1. 17
PARAMETRİK OLMAYAN
TESTLER

2. Parametrik - Nonparametrik Farkı
• Parametrik testlerin uygulanışında bazı
varsayımlar öngörülür .
• Testlerle ulaşılan sonucun geçerliliği,
varsayımların geçerliliğine bağlıdır.
• Parametrik testlerin uygulanabilmesi için,
en az eşit aralıklı ölçeklerle ölçüleme
yapılmış olması gerekir.

3. • Nonparametrik testlerin uygulanmasında ise
varsayımlar öngörülmez.
• Bu testler için yalnız gözlemlerin bağımsızlığı ve
rasgele seçilmeleri gibi varsayımlar
öngörülmesine karşın, bunlar parametrik
testlerdeki varsayımlardan daha az ve daha
zayıftır.
• nonparametrik testin uygulandığı değerlerin
kuvvetli bir ölçme tekniği ile ölçülendirilmesi
gerekmez. Bu testler, sıralayıcı ölçekteki ve
sınıflayıcı ölçekteki değerlere uygulanabilir.

4. • En güçlü testler, kapsamlı varsayımları olan testlerdir.
• Parametrik testler kullanılışlarını belirleyen güçlü pek çok varsayıma
sahiptirler.
• Varsayımlar geçerli olduğu takdirde, bu testlerde, diğer bütün
testlere nazaran, H0 yanlış olduğunda H0'ın reddedilmesi en fazla
imkan dahilindedir. Buna bir testin kuvveti denir.
• Kuvvet, kullanılan testin bir fonksiyonudur. H0 yanlış iken onu
reddetme olasılığı (1-β) bir testin gücünü verir. β ile n ters orantılı
olduğundan, n arttıkça testin gücü artmaktadır.
• Eğer bir istatistiksel testte H0 doğru olduğunda H0 'ı reddetme
olasılığı küçükse, buna karşı H0 yanlış olduğunda H0 'ı reddetme
olasılığı da büyükse, bu test iyi bir testtir.

5. • Ancak, testin seçimini etkileyen güçten başka faktörler de vardır.
• Verilerin toplanış biçimi, toplumun yapısı, verilerin ölçülendirilmesi
de test seçimini etkiler.
• Nonparametrik bir test, örneğin alındığı toplumun parametreleri
hakkında koşulları belirlemeyen bir testtir.
• Bir hipotez kontrolünde test seçimi için; testin kuvveti, testin verilere
uygunluğu ve verilerin ölçülendirilmesi gibi noktalara dikkat edilir.
• Bir istatistiksel modele ait bütün varsayımlar yerine getirildiğinde ve
veriler en az aralıklı bir ölçekle ölçülendirildiğinde parametrik test en
kuvvetli bir testtir.
• Örnekteki birim sayısını uygun bir miktar arttırmak suretiyle,
parametrik bir test kullanımı yerine parametrik olmayan bir test
kullanılabilir ve H0'ı reddetmede aynı kuvvet sağlanmış olur.

6. Nonparametrik testlerin yararları:
• Nonparametrik testlerin, parametrik testlere göre öğrenilmesi ve
uygulanması daha kolaydır.
• Sıralayıcı ölçeğe göre ölçülendirilmiş verilere uygulanabilir.
• Sınıflandırma şeklinde ölçülendirilen verilere uygulanır. Bu tür
verilere parametrik testler uygulanamaz.
• Örnekteki birim sayısı n=6 kadar küçük olursa bunun çekildiği
toplumun dağılımı bilinmediği sürece non-parametrik test
uygulamaktan başka çıkar yol yoktur.
• Toplum dağılımlarının şekli hakkındaki varsayımların (normallik,
homojenlik) şüpheli olduğu durumlarda uygulanabilir.

7. Nonparametrik testlerin kötü
yanları:
• Eğer veriler parametrik test için gerekli olan
bütün koşulları sağlıyorsa ve ölçme, gereken
kuvvette ise bu durumda parametrik test yerine
nonparametrik bir test kullanılmasıyla veriler
ziyan edilmiş olur.
• Nonparametrik testler ve bunlar için kullanılan
anlamlılık düzeyini veren tablolar çok fazla
dağıtılmış ve bazıları da özelleştirilmiştir. Bu
nedenle bu testlerin pratikliği ve uygulanabilirliği
parametrik testlere göre daha azdır.

8. İstatistik testlerinin uygulanabilmesi için
aranan varsayımlar:
• Toplumla ilgili olanlar:
– Toplumun normal dağılım göstermesi
(parametrik testler için)
• Örnekle ilgili olanlar:
– Örneğin rasgele seçilmesi,
– Çekilen birimlerin birbirinden bağımsız olarak
seçilmesi.

