1. Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului
Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
7 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 007
 1 2 3 4  x + 2 y + 3 z + 4t = 3

1. Se consideră matricele A =  0 1 2 3  , B = ( 0 0 0 1) şi sistemul  y + 2 z + 3t = 2 .
0 0 1 2 
   z + 2t = 1
5p a) Să se determine rangul matricei A.
5p b) Să se determine mulţimea soluţiilor sistemului.
5p c) Să se demonstreze că ecuaţia XA = B nu are soluţii X ∈ M1,3 ( ) .
 2n 2n 
2. Pentru fiecare t , n ∈ , se consideră matricea A( n) =  n
2 2n 
{
 şi mulţimile G = A ( k ) k ∈ },
 
{
H t = A ( k ⋅ t − 1) k ∈ } . Se admite faptul că (G, ⋅ ) este un grup, unde „ ⋅ ” este înmulţirea matricelor.
5p a) Să se arate că ∀ n, p ∈ , A( n) ⋅ A( p ) = A(n + p + 1) .
5p b) Să se demonstreze că, pentru orice t ∈ , H t este un subgrup al grupului (G , ⋅ ) .
5p c) Să se demonstreze că grupurile (G, ⋅) şi ( , + ) sunt izomorfe.