Ciclo: 2016-3 Autor: Miguel Pajuelo Villanueva, Jesus Quispe Cairampoma, Angela Guimac Lara FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

1. FACULTAD DE INGENIER´IA EL´ECTRICA Y ELECTR´ONICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIER´IA
EXAMEN FINAL MATEM´ATICA V 2016-3
Elaborado por:
MIGUEL ANGEL PAJUELO VILLANUEVA
C´ODIGO UNI: 20141245D

2. 1. Calcule F(w) en:
f(t) =
π2
6
−
πt
2
+
t2
4
; 0 ≤ t ≤ 2π
f(t) = cos(t); 0 < t < π, − cos(t); −π < t < 0
SOLUCI´ON:
(a)
w0 =
2π
2π
= 1
f(t) = [
π2
6
−
πt
2
+
t2
4
][u−1(t) − u−1(t − 2π)]
f (t) = [
−π
2
+
t
2
][u−1(t) − u−1(t − 2π)] + [
π2
6
−
πt
2
+
t2
4
][δ(t) − δ(t − 2π)]
f (t) = [
−π
2
+
t
2
][u−1(t) − u−1(t − 2π)] +
π2
6
δ(t) −
π2
6
δ(t − 2π)
f (t) =
1
2
[u−1(t) − u−1(t − 2π)] + [
−π
2
+
t
2
][δ(t) − δ(t − 2π)] +
π2
6
δ (t) −
π2
6
δ (t − 2π)
f (t) =
1
2
[δ(t) − δ(t − 2π)] −
π
2
δ (t) −
π
2
δ (t − 2π) +
π2
6
δ (t) −
π2
6
δ (t − 2π)
→
n3
Cn
j
=
1
2π
2π
0
[
1
2
δ(t)−
1
2
δ(t−2π)−
π
2
δ (t)−
π
2
δ (t−2π)+
π2
6
δ (t)−
π2
6
δ (t−2π)]e−jnt
dt
n3
Cn
j
=
1
2π
[
1
2
−
1
2
e−2πnt
−
π
2
(−1)−jn−
π
2
(−1)(−jn)+
π2
6
(−1)2
(−jn)2
−
π2
6
(−1)2
(−jn)2
]
n3
Cn
j
= −
1
2π
(jnπ)
Cn =
1
2n2
Entonces la transformada de Fourier para la funci´on peri´odica.
F(w) =
∞
n=1
1
2n2
δ(w − n) (1)
(b)
f(t) = cos(t)[u−1(t) − u−1(t − π)] − cos(t)[u−1(t + π) − u−1(t)]
f (t) = − sin(t)[u−1(t)−u−1(t−π)]+cos(t)[δ(t)−δ(t−π)]+sin(t)[u−1(t+π)−u−1(t)]−cos(t)[δ(t+π)−δ(t
f (t) = − sin(t)[u−1(t)−u−1(t−π)]+δ(t)−δ(t−π)+sin(t)[u−1(t+π)−u−1(t)]+δ(t+π)+δ(t)
f (t) = − sin(t)[u−1(t)−u−1(t−π)]+δ(t)−δ(t−π)+sin(t)[u−1(t+π)−u−1(t)]+δ(t+π)+δ(t)
f (t) = − cos(t)[u−1(t)−u−1(t−π)]−sin(t)[δ(t)−δ(t−π)]+δ (t)−δ (t−π)+cos(t)[u−1(t+π)−u−1(t)]+δ
f (t) = −f(t) + 2δ (t) + δ (t + π) − δ (t − π)
T = 2π, w0 = 1
−n2
Cn =
1
2π
π
−π
[−f(t) + 2δ (t) + δ (t + π) − δ (t − π)]e−jnt
dt
1

