai so tuyen tinh 2
Chuong 2 dai so tuyen tinh 2
 
Bo de toan roi rac (on thi cao hoc khmt)
Bo de toan roi rac (on thi cao hoc khmt)Bo de toan roi rac (on thi cao hoc khmt)
Bo de toan roi rac (on thi cao hoc khmt)
 
Luận văn: Một số lớp bài toán về phương trình hàm, HAY, 9đ
Luận văn: Một số lớp bài toán về phương trình hàm, HAY, 9đLuận văn: Một số lớp bài toán về phương trình hàm, HAY, 9đ
Luận văn: Một số lớp bài toán về phương trình hàm, HAY, 9đ
 
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )
 
Bài Tập Xử Lí Tín Hiệu Số
Bài Tập Xử Lí Tín Hiệu SốBài Tập Xử Lí Tín Hiệu Số
Bài Tập Xử Lí Tín Hiệu Số
 
xử lý số tín hiệu -Chuong 2
xử lý số tín hiệu -Chuong 2xử lý số tín hiệu -Chuong 2
xử lý số tín hiệu -Chuong 2
 
Chuong04
Chuong04Chuong04
Chuong04
 

Viewers also liked

ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchThế Giới Tinh Hoa
 
Chuyên đề Toán Tích phân - Megabook.vn
Chuyên đề Toán Tích phân - Megabook.vnChuyên đề Toán Tích phân - Megabook.vn
Chuyên đề Toán Tích phân - Megabook.vnMegabook
 
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suất
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suấtChuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suất
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suấtThế Giới Tinh Hoa
 
Giải 30 bài toán dãy số hay gặp
Giải 30 bài toán dãy số hay gặpGiải 30 bài toán dãy số hay gặp
Giải 30 bài toán dãy số hay gặpCảnh
 
DoSomething.org and the VH1 Save The Music Foundation Release Crowd-Sourced M...
DoSomething.org and the VH1 Save The Music Foundation Release Crowd-Sourced M...DoSomething.org and the VH1 Save The Music Foundation Release Crowd-Sourced M...
DoSomething.org and the VH1 Save The Music Foundation Release Crowd-Sourced M...rainycap8744
 
το πορτρέτο της ελένης ομαδα 1
το πορτρέτο της ελένης ομαδα 1το πορτρέτο της ελένης ομαδα 1
το πορτρέτο της ελένης ομαδα 1koudouni
 
Havas Match Study / SOCIAL TV from September 1st to November 17th 2013
Havas Match Study / SOCIAL TV from September 1st to November 17th 2013Havas Match Study / SOCIAL TV from September 1st to November 17th 2013
Havas Match Study / SOCIAL TV from September 1st to November 17th 2013Tevizz
 
Project proposal
Project proposalProject proposal
Project proposalJoeKing0
 
το πορτρέτο της ελένης, κόκκινη ομάδα
το πορτρέτο της ελένης, κόκκινη ομάδατο πορτρέτο της ελένης, κόκκινη ομάδα
το πορτρέτο της ελένης, κόκκινη ομάδαkoudouni
 
Omada5 Το πορτρέτο της Ελένης
Omada5 Το πορτρέτο της ΕλένηςOmada5 Το πορτρέτο της Ελένης
Omada5 Το πορτρέτο της Ελένηςkoudouni
 
Jak vybrat sportovní poháry
Jak vybrat sportovní poháryJak vybrat sportovní poháry
Jak vybrat sportovní poháryTomáš Novotný
 
Avlis u r&d in the world
Avlis u r&d in the worldAvlis u r&d in the world
Avlis u r&d in the worldVasaru Gheorghe
 
TEVIZZ Politiczz Popularity (15 Feb - 24 April)
TEVIZZ Politiczz Popularity (15 Feb -  24 April)TEVIZZ Politiczz Popularity (15 Feb -  24 April)
TEVIZZ Politiczz Popularity (15 Feb - 24 April)Tevizz
 
2. ใบความรู้ที่ 4
2. ใบความรู้ที่ 42. ใบความรู้ที่ 4
2. ใบความรู้ที่ 4Chainarong Ngaosri
 
TEVIZZ - Football PSG-RSCA / Social TV Analytics
TEVIZZ - Football PSG-RSCA / Social TV AnalyticsTEVIZZ - Football PSG-RSCA / Social TV Analytics
TEVIZZ - Football PSG-RSCA / Social TV AnalyticsTevizz
 

Viewers also liked (20)

ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tíchứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
ứNg dụng tích phân tính diện tích và thể tích
 
Chuyên đề Toán Tích phân - Megabook.vn
Chuyên đề Toán Tích phân - Megabook.vnChuyên đề Toán Tích phân - Megabook.vn
Chuyên đề Toán Tích phân - Megabook.vn
 
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suất
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suấtChuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suất
Chuyên đề, các dạng toán tổ hợp xác suất
 
Bài tập nguyên hàm tích phân
Bài tập nguyên hàm tích phânBài tập nguyên hàm tích phân
Bài tập nguyên hàm tích phân
 
Giải 30 bài toán dãy số hay gặp
Giải 30 bài toán dãy số hay gặpGiải 30 bài toán dãy số hay gặp
Giải 30 bài toán dãy số hay gặp
 
Locations
LocationsLocations
Locations
 
DoSomething.org and the VH1 Save The Music Foundation Release Crowd-Sourced M...
DoSomething.org and the VH1 Save The Music Foundation Release Crowd-Sourced M...DoSomething.org and the VH1 Save The Music Foundation Release Crowd-Sourced M...
DoSomething.org and the VH1 Save The Music Foundation Release Crowd-Sourced M...
 
το πορτρέτο της ελένης ομαδα 1
το πορτρέτο της ελένης ομαδα 1το πορτρέτο της ελένης ομαδα 1
το πορτρέτο της ελένης ομαδα 1
 
Havas Match Study / SOCIAL TV from September 1st to November 17th 2013
Havas Match Study / SOCIAL TV from September 1st to November 17th 2013Havas Match Study / SOCIAL TV from September 1st to November 17th 2013
Havas Match Study / SOCIAL TV from September 1st to November 17th 2013
 
adventurous sports
adventurous sports adventurous sports
adventurous sports
 
Project proposal
Project proposalProject proposal
Project proposal
 
το πορτρέτο της ελένης, κόκκινη ομάδα
το πορτρέτο της ελένης, κόκκινη ομάδατο πορτρέτο της ελένης, κόκκινη ομάδα
το πορτρέτο της ελένης, κόκκινη ομάδα
 
Omada5 Το πορτρέτο της Ελένης
Omada5 Το πορτρέτο της ΕλένηςOmada5 Το πορτρέτο της Ελένης
Omada5 Το πορτρέτο της Ελένης
 
