1. TANIMLAYICI
İSTATİSTİKLER
-------------------------------------
ORTALAMALAR

2. İstatistik bilim dalında ana bölümler

3. • Tanımlayıcı (descriptive)
istatistik: Toplanan verilerin
belirleyici özelliklerinin
kantitatif istatistik terimlerle
açıklamaktır. Çıkarımsal
istatistik gibi bir tümevarım
söz konusu değildir.
• Çıkarımsal (inferential)
istatistik: İstatistiksel
tümevarım olarak ta
bilinmektedir. Seçilen rasgele
bir örnekle tümevarımsal
olarak popülasyon hakkında
tahminlerin yapılmasıdır.

4. • Tahmin (Estimation):
Tahminsel çıkarsama, önceki
gözlemlere dayanarak ve
olasılık kullanarak gelecek
gözlemleri tahmin etme işidir.
• Hipotez testi (Hypothesis
testing): Hipotez testleri
deneysel veya gözlemsel
veri kullanarak istatistiksel
karar verme yöntemidir.
Kanıtlayıcı veri analizi olarak
ta bilinir.

5. • Nokta tahmin (Point estimation):
Örnek veriler kullanarak
popülasyon parametreleri için
nokta tahmin edici istatistikler
bulmaktır. Bir örnekten hesaplanan
ortalama değer, popülasyon
ortalama değerinin en iyi
tahminleyicisi olarak hesaplanır.
• Aralık tahmin (Interval
estimation): Örnek veriler
kullanarak popülasyon
parametreleri için olası aralık
tahmin ediciler bulmaktır.
Uygulamalarda en çok kullanılan
aralık tahmin edici güven aralığıdır
(Confidence Interval (CI)).

6. Ortalama
• Yığın olay niteliği gösteren verileri tek bir değerle tanımlamada
kullanılan istatistik değerlerinin genel adıdır.
• Toplum birimlerine ilişkin olanlarına toplum ortalaması ya da toplum
parametresi, örnekler için olanlara da örnek ortalamaları denir.
• Ortalamalar, toplum ve örnek verilerinin kümelendikleri yeri ya da
onların dağılımlarının merkezlerini gösterdikleri için yer ölçüleri veya
merkezi eğilim ölçüleri olarak da ad almaktadırlar.
• Ortalamalar, toplum ve örnek vasıflarını birbirleriyle karşılaştırmada
kullanılan çok önemli istatistik değerleridir.
•

7. • En çok kullanılan ortalamalar
– aritmetik ortalama,
– ortanca değer,
– tepe değeri,
– ağırlıklı ortalama,
– geometrik ortalama,
– çeyrek,
– ondalık
– yüzdeliklerdir.
• Ortalamalar sayısal verilerden hesaplanırlar.
• Ortalamalar gibi sayısal verilerden hesaplanmayan,
ancak grup içinde belirli bir özelliğe sahip birimlerin
durumunu gösteren, toplum ve örnek gruplarının
karşılaştırılmalarında kullanılan oranlar da toplumun bir
parametresi ve örneğin bir istatistik değeri niteliğindedir.

8. Aritmetik Ortalama
• Bir örnek içindeki birimlerin herhangi bir
vasfı için aritmetik ortalama değeri, o
vasfa ait verilerin değerlerinin toplamının
veri sayısına bölünmesiyle bulunan
değerdir.
• Aritmetik ortalama örnekteki tüm verilerin
katkısıyla hesaplandığından, uç
kısımlarda bulunan değerlerce etkilenir.
• Verilerin aritmetik ortalamadan olan
farkları toplamı daima sıfıra eşittir.

9. Örnek içindeki n tane verinin değeri x1
, x2
, x 3
,......xn
ise bunlara ait aritmetik ortalama,
x
n
xi
i
n
=
=
∑
1
1
Örnek 5.1: Bir deney grubunda yer alan 10 deney hayvanının ağırlıkları
gram olarak, 120, 130, 125, 140, 120, 115, 125, 110, 140, 135 olsun. Bu
ağırlıkların aritmetik ortalaması
olarak bulunur.

