t testleri

BÖLÜM V:
T TESTLERİ
GülĢah BaĢol
TOKAT - 2014
T.C.
GAZĠOSMANPAġAÜNĠVERSĠTESĠ
EĞĠTĠMFAKÜLTESĠ
BÖLÜM V: t TESTLERİ

Ġçerik
• 1. Tek örneklem t testi
• 2. Bağımsız gruplar t testi
• 3. Bağımlı gruplar t testi

• Tek örneklem t testini ne zaman kullanacağını açıklar.
• Bağımsız gruplar t testini ne zaman kullanacağını açıklar.
• Bağımlı gruplar t testini ne zaman kullanacağını açıklar.
• t testlerinin sayıltılarını açıklar.
• t testi için hipotezleri yazar.
• t testini elde hesaplar ve sonuçları yorumlar.
• t değerini tablo değeriyle karĢılaĢtırarak karar verir.
• SPSS’te t testini hesaplar ve yorumlar.
• t testi için etki değerini hesaplar.
Kazanımlar

1. Tek örneklem t testi

Tek örneklemden hesaplanan aritmetik
ortalamanın evren ortalaması ile
karĢılaĢtırılması
Diyelim ki bir grup 9. sınıf kızların ayak numaralarının
evren ortalamasının üzerinde olup olmadığını test etmek
istiyoruz.
Fark yeterince büyükse istatistiksel olarak anlamlı
bulunacaktır.

100 adet 9. sınıf kızlarının ayak numaralarının ortalaması
alınsa ve dağılımlarına bakılsa normal olduğu görülecektir.
Bizim test ettiğimiz grubun ayak numaraları evren
genelinden ne kadar büyüktür? Evren dağılımlarının içinde
nereye düşmektedir?

Dağılımın ortalarında ise normalden aykırı bir durum olmadığı
anlamına gelir. Dağılımın sağ ucunda yer alıyorsa elimizdeki
gruptaki kızların ayak numarası normalin üzerindedir solda ise
de daha küçüktür. Ortalamanın standart hatası küçükse fark
bulma Ģansımız daha yüksek olacaktır. FarklılaĢma oranı ve
örneklem büyüklüğü arttıkça aritmetik ortalamanın standart
hatası küçülür.

Tek örneklem t testi üzerine bir not
• Diyelim ki evrenden tesadüfi olarak çekilmiĢ bir örneklemimiz
var.
• Örneklemden hesaplanan bir ortalamanın evren
ortalamasından farklı olup olmadığının test edilmesinde
kullanılır.
• Örnek: Bir grup ikinci sınıf öğrencisinin dakikada okuduğu
kelime sayısı 2. sınıfların popülasyon ortalamasından daha çok
mudur?

t testinin sayıltıları
• Gözlemlerin bağımsızlığı,
• Normallik,
• Varyansların homojenliğini.

Tek örneklem t formülü
• Paydadaki değer aritmetik ortalamanın standart hatasıdır.

Aritmetik ortalamanın standart hatası

Tek örneklem t formülü

Tek örneklem t testinin hipotezleri
Yokluk hipotezi
H0= µ-X= 0 H0= µ=X
Alternatif hipotez
• HA= µ- X ≠0 HA= µ≠ X Ġki yönlü
• HA= Fark>0 HA= Fark<0 Tek yönlü

ĠĢlem Sırası
1. Hipotez testi yapmak için öncelikle hipotezler kurulur.
2. Tek yönlü veya çift yönlü test yapılacağına karar verilir. Alpha
değeri belirlenir.
3. Örneklem için t değeri hesaplanır. T değerini hesaplamak için
a. Paydada örneklem aritmetik ortalaması karĢılaĢtırıldığı evren ortalamasından
çıkarılır.
b. Paydada örneklem standart sapması örneklem büyüklüğünün kareköküne
bölünür.
c. a/b oranı t değerini (thesaplanan) verir.
4. df (n-1) için tablo değeri bulunur.
5. Hesaplanan t değeri tablo değeriyle karĢılaĢtırılır. Hesaplanan
değer daha büyükse yokluk hipotezi reddedilir.

Örnek 1
Klo’da bir ayakkabı satıcısı Pazarları 25 çift
ayakkabıdan daha çok satıp satmadıklarını merak
etmektedir. Sonraki on hafta Pazarları sattıkları
ayakkabı sayısını kaydetmiĢtir. Bir sonraki sayfada
rakamlar verilmiĢtir. Pazarları Klo’da daha çok
ayakkabı satılmakta mıdır?

