SlideShare a Scribd company logo
1 of 53
16
Kİ-KARE DAĞILIMI ve TESTİ
• z ve t testleri parametrik testlerdir.
• Ki kare testi ise parametrik olmayan bir testtir.
• Parametrik olmayan testlerde hipotezler, toplumların dağılımlarıyla
ilgili olarak kurulurlar.
• Ki kare testinde, teste girecek olan değerler sayarak elde edilmiş
olgu sayısı gruplarıdır.
• Gruplar tek bir sıra halinde (bir yönlü) olabileceği gibi birden fazla
sıra ve sütunun (iki yönlü) oluşturduğu tablolar şeklinde de olabilir.
• Test, gruplardaki gözlenen değerler ile beklenen değerleri
karşılaştırır.
• Ki-kare testi ile öncekilerden farklı olarak iki ve daha fazla gruba
düşen değerlerin dağılımı aynı anda karşılaştırılabilmektedir.
• Ki kare testinde, teste girecek olan
değerler sayarak elde edilmiş olgu sayısı
gruplarıdır.
• Gruplar tek bir sıra halinde (bir yönlü)
olabileceği gibi birden fazla sıra ve
sütunun (iki yönlü) oluşturduğu tablolar
şeklinde de olabilir.
• Test, gruplardaki gözlenen değerler ile
beklenen değerleri karşılaştırır.
• Ki-kare testi ile iki ve daha fazla gruba
düşen değerlerin dağılımı aynı anda
karşılaştırılabilmektedir.
Ki Kare Dağılımının Fonksiyonu ve Eğrisi
Normal bir toplumdan seçilen bir birimin
x değeri için birim normal dağılımında
hesaplanacak olan Z değerinin karesi
bir ki-kare değeri olur.
Bu şekilde tek bir birimden elde edilen ki-karelerin
dağılımı bir serbestlik derecelidir.
Toplumdan aynı anda
υ tane birim seçip bunlara karşı gelen
υ tane Z2
'nin toplanmasıyla bulunan ki kare
değerlerinin dağılımı da υ serbestlik dereceli bir
dağılım olur.
Ki-kare değerlerinin dağılımının
fonksiyonu
f A e( ) . .( )χ χ
χ ν
2 2 2 2
1
2
=
− −
χ2
ki kare değerini sembolize eder.
A ise serbestlik derecesi υ'ye bağlı bir sabittir.
Değişik υ değerleri için değişik dağılım fonksiyonları ve
bunlara bağlı olarak da değişik dağılım eğrileri
mevcuttur.
• υ ≤2 için eğri ters j şeklinde olup,
∀ υ>2 için artan değerlerine göre simetrik
∀ υ≥30 durumunda değerlerinin dağılımı, ortalaması ve
standart sapması 1 olan normal dağılıma yaklaşır. Bu
nedenle, bu koşulu sağlayan ki kare değerleri için
hipotez testi olarak z testi kullanılır.
P(x)
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
ν=2 ν=5 ν=10 ν=30
• Ki kare değerleri, serbestlik derecelerine bağımlı
olduklarından, verilirken serbestlik dereceleri de yanında
belirtilir. χ2
υ
• Olasılık fonksiyonu yardımıyla χ2
'nin bir değere eşit ve ondan
daha büyük olma olasılıkları hesaplanabilmektedir.
• Hipotez testleri için değişik serbestlik
derecelerinde bazı olasılık değerleri için
kritik ki-kare değerleri tablo olarak
hazırlanmıştır.
∀ υ serbestlik dereceli bir eğri üzerinde, bir
değerinin dışında kalan alan (olasılık) α ise, bu
noktadaki ki kare değeri χ2
α,υ olarak gösterilir.
• Bunun anlamı, υ serbestlik dereceli bir ki kare
dağılımında χ2
α,υ 'nin sağ ucunda kalan alanın α
'ya eşit olduğudur.