10. Örnek 5.1: Bir deney grubunda yer alan 10 deney hayvanının ağırlıkları gram olarak, 120, 130, 125, 140, 120, 115, 125, 110,
140, 135 olsun. Bu ağırlıkların aritmetik ortalaması
x = 1260/ 10 = 126
olarak bulunur.
Örnek: Tablo 3.2’de 100 anneye ait yaş verilerinin aritmetik ortalamasını bulalım.
Σx=3029, n=100 x =3029 /100 =30.29

11. Sıralı Frekans Tablosunda Aritmetik Ortalama Hesabı
• Sıralı frekans tablosu, örnekteki verilerden farklı olanlar ve
bunların tekrar sayısını gösteren frekanslardan oluşan
tablodur.
• Aritmetik ortalama hesabında toplam bulunurken her farklı
veri frekans değerleri ile çarpılıp toplanır.
• Toplamın n'ye bölünmesiyle de aritmetik ortalama bulunmuş
olur.
• Farklı veriler x ve bunlara karşı gelen frekans değerleri de f
ile gösterilirse aritmetik ortalama,
x
n
fx= ∑
1

12. x
n
fx= ∑
1
Örnek 5.2: Yukarıdaki sıralı frekans tablosundan 100 annenin yaşının aritmetik ortalamasını bulalım.
x = 3029/100= 30.29
Tablo 3.4: 100 Annenin Yaşlarının Sıralı Frekans Dağılımı

13. Sınıflandırılmış Frekans Tablosunda
Aritmetik Ortalama Hesabı
• Sınıflandırılmış frekans tablosunda
verilerin gerçek değerleri ortadan kalkar.
• Değer olarak sınıf değerleri önem kazanır.
• Her sınıfta bulunan veriler ortak bir değeri
yani o sınıfın sınıf değerini alırlar.

14. A: herhangi bir sınıf değerini,
C: sınıf aralığı
U değeri , x=A değeri için sıfır, x>A için 1, 2, 3, ... ve x<A için -1, -2, -3, ...
A'ya herhangi bir sınıfın değeri verilebilir. A'nın değişik değerler alması, sonucu değiştirmez.
x A
fu
n
C= + ⋅
∑

16. Ortanca Değer
• Veriler değer bakımından sıraya dizildiklerinde, dizinin orta yerinde yer
alan verinin değeri ortanca değer olur.
• Uç kısımlarda bulunan verilerce etkilenmediği için bu durumdaki verilerde
aritmetik ortalamaya alternatif olarak ortanca değer hesabı yapılır.
• Bir grup verinin ortanca değerini bulmak için önce veriler küçükten büyüğe
doğru sıraya dizilirler.
• Veri sayısının bir fazlasının ikiye bölünmesiyle bulunan sayı ortanca
değerin sıra numarasını belirler.
• Veri sayısı tek olduğunda ortanca değeri belirleyen sayı tam sayı, çift
olduğunda ise bu sayı tam olmayıp iki sıra numarası arasına düşer.
• Ortanca değerden küçük ve büyük olan verilerin sayıları birbirine eşittir.

18. Örnek 5.5: Bir çalışmaya seçilen 9 hastanın yaşları aşağıdaki gibidir.
Ortanca değer kaçtır?
10, 15, 24, 26, 28, 30, 32, 35, 40
ortanca değer olarak (9+1)/2=5. sırada bulunan 28 değeri alınır.
Örnek 5.5: Bir çalışmaya seçilen 10 hastanın yaşları aşağıdaki gibidir. Ortanca
değer kaçtır?
10, 15, 24, 26, 28, 30, 32, 35, 40, 60
ortanca değer (10+1)/2=5.5. değer
5.5. değer, 5. değer olan 28 ile 6. değer olan 30'un ortalamasıdır.
Sonuç olarak ortanca değer 29 olur.

19. Sınıflandırılmış Frekans Tablosunda Ortanca Değer Hesabı
• Sınıflandırılmış frekans tablosunda, n/2'inci değer
ortanca değerdir.
• Önce, bu değerin sıra numarası saptandıktan
sonra eklemeli frekanslar yardımıyla hangi sınıfın
içinde bulunduğuna karar verilir.
• Sınıf belirlendikten sonra, sınıf içinde yer alan
verilerin sıra ile küçükten büyüğe doğru eşit
aralıklarla sıralandıkları varsayılarak n/2'inci
değerin sınıfın neresine ve hangi veriye denk
geleceği orantılı olarak hesaplanır.