9. • Parametrik testler için değişkenlerin ölçümle belirtilmeleri gereklidir.
• Nonparametrik testler için bu ölçmenin yanında gruplara
(kategorilere) ayırma, sınıflandırma gibi ölçülendirme işlemleri de
uygulanabilir.
• Parametrik testler, nonparametrik testlere göre daha güçlü testlerdir.
Ancak, varsayımların varoluşundan şüpheye düşüldüğü durumlarda
nonparametrik testler uygulanır.
• Bu nedenle her parametrik test için bazı nonparametrik testler
geliştirilmiştir. Bunlar içinde en önemlileri,
– Eşleştirilmiş gruplar için kullanılan t testi yerine Wilcoxon işaret testi,
– İki toplum ortalamasının farkını test etmede kullanılan t testi yerine
Mann -Whitney testi,
– İki topluma ait oranların farkını test etmede kullanılan Z testi yerine 2x2
ki kare testi,
– Bir yönlü variyans analizi yerine Kruskal Wallis variyans analizi
testleridir.

10. Wilcoxon İşaret Testi
• Wilcoxon testi iki A ve B örneğinin çiftleştirilmiş
farkları dikkate alınarak yapılır.
• Bu testte,
• bir gruptan iki ayrı işlem sonucu elde edilen
puanların her bir çifti için bir fark (di) bulunur.
• Bu farklar, işaretleri göz önüne alınmaksızın en
küçükten başlayarak sıraya konur.
• Sıfır olan farklar analizden çıkarılır.
• Aynı puana sahip di'ler varsa, bunlara almaları
gereken sıraların ortalaması sıra olarak verilir.

11. • Sıralamadan sonra fark işaretleri (-) ve (+) olarak
konulur.
• Eğer gruptan elde edilen iki işlem puanları
eşitse, yani H0 doğru ise, pozitif di'ler ve negatif
di'ler toplamı hemen hemen birbirine eşit
olacaktır.
• Fakat pozitif di'lerin toplamı negatif di'lerin
toplamından çok fazla farklıysa iki işlemin
birbirlerinden farklı oldukları sonucuna varılır. H0
reddedilir.

12. • Eşleştirilmiş deneylerde sıra toplamı ile ilgili
olasılıklar, olasılık yasaları kullanılarak
hesaplanabilir.
• (-) ve (+) farklarına ait sıra toplamlarının (T)
küçük olanının, H0 hipotezinin doğrultusunda çift
sayısına (n) göre belirli bir değere eşit ve ondan
küçük (ya da büyük) olma olasılıkları tablolar
halinde hazırlanmıştır.
• Farkı sıfır olmayan çift sayısı n ve anlamlılık
düzeyi α'ya göre T'nin bir ve iki yanlı kritik
değerleri bulunabilir (Ek 7).

13. EK 7
Wilcoxon Uyumlu çiftler, işare tli derecele r
te stinde T 'nin kritik değerle ri
* 0.025 0.01 0.005
n ** 0.05 0.02 0.01
6 0 - -
7 2 0 -
8 4 2 0
9 6 3 2
10 8 5 3
11 11 7 5
12 14 10 7
13 17 13 10
14 21 16 13
15 25 20 16
16 30 24 20
17 35 28 23
18 40 33 28
19 46 38 32
20 52 43 38
21 59 49 43
22 66 56 49
23 73 62 55
24 81 69 61
25 89 77 68
(*) Bir yanlı anlamlılık düzeyi
(**) İki yanlı anlamlılık düzeyi

14. Wilcoxon testi Örnekteki eşlerin sayısına (n) göre test iki
şekilde yapılır;
1) Küçük örnekler için (n≤25) test:
• Küçük örnekler için hazırlanmış tabloda T'nin kritik değerleri
verilmiştir.
• T, aynı işareti (pozitif ya da negatif) taşıyan sıra toplamlarından
küçük olanın değeridir.
• Örneğin n=17 çift için α=0.05 düzeyinde T'nin iki yanlı dağılımındaki
kritik değeri 35'dir.
• Thesap≤Ttablo ise Ho red.
• Eğer örnekte, farkı sıfır olan (di=xi-yi=0) çiftler varsa bunlar
çıkarıldıktan sonra diğer çiftlerin sayısı n olarak alınır.
• Farklar sıraya konulduktan sonra birbirlerine eşit olan farkların sıra
numarası, bu farkların içinde bulundukları sıra sayılarının
ortalamasıdır.
(Örneğin, üç tane fark birbirine eşitse ve bunlar 3., 4. ve 5. sıralarda
bulunuyorsa, bunların sıra sayıları, (3+4+5)/3=4 olacaktır. Bunlardan
sonra gelen farkın sıra sayısı da 6 olacak, 3. ve 5. sıra sayıları
sıralamada yer almayacaktır.)

15. Örnek 17.5: Pentothal ile indüksiyon yapılan hastalarda
anestezinden önce ve anestezi sırasında (10'uncu
dakikada) nabız sayıları aşağıda verilmiştir. t testi için
varsayımların gerçekleşmediğini varsayarsak "Anesteziden
önceki ve sonraki nabız sayıları arasında fark yoktur"
hipotezini kontrol edelim. α= 0.05 olsun.