• Bunu olasılık olarak değerlendirirsek,
∀ υ serbestlik dereceli bir ki-karedağılımında χ2
değerlerinin
χ2
α,υ 'ye eşit veya daha büyük olma olasılığı α 'ya eşittir.
αχχ να =≥ )( 2
;
2
P
Tabloda 1-30 serbestlik derecelerine karşı α'nın 0.90, 0.50, 0.20, 0.10, 0.05,
0.025, 0.01, 0.001 değerleri için kritik ki kare değerleri verilmiştir. 30 için dağılım
normale yaklaştığından, bunun üstündeki değerlere yer verilmemiştir.
EK 5
Kİ KARE T ABLOSU
α
S.D. .90 .50 .20 .10 .05 .025 .01 .001
1 0.0158 0.455 1.642 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
2 0.211 1.386 3.219 4.605 5.991 7.378 9.210 13.816
3 0.584 2.366 4.642 6.251 7.815 9.348 11.341 16.266
4 1.064 3.357 5.989 7.779 9.488 11.143 13.277 18.467
5 1.610 4.351 7.289 9.236 11.070 12.832 15.086 20.515
6 2.204 5.348 8.558 10.645 12.592 14.449 16.812 22.458
7 2.833 6.346 9.803 12.017 14.067 16.013 18.475 24.322
8 3.490 7.344 10.03 13.362 15.507 17.535 20.090 26.115
9 4.168 8.343 12.242 14.648 16.919 19.023 21.666 27.877
10 4.865 9.342 13.442 15.987 18.307 20.483 23.209 29.588
11 5.578 10.341 14.631 17.275 19.675 21.920 24.725 31.264
12 6.304 11.340 15.812 18.549 21.026 23.336 26.217 32.909
13 7.042 12.340 16.985 19.812 22.362 24.736 27.688 34.528
14 7.790 13.339 18.151 21.064 23.685 26.119 29.141 36.123
15 8.547 14.339 19.311 22.307 24.996 27.488 30.578 37.697
16 9.312 15.338 20.465 23.542 26.296 28.845 32.000 39.252
17 10.085 16.338 21.615 24.769 27.587 30.191 33.409 40.790
18 10.865 17.338 22.760 25.989 28.869 31.526 34.805 42.312
19 11.651 18.338 23.900 27.204 30.144 32.852 36.191 43.820
20 12.443 19.337 25.038 28.412 31.410 34.170 37.566 45.315
21 13.24 20.337 26.171 29.615 32.671 35.479 38.932 47.797
22 14.041 21.337 27.301 30.813 33.924 36.781 40.289 48.268
23 14.848 22.337 28.429 32.007 35.172 38.076 41.638 49.728
24 15.659 23.337 29.553 33.196 36.415 39.364 42.980 51.179
25 16.473 24.337 30.675 34.382 37.652 40.646 44.314 52.620
26 17.292 25.336 31.795 35.563 38.885 41.923 45.642 54.052
27 18.111 26.336 32.912 36.741 40.113 43.194 46.963 55.476
28 18.939 27.336 34.027 37.916 41.337 44.461 48.278 56.892
29 19.768 28.336 35.139 39.087 42.557 45.722 49.588 58.302
30 20.599 29.336 36.250 40.216 43.773 46.773 50.892 59.703
Şekil 16.2: Eğri üzerinde χ2
α,υ ve α 'nın durumu.
Ki-kare Değeri
• Ki kare sayarak elde edilen verilere uygulandığı
için ki kare değerinin bulunuşunda oranlar için
kullanılan Z eşitliği kullanılacaktır.
• Binomial toplumlarda birimler bir özelliği
gösterip göstermemelerine göre iki kategoride
yer alır.
• İki kategorili ya da tek örneklem durumundaki bir
örnekte H0'a göre her iki kategori için de
beklenen oran değeri 1/2 dir.
Örnek
• n birimli bir örnekte iki kategorideki
değerleri x ve y ile gösterirsek (n=x+y) her
iki kategoride beklenen değerlerin oranı,
x/n=y/n=1/2 olacaktır.