20. O D L
n E
O
C
f
f
. .
/
= +
−
⋅
2
n: veri sayısı
L: O.D.'in içinde bulunduğu sınıfın başlangıç değeri
n/2: Ortanca değeri belirleyen sıra sayısı
Ef : O.D.'in içinde bulunduğu sınıftan önceki sınıfın eklemeli frekansı
Of : O.D.'in içinde bulunduğu sınıfın frekansı

21. Örnek 5.6: frekans tablosundan O.D.'i hesaplayalım.
n/2= 100/2= 50. değer O.D. dir.
Bu sıra sayısının 56 eklemeli frekansı içinde bulunduğu ve 30 ile başlayan sınıfta yer alır,
n/2 =50, L =30, Of =13, Ef =43, C =2
O D L
n E
O
C
f
f
. .
/
= +
−
⋅
2
O D. . .= +
−
⋅ =30
50 43
13
2 31 1 bulunur.

22. Tepe Değeri
• Bir örnek grubu içinde en çok tekrar eden veri, tepe
değeri olarak adlandırılır.
• Veriler tek tek ele alındığında, bir örnekte hiç tepe değeri
olmadığı gibi çok sayıda tepe değeri de olabilir.
• Verilerin frekans dağılımı yapıldığı zaman, eğrinin tepe
noktasının apsisi, tepe değerini verir.
• Tepe değeri frekans tablolarında ise en büyük frekansa
sahip olan sınıfın içinde yer alır.
• T.D.'nin yeri histogram grafiğinden faydalanılarak da
bulunabilir.

23. T D L C
f
f f
. .= +
+
⋅
1
1 2
L : En büyük frekansa sahip bulunan sınıfın başlangıç değeri
f1: En büyük frekans ile ondan önceki frekansın farkının mutlak değeri
f2: En büyük frekans ile ondan sonraki frekansın farkının mutlak değeri
C : Sınıf aralığı
•Tepe değeri kaba bir ortalamadır.
•Çarpık eğrilerde daha çok kullanılır.
•Çarpıklık derecesi az olan eğrilerde T.D., A.O., ve O.D. arasındaki
ilişkiden yararlanarak da T.D. hesaplanabilir.
T D x x O D. . ( . .)= − −3

24. Tablodan görüldüğü gibi en büyük frekans 13'dür ve 30 ile başlayan sınıfa aittir.
|f1|=13-9=4, |f2|=13-10=3, L=30, C=2
T D. . .= +
+
⋅ =30
4
4 3
2 31 1
T D L C
f
f f
. .= +
+
⋅
1
1 2
L : En büyük frekansa sahip bulunan sınıfın başlangıç değeri
f1: En büyük frekans ile ondan önceki frekansın farkının mutlak değeri
f2: En büyük frekans ile ondan sonraki frekansın farkının mutlak değeri
C : Sınıf aralığı

25. Örnek 5.8: Örnek 5.4’de verilen 100 annenin
yaşları için ve O.D.= 31.1 olarak bulunmuştu.
ve O.D.'e göre T.D.'ni hesaplayalım.
T.D. =30.26-3(30.26-31.1)=32.78
T D x x O D. . ( . .)= − −3

26. Ağırlıklı Ortalama:
•Farklı birim sayılarındaki iki ve daha fazla araştırmanın sonuçlarını
birleştirerek bulunan ortak ortalama, hız ya da orana Ağırlıklı Ortalama
adı verilir.
•Farklı yer ve zamanda yapılmış araştırmaların verilerinden
yararlanılarak daha geniş hacimli bir örnekte araştırma yapılmış gibi
merkezi eğilim ölçüsü hesaplamak gerektiğinde uygulanan bir ortalama
türüdür.
•Nicel veriler için , nitel veriler için sembolleri ile gösterilir.
•Her çalışmadan hesaplanan ortalama ya da oranın birim sayılarına
göre ağırlıklandırılarak hesaplanan bir genellenmiş ortalamadır.
•Çok basit bir parametre tahmin yöntemidir. Ayrıntılı bilimsel
çalışmalarda Meta Analizi yöntemleri ile parametre tahminleri
yapılmalıdır.
WX WP