Jak vybrat sportovní poháry
Jak vybrat sportovní poháryJak vybrat sportovní poháry
Jak vybrat sportovní poháry
 
Meeting Notes
Meeting Notes Meeting Notes
Meeting Notes
 
Avlis u r&d in the world
Avlis u r&d in the worldAvlis u r&d in the world
Avlis u r&d in the world
 
Adaptateur
AdaptateurAdaptateur
Adaptateur
 
TEVIZZ Politiczz Popularity (15 Feb - 24 April)
TEVIZZ Politiczz Popularity (15 Feb -  24 April)TEVIZZ Politiczz Popularity (15 Feb -  24 April)
TEVIZZ Politiczz Popularity (15 Feb - 24 April)
 
2. ใบความรู้ที่ 4
2. ใบความรู้ที่ 42. ใบความรู้ที่ 4
2. ใบความรู้ที่ 4
 
TEVIZZ - Football PSG-RSCA / Social TV Analytics
TEVIZZ - Football PSG-RSCA / Social TV AnalyticsTEVIZZ - Football PSG-RSCA / Social TV Analytics
TEVIZZ - Football PSG-RSCA / Social TV Analytics
 

Similar to ứng dụng tích phân giải bài toán tổ hợp

tai-lieu-chu-de-nhi-thuc-niu-ton-Copy.pdf
tai-lieu-chu-de-nhi-thuc-niu-ton-Copy.pdftai-lieu-chu-de-nhi-thuc-niu-ton-Copy.pdf
tai-lieu-chu-de-nhi-thuc-niu-ton-Copy.pdfHuongGiangNguyen43
 
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29Tich phan %28 nguyen duy khoi%29
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29trongphuckhtn
 
Tich phan (nguyen duy khoi)
Tich phan (nguyen duy khoi)Tich phan (nguyen duy khoi)
Tich phan (nguyen duy khoi)roggerbob
 
Tich phan ham nhi phan thuc
Tich phan ham nhi phan thucTich phan ham nhi phan thuc
Tich phan ham nhi phan thucHuynh ICT
 
Giai toan-tich-phan-bang-nhieu-cach
Giai toan-tich-phan-bang-nhieu-cachGiai toan-tich-phan-bang-nhieu-cach
Giai toan-tich-phan-bang-nhieu-cachHuynh ICT
 
Cđ dãy số viết theo quy luật
Cđ dãy số viết theo quy luậtCđ dãy số viết theo quy luật
Cđ dãy số viết theo quy luậtCảnh
 
Toan pt.de004.2011
Toan pt.de004.2011Toan pt.de004.2011
Toan pt.de004.2011BẢO Hí
 
Tổng quát về tích phân
Tổng quát về tích phân Tổng quát về tích phân
Tổng quát về tích phân Hoàng Hải Huy
 
Cong thuc 2013 (pc2013072414 ovr's conflicted copy 2013 11-08)
Cong thuc 2013 (pc2013072414 ovr's conflicted copy 2013 11-08)Cong thuc 2013 (pc2013072414 ovr's conflicted copy 2013 11-08)
Cong thuc 2013 (pc2013072414 ovr's conflicted copy 2013 11-08)trongphuc1
 
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...Hoàng Thái Việt
 
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁNCHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁNHoàng Thái Việt
 
Nhị thức newton và Các bài tập ứng dụng
Nhị thức newton và Các bài tập ứng dụngNhị thức newton và Các bài tập ứng dụng
Nhị thức newton và Các bài tập ứng dụngLinh Nguyễn
 
Nhi thuc neưton va ung dung
Nhi thuc neưton va ung dungNhi thuc neưton va ung dung
Nhi thuc neưton va ung dungAo Giac
 
Xac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thu
Xac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thuXac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thu
Xac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thuThành Nguyễn
 
tài liệu dãy số
tài liệu dãy số tài liệu dãy số
tài liệu dãy số cocrambo
 

Similar to ứng dụng tích phân giải bài toán tổ hợp (20)

tai-lieu-chu-de-nhi-thuc-niu-ton-Copy.pdf
tai-lieu-chu-de-nhi-thuc-niu-ton-Copy.pdftai-lieu-chu-de-nhi-thuc-niu-ton-Copy.pdf
tai-lieu-chu-de-nhi-thuc-niu-ton-Copy.pdf
 
Nhi thuc-niuton-2
Nhi thuc-niuton-2Nhi thuc-niuton-2
Nhi thuc-niuton-2
 
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29Tich phan %28 nguyen duy khoi%29
Tich phan %28 nguyen duy khoi%29
 
Tich phan (nguyen duy khoi)
Tich phan (nguyen duy khoi)Tich phan (nguyen duy khoi)
Tich phan (nguyen duy khoi)
 
Gt12cb 62
Gt12cb 62Gt12cb 62
Gt12cb 62
 
Tich phan ham nhi phan thuc
Tich phan ham nhi phan thucTich phan ham nhi phan thuc
Tich phan ham nhi phan thuc
 
Gt12cb 61
Gt12cb 61Gt12cb 61
Gt12cb 61
 
Giai toan-tich-phan-bang-nhieu-cach
Giai toan-tich-phan-bang-nhieu-cachGiai toan-tich-phan-bang-nhieu-cach
Giai toan-tich-phan-bang-nhieu-cach
 
Cđ dãy số viết theo quy luật
Cđ dãy số viết theo quy luậtCđ dãy số viết theo quy luật
Cđ dãy số viết theo quy luật
 
Toan pt.de004.2011
Toan pt.de004.2011Toan pt.de004.2011
Toan pt.de004.2011
 
Tổng quát về tích phân
Tổng quát về tích phân Tổng quát về tích phân
Tổng quát về tích phân
 
Cong thuc 2013 (pc2013072414 ovr's conflicted copy 2013 11-08)
Cong thuc 2013 (pc2013072414 ovr's conflicted copy 2013 11-08)Cong thuc 2013 (pc2013072414 ovr's conflicted copy 2013 11-08)
Cong thuc 2013 (pc2013072414 ovr's conflicted copy 2013 11-08)
 
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...
 