• n tane yeni doğan bebeğin bir kısmı erkek
(x) ve bir kısmı da kız (y) olacaktır. Böyle
bir doğum olayı için hipotezler,
H0: Kızların ve erkeklerin oranı birbirlerine
eşittir.
(x/n=y/n=1/2=P)
H1: Oranlar birbirlerinden farklıdır.
(x/n≠y/n ya da x/n≠1/2, y/n≠1/2)
• Erkeklerin oranını =x/n ve P=Q=1/2 alarak
oranlara ilişkin Z formülünde bu değerleri
yerine koyup Z2
'yi yazarsak,
x ve y'ler her iki kategoride gözlenen frekans
değerlerini ve (1/2)n de beklenen frekans
değerlerini temsil etmektedir.
Z
x n
n
y n
n
2
2 21
2
1
2
1
2
1
2
=
−
+
−( ) ( )
Pˆ
• Gözlenen frekans değerlerini fgi ve beklenen
frekans değerlerini de fbi ile göstererek χ2
eşitliğini aşağıdaki şekilde yazabiliriz…
χ2 1 1
2
1
2 2
2
2
2
1
2
=
−
+
−
=
−
=
∑
( ) ( ) ( )fg fb
fb
fg fb
fb
fg fb
fb
i i
ii
• Dağılımın serbestlik derecesi, kategori
sayısının bir eksiği olmaktadır.
• Örnekte iki tane kategori ya da frekans
olduğundan, serbestlik derecesi
υ=2-1=1'dir.
χ2
0,05,1
=3.841
Z0.05=1.96
k=2 ise Z2
= χ2
Ki-karenin Özellikleri
• Dağılımın şekli serbestlik derecesine bağlı
olarak değişir. υ≤2 için ters j şeklinde ve
büyüdükçe dağılım simetrik bir şekil alır.
• Ki-kare 0≤χ²≤∞ aralığında değişir.
• Ki-kare dağılımı süreklidir.
• Ki kare değeri, frekans (göz sayısı) sayısı
ile doğru orantılı olarak değişir.
Ki Karenin Özellikleri
• Ki kare değerinin toplanabilirlik özelliği
vardır.
χ χ ν ν
2
2
1 1
= =
= =
∑ ∑i
i
k
i
i
k
ve
• Ki-kare testinin geçerli olabilmesi için
beklenen değerlerin 1’den büyük olmaları
ve en fazla %20’si 5'den küçük olabilir.
– Bu mümkün olmadığı zaman, gözlenen küçük
frekanslı iki veya daha fazla sıra-sütun
değerleri ile birleştirilerek beklenen değerlerin
büyük olmaları sağlanır.
Yates Düzeltmesi
• Sürekli olan ki-kare dağılımı kesikli örnek
verilerine uygulandığı zaman bir
düzeltmenin yapılması zorunludur. Bu
düzeltmeye Yates Düzeltmesi denir.
• Yates düzeltmesi yalnız υ=1 için yapılır.
• Büyük örnekler (N≥50) için Yates
düzeltmesine gerek yoktur.
• Ancak ki-kare değeri, kritik değere yakın çıktığı
zaman düzeltilmiş olan geçerlidir.
• Beklenen değerlerin 5-10 arasında bulunduğu
küçük örnekler için, düzeltilmiş ve düzeltilmemiş
olan ki kare değerlerinin her ikisinin de kabul ya
da ret bölgelerinde bulunmaları halinde sorun
olmaz. Ancak, bunlar ayrı bölgelerde
bulunurlarsa örnek büyüklüğünü artırmak
gerekir.
• Yates düzeltmesi, gözlenen ve beklenen
değerlerin farkının mutlak değerinden 0.5
çıkarılıp kareleri alınarak yapılır.
• Düzeltilmiş Ki kare değeri;
∑=
−−
=χ
v
i bi
bigi
f
).ff(
1
2
2
50
Hipotez Testi
• Ki kare testinde kurulacak olan H0 hipotezi,
gözlenen frekans değerleri ile beklenen
frekans değerlerinin birbirlerine eşitliği
şeklindedir (fgi=fbi).
