Documentul abordează teme de matematică avansată, inclusiv permutări și ecuații polinomiale. Se discută permutarea identică și se propun exerciții pentru calcularea și demonstrerea proprietăților permutărilor. De asemenea, documentul analizează un polinom cubic și determinanți, evidențiind soluțiile și caracteristicile acestora.

1. Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului
Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
6 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 006
1 2 ... n 
1. Fie n ∈ *
, mulţimea Sn a permutărilor de n elemente şi permutarea identică e =  .
1 2 ... n 
1 2 3 4
5p a) Pentru n = 4 şi σ =   ∈ S4 , să se calculeze σ .
4
3 2 4 1
5p b) Să se demonstreze că pentru orice σ ∈ Sn , există p ∈ *
, astfel încât σ p = e .
5p c) Să se determine o permutare τ ∈ S5 , τ ≠ e astfel încât τ 5 = τ .
2. Se consideră a ∈ , x1 , x2 , x3 ∈ rădăcinile ecuaţiei x3 − 2 x 2 + 2 x − a = 0 şi determinantul
x1 x2 x3
∆ = x3 x1 x2 .
x2 x3 x1
5p a) Pentru a = 1 , să se rezolve ecuaţia în mulţimea numerelor complexe.
5p b) Să se arate că, pentru orice a ∈ , ecuaţia are o singură rădăcină reală.
5p c) Să se arate că valoarea determinantului ∆ nu depinde de a.