3. [1 − n2
]Cn =
1
2π
[2(−1)(−jn) + (−1)(−jn)e−jnπ
− (−1)(−jn)e−jnπ
]
[1 − n2
]Cn =
1
2π
[2jn +
[e−jnπ
− e−jn
]
2j
](jn2j)]
[1 − n2
]Cn =
1
2π
(2jn + sin(nπ)(j2n))
Cn =
jn
π(1 − n2)
Entonces la soluci´on de la serie de Fourier nos da:
F(w) =
∞
n=1
jn
π(1 − n2)
δ(w − n)
2. Determine las siguientes sumas a partir de la serie compleja de Fourier de las siguientes
funciones peri´odicas (b)f(t) = | cos(t)|; −π < t < π ∞
n=1
1
(4n2 − 1)2
.
SOLUCI´ON:
f(t) = |cost|
−π < t < π
f(t) = cost(u−1(t +
π
3
− u−1(t −
π
2
)))
f (t) = −sent(u−1(t +
π
3
) − u,1(t −
π
2
))
f (t) = −cost(u−1(t +
π
2
) − u−1(t −
π
2
))
f (t) = −f(t) + δ(t +
π
2
) + δ(t −
π
2
)
−4n2
Cn =
1
π
(
π
2
−
π
2
−f(t) + δ(t +
π
2
) + δ(t +
π
2
))e−in2t
dt
(1 − 4n2
)Cn =
1
π
(einπ
+ e−inπ
)
Cn =
2
π
(
cosnπ
(1 − 4n2)2
)an =
4
π
(
(−1)n
(1 − 4n2)
)
a0
2
=
z
pi
2
−π |cost|dt
2 =
2
π
f(t) =
2
π
+
∞
n=1
4
π
(−1)n
(1 − 4n2
cos(2nt)
Aplicando Parseval
π
2
−
π
2
=
π
2
−
π
2
1
2
(1 + cps2t)
2
=
1
2
2

4. 1
2
=
4
π2
+
∞
n=1
8
π2(1 − 4n2)2
∞
n=1
1
(1 − 4n2)2
=
π2
− 8
16
3. Eval´ue las siguientes integrales (b)
∞
−∞
e−πx2
cos 2πaxdx
SOLUCI´ON:
(b)
fe−πx2
=
π
a
e
−
w2
4π = e
w2
4π
fcos 2πax = πδ(w + 2πa) + δ(w − 2πa)
Tendremos:
H(w) =
1
2π
πδ(w + 2πa) + δ(w − 2πa) ∗ e
−w2
4π
H(w) =
1
2
(e
−
(w + 2πa)2
4π + e
−
(w − 2πa)2
4π )
H(w) =
∞
−∞
h(x)e−jwx
dx
limw→0H(w) =
∞
−∞
h(x)dx =
1
2
(e−πa2
+ e−πa2
)
Por lo tanto: ∞
−∞
h(x)dx = e−πa2
4. Use el teorema de convoluci´on en frecuencia para calcular F(w) en f(t) = t(π2
− t2
);
|t| ≤ π y eval´ue
∞
−∞
|F(w)|2
dw.
SOLUCI´ON:
f(t) = 2πδ (w)
F(π2
− t2
) = f(π2
) − f(t2
)
F(π2
− t2
) = 2π3
δ(w) − 2π(j)2
δ (w)
F =
1
2π
(2πjδ (w)) ∗ (2π3
δ(w) + 2πδ (w))
F = j2π3
+ 2πjδ (w)
Aplicando Parseval:
∞
−∞
=
1
2π
∞
−∞
|F(w)|2
dw
∞
−∞
(t(π2
− t2
)2
)dt =
16π7
105
∞
−∞
|F(w)|2
dw =
32π8
105
3

