Tarea de Transformada de Laplace
•Download as DOCX, PDF•
0 likes•1,021 views
ejericios completos de transformada de laplace
![1. Utilizando la definición de transformada calcule:
a) L { Cosh2t}
Solución por definición
𝑭( 𝒔) = 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫ 𝒇( 𝒕) 𝒆−𝒔𝒕
𝒅𝒕
𝒃
𝒐
𝑳{ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕} = 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕 × 𝒆−𝒔𝒕
𝒅𝒕
𝒃
𝒐
𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕 =
𝒆 𝟐𝒕
+ 𝒆−𝟐𝒕
𝟐
𝑳{ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕} = 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫
𝒆 𝟐𝒕
+ 𝒆−𝟐𝒕
𝟐
× 𝒆−𝒔𝒕
𝒅𝒕 𝒔 𝟐
𝒃
𝒐
𝑳{ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕} =
𝟏
𝟐
𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫ [𝒆 𝒕( 𝟐−𝒔)
+ 𝒆 𝒕(−𝟐−𝒔)
]𝒅𝒕
𝒃
𝟎
Resolviendo por tablas
𝑳{ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕} =
𝟏
𝟐
𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ [
𝒆 𝒕( 𝟐−𝒔)
𝟐 − 𝒔
+
𝒆 𝒕(−𝟐−𝒔)
−𝟐 − 𝒔
]
𝟎
𝒃
=
𝟏
𝟐
𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ [
𝒆 𝒃( 𝟐−𝒔)
𝟐 − 𝒔
+
𝒆 𝒃(−𝟐−𝒔)
−𝟐 − 𝒔
−
𝒆 𝟎
𝟐 − 𝒔
−
𝒆 𝟎
−𝟐 − 𝒔
]
=
𝟏
𝟐
[
𝟏
𝒔 − 𝟐
−
𝒆 𝟎
𝒔 + 𝟐
] =
𝟏
𝟐
×
𝒔 + 𝟐 + 𝒔 − 𝟐
( 𝒔 − 𝟐)( 𝒔+ 𝟐)
=
𝟏
𝟐
×
𝟐𝒔
𝒔 𝟐 − 𝟐 𝟐
=
𝒔
𝒔 𝟐 − 𝟒
b) L {t Cosh3t}
𝑳{ 𝒕𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑𝒕} = 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫ 𝒕𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑𝒕 × 𝒆−𝒔𝒕
𝒅𝒕
𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑𝒕 =
𝒆 𝟑𝒕
+ 𝒆−𝟑𝒕
𝟐](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recommended
More Related Content
What's hot
What's hot (11)
Similar to Tarea de Transformada de Laplace
Similar to Tarea de Transformada de Laplace (20)
Tarea de Transformada de Laplace
- 1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO FACULTAD DE INGENIERIA CABUDARE – LARA TRANSFORMADA LAPLACE Gabriely Peña C.I.:23.903.149 José Arrieche 21.504.251