• Dağılımla ilgili kurulan hipotezden sonra H0
hipotezine göre beklenen frekans
değerleri ve bunlar yardımıyla ki kare
değerleri bulunur.
• Bulunan değer kritik ki kare değerine eşit ya da
daha büyükse H0 hipotezi düzeyinde reddedilir.
Bunun anlamı, en az bir tane gözlenen frekans
ile beklenen frekans değeri birbirlerinden
farklıdır demektir.
χ ² ≥χ²α;υ
• Ki kare testi değişik amaçlarla kullanılmaktadır.
Uyum Testi
• Bir örneğin frekans dağılımının, parametresi bilinen bir
kuramsal dağılıma uygunluk gösterip göstermediğini test
etmek için kullanılır.
• Ffrekanslar, gözlenen frekans değerleri ve bunlara karşı gelen
kuramsal dağılım için hesaplanacak olan frekans değerleri de
beklenen değerler olarak alınır.
• Tek sıra ya da sütun şeklinde frekanslardan oluşan durumlar
için yapılan teste tek örneklem testi de denir. Bu testte eğer
frekans sayısı ya da kategori sayısı 2 olursa beklenen
değerlerin en az 5'e eşit ve daha büyük olmaları gerekir.
• Frekans sayısı ikiden fazla (k>2) olduğu zaman beklenen
değerlerin %20'sinden fazlasının 5'den küçük küçük olması
durumunda bu test uygulanamaz.
• Beklenen değerleri büyütmek için frekansları birleştirmek
gerekir. Eğer frekans sayısı 2'ye indiği halde hala beklenen
değer 5'den küçük ise ki kare testi yerine binomial test
uygulanır.
• Tek örneklem testinde, serbestlik derecesi, frekans sayısının
bir eksiğine eşittir.
Örnek16.1: Örnek alınan en çok 4 çocuğu olan 64 ailede erkek çocuk
sayıları aşağıda verilmiştir. Örneğe ait frekans dağılımı, aşağıda verilen
olasılık dağılımına uyar mı? Bu hipotezi α=0.05 için kontrol edelim.
Hipotez:
H0: Örnek dağılımı kuramsal dağılıma uyar.
(fg1=fb1,fg2=fb2, ....,fg5=fb5)
H1: Dağılımlar birbirlerinden farklıdır. H0'da verilen eşitliklerin en az bir tanesi
gerçekleşmez.
• 5 tane beklenen frekanstan 2 tanesi (%20'den
fazlası) 5'den az olduğu için küçük olan 0
sırasındaki 3 ile 1 sırasındaki 15 değerinin
birleştirilip tek göz olarak alınması gerekir.
• Yine, son sıradaki 5'den küçük beklenen değer,
oran olarak %20'den büyük olduğu (1/4) için son iki
sıranın da aşağıda görüldüğü gibi birleştirilmesi
gerekmektedir.
χ2
2 2 2
18 20
20
25 24
24
21 20
20
0 292=
−
+
−
+
−
=
( ) ( ) ( )
.
Serbestlik derecesi frekans sayısının bir eksiğidir.
υ=3-1=2'dir.
χ² < χ²0.05,2=5.991 Ho Kabul
Örnekteki frekans dağılımının, kuramsal dağılıma uymaktadır.
H0: Örnek dağılımı kuramsal dağılıma uyar.
(fg1=fb1,fg2=fb2, ....,fg5=fb5)
H1: Dağılımlar birbirlerinden farklıdır. H0'da verilen eşitliklerin en az bir tanesi
gerçekleşmez
• Tek örneklem durumunda, her zaman bir kuramsal
dağılıma uygunluk aranmaz.
• Bunun yerine, frekansların birbirlerine eşit olup olmadığı
da araştırılabilir.
• Bu durumda, her frekans için beklenen değerler
birbirlerine eşit olur.