Tek örneklem t testi
On Pazar satılan ayakkabı sayısı
Satılan Ayakkabı Sayısı
30
20
21
20
21
21
10
20
17
20
N1=10, M1=20, SS1=4.85 SS2=23.52

Tek örneklem t için formül

Tek örneklem t
1. Alpha=.05
2. Hipotezler
H0: Pazar = DiğerGünler
H1: Pazar > DiğerGünler Tek yönlü test

Tek örneklem t hesaplama

Sd ve Karar
3. sd = N-1=10-1 = 9. Tablo değeri 1.833.
4. |-3.26| > 1.833, Yokluk reddedilir.
5. Karar: Fark anlamlıdır. Ancak duruma göre Klo
Pazarları 25 ten az satmaktadır.

Güven aralıkları
• Burada aritmetik ortalama için % 95 güven aralıklarını
hesaplıyoruz.
• = 20-25 + 2.26*1.53
• =-5 + 3.46
• =-8.47 -1.53
• = Altı sınır -8.47 üst sınır ise -1.53’tür.
• Aritmetik ortalama %95 olasılıkla bu iki aralıkta olacaktır.
PART II: z Test

Sonuç
• Yokluk hipotezi reddedilir. Yokluk hipotezinde
evren dağılımında Klo’da Pazarları satılan averaj
ayakkabı çifti sayısı en az 25’tir denilmiĢti. On
hafta için ortalama 20 çift ayakkabı satılmıĢtı. Bu
durumda örneklemimizin Pazarları en az 25
ayakkabının satıldığı bir evrenden gelmiĢ olması
olasılık dıĢıdır.

Etki değeri
Etki değeri d ile ifade edilir ve örneklem için
çalıĢılan faktörün etkisinin büyüklüğü ortaya
konmuĢtur. Bu değer eksi sonsuzla artı sonsuz
arasında değer alır. (-∞ ….+ ∞)
.2 düĢük .5 orta .8 yüksek
Eta kare (Ƞ2 ) evrende etkinin derecesini gösterir.
Bu değer 0 ile 1 arasında değer alır.
.01 düĢük .06 orta .14 yüksek

Tek örneklem t testi için etki değeri
Tek örneklem t testi etki değeri
d
n
t

Tek örneklem t testi için etki değeri
1.03
85.4
2520
d
d
n
t
1.03
10
26.3
d
Klo’nun ortalama ayakkabı satıĢı evren
ortalamasının 1.03 standart hata altındadır.

Pazarları satılan ayakkabı sayısı

Analyze->Compare Means-> One
Sample t test

Test value=25

Tek örneklem t için SPSS çıktısı

SPSS Sonuç
Çıktıda Sig yazan yere bakarız. Eğer bu değer
.05’ten düşükse yokluk hipotezi reddedilir.
Sig değeri birinci tip hata yapma olasılığıdır.
Sig .01 bulundu. Bu durumda birinci tip hata
olasılığı .05’den düşüktür. Bu da farkın
anlamlı olduğunu söylememiz için yeterlidir.

2. BAĞIMSIZ ÖRNEKLEMLER t TESTĠ

Örneklemler arası fark
Diyelim ki yüzlerce örneklem aldık ve ilkokul 3. sınıf
kız ve erkek çocuklarının boylarını ölçtük. Ayrı ayrı
kızlar ve erkekler için boy ortalamalarının dağılımını
oluĢturduğumuzda normal dağılım gösterdiklerini
görürüz. Çoğu örneklem için ortalamalar birbirine çok
yakın olacaktır. Varyans ve örneklem büyüklüğü
standart hatayı etkiler.

Örneklem aritmetik ortalamaları arası fark
Diyelim ki bir grup kız ve erkek öğrencinin boyları
arasında fark olup olmadığını öğrenmek istiyoruz.
Hipotezimizi kurarız. Örneklem ortalamaları
arasındaki farklar ortalamadan yeterince
farklılaĢıyorsa fark olduğuna hükmedilir. Fark
yeterince büyükse evren ortalamalarının
farklılaĢtığına hükmederiz. Farkların standart hatası
ne kadar düĢükse t o ölçüde büyük çıkacak ve fark
anlamlı olacaktır.