- 2. 1. Utilizando la definición de transformada calcule: a) L { Cosh2t} Solución por definición 𝑭( 𝒔) = 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫ 𝒇( 𝒕) 𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝒃 𝒐 𝑳{ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕} = 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕 × 𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝒃 𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕 = 𝒆 𝟐𝒕 + 𝒆−𝟐𝒕 𝟐 𝑳{ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕} = 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫ 𝒆 𝟐𝒕 + 𝒆−𝟐𝒕 𝟐 × 𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝒔 𝟐 𝒃 𝒐 𝑳{ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕} = 𝟏 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫ [𝒆 𝒕( 𝟐−𝒔) + 𝒆 𝒕(−𝟐−𝒔) ]𝒅𝒕 𝒃 𝟎 Resolviendo por tablas 𝑳{ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕} = 𝟏 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ [ 𝒆 𝒕( 𝟐−𝒔) 𝟐 − 𝒔 + 𝒆 𝒕(−𝟐−𝒔) −𝟐 − 𝒔 ] 𝟎 𝒃 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ [ 𝒆 𝒃( 𝟐−𝒔) 𝟐 − 𝒔 + 𝒆 𝒃(−𝟐−𝒔) −𝟐 − 𝒔 − 𝒆 𝟎 𝟐 − 𝒔 − 𝒆 𝟎 −𝟐 − 𝒔 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝒔 − 𝟐 − 𝒆 𝟎 𝒔 + 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 × 𝒔 + 𝟐 + 𝒔 − 𝟐 ( 𝒔 − 𝟐)( 𝒔+ 𝟐) = 𝟏 𝟐 × 𝟐𝒔 𝒔 𝟐 − 𝟐 𝟐 = 𝒔 𝒔 𝟐 − 𝟒 b) L {t Cosh3t} 𝑳{ 𝒕𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑𝒕} = 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫ 𝒕𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑𝒕 × 𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝒑𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑𝒕 = 𝒆 𝟑𝒕 + 𝒆−𝟑𝒕 𝟐