27. • Nicel ve nitel verilerde hesaplanma
biçimleri aşağıdaki gibi verilebilir.
Nicel verilerde ağırlıklı
ortalama hesaplaması
Nitel verilerde ağırlıklı
ortalama hesaplaması
= =
Bu formüllerde;
k, araştırma sayısı; , i. araştırmadaki birim sayısı; , i’nci araştırmanın ortalaması;
, i’nci araştırmanın oranıdır.

28. Örnek: 4 farklı Akut İshal tedavisinde kullanılan mayi miktarları
ortalamaları ve tedavi edilen hasta sayıları tabloda verilmiştir.
Tabloya göre akut ishal tedavisinde kullanılan ortalama mayi
miktarını hesaplayınız.
Tablo - 4 Farklı klinikte Akut İshal tedavisi için mayi miktarları
Tedavi Kliniği
Hasta Sayısı
Ortalama Mayi
Miktarı (kg)
A 88 4250
B 112 3500
C 56 4000
D 12 6250
Toplam 268 -

29. Tablo - 4 Farklı klinikte Akut İshal tedavisi için mayi miktarları
Tedavi Kliniği
Hasta Sayısı
Ortalama Mayi
Miktarı (kg) *
A 88 4250 374
B 112 3500 392
C 56 4000 224
D 12 6250 75
Toplam 268 - 1065
= = =3.974 kg.

30. Örnek: 4 farklı klinikte X kanser tanısı konmuş tedavi edilen hastaların
3 yıl sonunda hayatta kalanlar yüzdesi tabloda verilmiştir.
Tablo - Dört Farklı klinikte tedavi edilen X hastalarının 3 yıl sonunda yaşama oranları
Deneme Yeri
Hasta Sayısı Yaşama Oranı
A 64 52.4
B 78 64.4
C 46 30.7
D 112 46.8
Toplam 300 -

31. = = =50.1%
Tablo - Dört Farklı klinikte tedavi edilen X hastalarının 3 yıl sonunda yaşama oranları
Deneme Yeri
Hasta Sayısı Yaşama Oranı
*
A 64 52.4 3353.6
B 78 64.4 5023.2
C 46 30.7 1412.2
D 112 46.8 5241.6
Toplam 300 - 15030.6

32. Ağırlıklı ortalamanın literatürde kullanımı için bir örnek,
• Ağırlıklı ortalama depresyon tedavisinde kullanılan citalopram ve
escitalopram için hesaplandı.
• (Comparative Effectiveness of Second- Ceneration Antidepressants in
the Pharmacologic Treatment of Adult Depression, Prepared by RTI
International University of North Carolina Evidence — based Practice
Center, Comparative Effectiveness Review, 2007)

33. Geometrik Ortalama
• Veriler, bir önceki değerlerine göre birbirlerine bağlı
olarak geometrik artarak değer alıyorlarsa, bunlar için en
uygun ortalama çeşidi geometrik bir artış
göstermelerinden dolayı geometrik ortalamadır.
• Yıllara göre nüfus sayıları ve zamana göre
mikroorganizmaların sayıları geometrik artış gösteren
verilere birer örnektir.
• Geometrik ortalama, aritmetik ortalama kadar uçlardaki
aşırı değerlerden etkilenmez.
• Geometrik ortalama değeri aşağı yukarı orta yere
rastlayan veriye eşit olur

34. x1
, x2
, x3
, ....xn
şeklinde belirtilen n tane verinin geometrik ortalaması,
G O x x x xn
n
. . ( ...... ) /
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 2 3
1
Örnek 5.10: Bir bölgenin nüfusu sıra ile
1988'de 5000, 1989'da 5200 ve 1990'da 5500 olsun.
Bu nüfus verilerinin geometrik ortalaması nedir?
G O. . ( . . ) /
= =5000 5200 5500 52291 3