16. Çözüm:
• 10 tane gözlem çiftinden iki
tanesinin farkı sıfır olduğundan
n=8 olur.
• Farkı sıfır olan 2 çifti çıkardıktan
sonra geriye kalan 8 farkın
sıralanışı tabloda görülmektedir.
• Eksi (-) işaretlilerin sıra toplamı
T=(1+3=4) 4'tür.
• (+) işaretlilerin ise
T=(6+3+6+3+8+6=32) 32'dir.
• Bunların küçük olanı 4
olduğundan T=4 olarak
alınacaktır.
• T'nin kritik değerleri tablosunda
n=8 ve α=0.05 için T=4'dür.
• Thesap≤Ttablo ise Ho red.
• Sonuç olarak, anestezi
sırasındaki nabız sayılarının
anesteziden önceki nabız
sayılarından farklı olduğu
kararına varılır.
____________________________________________________
Nabız Sayıları (Önce - Sonra)
____________________________________________________
Anesteziden Anesteziden Fark Sıra
önce sonra
_____________________________________________________
80 80 0 -
88 84 4 6
92 93 -1 1
96 94 2 3
100 96 4 6
94 92 2 3
98 92 6 8
104 100 4 6
94 96 -2 3
100 100 0 -
_____________________________________________________

17. Büyük ( n>25 ) örnekler için Test:
n>25 örnekler için T,
Ortalaması
Varyansı
olan bir normal dağılıma yakın bir dağılım verir. Buna göre, gözlenen T
değerinin birim normal dağılımdaki değeri olan Z,
Elde edilen Z değeri bir ve iki yanlı Z tablolarındaki kritik değerlerle
karşılaştırılarak hipotez kontrol edilir.
T
n n
µ =
+( )1
4
T
n n n2 1 2 1
24σ =
+ +( ).( )
Z
T
n n
n n n
=
−
+
+ +
( )
( )( )
1
4
1 2 1
24

18. Örnek 17.6: Örnek 17.5'deki çalışmanın 30 kişi üzerinde yapıldığını ve
aşağıdaki sonuçların bulunduğunu varsayalım. "Anestezi sırasındaki
nabız sayısının anesteziden önceki nabız sayısından daha düşüktür"
hipotezini kontrol edelim.

19. • İki tane fark sıfır olduğundan
n=28'dir.
• (+) ve (-) işaretli farkların sıra
numaraları karşılarında verilmiştir.
• (-) işaretli farkların sıra toplamı
120.5'dir.
• (+) işaretlilerin sıra toplamı ise
285.5'dir.
• Buna göre T=120.5 alınır.
Z = -1.876
Bir yönlü tabloda Z0.05 = 1.645
H0 hipotezi reddedilir. Buna göre,
"Anestezi sırasındaki nabız
sayıları daha düşüktür" hipotezi
kabul edilir.
Anesteziden Anesteziden Fark
Önce Sonra (Sonra-Önce) Sıra
__________________________________________________________
88 84 -4 18
87 85 -2 9.5
86 87 -1 3.5
85 86 1 3.5
94 95 1 3.5
100 99 -1 3.5
97 97 0 -
96 94 -2 9.5
86 88 2 9.5
90 88 -2 9.5
92 95 3 14
90 94 4 18
92 97 5 21.5
98 92 -6 23.5
80 88 8 26
81 86 5 21.5
82 84 2 9.5
82 85 3 14
83 87 4 18
88 94 6 23.5
81 80 -1 3.5
87 91 4 18
79 82 3 14
80 87 7 25
80 90 10 28
82 82 0 -
87 86 -1 3.5
Z =
−
+
+ × +
120 5
28 28 1
4
28 28 1 2 28 1
24
.
( )
( )( )

20. Mann - Whitney Testi
• Bu test, iki gruba ait gözlemlerin karşılaştırılmasında
yaygın bir şekilde kullanılır.
• Parametrik testlerden t testinin gerekli olan
varsayımlarından şüphe edildiğinde, ya da gözlemlerin
ölçümünün zayıf olması durumunda t testinin bir
alternatifi olarak kullanılır.
• U testi, gözlemlerden elde edilen bilgilerin en azından
sıralı ölçme ile ölçülendirilebildiği iki bağımsız örneğin, ait
oldukları sıra toplamlarının dağılımlarının aynı olup
olmadığını test eder.
• A ve B gibi iki ayrı toplumdan örnek alındığını düşünelim.
Kurulacak hipotez,
H0: A ve B toplumları aynı dağılıma sahiptir.
H1: A ve B toplumları farklı dağılımlara sahiptir.