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toanTai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
Tai lieu-on-thi-lop-10-mon-toan
 
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁNCHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁN
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI CHUYỂN CẤP LÊN LỚP 10 MÔN TOÁN
 
Dãy số nguyễn tất thu
Dãy số  nguyễn tất thuDãy số  nguyễn tất thu
Dãy số nguyễn tất thu
 
Nhị thức newton và Các bài tập ứng dụng
Nhị thức newton và Các bài tập ứng dụngNhị thức newton và Các bài tập ứng dụng
Nhị thức newton và Các bài tập ứng dụng
 
Nhi thuc neưton va ung dung
Nhi thuc neưton va ung dungNhi thuc neưton va ung dung
Nhi thuc neưton va ung dung
 
Xac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thu
Xac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thuXac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thu
Xac dinh cong thuc tong quat cua day so nguyen tat thu
 
tài liệu dãy số
tài liệu dãy số tài liệu dãy số
tài liệu dãy số
 

More from Oanh MJ

Phân tích kỹ thuật thị trường chứng khoán
Phân tích kỹ thuật thị trường chứng khoánPhân tích kỹ thuật thị trường chứng khoán
Phân tích kỹ thuật thị trường chứng khoánOanh MJ
 
Đầu tư và phân tích cơ bản thị trường chứng khoán
Đầu tư và phân tích cơ bản thị trường chứng khoánĐầu tư và phân tích cơ bản thị trường chứng khoán
Đầu tư và phân tích cơ bản thị trường chứng khoánOanh MJ
 
Guide Best Dropshipping Niches
Guide Best Dropshipping NichesGuide Best Dropshipping Niches
Guide Best Dropshipping NichesOanh MJ
 
Chiếc Lexus và cây Ô Liu - Ebook
Chiếc Lexus và cây Ô Liu - EbookChiếc Lexus và cây Ô Liu - Ebook
Chiếc Lexus và cây Ô Liu - EbookOanh MJ
 
Tôi tài giỏi bạn cũng thế - Ebook (I Am Gifted, So Are You)
Tôi tài giỏi bạn cũng thế - Ebook (I Am Gifted, So Are You)Tôi tài giỏi bạn cũng thế - Ebook (I Am Gifted, So Are You)
Tôi tài giỏi bạn cũng thế - Ebook (I Am Gifted, So Are You)Oanh MJ
 
10 Dạng tích phân thi đại học
10 Dạng tích phân thi đại học10 Dạng tích phân thi đại học
10 Dạng tích phân thi đại họcOanh MJ
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)Oanh MJ
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)Oanh MJ
 
999 trắc nghiệm lý thuyết hóa vô cơ
999 trắc nghiệm lý thuyết hóa vô cơ999 trắc nghiệm lý thuyết hóa vô cơ
999 trắc nghiệm lý thuyết hóa vô cơOanh MJ
 
40 Đề hóa thi thử Đại học - Gia sư trực tuyến
40 Đề hóa thi thử Đại học - Gia sư trực tuyến40 Đề hóa thi thử Đại học - Gia sư trực tuyến
40 Đề hóa thi thử Đại học - Gia sư trực tuyếnOanh MJ
 
Tóm tắt lý thuyết Vật Lý 12 - Thi Đại học
Tóm tắt lý thuyết Vật Lý 12 - Thi Đại họcTóm tắt lý thuyết Vật Lý 12 - Thi Đại học
Tóm tắt lý thuyết Vật Lý 12 - Thi Đại họcOanh MJ
 
Giao an sinh 12 ca nam
Giao an sinh 12 ca namGiao an sinh 12 ca nam
Giao an sinh 12 ca namOanh MJ
 
ứng dụng của tích phân
ứng dụng của tích phânứng dụng của tích phân
ứng dụng của tích phânOanh MJ
 
Cấu trúc V + Ving & to V
Cấu trúc V + Ving & to VCấu trúc V + Ving & to V
Cấu trúc V + Ving & to VOanh MJ
 
Tiếng anh cơ bản luyện thi TOEFL
Tiếng anh cơ bản luyện thi TOEFLTiếng anh cơ bản luyện thi TOEFL
Tiếng anh cơ bản luyện thi TOEFLOanh MJ
 
Các thì trong tiếng anh
Các thì trong tiếng anhCác thì trong tiếng anh
Các thì trong tiếng anhOanh MJ
 
Quy tắc đánh dấu trọng âm
Quy tắc đánh dấu trọng âmQuy tắc đánh dấu trọng âm
Quy tắc đánh dấu trọng âmOanh MJ
 
75 cấu trúc tiếng anh cơ bản thường gặp ở thpt
75 cấu trúc tiếng anh cơ bản thường gặp ở thpt75 cấu trúc tiếng anh cơ bản thường gặp ở thpt
75 cấu trúc tiếng anh cơ bản thường gặp ở thptOanh MJ
 
de va dap an thi thu toan a,a1 lan 1 truong thpt ly thai to nam hoc 2013 2014
de va dap an thi thu toan a,a1 lan 1 truong thpt ly thai to nam hoc 2013 2014de va dap an thi thu toan a,a1 lan 1 truong thpt ly thai to nam hoc 2013 2014
de va dap an thi thu toan a,a1 lan 1 truong thpt ly thai to nam hoc 2013 2014Oanh MJ
 
thi thu dh nam 2013 thpt trieu son-4
thi thu dh nam 2013 thpt trieu son-4thi thu dh nam 2013 thpt trieu son-4
thi thu dh nam 2013 thpt trieu son-4Oanh MJ
 

More from Oanh MJ (20)

Phân tích kỹ thuật thị trường chứng khoán
Phân tích kỹ thuật thị trường chứng khoánPhân tích kỹ thuật thị trường chứng khoán
Phân tích kỹ thuật thị trường chứng khoán
 
Đầu tư và phân tích cơ bản thị trường chứng khoán
Đầu tư và phân tích cơ bản thị trường chứng khoánĐầu tư và phân tích cơ bản thị trường chứng khoán
Đầu tư và phân tích cơ bản thị trường chứng khoán
 
Guide Best Dropshipping Niches
Guide Best Dropshipping NichesGuide Best Dropshipping Niches
Guide Best Dropshipping Niches
 
Chiếc Lexus và cây Ô Liu - Ebook
Chiếc Lexus và cây Ô Liu - EbookChiếc Lexus và cây Ô Liu - Ebook
Chiếc Lexus và cây Ô Liu - Ebook
 
Tôi tài giỏi bạn cũng thế - Ebook (I Am Gifted, So Are You)
Tôi tài giỏi bạn cũng thế - Ebook (I Am Gifted, So Are You)Tôi tài giỏi bạn cũng thế - Ebook (I Am Gifted, So Are You)
Tôi tài giỏi bạn cũng thế - Ebook (I Am Gifted, So Are You)
 
10 Dạng tích phân thi đại học
10 Dạng tích phân thi đại học10 Dạng tích phân thi đại học
10 Dạng tích phân thi đại học
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
 