35. Harmonik Ortalama:
•Veri setindeki değerler bir zaman serisi, eşit şartlarda
yapılmamış k sayıda deneyin sonuçlarının bir araya getirilmesi
ile elde edilmiş bir veri seti ya da birbirini izleyen sayılar bir
dalgalanma gösteriyorsa (aylık, mevsimsel, yıllık,
dalgalanmalar) verinin merkezi eğilim ölçüsü harmonik
ortalama ile hesaplanır.
sembolü ile gösterilir.HX

36. • Zamana bağlı veri dizilerinde ay, mevsim ve yıl
etkilerinden dolayı dalgalanma olabilir.
• Periyodik dalgalanma gösteren zaman serilerinin
ortalaması harmonik ortalama ile gösterilmelidir.
• Bazı tıbbi denemelerde; sürekli ölçülen fizyolojik
değişken verileri, deneğe verilen ilacın kana
karışması metabolik etkilerinin zamana göre
önce artan, belirli zamandan sonra hızlı ya da
yavaş azalan bir eğilim göstermesi nedeniyle bu
tür verilerin merkezi eğilim ölçüsü harmonik
ortalama olmalıdır.

37. • Harmonik ortalama; setin birim sayısı, veri
setindeki değerlerin ters değerler
toplamına bölünerek hesaplanır.
= =

38. Örnek: 1985-1999 yılları arasında Dahiliye Kliniğinde belirli bir
hastalığından yatarak tedavi gören hasta sayıları verilmiştir.
Onbeş yıllık verilere göre tedavi edilen ortalama hasta sayısını
bulalım.
İlgili hastalıktan yatan hasta sayısı: 14, 27, 41, 121, 36, 47, 105, 18, 19,
76, 99, 106, 56, 48, 78
Çözüm:
•Veri seti bir zaman serisidir ve yıllara göre azalan, artan
dalgalı bir görünümdedir. Dizi ve harmonik ortalaması
aşağıdaki gibi hesaplanır.
= = = =38.257≅38 hasta/yıl

39. Çeyrekler (Kuartiller)
• Ortanca değere benzer bir ortalama çeşididir.
• Veriler küçükten büyüğe doğru sıralandıklarında, ilk dörtte birinci
sırada yer alan verinin değeri birinci çeyrek olarak ad alır.
• İkinci ve üçüncü sıradaki değerler de ikinci ve üçüncü çeyrek
değerleri olur.
• İkinci çeyrek değeri ortanca değere eşittir.
• 1. çeyrek değeri, sıraya dizilmiş verilerde (n+1)/4' üncü sıradaki
değerdir.
• İkinci ve üçüncü değerler de (n+1)/4'ün 2 ve 3 ile çarpılmasından
elde edilen sıralardaki verilerin değerleridir.

40. Örnek 5.11: 11 hastadan ölçülen kan
basıncı değerleri mm/Hg olarak sırasıyla
aşağıdaki gibi olsun,
60 65 70 72 75 80 85 90 100 110 115
1., 2. ve 3. çeyrek değerleri nedir?
1. Çeyrek (11+1)/4=3. değer 70,
2. Çeyrek 3x2=6. değer 80,
3. Çeyrek 3x3=9. değer 100’dür

41. • Çeyrek değerlerinin sınıflandırılmış frekans
tablosundan hesaplanması da mümkün
olabilmektedir.
• İşlem, ortanca değer hesabında yapılanın
aynıdır.
Ç L
i n E
Ç
Ci i
fi
fi
= +
−
⋅
.( / )4
i : 1, 2, 3
Çi : i. çeyrek
Li : i. çeyreğin içinde bulunduğu sınıfın başlangıç değeri
E fi : i. çeyreğin içinde bulunduğu sınıftan bir önceki sınıfın eklemeli frekansı
Çfi : i. çeyreğin içinde bulunduğu sınıfın frekansı
C : sınıf aralığı

