1. Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Tineretului
Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
12 SUBIECTUL II (30p) – Varianta 012
1. Se consideră polinoamele f , g ∈ [ X ], f = X 2 + X + 1 , cu rădăcinile x1 , x2 şi g = aX 2 + bX + c ,
c b a 1 1 1
cu a ≠ 0 . Fie matricele A, V ∈ M3 ( ) , A =  a c b  şi V = 1 x1
 x2  .

b a c 1 x 2
   1 x2 
2

5p a) Să se arate că det (V ) = 3( x2 − x1 ) .
 g (1) g ( x1 ) g ( x2 ) 
5p b) Să se arate că A ⋅ V =  g (1) x1 g ( x1 ) x2 g ( x2 )  .
 
 g (1) x 2 g ( x ) x 2 g ( x ) 
 1 1 2 2 
5p c) Să se arate că det ( A) = 0 dacă şi numai dacă a + b + c = 0 sau a = b = c .
2. Se consideră funcţia f : 5 → , f ( x) = x 4 + 4 x .
5
ˆ
5p ˆ ˆ
a) Să se calculeze f (0) şi f (1) .
5p b) Să se arate că funcţia f nu este surjectivă.
5p c) Să se descompună polinomul X 4 + 4 X ∈ˆ
5[ X ] în factori ireductibili peste 5.