- 3. 𝑳{ 𝒕𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑𝒕} = 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫ 𝒕 × 𝒆 𝟑𝒕 + 𝒆−𝟑𝒕 𝟐 × 𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝒃 𝟎 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ ∫ [𝒕 × 𝒆 𝒕( 𝟑−𝒔) + 𝒕 × 𝒆 𝒕(−𝟑−𝒔) ] 𝒃 𝟎 𝒅𝒕 Resolviendo por tablas tenemos que 𝑳{ 𝒕𝒄𝒐𝒔𝒉𝟑𝒕} = 𝟏 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ [ 𝒕 × 𝒆 𝒕( 𝟑−𝒔) 𝟑 − 𝒔 − 𝒆 𝒕( 𝟑−𝒔) ( 𝟑 − 𝒔) 𝟐 + 𝒕 × 𝒆 𝒕(−𝟑−𝒔) −𝟑 − 𝒔 − 𝒆 𝒕(−𝟑−𝒔) (−𝟑 − 𝒔) 𝟐 ] 𝟎 𝒃 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒊𝒎 𝒃→∞ [ 𝒃 × 𝒆 𝒃( 𝟑−𝒔) 𝟑 − 𝒔 − 𝒆 𝒃( 𝟑−𝒔) ( 𝟑 − 𝒔) 𝟐 − 𝟎𝒆 𝟎 𝟑 − 𝒔 + 𝒆 𝟎 ( 𝟑 − 𝒔) 𝟐 + 𝒃 × 𝒆 𝒃(−𝟑−𝒔) (−𝟑 − 𝒔) − 𝒆 𝒃(−𝟑−𝒔) (−𝟑 − 𝒔) 𝟐 + 𝟎𝒆 𝟎 𝟑 + 𝒔 + 𝒆 𝟎 (−𝟑 − 𝒔) 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝟏 ( 𝟑 − 𝒔) 𝟐 + 𝟏 ( 𝟑 + 𝒔) 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 [ ( 𝟑 + 𝒔) 𝟐 + ( 𝟑 − 𝒔) 𝟐 ( 𝟑 − 𝒔) 𝟐( 𝟑 + 𝒔) 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 × 𝟗 + 𝟔𝒔 + 𝒔 𝟐 + 𝟗 − 𝟔𝒔 + 𝒔 𝟐 ( 𝒔 𝟐 + 𝟗) 𝟐 = 𝟏 𝟐 × 𝟐( 𝒔 𝟐 + 𝟗) ( 𝒔 𝟐 + 𝟗) 𝟐 = 𝒔 𝟐 + 𝟗 ( 𝒔 𝟐 − 𝟗) 𝟐 2. Calcule las siguientes transformadas: a) L{ t2 Cosh2t} 𝑳{ 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕} = 𝒔 𝒔 𝟐 − 𝒔 𝟐 = 𝒔 𝒔 𝟐 − 𝟒 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂𝒔 𝑳{ 𝒕 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒉𝟐𝒕} = (−𝟏) 𝟐 𝒅 𝟐 𝒅𝒔 𝟐 [ 𝒔 𝒔 𝟐 − 𝟒 ] = 𝒅 𝒅𝒔 [ 𝒔 𝟐 − 𝟒 − 𝟐𝒔 𝟐 ( 𝒔 𝟐 − 𝟒) 𝟐 ] = 𝒅 𝒅𝒔 ( −𝟒 − 𝒔 𝟐 ( 𝒔 𝟐 − 𝟒) 𝟐 ) = −𝟐𝒔( 𝒔 𝟐 − 𝟒) (𝒔 𝟐 − 𝟒 − 𝟐( 𝟒 + 𝒔 𝟐)) ( 𝒔 𝟐 − 𝟒) 𝟒 = −𝟐𝒔( 𝒔 𝟐 − 𝟒 − 𝟖 − 𝟐𝒔 𝟐) ( 𝒔 𝟐 − 𝟒) 𝟑 = −𝟐𝒔(−𝒔 𝟐 − 𝟏𝟐) ( 𝒔 𝟐 − 𝟒) 𝟑 = 𝟐𝒔( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟐) ( 𝒔 𝟐 − 𝟒) 𝟑
- 4. b) L{ 𝒆 𝟒𝒕 Sen5t} 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒃𝒍𝒂𝒔 𝑳{ 𝒔𝒆𝒏𝟓𝒕} = 𝟓 𝒔 𝟐 + 𝟓 𝟐 = 𝟓 𝒔 𝟐 + 𝟐𝟓 = 𝑭(𝒔) Del teorema de traslación 𝑳{ 𝒆 𝟒𝒕 × 𝒔𝒆𝒏𝟓𝒕} = 𝑭( 𝒔 − 𝟒) 𝑳{ 𝒆 𝟒𝒕 × 𝒔𝒆𝒏𝟓𝒕} = 𝟓 ( 𝒔 − 𝟒) 𝟐 + 𝟐𝟓 = 𝟓 𝒔 𝟐 − 𝟖𝒔 + 𝟏𝟔 + 𝟐𝟓 = 𝟓 𝒔 𝟐 − 𝟖𝒔 + 𝟒𝟏 = 𝟓 𝒔 𝟐 − 𝟖𝒔 + 𝟒𝟏 c) L{ t2 Cos2 2t} 𝑳{ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝟐𝒕} = 𝑳{ 