21. • Örnek olarak nA=3, nB=4 olsun.
Sıra : A A A B B B B
Sıra No : 1 2 3 4 5 6 7
TA = 1 + 2 + 3 =6
Küçük olan U değeri alınarak tablo değeri ile karşılaştırılır.
Bir α düzeyinde test sonucunun anlamlı olabilmesi için hesaplanan
U'nun alt kritik U'dan küçük ya da üst kritik U'dan büyük olması
gerekir.
Uhesap<Ualt kritik veya Uhesap>Ualt kritik Ho Red
A A
A A
B B
B B
U T
n n
U T
n nve= −
+
= −
+( ) ( )1
2
1
2

22. EK 8
Mann-Whitney U testi için Alt Kritik U değerleri(bir yanlı)
nA 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
nB
0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 3 3 4 4 5 5 5 6
3 0 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
1 1 2 3 3 4 5 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11 12
0 1 2 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 10 10 11
4 1 2 3 4 5 5 6 7 8 9 10 11 12 12 13 14 15
2 3 4 5 6 7 8 8 10 11 12 13 15 16 17 18 19
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
5 3 4 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 18 19 20 21
5 6 7 9 10 12 13 14 16 17 19 20 21 23 24 26
4 5 7 8 9 10 12 13 14 16 17 19 20 21 23
6 6 7 9 11 12 14 15 17 18 20 22 23 25 26 28
8 9 11 13 15 17 18 20 22 24 26 27 29 31 33
7 8 10 12 13 15 17 18 20 22 24 25 27 29
7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35
13 14 16 18 20 22 25 27 29 31 34 36 38 40
10 12 14 16 18 21 23 25 27 29 31 33 35
8 14 16 18 20 23 25 27 30 32 35 37 39 42
16 19 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 48
15 17 19 22 24 27 29 32 34 37 39 41
9 18 21 24 27 29 32 35 38 40 43 46 49
22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55
20 23 25 28 31 34 37 39 42 45 48
10 24 27 30 34 37 40 43 46 49 53 56
28 32 35 38 42 45 49 52 56 59 63
26 29 32 35 38 42 45 48 51 54
11 31 34 38 41 45 48 52 56 59 63
35 39 43 47 51 55 58 62 66 70
32 36 39 43 47 50 54 57 61
12 38 42 46 50 54 58 62 66 70
43 48 52 56 61 65 69 73 78
40 44 48 52 56 60 64 68
13 46 51 55 60 64 68 73 77
52 57 62 66 71 76 81 85
48 52 57 61 66 70 74
14 56 60 65 70 75 79 84
62 67 72 78 83 88 93
57 62 67 71 76 81
15 65 71 76 81 86 91
73 78 84 89 95 101
67 72 77 83 88
16 76 82 87 93 99
84 90 96 102 108
78 83 89 94
17 88 94 100 106
97 103 110 116
89 95 101
18 100 107 113
110 117 124
1. sıra : α= 0.01 düzeyi 102 108
19 2. sıra : α= 0.025 düzeyi 114 120
3. sıra : α= 0.05 düzeyi 124 131
115
20 128
139

23. Örnek 17.7: İki tip A ve B kültürlerinde her birim hacim için bakteri
sayıları aşağıda verilmiştir. Bu iki kültürü bakteri sayıları bakımından
birbiriyle karşılaştıralım. α= 0.05 alınacak.
A Kültürü B Kültürü
(3) 27 32 (7)
(6) 31 29 (5)
(2) 26 35 (8)
(1) 25 28 (4)
Sıra Toplamı: 12 24
H0: A ve B kültürlerindeki bakteri sayılarının dağılımı aynıdır.
H1: A ve B kültürlerindeki bakteri sayılarının dağılımı aynı değildir.
İki gruba ait gözlem değerlerinin
büyüklüklerine göre sıra
numaraları parantez içinde
verilmiştir.
(Negatif işaretli değerler varsa,
bunlar en küçük sıraları alırlar).
TA = 12, TB = 24, nA = nB = 4

24. • UA < UB olduğu için U = UA = 2
• Hipotez iki yanlı ve verilen önemlilik düzeyi
α= 0.05 olduğundan, tabloda 0.05'in
yarısı olan 0.025'e karşı gelen U değeri
kritik değer olarak alınacaktır.
• Tabloda nA = nB = 4 için kritik Ualt kritik =1
• Uhesap>Ualt kritik H0 hipotezi kabul

25. Kruskal Wallis Testi
• Bir yönlü variyans analizinde istenen
varsayımların gerçekleşememesi halinde
bu test uygulanır.
• Hipotez:
H0: Gruplar arasında fark yoktur.
H1: En az bir grup diğerlerinden farklıdır.

26. Testin Uygulanışı:
• Tüm gruplarda yer alan veriler bir sıra halinde
küçükten büyüğe doğru sıralanırlar.
• Bunlara, en küçüğüne 1’den başlayarak sıra
numaraları verilir.
• Birbirlerine eşit olan verilerin sıra numaraları bu
konuda daha önce anlatıldığı şekilde verilir.
• Tabloda, her verinin karşısına sıra numarası
yazılır.
• Gruplara ait sıra numaraları her grup için ayrı
ayrı toplanır (Ti). i, gruplara ait indistir.