999 trắc nghiệm lý thuyết hóa vô cơ
999 trắc nghiệm lý thuyết hóa vô cơ999 trắc nghiệm lý thuyết hóa vô cơ
999 trắc nghiệm lý thuyết hóa vô cơ
 
40 Đề hóa thi thử Đại học - Gia sư trực tuyến
40 Đề hóa thi thử Đại học - Gia sư trực tuyến40 Đề hóa thi thử Đại học - Gia sư trực tuyến
40 Đề hóa thi thử Đại học - Gia sư trực tuyến
 
Tóm tắt lý thuyết Vật Lý 12 - Thi Đại học
Tóm tắt lý thuyết Vật Lý 12 - Thi Đại họcTóm tắt lý thuyết Vật Lý 12 - Thi Đại học
Tóm tắt lý thuyết Vật Lý 12 - Thi Đại học
 
Giao an sinh 12 ca nam
Giao an sinh 12 ca namGiao an sinh 12 ca nam
Giao an sinh 12 ca nam
 
ứng dụng của tích phân
ứng dụng của tích phânứng dụng của tích phân
ứng dụng của tích phân
 
Cấu trúc V + Ving & to V
Cấu trúc V + Ving & to VCấu trúc V + Ving & to V
Cấu trúc V + Ving & to V
 
Tiếng anh cơ bản luyện thi TOEFL
Tiếng anh cơ bản luyện thi TOEFLTiếng anh cơ bản luyện thi TOEFL
Tiếng anh cơ bản luyện thi TOEFL
 
Các thì trong tiếng anh
Các thì trong tiếng anhCác thì trong tiếng anh
Các thì trong tiếng anh
 
Quy tắc đánh dấu trọng âm
Quy tắc đánh dấu trọng âmQuy tắc đánh dấu trọng âm
Quy tắc đánh dấu trọng âm
 
75 cấu trúc tiếng anh cơ bản thường gặp ở thpt
75 cấu trúc tiếng anh cơ bản thường gặp ở thpt75 cấu trúc tiếng anh cơ bản thường gặp ở thpt
75 cấu trúc tiếng anh cơ bản thường gặp ở thpt
 
de va dap an thi thu toan a,a1 lan 1 truong thpt ly thai to nam hoc 2013 2014
de va dap an thi thu toan a,a1 lan 1 truong thpt ly thai to nam hoc 2013 2014de va dap an thi thu toan a,a1 lan 1 truong thpt ly thai to nam hoc 2013 2014
de va dap an thi thu toan a,a1 lan 1 truong thpt ly thai to nam hoc 2013 2014
 
thi thu dh nam 2013 thpt trieu son-4
thi thu dh nam 2013 thpt trieu son-4thi thu dh nam 2013 thpt trieu son-4
thi thu dh nam 2013 thpt trieu son-4
 

Recently uploaded

TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 8 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 8 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 8 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 8 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Giáo trình Minano Nihongo 1 - Luyện Hán tự Kanji Renshuuchou (Bản mới)
Giáo trình Minano Nihongo 1 - Luyện Hán tự Kanji Renshuuchou (Bản mới)Giáo trình Minano Nihongo 1 - Luyện Hán tự Kanji Renshuuchou (Bản mới)
Giáo trình Minano Nihongo 1 - Luyện Hán tự Kanji Renshuuchou (Bản mới)Tiếng Nhật Đơn giản
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM T...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM T...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM T...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM T...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)Bồi Dưỡng HSG Toán Lớp 3
 
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdf
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdfKế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdf
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdfhotmail305
 
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TIN HỌC 8 CÁNH DIỀU THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT) NĂM H...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TIN HỌC 8 CÁNH DIỀU THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT) NĂM H...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TIN HỌC 8 CÁNH DIỀU THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT) NĂM H...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TIN HỌC 8 CÁNH DIỀU THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT) NĂM H...Nguyen Thanh Tu Collection
 
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minh
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minhtrò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minh
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minhNguynHuTh6
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách Khoa
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách KhoaTài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách Khoa
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách KhoaKhiNguynCngtyTNHH
 

Recently uploaded (20)

TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT HÓA HỌC 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯ...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 ...
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM - FRIENDS PLUS - BẢN ĐẸP - CÓ FILE NGH...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5...
 
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 8 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 8 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 8 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 8 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...
 
Giáo trình Minano Nihongo 1 - Luyện Hán tự Kanji Renshuuchou (Bản mới)
Giáo trình Minano Nihongo 1 - Luyện Hán tự Kanji Renshuuchou (Bản mới)Giáo trình Minano Nihongo 1 - Luyện Hán tự Kanji Renshuuchou (Bản mới)
Giáo trình Minano Nihongo 1 - Luyện Hán tự Kanji Renshuuchou (Bản mới)
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 11 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM T...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM T...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM T...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY HOẠT ĐỘNG TRẢI NGHIỆM 11 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM T...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY ĐỊA LÍ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 551...
 
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH I-LEARN SMART START LỚP 3, 4 NĂM HỌC 2023-...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TOÁN 8 CÁNH DIỀU - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT)...
 
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
Đề ôn thi VIOEDU lớp 2 cấp Tỉnh năm 2023 - 2024 (cấp Thành phố)
 
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdf
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdfKế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdf
Kế hoạch tuyển sinh vào 10 năm học 2023-2024.pdf
 
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...
ĐỀ CƯƠNG + TEST ÔN TẬP CUỐI KÌ 2 TIẾNG ANH 11 - GLOBAL SUCCESS (THEO CHUẨN MI...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TIN HỌC 8 CÁNH DIỀU THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT) NĂM H...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TIN HỌC 8 CÁNH DIỀU THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT) NĂM H...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TIN HỌC 8 CÁNH DIỀU THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT) NĂM H...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY TIN HỌC 8 CÁNH DIỀU THEO CÔNG VĂN 5512 (2 CỘT) NĂM H...
 
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minh
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minhtrò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minh
trò chơi về môn học tư tưởng hồ chí minh
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY CÔNG NGHỆ 8 KẾT NỐI TRI THỨC - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂN ...
 
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...
GIÁO ÁN DẠY THÊM (KẾ HOẠCH BÀI BUỔI 2) - TIẾNG ANH 7 GLOBAL SUCCESS (2 CỘT) N...
 