Bağımsız gruplar t testi
• Diyelim ki aynı örneklemden tesadüfi olarak çekilmiĢ iki
örneklemimiz var.
• Bağımsız örneklemler t testi iki evren ortalamasının
kıyaslanmasında kullanılır. Kızlar ve erkekler, hastalar ve
sağlıklılar, deney grubu kontrol grubu.

• Normallik, (bağımlı eğiĢken bakımından her iki dağılımda
normal dağılım gösterir. Ya da normal dağılımdan ciddi sapma
göstermez.
• Varyansları homojenliği (iki grubun varyansları evrende eĢittir).

Bağımsız gruplar t testinin formülü
• Payda örneklem ortalamaları arasındaki fark yer alır.
• Payda da ise aritmetik ortalamalar arasındaki farkın standart
hatası yer alır.

Bağımsız gruplar t testinin hipotezleri
Yokluk hipotezi
H0= µ1=µ2 H0= µ1-µ2=0
• Alternatif hipotez
• HA= µ1≠µ2 HA= µ1-µ2≠0 Çift yönlü
• HA= µ1>µ2 HA= µ1<µ2 Tek yönlü

Bağımsız gruplar t testinin formülü
(Varyansların eĢitliği hipotezi
sağlandığında)
• Paydada havuzlanmıĢ varyansların standart hatası kullanılır.

Bağımsız gruplar t testinin fomülü
(Varyansların eĢitliği hipotezi
sağlanamadığında)
• Burada havuzlanmıĢ varyansı paydada kullanamayız. Her iki
grup için aritmetik ortalamanın standart hatasını ayrı ayrı
hesaplanır ve eklenir.

Sırasıyla yaptıklarımız
1. Yokluk ve alternatif hipotezleri araĢtırma sorusuna göre
yazarız.
2. Testimizin tek yönlü ya da çift yönlü olduğuna ve alpha
seviyemize karar veririz.
3. Test istatistiği hesaplanır.
a.Payda iki grubun aritmetik ortalamaları arasındaki fark hesaplanır.
b.Paydada havuzlanmıĢ standart sapma ile grup büyüklüklerinin 1’e
oranlarının toplamının karekökü çarpılır. Elde edilen değer iki grup aritmetik
ortalamaları arası farkın standart hatasıdır. Bu değer bağımsız gruplar t
testinde havuzlanmış standart hata olarak adlandırılır.
c. a/b oranı alınarak t değeri hesaplanır.
4. df burada (n1+n2-2) formülüyle hesaplanır.
5. Tablo değeri bulunarak hesaplanan t ile kıyaslanır.
Hesaplanan t tablo t değerinden büyükse yokluk hipotezi
reddedilir.

Örnek 1
Bir satıcı kadın ve erkeklerin aldıkları ayakkabı sayısında fark
olup olmadığını merak etmektedir. On gün boyunca gün
sonunda kadın ve erkek müĢterilerin aldıkları ayakkabı sayısını
kaydeder. Sayılar bir sonraki sayfada verilmiĢtir. Genel olarak
kadınlar erkeklerden daha fazla ayakkabı alır diyebilir miyiz?
Alpha .05 düzeyinde test ediniz.

Bağımsız Gruplar t Verisi
Erkeklerin aldıkları
ayakkabı sayısı
Kadınların aldıkları
ayakkabı sayısı
30 38
20 30
18 26
21 30
21 31
21 30
12 16
20 25
17 28
20 26
N1=10, M1=20, SS1=4.47 N2=10, M2=28, SS2=5.60

Bağımsız gruplar t testi
1. Alpha= .05
2. Hipotezler
H0: Erkek = Kadın
H1: Erkek < Kadın Tek yönlü test

Bağımsız gruplar t testinin hesaplanması

Sd ve karar
4. sd = N1+N2-2 or 10+10-2 = 18. Tablo
değeri=1.734.
5. |-3.52| > | -1.734 |, yokluk hipotezi reddedilir.
6. Karar: Fark kadınların lehine bulunmuĢtur.
Evet kadınlar gerçekten de daha çok ayakkabı
almaktadırlar!!! 