27. • Test İstatistiği hesaplanır.
KW = 12/[n(n+1)] (Σ (Ti )2 /ni) – 3(n+1)
Ti - i. Gruptaki verilerin sıra numaralarının toplamı
ni – i. Gruptaki veri sayısı
n – Toplam veri sayısı
• Anlamlılık düzeyi α belirlenir.
∀ α değerine göre tablodan kritik değer bulunur.
a) Gruplardaki veri sayısı (ni) 5’den fazla ise veya grup sayısı (k) 3’den
fazla ise ki kare tablosu kullanılır (υ=k-1).
– Hesaplanan KW ≥ χ2
α ise sıfır hipotezi reddedilir.
b) Grup sayısı 3 ve her gruptaki veri sayısı n≤5 ise Kruskal Wallis
tablosu (Ek 9) kullanılır.
– Tabloda, gruplardaki veri sayısına uygun olan kombinasyon sırası
seçilir. Bu kombinasyon için KW değerleri ve bunlara karşı gelen
olasılık değerleri verilmiştir.
– KW değerlerinden, örnekten hesaplanan KW’ye en yakın olanı ve
karşısındaki olasılık değeri (p) alınır.
– p≤α ise H0 hipotezi reddedilir.

28. EK 9
KRUSKAL-WALLIS VARYANS ANALİZİ TABLOSU
KW P KW P
n1 n2 n3 n1 n2 n3
3 3 3 7,200 0,004 5 4 3 7,445 0,010
6,489 0,011 7,395 0,011
5,689 0,029 5,656 0,049
5,600 0,050 5,631 0,050
5,067 0,086 4,549 0,099
4,622 0,100 4,523 0,103
4 3 3 6,745 0,010 5 4 4 7,760 0,009
6,709 0,013 7,744 0,011
5,791 0,046 5,657 0,049
5,727 0,050 5,617 0,050
4,709 0,092 4,619 0,100
4,700 0,101 4,553 0,102
4 4 3 7,144 0,010 5 5 3 7,578 0,010
7,136 0,011 7,543 0,010
5,599 0,049 5,706 0,046
5,576 0,051 5,626 0,051
4,546 0,099 4,545 0,100
4,477 0,102 4,536 0,102
4 4 4 7,654 0,008 5 5 4 7,823 0,010
7,538 0,011 7,791 0,010
5,692 0,049 5,666 0,049
5,654 0,054 5,643 0,050
4,654 0,097 4,523 0,099
4,500 0,104 4,520 0,101
5 3 3 7,079 0,009 5 5 5 8,000 0,009
6,982 0,011 7,980 0,010
5,649 0,049 5,780 0,049
5,515 0,051 5,660 0,051
4,533 0,097 4,560 0,100
4,412 0,109 4,500 0,102
Örnekteki Birim Sayısı Örnekteki Birim Sayısı

29. Örnek 17. 8: Bir araştırma için alınan 3 grubun yaş ortalamaları arasında fark
olup olmadığı test edilmek isteniyor. Gruplara göre yaş dağılımı aşağıda
verildiğine göre uygun testi seçerek bu gruplardaki yaşların farklı olup
olmadığını bulunuz.
Grup
1
Sıra
1
Grup
2
Sıra
2
Grup
3
Sıra
3
15 6 18 7,5 23 13
18 7,5 20 10 20 10
12 3,5 22 12 25 16,5
10 1,5 24 14,5 24 14,5
13 5 25 16,5 20 10
12 3,5 26 8
10 1,5
Sıra
Toplamı(Ti)
28,5 60,5 82
ni 7 5 6
Grup farkı gözetmeksizin en küçükten başlayarak sıra numarası verilir
Gruplara ait veri sayıları ve sıra toplamlarını formülde yerlerine koyarak KW’yu bulunur.
1,1257)8,1968(
342
12
)118(3
6
82
5
5,60
7
5,28
)118(18
12
KW
222
=−=+−





++
+
=
991,5,213.d.s 2
2;05,0 =χ=−= KW > H0 red

30. Örnek 17.9: Örnek 17.8’de gruplardaki veri sayıları aşağıdaki gibi olsun. Grup
sayısı 3 ve gruplardaki veri sayısı da 5 olduğu için test için Kruskal Wallis
tablosu kullanılacaktır.
Grup1 Sıra Grup2 Sıra Grup3 Sıra
15 4 18 5,5 23 11
18 5,5 20 8 20 8
12 2 22 10 25 14,5
10 1 24 12,5 24 12,5
13 3 25 14,5 20 8
Sıra
toplamı
(Ti)
15,5 50,5 54
ni 5 5 5
1,948)3,1141(
240
12
)115(3
5
54
5
5,50
5
5,15
)115(15
12
KW
222
=−=+−





++
+
=
Kruskal Wallis Tablosunda, üç gruptaki veri sayıları 5,5,5 olduğu için, bu
kombinasyonun karşısında bulunan KWhesap=9,1’e en yakın olan değer bulunur.
Bu değer tabloda (ek-9) KW=8 ve P=0.009’dir.
Örnekten bulunan KW, 8’den de küçük olduğu için örnek değerleri için p<0.009’dur.
Sonuç olarak sıfır hipotezi reddedilir. En az bir grup diğer gruplardan farklıdır.