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách Khoa
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách KhoaTài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách Khoa
Tài liệu kỹ thuật điều hòa Panasonic - Điện lạnh Bách Khoa
 

ứng dụng tích phân giải bài toán tổ hợp

  • 1. Së gd®t qu¶ng b×nh TR¦êNG THPT Sè 1 Bè TR¹CH ------ S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM §Ò TµI øng dông tÝch ph©n ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n tæ hîp Gi¸o viªn thùc hiÖn: NguyÔn H÷u QuyÕt Tæ: To¸n N¨m häc: 2012-2013 Bố Trạch, tháng 4 năm 2013
  • 2. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết1 MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................2 1. Lí do chọn đề tài ...............................................................................................2 2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu............................................. ….2 3. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................. 2 NỘI DUNG..........................................................................................................3 1. Nhị thức Newton...............................................................................................3 2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân................................. ..3 3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân ........................................................ 4 3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản ...................................................4 3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước.................................... 9 3.3. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng ........................................................................................................................... 12 4. Bài tập đề nghị............................................................................................... 14 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................................... 16 1. Kết quả từ thực tiễn........................................................................................ 16 2. Kết quả thực nghiệm...................................................................................... 16 KẾT LUẬN ...................................................................................................... 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 20
  • 3. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết2 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Trong nội dung này có một số bài toán ứng dụng tích phân để giải quyết. Tuy nhiên, tích phân được học ở trong chương trình lớp 12, còn tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11. Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày, học sinh không được rèn luyện kỹ năng này trên lớp. Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, học sinh phần lớn không làm được. Nhằm giúp học sinh vận dụng được tích phân để giải các bài toán tổ hợp, chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới, tôi chọn đề tài “Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm của mình. 2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu - Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình. - Các bài toán của Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm. Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, cấu trúc đề thi tuyển vào Đại học và Cao đẳng của mỗi năm, phân tích kỹ đối tượng học sinh mà mình đang giảng dạy (đặc thù, trình độ tiếp thu, khả năng tự đọc, tự tìm kiếm tài liệu học tập,…). Từ đó lựa chọn các bài tập cụ thể giúp học sinh vận dụng hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của mình để đưa ra lời giải đúng cho bài toán. Do khuôn khổ của sáng kiến, ở mỗi phần tôi xin không nhắc lại các kiến thức cơ bản về đại số tổ hợp và tích phân vì những kiến thức này được trình bày chi tiết trong sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ nhắc lại công thức khai triển nhị thức Newtơn và đi chú trọng các bài tập tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết.
  • 4. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết3 NỘI DUNG 1. Nhị thức Newton Cho n là số nguyên dương, a và b là hai số thực.   n n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n k n k k n n n n n k 0 a b C a C a b C a b ... C b C a b            Nhận xét: - Trong khai triển n a b có n + 1 số hạng. - Tổng các số mũ trong mỗi số hạng của khai triển n a b bằng n. - Các hệ số của các số hạng có tính chất đối xứng: k n k n nC C k , k n      n n n n 1 n 1 2 n 2 2 0 n n n n na b C a C a b C a b ... C b         - Nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của a thì số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển  n a b là k n k k nC a b Chú ý: 1)  n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n n n n n n n na b C a C a b C a b C a b ... ( 1) C b           2) n 0 1 2 3 n n n n n n2 C C C C ... C      3) 0 1 2 3 n n n n n n n0 C C C C ... ( 1) C       2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số 1 1 1 1 1; ; ; ;...; ;... 2 3 4 n và mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp. Bước 2: Tính tích phân trong cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã khai triển. Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận. Chú ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng k k b a , ta chọn cận từ a đến b, tức là   b a f x dx
  • 5. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết4 Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau:       b b n 0 1 2 2 n n n n n n a a b bn 1 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n aa 1) 1 x dx C C x C x ... C x dx 1 x x x x C x C C ... C n 1 2 3 n 1                                      b b n n0 1 2 2 n n n n n n a a b bn 1 2 3 n 1 n0 1 2 n n n n n aa 2) 1 x dx C C x C x ... 1 C x dx 1 x x x x C x C C ... 1 C n 1 2 3 n 1                                          b b n 0 n 1 n 1 2 n 2 n n n n n a a b bn 1 n 1 n n 1 0 1 2 n n n n n aa 3) x 1 dx C x C x C x ... C dx x 1 x x x C C C ... C n 1 n 1 n n 1                                      b b n n0 n 1 n 1 2 n 2 n n n n n a a 4) x 1 dx C x C x C x ... 1 C dx                b bn 1 n 1 n n 1 n0 1 2 n n n n n aa x 1 x x x C C C ... 1 C n 1 n 1 n n 1                        Ta sẽ gọi hàm số  n y x 1  và  n y x 1  là các hàm đa thức cơ bản. 3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân 3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản Bài 1. Cho * n  . Tính tổng: 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 2 1 2 1 2 1 S C C C ... C 2 3 n 1           (ĐH Khối B-2003) Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích
  • 6. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết5 phân, các cận và số được thay vào cho biến. Vì số hạng cuối cùng có hệ số n 1 2 1 n 1    nên ta biết cận từ 1 đến 2 và tổng không đan dấu nên ta sử dụng   2 n 1 1 x dx Giải Ta có  n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n1 x C C x C x C x ... C x       Suy ra     2 2 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 1 1 1 x dx C C x C x C x ... C x dx          2 2n 1 0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 11 n 1 n 1 2 3 n 1 0 1 2 n n n n n 1 x 1 1 1 C x C x C x ... C x n 1 2 3 n 1 3 2 2 1 2 1 2 1 C C C ... C n 1 2 3 n 1                              Vậy 2 3 n 1 n 1 n 1 0 1 2 n n n n n 2 1 2 1 2 1 3 2 S C C C ... C 2 3 n 1 n 1                Bài 2. Cho * n  . Chứng minh rằng: n 1 0 1 2 n n n n n 1 1 1 2 1 C C C ... C 2 3 n 1 n 1          (ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000) Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Tổng không đan dấu, ta sử dụng   1 n 0 1 x dx Giải Xét  n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n1 x C C x C x C x ... C x           1n 11 n 1 n 0 0 1 x 2 1 1 x dx n 1 n 1         (1)   1 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 C C x C x C x ... C x dx    
  • 7. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết6 1 0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 0 1 1 1 C x C x C x ... C x 2 3 n 1           0 1 2 n n n n n 1 1 1 C C C ... C 2 3 n 1       (2) Từ (1) và (2) suy ra n 1 0 1 2 n n n n n 1 1 1 2 1 C C C ... C 2 3 n 1 n 1          Bài 3. Cho * n  . Chứng minh rằng:    n n0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 1 1 1 1 2C C 2 C 2 ... 1 C 2 1 1 2 3 n 1 n 1              (ĐH Giao thông Vận tải - 1996) Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Vì số hạng cuối cùng có hệ số n 1 2 n 1   nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử dụng   2 n 0 1 x dx Giải Xét    n n0 1 2 2 3 3 n n n n n n n1 x C C x C x C x ... 1 C x              2n 12 n n 0 0 1 x 1 1 x dx 1 1 n 1 n 1                 (3)    2 n0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 C C x C x C x ... 1 C x dx        2 n0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 0 1 1 1 C x C x C x ... 1 C x 2 3 n 1            n0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 1 1 1 C 2 C 2 C 2 ... 1 C 2 2 3 n 1         (4) Từ (3) và (4) suy ra    n n0 1 2 2 3 n n 1 n n n n 1 1 1 1 2C C 2 C 2 ... 1 C 2 1 1 2 3 n 1 n 1             
  • 8. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết7 Bài 4. Cho * n  . Chứng minh rằng:   n 1 2 3 n n n n n n-1 2 +11 2 3 n C + C + C +...+ C = 2 3 4 n+1 n+1 Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số hạng cuối cùng có hệ số n n 1 nên ta không thể nghĩ ra ngay một hàm số nào đó để tính tích phân. Bằng cách phân tích số hạng tổng quát k k n n k 1 C = 1- C k+1 k+1       , cho ta tổng  1 2 3 n 1 2 3 n n n n n n n n n 1 1 1 1 C +C +C +...+C - C + C + C +...+ C 2 3 4 n+1       . Từ đó, ta sử dụng   2 nn 1 2 1 x dx  Giải Cách 1: Xét số hạng tổng quát trong vế trái k k n n k 1 C = 1- C k+1 k+1       với k = 0, 1, 2,…,n. Do đó,  1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n n n n n n n n n n n n n 1 2 3 n 1 1 1 1 C + C + C +...+ C = C +C +C +...+C - C + C + C +...+ C 2 3 4 n+1 2 3 4 n+1       =     nn+11 nn n 0 n-1 2 +12 -1 2 - 1+x dx=2 - = n+1 n+1 Cách 2: Xét   n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n1+x =C +C x+C x +C x +...+C x Lấy đạo hàm hai vế ta được:  n-1 1 2 3 2 n n-1 n n n nn 1+x =C +2C x+3C x +...+nC x Ta có          1 1 1 n-1 n-1 n n-1 0 0 0 nx 1+x dx= n 1+x-1 1+x dx=n 1+x - 1+x dx                       1 n+1 n n n+1 n 0 1+x 1+x n-1 2 +1n = n - = 2 -1 - 2 -1 = (5) n+1 n n+1 n+1          1 1 2 3 2 n n-1 1 2 3 n n n n n n n n n 0 1 2 3 n C +2C x+3C x +...+nC x dx= C + C + C +...+ C 2 3 4 n+1 (6)
  • 9. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết8 Từ (5) và (6) suy ra   n 1 2 3 n n n n n n-1 2 +11 2 3 n C + C + C +...+ C = 2 3 4 n+1 n+1 Bài 5. Cho * n  . Chứng minh rằng: 2n 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 2 1 C C C ... C 2 4 6 2n 2n 1         (ĐH khối A - 2007) Giải Xét các khai triển  2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x       (7)  2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x       (8) Trừ vế theo vế (7) và (8) ta được:      2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n1 x 1 x 2 C x C x ... C x            2n 2n 1 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 1 x 1 x C x C x ... C x 2          Suy ra       2n 2n1 1 1 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n 2n 0 0 1 x 1 x dx C x C x ... C x dx 2              1 12n 1 2n 1 1 2 3 4 2n 1 2n 2n 2n 2n 0 0 1 x 1 x 1 1 1 C x C x ... C x 2(2n 1) 2 4 2n                    2n 1 3 5 2n 1 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 2 1 C C C ... C 2 4 6 2n 2n 1          Nhận xét: Nếu phải tính tổng 0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 1 1 1 C + C + C +...+ C 3 5 2n+1 thì ta xét       2n 2n 0 2 2 2n 2n 2n 2n 2n 1+x + 1-x P x = =C +C x +...+C x 2 Sau đó tính tích phân   1 0 P x dx . Còn nếu phải tính tổng 0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 C + C + C +...+ C 2 4 6 2n+2 thì ta lại xét     0 2 3 2n 2n+1 2n 2n 2nQ x =x.P x =C x+C x +...+C x