Güven aralıkları
• Burada aritmetik ortalamanın %95 güven aralığını buluyoruz.
• =-8 + 1.734*2.26
• =-8 + 3.92
• =-11.92 -4.08
• =Alt sınır -11.92
• Üst sınır ise -4.08’dir.
• % 95 olasılıkla iki aritmetik ortalama arasındaki fark en az -
11.92 en çok -4.08 olabilir.
PART II: z Test

Bağımsız gruplar t testi için etki değeri
Bağımsız örneklemler t testi etki değeri
)2( 21
2
2
2
nnt
t
n
2
21
şhavuzlanmıS
XX
d

Bağımsız gruplar t testi için etki değeri
2
21
şhavuzlanmıSS
XX
d
dft
t
r 2
2
2
58.1
67.25
2820
d 40.9.29/90.11
1845.3
45.3
2
2
2
n
Kadınların aldıkları ortalama ayakkabı sayısı erkeklerden 1.58
standart sapma daha fazladır. Ayakkabı satıĢ oranlarındaki
farkın % 40’ı cinsiyet değiĢkeni ile açıklanabilir.

Cinsiyete göre ayakkabı sayısı

Analyze->Compare Means->
Independent Samples t test

Cinsiyet
Erkek için 1 Kadın için 2

Bağımsız gruplar t testi için SPSS çıktısı

SPSS Çıktısı
Sig değerine bakarız ve bu değer .05’in
altındaysa yokluk hipotezi reddedilir. Burada
Sig değeri .002 bulundu. Sonuç olarak yokluk
hipotezi reddedilir. Birinci tip hata olasılığı .002
bulunduğuna göre verdiğimiz kararın
doğruluğuna güvenebiliriz.

3. BAĞIMLI GRUPLAR T
TESTĠ

Bağımlı gruplar t-testĠ
• Veriyi bir Ģekilde çiftler haline koymamız
mümkünken bağımlı gruplar t testi kullanılır
(öntest-sontest ölçümleri, tek yumurta ikizleri,
eĢler),
• Tekrarlı ölçümlerin sonuçları,
• AraĢtırmada etkisi araĢtırılan faktör dıĢında tüm
koĢullar eĢit tutulduğunda istatistiksel bakımdan
güçlü bir testtir.

Kısa bir not
• EĢleĢtirilmiĢ puanların karĢılaĢtırılması için bağımlı gruplar
t testinden yararlanılır.
• Güçlü bir anlam çıkarıcı testtir.
• Parametrik bir testtir dolayısıyla örneklem evreni temsil
etmelidir.
• EĢleĢtirilmiĢ ölçümler arası farkların anlamlı olup
olmadığını test etmede kullanılır.

• Normallik, (bağımlı eğiĢken bakımından her iki dağılımda
normal dağılım gösterir. Ya da normla dağılımdan ciddi sapma
göstermez.
• Varyansları homojenliği (iki grubun varyansları evrende eĢittir).

Bağımlı gruplar t testinin hipotezleri
Yokluk hipotezi
H0= µFark =0 H0= µÖn-µSon=0
Alternatif hipotez
• HA= µFark≠0 HA= µÖn-µSon≠0 Çift yönlü
• HA= µÖn>µSon HA= µÖn<µSon Tek yönlü

Bağımlı gruplar t testi formülü

Fark
X
SH
Fark
t Fark
Payda çiftler arası farkın ortalaması paydada ise farkların
standart sapmasının çift sayısının kareköküne bölünmesi ile
elde edilir.
çift
Fark
Fark
n
SS
SH
Bağımlı gruplar t testi formülü

Ortalamalar farkın standart hatası
T değeri aritmetik ortalamalar arası farkların
dağılımından yeterince uzağa düĢerse yokluk
hipotezini reddederiz. Yani örneklemler ortalamaları
arasındaki fark evrendeki ortalamalar arası farkların
dağılımından farklı olarak bulunmuĢtur.