31. Kolmogorov - Smirnov Testi
• Ki-kare testinin yaptığı işi yapar.
• Gözlerdeki küçük frekanslardan etkilenmediğinden n x 2
tablolarında ki kare testinin yerine kullanılır.
• Ki kare testinde beklenen değer 5'in altında olduğunda kategorileri
birleştirme yoluna gidiliyordu. Bu da bilgi kaybına neden oluyor.
• Ki kare testinin hiç uygulanamadığı küçük örneklerde Kolmogorov
Smirnov testi uygulanabilir.
•
• n x 2 tablosunda n sayısının büyük olması yani, grubun daha fazla
sınıflara ayrılması, testin gücünü arttırır.
• Bu test yalnızca iki grubun birbiriyle karşılaştırılması ve gözlenen bir
frekans dağılımının kuramsal bir dağılımla karşılaştırılmasında
kullanılır.
• Örneklerin durumuna göre, tek örneklem Kolmogorov - Smirnov testi
ve çift örneklem Kolmogorov - Smirnov testi olmak üzere iki ayrı test
vardır.

32. Tek Örneklem Kolmogorov - Smirnov Testi
• Bu test bir iyi uyuşum testidir.
• Gözlenen bir frekans dağılımının kuramsal bir
dağılıma uyup uymadığını test eder.
• H0 hipotezi olarak "kuramsal ve örnekten elde
edilen gözlenen eklemeli frekansların oranları
birbirine eşittir" alınır.
fb fg fb fg fbk fgkE E E E E E
Nb Ng Nb Ng Nb Ng
1 1 2 2
= = =, ,.........,

33. • Kolmogorov - Smirnov testi en büyük farka
göre işlem yapar.
• En büyük farkı D ile gösterelim.
• H0 koşulu altında D'nin örneklem dağılımı
bilinmektedir. Bu örneklem dağılımında
D'nin belli düzeylerdeki iki yanlı kritik
değerleri verilmektedir. (Ek 10).
• Dhesap<Dtablo H0 kabul

34. EK 10
Tek Örneklem Kolmogorov-Smirnov Testinde D'nin kritik değerleri
Örnekteki
birim İki yanlı anlamlılık düzeyleri(α)
sayısı
( n ) 0.2 0.15 0.1 0.05 0.01
1 0.900 0.925 0.950 0.975 0.995
2 0.684 0.726 0.776 0.842 0.929
3 0.565 0.597 0.642 0.708 0.828
4 0.494 0.525 0.564 0.624 0.733
5 0.446 0.474 0.510 0.565 0.669
6 0.410 0.436 0.470 0.521 0.618
7 0.381 0.405 0.438 0.486 0.577
8 0.358 0.381 0.411 0.457 0.543
9 0.339 0.360 0.388 0.432 0.514
10 0.322 0.342 0.368 0.410 0.490
11 0.307 0.326 0.352 0.391 0.468
12 0.295 0.313 0.338 0.375 0.450
13 0.284 0.302 0.325 0.361 0.433
14 0.274 0.292 0.314 0.349 0.418
15 0.266 0.283 0.304 0.338 0.404
16 0.258 0.274 0.295 0.328 0.392
17 0.250 0.266 0.286 0.318 0.381
18 0.244 0.259 0.278 0.309 0.371
19 0.237 0.252 0.272 0.301 0.363
20 0.231 0.246 0.264 0.294 0.356
25 0.210 0.220 0.240 0.270 0.320
30 0.190 0.200 0.220 0.240 0.290
35 0.180 0.190 0.210 0.230 0.270
35 +

35. Örnek 17.10: Bir toplumdan seçilen 4 çocuklu 100 ailenin sahip oldukları kız
çocuk sayıları aşağıda verilmiştir. Bu dağılım, kız çocuğunun doğum olasılığı
0.50 olan bir binomial dağılıma uyar mı? Ya da, bu örnek kız çocuğu doğum
olasılığı 0.50 olan bir toplumdan seçilmiş rasgele bir örnek midir? α=0.05
Kız Çocuğu
Sayısı fg Efg Efg/100 fb Efb Efb /100 |Efb/100-Efg/100|
_____________________________________________________________________________
0 4 4 0.04 6.25 6.25 0.0625 0.0225
1 26 30 0.30 25.00 31.25 0.3125 0.0125
2 38 68 0.68 37.56 68.75 0.6875 0.0075
3 28 96 0.96 25.00 93.75 0.9375 0.0225
4 4 100 1.00 6.25 100 1.0000 0.0000
_____________________________________________________________________________
Toplam 100 100
H0: Örnekten gözlenen frekans dağılımı, kuramsal frekans dağılımına
uyar.
H1: İki frekans dağılımı birbirinden farklıdır.
En büyük frekans oranı farkı 0 kız ve 3 kız sayısındadır, D=0.0225
Tabloda n=100 için =0.05'e karşı gelen kritik D değeri, D
N
= = =
1 36 1 36
100
0 136
. .
.
Dhesap<D0,05 H0 kabul

