関数列の極限

1. 実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表すものとする。例えば[3.14]=3
(1)任意の実数xに対して lim
𝑥→∞
2 𝑛 𝑥
2 𝑛 を証明せよ。
(2)任意の自然数nに対しf 𝑛 𝑥 =
2 𝑛 𝑥
2 𝑛 𝑥 ∈ 0,1 と定義する。この時全てのxに対して
f 𝑛 𝑥 ≦ 𝑓𝑛+1(𝑥)となることを示せ。
(3) lim
𝑛→∞ 0
1
f 𝑛 𝑥 𝑑𝑥=1/2を示せ。

2. 実数xに対して[x]はxを超えない最大の整数を表すものとする。例えば[3.14]=3
(1)任意の実数xに対して lim
𝑥→∞
2 𝑛 𝑥
2 𝑛 を証明せよ。
証明
任意の実数xに対してx-1<[x]≦xが成り立つ。
2 𝑛
𝑥 − 1 < 2 𝑛
𝑥 ≦ 2n
x → 𝑥 −
1
2 𝑛
<
2 𝑛
𝑥
2 𝑛
≦ 𝑥
lim
𝑥→∞
1
2 𝑛=0であるからはさみ打ちの原理によって
2 𝑛 𝑥
2 𝑛 →x
(2)任意の自然数nに対しf 𝑛 𝑥 =
2 𝑛 𝑥
2 𝑛 𝑥 ∈ 0,1 と定義する。この時全てのxに対して
証明
f 𝑛 𝑥 ≦ 𝑓𝑛+1(𝑥)となることを示せ。
任意のk=0,1,…, 2 𝑛
に対してx∈[k2−𝑛
,(k+1) 2−𝑛
)→f 𝑛 𝑥 =
2 𝑛 𝑥
2 𝑛 ＝
1
2 𝑛
この時f 𝑛+1 𝑥 =
2 𝑛+1 𝑥
2 𝑛+1 =
𝑘
2 𝑛 𝑥 ∈ [𝑘2−𝑛
, 𝑘2−𝑛
+ 2− 𝑛+1
)
𝑘
2 𝑛 +
1
2 𝑛+1 𝑥 ∈ [𝑘2−𝑛
+ 2− 𝑛+1
, 𝑘 + 1 2−𝑛
)
なので任意のx∈[0,1]とnに対してf 𝑛 𝑥 ≦ 𝑓𝑛+1(𝑥)
(3) lim
𝑛→∞ 0
1
f 𝑛 𝑥 𝑑𝑥=1/2を示せ。
証明
(1),(3)より{fn}は単調増加でxに収束する。よって単調収束定理によって
lim
𝑛→∞ 0
1
f 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ＝ 0
1
lim
𝑥→∞
f 𝑛 𝑥 𝑑𝑥= 0
1
𝑥𝑑𝑥 ＝1/2