  • 10. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết9 Sau đó tính tích phân   1 0 Q x dx . Ta sẽ gặp dạng này ở phần tiếp theo. Bài 6. Cho * n  . Chứng minh rằng: 2n 1 0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 2 2 2 2 2C C C ... C 3 5 2n 1 2n 1         Giải Xét  2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n1 x C C x C x C x ... C x           1 2n 11 2n 1 2n 1 1 1 x 2 1 x dx 2n 1 n 1                (9) 1 0 1 2 2 3 3 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 1 C C x C x C x ... C x dx          1 0 1 2 2 3 3 4 2n 2n 1 2n 2n 2n 2n 2n 1 1 1 1 1 C x C x C x C x ... C x 2 3 4 2n 1              0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 2 2 2 2C C C ... C 3 5 2n 1       (10) Từ (9) và (10) suy ra 2n 1 0 2 4 2n 2n 2n 2n 2n 2 2 2 2 2C C C ... C 3 5 2n 1 2n 1         3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước Đối với dạng này, thông thường trong một câu có hai ý: ý thứ nhất yêu cầu tính tích phân và ý thứ hai là chứng minh đẳng thức tổ hợp hoặc tính tổng. Khi đó, ta linh hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau. Bài 1. Cho 2 n . a) Tính   1 n2 3 0 I x 1 x dx  b) Chứng minh rằng: n 1 0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 2 1 C C C ... C 3 6 9 3(n 1) 3(n 1)          (ĐH Mở Hà Nội - 1999) Giải
  • 11. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết10 a) Đặt 3 2dt t 1 x x dx 3     Đổi cận x 0 t 1   ; x 1 t 2   Khi đó, 22 n 1 n 1 n 1 1 1 1 t 2 1 I t dx 3 3 n 1 3(n 1)              (11) b) Xét   1 2 0 1 3 2 6 3 9 n 3n n n n n n 0 I x C C x C x C x ... C x dx        1 0 2 1 5 3 8 5 11 n 3n 2 n n n n n 0 C x C x C x C x ... C x dx       1 0 3 1 6 2 9 n 3n 3 n n n n 0 1 1 1 1 C x C x C x ... C x 3 6 9 3n 3          0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 C C C ... C 3 6 9 3(n 1)       (12) Từ (11) và (12) suy ra n 1 0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 2 1 C C C ... C 3 6 9 3(n 1) 3(n 1)          Bài 2. Cho * n  . a) Tính tích phân   1 n 2 0 x 1-x dx b) Chứng minh rằng:   n 0 1 2 3 n n n n n n -11 1 1 1 1 C - C + C - C +...+ C = 2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1) (ĐH Luật, ĐH Bách Khoa Hà Nội - 1997) Giải a) Đặt 2 dt t 1 x xdx 2      Đổi cận x 0 t 1   ; x 1 t 0   Khi đó, 10 n 1 n 1 0 1 1 t 1 I t dx 2 2 n 1 2(n 1)             (13) b) Xét    1 n0 1 2 2 4 3 6 n 2n n n n n n 0 I x C C x C x C x ... 1 C x dx      
  • 12. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết11    1 n0 1 3 2 5 3 7 n 2n 1 n n n n n 0 C x C x C x C x ... 1 C x dx        1 0 2 1 4 1 6 1 2n 2 n n n n 0 1 1 1 1 C x C x C x ... C x 2 4 6 2n 2           n0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 C C C ... 1 C 2 4 6 2(n 1)        (14) Từ (13) và (14) suy ra   n 0 1 2 3 n n n n n n -11 1 1 1 1 C - C + C - C +...+ C = 2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1) Bài 3. Cho * n  . a) Tính tích phân   1 n2 n 0 I = 1-x dx b) Chứng minh rằng:       n 1 2 3 n n n n n -1 2n !!1 1 1 1- C + C - C +...+ C = 3 5 7 2n+1 2n+1 !! Giải a) Đặt     n n 1 2 2 u 1 x du 2nx 1 x dx dv dx v=x              Khi đó,            1 1n n 1 2 2 2 n 0 0 1 1n 1 n 12 2 2 0 0 n 1 n n n 1 I x 1 x 2nx 1 x dx 2n 1 x dx- 1-x 1 x dx 2n I I I 2n I 2n 1                               Do đó,       n n 1 1 n 1 n 2 0 2 n 1 2n !!I I I 2n 2 . ..... . ..... I I I 2n 1 2n 1 3 2n 1 !!          Suy ra        n 0 2n !! 2n !! I I 2n 1 !! 2n 1 !!     (15)
  • 13. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết12 b) Xét      1 1n n2 0 1 2 2 4 3 6 n 2n n n n n n 0 0 I= 1-x dx C C x C x C x ... 1 C x dx            1 n0 1 3 2 5 3 7 n 2n 1 n n n n n 0 n 1 2 3 n n n n n 1 1 1 1 C x C x C x C x ... 1 C x 3 5 7 2n 1 -11 1 1 1- C + C - C +...+ C (16) 3 5 7 2n+1             Từ (15) và (16) suy ra       n 1 2 3 n n n n n -1 2n !!1 1 1 1- C + C - C +...+ C = 3 5 7 2n+1 2n+1 !! 3.3. Tính tích phân của hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng Khi bài toán cho mà số hạng tổng quát không phải là k n 1 C k+1 mà là k n 1 C k+2 thì ta phải nhân thêm x vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân, còn nếu là k n 1 C k+3 thì ta phải nhân thêm x2 vào hàm đa thức cơ bản trước khi tính tích phân,… Bài 1. Cho * n  . Chứng minh rằng:    n 1 0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 n2 1 C C C ... C 2 3 4 n 2 n 1 n 2           Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số hạng cuối cùng có hệ số k n 1 C k+2 thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước khi tính tích phân. Khi đó, ta sử dụng   1 n 0 x 1 x dx . Giải Xét    n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n nx 1 x x C C x C x C x ... C x                 1 1 1 n n 1 n 0 0 0 1 n 2 n 1 0 x 1 x dx 1 x dx 1 x dx 1 x 1 x n 2 n 1                      
  • 14. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết13      n 2 n 1 n 1 2 1 2 1 n2 1 17 n 2 n 1 n 1 n 2                    1 1 n 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 0 1 0 1 2 2 3 3 4 n n 1 n n n n n 0 x 1 x dx x C C x C x C x ... C x dx C x C x C x C x ... C x dx                 1 0 2 1 3 2 4 n n 2 n n n n 0 1 1 1 1 C x C x C x ... C x 2 3 4 n 2           0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 C C C ... C 2 3 4 n 2       (18) Từ (17) và (18) suy ra    n 1 0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 n2 1 C C C ... C 2 3 4 n 2 n 1 n 2           Bài 2. Cho * n  . Chứng minh rằng:      n0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 1 C C C ... 1 C 2 3 4 n 2 n 1 n 2          Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số hạng cuối cùng có hệ số k n 1 C k+2 thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước khi tính tích phân. Vì tổng đan dấu nên ta sử dụng   1 n 0 x 1 x dx . Giải Xét     n n0 1 2 2 3 3 n n n n n n nx 1 x x C C x C x C x ... 1 C x        Đặt u 1 x du dx     Đổi cận x 0 u 1   ; x 1 u 0   Khi đó,     11 1 n 1 n 2 n n 0 0 0 u u x 1 x dx 1 u u dx n 1 n 2                    1 1 1 19 n 1 n 2 n 1 n 2       