36. Çift Örneklem Kolmogorov Smirnov Testi
• Çift örneklem testi, bağımsız iki örneğin aynı toplumdan (ya da dağılımları
aynı olan toplumlardan) gelip gelmediğini inceleyen bir testtir.
• İki yanlı test, örneklerin alındığı dağılımlardaki her çeşit farklılığa (çarpıklık,
basıklık, eğrilik) duyarlıdır.
• Örneklerden birinin alındığı toplumdaki değerlerin, diğer örneğin alındığı
toplumdaki değerlere kıyasla olasılık açısından daha büyük olup olmadığına
karar vermede bir yanlı test kullanılır.
• Çift örneklem testi de tek örneklem testi gibi birikimli iki dağılım arasındaki
uyuşumu inceler.
• Eğer iki örnek gerçekten aynı toplumdan alınmışsa, bunlar, toplum
dağılımından sadece rasgele sapmalar göstereceğinden, her iki örneklemin
eklemeli dağılımlarının birbirlerine oldukça benzer olmaları beklenir.
• İki örneğin eklemeli frekans dağılımları herhangi bir noktada çok fazla
ayrıysa, bu iki örneğin ayrı toplumlardan geldiğine işaret eder.
• Kolmogorov-Smirnov çift örneklem testinde, her iki örnekteki eklemeli
frekans oranları ayrı ayrı bulunur.
• Bir yanlı test için oran farkları istenilen yönde alınarak maksimum olan fark
D olarak alınır. İki yanlı test için ise oran farklarının maksimum mutlak
değerlisi D olarak alınır. Bir yanlı testte, H1, örneklerden birinin alındığı
toplum değerlerinin diğer örneğin alındığı toplum değerlerine kıyasla olasılık
açısından daha büyük olduğunu belirtir.
• Testin bir yanlı ya da iki yanlı oluşu ve her iki örnekteki gözlem sayılarının
40'tan az ya da büyük oluşlarına göre ayrı test yöntemleri uygulanır.

37. i. İki Yanlı Testler için Yöntem:
a) n1 ve n>40 ise:
• 1) Her iki örnekteki eklemeli frekanslar
bulunur.
• 2) Eklemeli frekanslar örneklerdeki birim
sayılarına bölünerek eklemeli frekans
oranları bulunur.
• 3) İki örneğe ait eklemeli frekans oranları
arasındaki farklar bulunur.
• 4) En büyük fark, mutlak değer olarak
gözlenen D'dir.

38. 5) Beklenen D (kritik D) değeri
n1 = Birinci örnekteki birim sayısı
n2= İkinci örnekteki birim sayısı
K = Yanılma olasılığı 'ya bağlı değer.
7)
KD
n n
n n
K=
+
⋅1 2
1 2.
α K değeri
_________________
_
0.10 1.22
0.05 1.36
0.025 1.48
0.01 1.63
0.001 1.95
Dhesap<D0,05 H0 kabul

39. Örnek 17.11: Primer kanser özofagusta olan 41 hastanın
ve primer kanser kardiada olan 42 hastanın yaş gruplarına
göre dağılımı aşağıda verilmiştir. İki grubun yaş gruplarına
göre dağılımı aynı mıdır? α= 0.05 alınacak.
H0: Kanser hücresi kardiada ve özofagusta olan hastaların yaş gruplarına göre
dağılımı aynıdır.
H1: İki grubun yaş gruplarına göre dağılımı farklıdır.
Kardia özofagus
Yaş Ef Ef | Fark |
Grupları f Ef oranı f Ef oranı
_________ ______ ________________ __________________ _______
< 50 4 4 0.095 3 3 0.073 0.021
50 - 59 4 8 0.190 6 9 0.219 0.029
60 - 69 10 18 0.428 12 21 0.512 0.084
70 - 79 20 38 0.904 17 38 0.926 0.022
80 + 4 42 1.000 3 41 1.000 0.000
_________ ______________________ __________________ _______
Toplam 42 41
En büyük eklemeli
frekans farkı
mutlak değer
olarak 0.084'dür.
Buna göre
D=0.084 olur.
n1
, n2
>40 ve hipotez iki yanlı olduğundan, beklenen D değeri, α =0.05 için K=1.36
D =
+
⋅
=136
41 42
41 42
0298. . Dhesap<D0,05 H0 kabul