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 𝟐 } = 𝟏 𝟐 𝑳{ 𝟏} + 𝟏 𝟐 𝑳{ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒕} = 𝟏 𝟐 { 𝟏 𝒔 + 𝒔 𝒔 𝟐 + 𝟒 𝟐 } = 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝒔 + 𝒔 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔 ] = 𝒅 𝟐 𝒅𝒔 𝟐 [ 𝟏 𝟐 ( 𝟏 𝒔 + 𝒔 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔 )] = 𝟏 𝟐 𝒅 𝒅𝒔 [ −𝟏 𝒔 𝟐 + 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔 − 𝟐𝒔 𝟐 ( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔) 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 𝒅 𝒅𝒔 [ −𝟏 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔 − 𝒔 𝟐 ( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔) 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝟐 𝒔 𝟑 + −𝟐𝒔( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔) 𝟐 − 𝟐( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔)( 𝟐𝒔)( 𝟏𝟔 − 𝒔 𝟐) ( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔) 𝟒 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝟐 𝒔 𝟑 − 𝟐𝒔( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔) (𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔 + 𝟐( 𝟏𝟔 − 𝒔 𝟐)) ( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔) 𝟒 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝟐 𝒔 𝟑 − 𝟐𝒔( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔 + 𝟑𝟐 − 𝟐𝒔 𝟐) ( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔) 𝟑 ] = 𝟏 𝟐 × 𝟐 𝒔 𝟑 − 𝟏 𝟐 × 𝟐𝒔(−𝒔 𝟐 + 𝟒𝟖) ( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔) 𝟑 = 𝟏 𝒔 𝟑 + 𝒔( 𝒔 𝟐 − 𝟒𝟖) ( 𝒔 𝟐 + 𝟏𝟔) 𝟑 3. Utilizando fracciones parciales determine la siguiente transformada inversa: L-1 { 𝒔 𝟐 + 𝟐𝒔+𝟐 ( 𝒔−𝟏) 𝟐.( 𝒔+𝟏).( 𝒔−𝟐) } Por fracciones parciales