5. 5. Obtenga la autoconvoluci´on de la se˜nal
f(t) =



t , 0 ≤ t < 2
2 , 2 ≤ t < 3
−
2t
3
+ 4 , 3 ≤ t < 6
f(t) = u−2(t) − u−2(t − 2) − 2u−2(t − 3) + u−2(t − 6)
Hacemos, para la convoluci´on, un h(t):
h(t) = f(t) ∗ f(t)
Y aplicamos:
h (t) = f (t) ∗ f(t)
h (t) = f (t) ∗ f(t) = [u−1(t) − u−1(t − 2) − 2u−1(t − 3) + u−1(t − 6)]∗
[u−2(t) − u−2(t − 2) − 2u−2(t − 3) + u−2(t − 6)]
h (t) = f (t) ∗ f(t) = [δ(t) − δ(t − 2) − 2δ(t − 3) + δ(t − 6)]∗
[u−2(t) − u−2(t − 2) − 2u−2(t − 3) + u−2(t − 6)]
Realizando la convoluci´on
h (t) = u−2(t)−u−2(t−2)−2u−2(t−3)+u−2(t−6)−u−2(t−2)+u−2(t−4)+2u−2(t−5)−
u−2(t − 8) − 2u−2(t − 3) + 2u−2(t − 5) + 4u−2(t − 6) − 2u−2(t − 9)+
u−2(t − 6) − u−2(t − 8) − 2u−2(t − 9) + u−2(t − 12)
h (t) = u−2(t) − 2u−2(t − 2) − 4u−2(t − 3) + u−2(t − 4)+
4u−2(t − 5) + 6u−2(t − 6) − 2u−2(t − 8) − 4u−2(t − 9) + u−2(t − 12)
Integrando:
h (t) = u−3(t) − 2u−3(t − 2) − 4u−3(t − 3) + u−3(t − 4)+
4u−3(t − 5) + 6u−3(t − 6) − 2u−3(t − 8) − 4u−3(t − 9) + u−3(t − 12)
Con lo cual, la convoluci´on ser´a
h(t) = f(t) ∗ f(t) = u−4(t) − 2u−4(t − 2) − 4u−4(t − 3) + u−4(t − 4)+
4u−4(t − 5) + 6u−4(t − 6) − 2u−4(t − 8) − 4u−4(t − 9) + u−4(t − 12)
6. En el circuito digital mostrado halle la respuesta en estado cero, al impulso δ(n) y al
escal´on u−1(n).
SOLUCI´ON:
y(n) = q1(n) + q2(n); tal que: Y [z] = Q1
x(n) = 6q1(n) − 3q1(n − 1)
X[z] = 6Q1(z) − 3z−1
Q1(z)
4

6. X[z] = 6Q1(z)(6 − 3z−1
)
Y (z) =
X(z)
6 − 3z−1
+
X(z)
(
3
4
z−1 − 3)
Para: x(n) = δ(n), X(z) = 1
Y (z) =
1
6
(
1
1 − (1/z)z−1
)
x(n) =
3
4
q2(n − 1) − 3q2(n)
X(z)
3
4
z−1
Q2(z) − 3Q2(z)
X(z) = Q2(z)(
3
4
z−1
− 3)
Y (z)
X(z)
=
1
6 − 3z−1
+
1
(
3
4
z−1 − 3)
−
1
3
4
z−1 − 3
−
4
3z−1 − 1
Entonces:
Y (z) =
1
6
(0,5n
u(n)) −
1
3
(0,25)n
u(n)
Para: x(n) = u−1(n) → X(z) =
z
z − 1
Y (z) =
z
z − 1
(
z
6z − 3
+
4z
3 − 12z
) =
z2
(z − 1)(6z − 3)
+
4z2
(z − 1)(3 − 12z)
Y (z) = z2
(
1
3(z − 1)
−
2
6(z −
1
2
)
) + 4z2
(−
1
9(z − 1)
−
4
3
(
1
1/4 − z
))
Y (z) =
1
3
u−1(n + 1) −
1
3
(0,5)n
u−1(n + 1) −
4
9
u−1(n + 1) +
1
9
(0,25)n
u(n + 1)
7. Resuelva el problema con valores de frontera
∂2
y
∂t2
=
∂2
y
∂x2
+ Ay; 0 ≤ x ≤ L; t > 0.
y(0; t) = y(L; t) = 0; t ≥ 0; y(x; 0) = 0,
∂y
∂t
(x; 0) = 1 para 0 < x < L
SOLUCI´ON:
y(x, t) = f(x)g(t)
Dato: fg” = f”g + Afg
g”
g
=
f”
f
+ A
Si f”
f
= −k2
→ f(x) = A1sen(kx) + A2cos(kx)
→ g(t) = B1sen(
√
k2 − At) + B2cos(
√
k2 − At)
y(0, t) = 0 → A2 = 0
y(L, t) = 0 → k =
nπ
L
5