40. • b) n1 = n2 ≤40 ise:
• 1) Her iki gruptaki eklemeli frekanslar
bulunur. En büyük eklemeli frekanslar farkı
D olarak alınır.
• 2) Verilen N ve α'ya göre çift örneklem
için hazırlanan tablodan D (Dα) kritik değeri
bulunur (Ek 11).
• 3) Dhesap<Dtablo H0 kabul

41. Örnek 17.12: Miks enfeksiyonlu 10 hasta ve 10 kontrol grubundaki
sağlam kişilerde "T" antijenine karşı reaksiyon bakımından bir fark var
mıdır? α= 0.05
H0: Her iki gruptaki kişilerin reaksiyonlara göre dağılımları aynıdır.
H1: Gruplardaki kişilerin reaksiyonlara göre dağılımları farklıdır.
Hasta Kontrol
Grubu Grubu
Reaksiyon f Ef f Ef | Ef farkı |
____________________ ___________ ____________
Erken 4 4 1 1 3
Geç 0 4 2 3 1
Her ikisi de 3 7 1 4 3
Negatif 3 10 6 10 0
____________________ ___________ ____________
Toplam 10 10
Eklemeli frekans farkları için en büyük fark olan 3 gözlenen D değeridir.
Bu örnekte n=n1=n2=10 olur. Tabloda, n=10 ve iki yanlı test için α=0.05'e karşı
gelen D değeri 7'dir.
Dhesap=3<Dtablo =7 H0 kabul

42. ii. Bir Yanlı Testler için Yöntem:
a) n1 ve n2>40 ise:
• 1) İki yanlı testlerde anlatıldığı gibi gözlenen D değeri bulunur.
• U=2
• 3) Yanılma olasılığı α saptanır.
• 4) χ²hesap< χ²α;2 Ho kabul
• Bu ki kare yaklaşımı aynı zamanda n1≠n2 olan küçük örnekler (n1≠n2<40)
için de geçerlidir.
2 2 1 2
1 2
4χ = ⋅
⋅
+
D
n n
n n

43. Örnek 17.13: Bir sınıfta bulunan 60 kız ve 80 erkek öğrencinin bir sınavdan
aldıkları puanlar aşağıda verilmiştir. Erkeklerin puanlara göre en az bir
frekansı (Ef oranı) kızlardan daha yüksektir, hipotezini test edin. α = 0.01
E R K E K K I Z (Erkek-Kız)
Puan f Ef Ef /n1 f Ef Ef /n2 Ef Farkı
___________________________________________________________________
0 - 20 5 5 0.0625 3 3 0.05 0.0125
21-40 38 43 0.5375 7 10 0.1666 0.3709
41-60 24 67 0.8375 32 42 0.7 0.1375
61-80 10 77 0.9625 17 59 0.9833 -0.0208
81-100 3 80 1.0000 1 60 1.0 0.0000
____________________________________________________________________
Toplam 80 60
H0: Kız ve erkek öğrencilerin puanlara dağılımı bakımından bir fark yoktur.
H1: Erkek öğrencilerin en az bir puan grubundaki frekansı kız öğrencilere göre daha
yüksektir.
Tabloda en büyük eklemeli frekans farkı D = 0.3709'dur.
Yukarıda verilen formülde bilinenleri yerine koyup ² 'yi bulalım.
D = 0.3709, n1 = 80, n2 = 60 için
2 2
4
80 60
80 60
18 8660 3709χ = ⋅
⋅
+
=( . ) .
χ²hesap = 18,866 > χ²α;2= 9,210 Ho Red

44. ii. Bir Yanlı Testler için Yöntem:
b) n1 = n240 ise:
• 1) İki yanlı testlerde anlatıldığı gibi D değeri bulunur.
• 2) Yanılma olasılığı α saptanır.
• 3) D tablosunda (Ek 10), N ve 'ya bağlı D kritik değeri
bulunur.
• 4) Dhesap<Dtablo H0 kabul

45. Örnek 17.14: Diyabetli ve normal kişilerin diyabetli akrabalarının yaş
gruplarına göre dağılımı aşağıdaki gibi olsun. Normal gruptaki diyabetli
akrabaların yaş gruplarına göre en az bir frekansı diğerlerine göre daha
yüksek midir? α= 0.05
Diyabetli Normal (Normal-Diyabetli)
Yaş Grupları f Ef f Ef Ef farkı
__________________________________________________________
0-15 2 2 1 1 -1
16-30 4 6 5 6 0
31-45 7 13 10 16 3
46+ 5 18 2 18 0
_____________________________________________________
Toplam 18 18
H0: Diyabetli ve normal gruptaki akrabaların yaş gruplarına göre dağılımı
(frekansları) aynıdır.
H1: Normal gruptaki diyabetli akrabalarının en az bir eklemeli frekansı, (Ef)
diğerlerinden daha yüksektir.
En büyük fark 3
D tablosunda N = 18 için bir yanlı testte α= 0.05'e karşı gelen D=8
Dhesap=3 < Dtablo =8 H0 kabul