- 5. 𝒔 𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟐 ( 𝒔 − 𝟏) 𝟐( 𝒔 + 𝟏)( 𝒔 − 𝟐) = 𝑨 ( 𝒔 − 𝟏) 𝟐 + 𝑩 𝒔 − 𝟏 + 𝑪 𝒔 + 𝟏 + 𝑫 𝒔 − 𝟐 𝒔 𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟐 = 𝑨 ( 𝒔+ 𝟏)( 𝒔− 𝟐) 𝑩( 𝒔+ 𝟏)( 𝒔− 𝟏)( 𝒔− 𝟐) 𝑪( 𝒔 − 𝟏) 𝟐( 𝒔 − 𝟐) 𝑫( 𝒔 − 𝟏) 𝟐( 𝒔 + 𝟏) 𝒔 𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟐 = 𝑨 ( 𝒔 𝟐 − 𝒔 − 𝟐) 𝑩( 𝒔 𝟑 − 𝟐𝒔 𝟐 − 𝒔 + 𝟐) 𝑪( 𝒔 𝟐 − 𝟐𝒔 + 𝟏)( 𝒔 − 𝟐) 𝑫( 𝒔 𝟐 − 𝟐𝒔 + 𝟏)( 𝒔 + 𝟏) 𝒔𝒊 𝒔 = 𝟏 𝟏 + 𝟐 + 𝟐 = 𝑨( 𝟏 + 𝟏)( 𝟏 − 𝟐) 𝒔 = 𝑨( 𝟐)(−𝟏) → 𝑨 = − 𝟓 𝟐 𝒔𝒊 𝒔 = −𝟏 𝟏 − 𝟐 + 𝟐 = 𝑪(−𝟐) 𝟐(−𝟑) = −𝟏𝟐𝑪 → 𝑪 = − 𝟏 𝟏𝟐 𝒔𝒊 𝒔 = 𝟐 𝟒 + 𝟒 + 𝟐 = 𝑫( 𝟐 − 𝟏) 𝟐( 𝟐 + 𝟏) → 𝟏𝟎 = 𝑫( 𝟏)( 𝟑) → 𝑫 = 𝟏𝟎 𝟑 𝒔𝒊 𝒔 = 𝟎 𝟎 + 𝟎 + 𝟐 = −𝟐𝑨 + 𝟐𝑩 − 𝟐𝑪 + 𝑫 −𝟐 (− 𝟓 𝟐 ) + 𝟐𝑩 − 𝟐 (− 𝟏 𝟏𝟐 )+ 𝟏𝟎 𝟑 = 𝟐 𝟐𝑩 = 𝟐 − 𝟓 − 𝟏 𝟔 − 𝟏𝟎 𝟑 𝑩 = −𝟏𝟖 − 𝟏 − 𝟐𝟎 𝟏𝟐 = − 𝟑𝟗 𝟏𝟐 = − 𝟏𝟑 𝟒
- 6. 𝒂𝒔𝒊 𝑳−𝟏 { 𝒔 𝟐 + 𝟐𝒔 + 𝟏 ( 𝒔 − 𝟏) 𝟐( 𝒔 + 𝟏)( 𝒔 + 𝟐) } = 𝑳−𝟏 { − 𝟓 𝟐 ( 𝒔− 𝟏) 𝟐 } + 𝑳−𝟏 { − 𝟏𝟑 𝟒 𝒔 − 𝟏 } + 𝑳−𝟏 { − 𝟏 𝟏𝟐 𝒔 + 𝟏 } + 𝑳−𝟏 { 𝟏𝟎 𝟑 𝒔 − 𝟐 } = − 𝟓 𝟐 𝑳−𝟏 { 𝟏 ( 𝒔 − 𝟏) 𝟐 } − 𝟏𝟑 𝟒 𝑳−𝟏 { 𝟏 𝒔 − 𝟏 } − 𝟏 𝟏𝟐 𝑳−𝟏 { 𝟏 𝒔 + 𝟏 } + 𝟏𝟎 𝟑 𝑳−𝟏 { 𝟏 𝒔 − 𝟐 } Por tablas queda = − 𝟓 𝟐 𝒕𝒆 𝒕 − 𝟏𝟑 𝟒 𝒆 𝒕 − 𝟏 𝟏𝟐 𝒆−𝒕 + 𝟏𝟎 𝟑 𝒆 𝟐𝒕 4. Utilice el Teorema de convolución para determinar la transformada inversa: L-1 { 𝟏 𝒔 𝟑.(𝒔+𝟏) 𝟐 } Por convolucion 𝑳−𝟏 { 𝟏 𝒔 𝟑( 𝒔 + 𝟏) 𝟐 } = 𝑳−𝟏 { 𝟏 𝒔 𝟑 } + 𝑳−𝟏 { 𝟏 ( 𝒔 + 𝟏) 𝟐 } = 𝟏 𝟐 𝒕 𝟐 × 𝒆−𝒕 × 𝒕 = 𝒇(𝒕)× 𝒈( = ∫ 𝒇( 𝒙) × 𝒈( 𝒕 − 𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 × 𝒆−( 𝒕−𝒙) × (𝒕− 𝒙)𝒅𝒙 𝒕 𝟎 𝒕 𝟎 = ∫ 𝒆−𝒕 × 𝒆 𝒕𝒙( 𝒙 𝟐 𝒕 − 𝒙 𝟑) 𝒅𝒙 𝒕 𝟎 = 𝟏 𝟐 𝒆−𝒕 [𝒕 ∫ 𝒙 𝟐 𝒆 𝒕𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒙 𝟑 𝒆 𝒕𝒙 𝒅𝒙 𝒕 𝟎 𝒕 𝟎 ]
- 7. Integrando por tablas 𝑳−𝟏 { 𝟏 𝒔 𝟑( 𝒔 + 𝟏) 𝟐 } = 𝟏 𝟐 𝒆−𝒕[ 𝒕( 𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 − 𝟐𝒙 𝒆 𝒙 + 𝒆 𝒙) − ( 𝒙 𝟑 𝒆 𝒙 − 𝟑𝒙 𝟐 𝒆 𝒙 + 𝟔𝒙 𝒆 𝒙 − 𝟑𝒆 𝒙)] 𝟎 𝒕 Evaluando 𝑳−𝟏 { 𝟏 𝒔 𝟑( 𝒔 + 𝟏) 𝟐 } = 𝟏 𝟐 𝒆−𝒕[ 𝒕( 𝒕 𝟐 − 𝟐𝒕 + 𝟏) 𝒆 𝒕 − 𝒆 𝒕( 𝒕 𝟑 − 𝟑𝒕 𝟐 + 𝟔𝒕 − 𝟑) − 𝒕 − 𝟑] Simplificando resulta 𝑳−𝟏 { 𝟏 𝒔 𝟑( 𝒔 + 𝟏) 𝟐 } = 𝟏 𝟐 ( 𝒕 𝟑 − 𝟐𝒕 𝟐 + 𝒕 − 𝒕 𝟑 + 𝟑𝒕 𝟐 − 𝟔𝒕+ 𝟑) − 𝟏 𝟐 𝒆−𝒕( 𝒕 + 𝟑) = 𝟏 𝟐 𝒕 𝟐 − 𝟓 𝟐 𝒕 + 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝟐 𝒆−𝒕( 𝒕 + 𝟑)