7. y(x, 0) = 0 → B2 = 0
yt(x, 0) = 1 → A1B1sen(
nπx
L
) =
1
(nπ
L
)2
− A
Por desarrollo senoidal:
A1B1 =
2
L
L
0
sen(
nπx
L
)
1
(nπ
L
)2
− A
dx =
−4
nπ (nπ
L
)2
− A
Por ser n impar (n = 2k − 1) Sustituyendo:
y(x, t) =
∞
k=1
−4
(2k − 1)π ((2k−1)π
L
)
2
− A
sen(
(2k − 1)πx
L
)sen( (
(2k − 1)π
L
)
2
− At)
8. Si f : C → C tal que w = f(z) es anal´ıtica en el dominio D y f (z0) = 0, entonces
demuestre que f es una transformaci´on conforme en z = z0.
SOLUCI´ON:
Para demostrar el teorema:
1) Obtener el ´angulo de inclinaci´on de la recta dirigida tangente en el punto z0 para una
curva suave y de su imagen f(z0)
2) Determinar el ´angulo que forman dos curvas suaves en un punto z0 y el que forman
sus im´agenes en f(z0).
Sea ζ curva suave
ζ : z = z(t); a ≤ t ≤ b (param´etricamente)
Sea f(z) definida en todos los puntos de ζ con imagen de ζ bajo w = f(z): r : w =
f(z(t)); a ≤ t ≤ b
z0 ∈ D
z0 = z(t0); a ≤ t ≤ b
w(t0) = f(z(t0))
De la hip´otesis f es anal´ıtica y f (z0) = 0
→ w (t0) = f (z(t0)).z (t0)
arg(w (t0)) = arg(f (z(t0)) + arg(z (t0))
φ0 = ψ0 + θ0; ψ0 : ´angulo de rotaci´on
φ1 = ψ0 + θ1
φ2 = ψ0 + θ2
φ2 − φ1 = θ2 − θ1 = α
l.q.q.d
6

8. 9. Resolver la ecuaci´on de recurrencia usando la transformada Z y(n)−5y(n−1)+6y(n−2) =
2; y(−1) = 6; y(−2) = 4.
SOLUCI´ON:
Sabemos: Z[f(t)] = F(z) = ∞
n=0 f(nT)z−n
Z[z] =
2
z−n
=
2z
z − 1
Para: y(n) − 5y(n − 1) + 6y(n − 2) = 2
Y (z) − 5(z−1
Y (z) + y(−1)) + 6(z−1
Y (z) + z−1
y(−1) + y(−2)) =
2z
z − 1
Y (z),5(z−1
Y (z) + 6) + 6(z−2
Y (z) + 6z−1
+ 4) =
2z
z − 1
Y (z) =
2z(4z2
,21z + 18)
(z − 1)(z2 − 5z + 6)
Expandiendo la fracci´on:
z
z − 1
+
32
z − 2
−
27
z − 3
+ 8
Aplicando transformada zeta inversa:
y(n) = 1 + 32(2)n−1
− 27(3)n−1
10. Encuentre una funci´on cuya serie de Fourier cosenoidal de medio rango tenga coeficientes
que decrezcan con
1
n4
.
SOLUCI´ON:
Tenemos:
f(t) = t2
, con −π < t < π y f(t + 2π) = f(t)
Por expansi´on de medio rango en forma cosenoidal tenemos:
f(t) = t2
= −4
∞
n=1
(−1)n+1
n2
cos(nt)
Luego, aplicamos Parseval:
1
T
T
2
−
T
2
[f(t)]2
dt =
a2
0
4
+
2
a2
n+b2
n
Entonces, reemplazando en la ecuaci´on anterior:
1
2π
π
2
−
π
2
(t2
)2
dt =
π4
36
+
∞
n=1
[
(−1)2n+2
n4
] cos(nt)2
1
2π
(t5
) =
π4
36
+
∞
n=1
1
n4
Entonces evaluamos en t = 0:
−π4
36
=
∞
n=1
1
n4
7