  • 15. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết14         1 1 n n0 1 2 2 3 3 n n n n n n n 0 0 1 n0 1 2 2 3 3 4 n n 1 n n n n n 0 x 1 x dx x C C x C x C x ... 1 C x dx C x C x C x C x ... 1 C x dx                     1 n0 2 1 3 2 4 n n 2 n n n n 0 1 1 1 1 C x C x C x ... 1 C x 2 3 4 n 2             n0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 C C C ... 1 C 2 3 4 n 2        (20) Từ (19) và (20) suy ra      n0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 C C C ... 1 C 2 3 n 1 n 1 n 2          4. Bài tập đề nghị Bài 1. Cho * n  . Chứng minh rằng:  n0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 C C C ... 1 C 2 3 n 1 n 1         HD: Vì tổng đan dấu và hệ số 1 n 1 gắn với n nC nên sử dụng   1 n 0 1 x dx Bài 2. Cho * n  . Chứng minh rằng:    n n0 1 2 n n n n n 11 1 1 C C C ... 1 C n 1 n n 1 n 1           HD: Vì tổng đan dấu và hệ số 1 n 1 gắn với 0 nC nên sử dụng   1 n 0 x 1 dx Bài 3. Cho * n  . Chứng minh rằng: n 1 0 1 2 2 3 n n n 1 n n n n 1 1 1 3 1 2C C 2 C 2 ... C 2 2 3 n 1 n 1           (ĐH Đà Nẵng - 2001) HD: Sử dụng   2 n 0 1 x dx Bài 4. Tính tổng: 0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 S C C C ... C 3 4 5 n 3      
  • 16. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết15 HD: Sử dụng   0 n2 0 x 1 x dx Bài 5. Chứng minh rằng: a)  n+1 n+1n n k k k 1 n n k=0 k=0 1+e 1 2 1 + C + C e n+1 k+1 n+1 k+1    b)     2n+2 n+1n n k k n nk 1 n 1 k=0 k=0 1 1 2 3 C C k+1 k+1 2 n+1 2      Bài 6. Đặt n 1 1 1 1 S 1 ... 2 3 4 n       . Chứng minh rằng: a)  n 11 2 3 4 n n n n n n n 1 1 1 1 S C C C C ... 1 C 2 3 4 n         b)    n 1 n1 2 n 1 n n n 1 n n 2 n 1 1 S C S C S ... 1 C S n            Bài 7. Tính tổng   n0 1 2 nn n n 1 1 1 1 1 2 3 n 1 n 1 .C1.C 2.C 3.C S ... A A A A        , biết 0 1 2 n n nC C C 211   HD: Phân tích  0 1 2 3 n 1 2 n n n n n n n n n 1 1 1 S C C C C ... C C C ... C 2 3 n 1               
  • 17. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết16 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 1. Kết quả từ thực tiễn Trước khi dạy thực nghiệm, tôi tiến hành khảo sát cả ba lớp mà mình đang đảm nhiệm. Qua kết quả khảo sát, tôi thấy rằng phần lớn học sinh không làm được các bài toán nêu ra. Học sinh không làm được là tất nhiên vì các lý do sau: + Hệ thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp thì không được trình bày. + Các kiến thức của Đại số tổ hợp trong chương trình lớp 11, học sinh đã quên. + Học sinh chưa định hình được cách giải. Tuy nhiên, trước khi bắt đầu dạy thực nghiệm, tôi đã yêu cầu học sinh ôn tập lại các kiến thức của Đại số tổ hợp. Trong khi giảng dạy, tôi hướng dẫn học sinh tỉ mỉ cách nhận biết bài toán tổ hợp vận dụng được tích phân, phân tích các yếu tố có trong bài toán để từ đó đưa ra hàm lấy tích phân, các cận của tích phân và thay số tương ứng để đi đến lời giải đúng. Sau khi hướng dẫn học sinh như trên và yêu cầu học sinh giải một số bài toán có sử dụng tích phân để giải thì các em đã thận trọng trong khi đi tìm hàm lấy tích phân và trình bày lời cho bài toán đặt ra. 2. Kết quả thực nghiệm Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2012-2013. Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của đề tài. Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại lớp 12A1, 12A2, 12A3, trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình. + Lớp 12A1 ( 46 học sinh), 12A2( 44 học sinh), được áp dụng sáng kiến. + Lớp 12A3 ( 46 học sinh) không áp dụng sáng kiến. Sau khi dạy thực nghiệm cho lớp 12A1, 12A2, còn không dạy thực nghiệm ở lớp 12A3, tôi cho cả 3 lớp làm bài kiểm tra. Với kết quả như sau:
  • 18. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết17 Xếp loại Đối tượng Giỏi Khá Tb Yếu Kém 12A1 10,9% 26,1% 34,8% 15,2% 13,0% 12A2 9,1% 22,7% 36,4% 18,2% 13,6% 12A3 0% 0% 13,6% 25,0% 61,4% Vì như đã nêu ở trên nên đa số các em lớp 12A3 làm không được, chỉ tính được tích phân ở Bài 3. Còn lớp 12A1, 12A2, do các em đã được trang bị các kiến thức và phương pháp giải quyết vấn đề nên phần lớn các em biết cách làm. Do đó, kết quả kiểm tra cho ta sự khác biệt giữa lớp dạy thực nghiệm và lớp không dạy thực nghiệm. Đề kiểm tra khảo sát 45 phút SỞ GDĐT QUẢNG BÌNH KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM TRƯỜNG THPT SỐ 1 BỐ TRẠCH Thời gian làm bài: 45 phút Họ và tên:………………………………………………………………………….Lớp: 12A… Bài 1. (2,0 điểm) Chứng minh rằng: 2013 0 2 4 2012 2013 2013 2013 2013 1 1 1 2 C C C ... C 3 5 2013 2014      Bài 2. (2,0 điểm) Tính tổng:  n0 1 2 n n n n n 1 1 1 1 S C C C ... 1 C n 3 n 2 n 1 3          Bài 3. (4,0 điểm) Cho * n . a) Tính tích phân   1 n 2 0 x 1+x dx b) Chứng minh rằng: n n+1 0 1 2 3 n n n n n n 1 1 1 1 1 2 -1 C + C + C + C +...+ C = 2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1) Bài 4. (2,0 điểm) Tìm hệ số chứa 2 x trong khai triển n 4 1 x 2 x       , biết n là số nguyên dương thỏa mãn 2 3 n 1 0 1 3 n n n n n 2 2 2 6560 2C C C ... C 2 3 n 1 n 1        
  • 19. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết18 Hướng dẫn: Bài 1. Sử dụng   1 2013 1 1 x dx   Bài 2. Sử dụng   1 n2 0 x x 1 dx Bài 3. a) Đặt 2 u 1 x  . b) Từ câu a), ta khai triển   n 2 x 1+ x và tính tích phân cả hai vế. Ta có thể rút gọn 1 2 và sử dụng   1 n 0 1 x dx Bài 4. Sử dụng   2 n 0 1 x dx . Kết quả: Hệ số cần tìm là 21 4 .
  • 20. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết19 KẾT LUẬN Trong các đề thi Đại học và Cao đẳng có nhiều dạng toán mà trong chương trình sách giáo khoa không được giới thiệu, trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học lớp 12, tôi đã mạnh dạng đưa ra một số bài tập của Đại số tổ hợp có ứng dụng tích phân để giới thiệu cho các em trên lớp và hy vọng vấn đề này trong những năm học tiếp theo học sinh được biết đến trên lớp và trong nội dung của chương trình học. Do sự hạn chế về thời gian cũng như kinh nghiệm giảng dạy và nghiên cứu, trong sáng kiến này không thể tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong sự góp ý, bổ sung của quý thầy cô và các bạn để sáng kiến của tôi được hoàn thiện hơn.
  • 21. Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục 2009. 2. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục 2009. 3. Phạm Trọng Thư, Tuyển chọn 36 đề thử sức Đại học môn Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2012. 4. Nguyễn Đức Hoàng, Giới thiệu nhanh đề thi toán học, Toán, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2010 5. Võ Thanh Văn (chủ biên), Chuyên đề ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong giải toán THPT, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2009. 6. Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, Nhà xuất bản tri thức 2006. ----------- HẾT ---------