Sırasıyla yaptıklarımız
1. Yokluk ve alternatif hipotezleri araĢtırma sorusuna göre yazarız.
2. Testimizin tek yönlü ya da çift yönlü olduğuna ve alpha seviyemize
karar veririz.
3. Test istatistiği hesaplanır.
a.Pay için öntest ve sontest puanları arasındaki fark alınarak toplanır ve çift sayısına
bölünür(nçift) elde edilen değer (farklar ortalaması) paya yazılır.
b.Paydada farkların standart hatası yer alacaktır. Bu amaçla önce farkların standart sapması
bulunur. Farklardan farklar ortalaması çıkarılır elde edilen değerlerin kareleri alınarak toplanır
kiĢi sayısını bir eksiğine bölünür ve karekökü alınır. Bu değer farkın standart sapmasıdır.
c. Farkın standart sapması çift sayısının kareköküne bölünerek farkın standart hatası elde
edilir ve bu değer t değerini hesaplayacağımız formülün paydasına yazılır.
d. a/c oranı alınarak t değeri hesaplanır.
4. df burada (n1+n2-2) formülüyle hesaplanır.
5. Tablo değeri bulunarak hesaplanan t ile kıyaslanır. Hesaplanan t
tablo t değerinden büyükse yokluk hipotezi reddedilir.

Örnek 3
Bir araĢtırmacı ayrı evlerde büyüyen ikizlerin akademik
baĢarılarında ailenin ekonomik düzeyine göre fark olup
olmadığını merak etmektedir. Aynı yaĢta ayrı sosyal statüde
evlerde büyümüĢ ikiz çiftlerinin akademik baĢarılarını kaydeder.
Veriler bir sonraki sayfadaki gibidir. Bu ikizlerin baĢarılarında
fark olup olmadığını Alpha .05 düzeyinde test ediniz.

Bağımlı örneklemler verisi
10 ikiz çiftinin aritmetik ortalamaları
Twin1(İkiz1) Twin2 (İkiz2) F F-Fort FFkare
72 70 2 2-.4=1.6 2.56
77 75 2 1.6 2.56
91 90 1 .6 .36
78 80 -2 -2.4 5.76
83 85 -2 -2.4 5.76
91 90 1 .6 .36
69 70 -1 -1.4 1.96
61 60 1 .6 .36
72 70 2 1.6 2.56
80 80 0 -.4 .16
N1=10, M1=77
SS1=9.78
N2=10, M2=77.5
SS2=10.34
Ort=.4 22.4
√22.4/9=1.58
1.58 burada puanlar arası farklar ortalamasından farkların standart sapmasıdır.

Bağımlı gruplar t test
1. Alpha=.05
2. Hipotezler
H0: µFark =0
H1: µFark ≠0 Çift yönlü

Bağımlı gruplar t testinin hesaplanması
Fark
X
SH
Fark
t Fark çiftler
Fark
Fark
n
SS
SH
80.
50.
40.
FarkX
t10
58.1
FarkSHS

Sd ve karar
4. sd = Nçift-1= 10-1 = 9. Tablo değeri=2.262.
5. |.80| < | 2.262 |, yokluk hipotezi reddelemez.
6. Karar: Fark anlamlı değildir.

Güven aralıkları
• %95 güven aralığı aĢağıdaki gibidir.
• =.40 + 2.26*.50
• =.40 + 1.13
• =-.73 1.53
• =Ġki aritmetik ortalama arasındaki fark en az -.73
• en çok 1.53’tür.
• Aritmetik ortalamalar arası fark % 95 olasılıkla bu iki değer
arasında olacaktır.
PART II: z Test

Bağımlı gruplar t testi için etki değeri
Bağımlı örneklemler t testi etki değeri
Fark
Fark
S
X
d d
n
t
)1(2
2
2
nt
t
n

Bağımlı gruplar t testi için etki değeri
2
21
farkSS
XX
d
Ġki aritmetik ortalama arasındaki fark .25 standart sapma
kadardır.
Fark
Fark
S
X
d d
n
t
25.
58.1
40.
d .25
16.3
80.
d

Bağımlı gruplar t testi için açıklanan
varyans miktarı olarak etki değeri
dft
t
r 2
2
2
Ġki aritmetik ortalama arasındaki farkın %.066’sı ikizlerin
ailelerinin ekonomik durumları ile açıklanabilir.
)1(2
2
2
nt
t
n
066.
964.
64.
d

Ġkizlere ait veri

Analyze->Compare Means-> Paired
Samples t test

Twins1-Twins2 pair

Bağımlı gruplar t testi SPSS Çıktısı

SPSS Karar
Burada Sig değerine bakılır. Sig değeri
.05’den küçük olmadığı için yokluk hipotezi
reddedilemez. Yokluk hipotezi reddedilirse
birinci tip hata yapılmış olunur.

t testleri

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

t testleri