1. Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului
Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
9 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 009
 1 1 1 0   1 1
1. Se consideră matricele A =  , E = , E = şi n ∈ *
−1 1 1 1 1  2  0 1
.
     
5p a) Să se calculeze A4 .
5p b) Ştiind că matricea B ∈ M 2( ) verifică relaţiile B ⋅ E1 = E1 ⋅ B şi B ⋅ E2 = E2 ⋅ B , să se
a 0
demonstreze că există a ∈ , astfel încât B =  .
0 a
5p c) Să se demonstreze că dacă pentru orice X ∈ M 2 ( ), An ⋅ X = X ⋅ An , atunci există k ∈ *
astfel
încât n = 4k .
2. Se consideră polinomul f = 2 X 4 + aX 3 + 3 X 2 + bX + c ∈ [ X ] , cu rădăcinile x1 , x2 , x3 , x4 ∈C .
5p a) Să se afle rădăcinile polinomului f ştiind că a = b = 0, c = −5.
5p b) Să se verifice că
3 2
( x1 − x2 )2 + ( x1 − x3 )2 + ( x1 − x4 )2 + ( x2 − x3 )2 + ( x2 − x4 )2 + ( x3 − x4 )2 =
4
a − 16 . ( )
5p c) Pentru a = 4 , să se determine b, c ∈ astfel încât polinomul f să aibă toate rădăcinile reale.