42. Örnek-5.12:
Sınıflandırılmış frekans
tablosunda Ç1, Ç2 ve
Ç3'ü hesaplayalım.
Çeyrek değerlerine
karşı gelen sıra
numaraları
Ç1 için 100/4=25
Ç2 için 25x2=50
Ç3 için 25x3=75
Ç L
i n E
Ç
Ci i
fi
fi
= +
−
⋅
.( / )4
i : 1, 2, 3
Çi : i. çeyrek
Li : i. çeyreğin içinde bulunduğu sınıfın başlangıç değeri
E fi : i. çeyreğin içinde bulunduğu sınıftan bir önceki sınıfın eklemeli frekansı
Çfi : i. çeyreğin içinde bulunduğu sınıfın frekansı
C : sınıf aralığı
1
24
100 4 19
7
2 25 7Ç = +
−
⋅ =
/
. 2
30
2 100 4 43
13
2 31 1Ç = +
−
⋅ =
( / )
. 3
34
3 100 4 66
9
2 36Ç = +
−
⋅ =
( / )

43. Ondalıklar (Desiller)
• Değer bakımından sıraya dizilmiş verilerin her onda birinin değeri ondalık adını alır.
• Bunlar diziyi on eşit parçaya bölerler.
• 5. ondalık değeri aynı zamanda Ç2 ve O.D.'e eşit olur.
• 9 tane ondalık değeri hesaplanabilir
O L
i n E
O
Ci i
fi
fi
= +
⋅ −
⋅
( / )10
i : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Oi : i. ondalık
iL : i. ondalığın içinde bulunduğu sınıfın başlangıç değeri
E fi : i. ondalığın içinde bulunduğu sınıftan önceki sınıfın eklemeli frekansı
Ofi : i. ondalığın içinde bulunduğu sınıfın frekansı
C : sınıf aralığı

44. Örnek 5.13:
Sınıflandırılmış
frekans tablosunda,
O1, O4 ve O8'i
hesaplayalım
Sıra numaraları,
O1 için 100/10=10
O4 için 10x4 = 40
O8 için 10x8=80
O L
i n E
O
Ci i
fi
fi
= +
⋅ −
⋅
( / )10
i : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Oi : i. ondalık
iL : i. ondalığın içinde bulunduğu sınıfın başlangıç değeri
E fi : i. ondalığın içinde bulunduğu sınıftan önceki sınıfın eklemeli frekansı
Ofi : i. ondalığın içinde bulunduğu sınıfın frekansı
C : sınıf aralığı
1 20
1 100 10 8
5
2 20 8O = +
−
⋅ =
.( / )
. 4
28
4 100 10 34
9
2 29 3O = +
−
⋅ =
.( / )
. 8
36
8 100 10 75
8
2 37 25O = +
−
⋅ =
.( / )
.

45. Yüzdelikler (Persantiller)
Yüzdelikler, sıralanmış verileri yüz eşit parçaya bölen değerlerdir.
Y10
=O1
, Y25
=Ç1
, Y50
=O5
, Y75
=Ç3
Y L
i n E
Y
Ci i
fi
fi
= +
⋅ −
⋅
( / )100
i : 1, 2, 3, 4,..............., 99
Li : i. yüzdeliğin içinde bulunduğu sınıfın başlangıç değeri
E fi : i. yüzdeliğin içinde bulunduğu sınıftan önceki sınıfın eklemeli frekansı
Yfi : i. yüzdeliğin içinde bulunduğu sınıfın frekansı
C : sınıf aralığı

46. Örnek:
Sınıflandırılmış
frekans tablosunda,
Y8, Y30, Y90
değerlerini bulalım.
Y L
i n E
Y
Ci i
fi
fi
= +
⋅ −
⋅
( / )100
Y8 'in sıra numarası 8.
(100/100)=8
Y30'un sıra numarası 30.
(100/100)=30
Y90'ın sıra numarası 90.
(100/100)=90
i : 1, 2, 3, 4,..............., 99
Li : i. yüzdeliğin içinde bulunduğu sınıfın başlangıç değeri
E fi : i. yüzdeliğin içinde bulunduğu sınıftan önceki sınıfın eklemeli frekansı
Yfi : i. yüzdeliğin içinde bulunduğu sınıfın frekansı
C : sınıf aralığı
8
30
90
18
8 100 100 4
4
2 20
26
30 100 100 26
8
2 27
38
90 100 100 83
7
2 40
Y
Y
Y
= +
−
⋅ =
= +
−
⋅ =
= +
−
⋅ =
.( / )
.( / )
.( / )