• Eğer belirlenmiş bir beklenen değer belirtilmemişse,
verilen frekansların eşit olduğu varsayımına göre,
beklenen değer olarak frekansların ortalaması alınarak
işlem yapılır.
• Örneğin, bir polikliniğe gelen hasta sayılarının haftanın
günlerine dağılımı, doğum sayılarının, ölüm sayılarının
vb. aylara dağılımı durumunda beklenen değerler
birbirlerine eşit varsayılır.
Örnek 16.2: Bir bölgede, mevsimlere göre bebek ölümleri dağılımı
verilmiştir. Mevsimler arasında sayı bakımından bir fark olup olmadığını
α=0.05 düzeyinde kontrol edelim.
H0: Her mevsimde gözlenen değerler beklenen değerlere eşittir.
H1: En az bir mevsimde bu eşitlik sağlanmaz. H0'da verilen eşitliklerin en
az bir tanesi gerçekleşmez.
Ho: mevsimlere göre dağılımda fark yoktur
Hı: Mevsimlere göre dağılımda fark vardır.
χ2
2 2 2 2
20 25
25
15 25
25
30 25
25
35 25
25
10 00=
−
+
−
+
−
+
−
=
( ) ( ) ( ) ( )
.
υ=4-1=3 HoRED815.710 2
3;05.0
2
=>= χχ
İki Ya da Daha Fazla Grubun Dağılımlarının
Karşılaştırılması
• Kategori sayısı 2 ve daha fazla olan grupların
karşılaştırılmasında, gruplardaki frekans
dağılımlarının karşılaştırılması yapılır.
• Veriler aynı zamanda frekans kategorilerine ve
gruplarına göre dağıldığı için iki yönde
sınıflandırılmış olurlar. Bu şekildeki tablolar sıra
ve sütunlardan oluşur.
• Her sıra ve sütun birleşimi için bir frekans değeri
mevcuttur.
• Frekans dağılımları olarak sıralar karşılaştırılabildiği gibi sütunlar da
karşılaştırılabilir. Her ikisinde bulunacak olan toplam ki kare değeri
aynıdır.
• Hipotezin durumuna göre, sıraların mı yoksa sütunların mı
karşılaştırılacağına karar verilir.
• Test sonucunda, iki sıra arasındaki dağılım farklı çıkarsa, bu
farklılığın hangi sütun veya sütunlarda olduğunu anlamak için
sütunlar arasındaki dağılımı da karşılaştırmak gerekir.
• İki yönlü sınıflandırılmış tablolar, r sıra sayısını ve c de sütun sayısını
göstermek üzere rxc şeklinde gösterilir.
• Gözlenen frekanslar için beklenen frekans
değeri pratik olarak,
• Her sıra ve sütun içindeki beklenen değerlerin
toplamı o sıra ve sütundaki gözlenen frekans
değerlerinin toplamına eşittir.
• rxc tablolarında serbestlik derecesi,
ToplamGenel
)ToplamıSütunnin'GF()ToplamıSıra)GF(FrekansınGözlenen(
fb
×
=
ν = − −( )( )c r1 1
Örnek 16.3: Bir bölgeden seçilen üç köyün nüfusunun yaş gruplarına göre
dağılımı aşağıda verilmiştir. Nüfusun yaş gruplarına göre dağılımı bakımından
köyler arasında bir farklılık olup olmadığını α=0.05 düzeyinde test edelim
χ
χ
χ
χ
A
B
C
Toplam
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
15 19
19
500 503
503
650 600
600
200 243
243
12 636
20 15
15
400 394
394
500 470
470
150 191
191
12 473
25 26
26
650 653
653
700 780
780
400 316
316
30 586
=
−
+
−
+
−
+
−
=
=
−
+
−
+
−
+
−
=
=
−
+
−
+
−
+
−
=
( ) ( ) ( ) ( )
.
( ) ( ) ( ) ( )
.
( ) ( ) ( ) ( )
.
________________________________________________________
= 55 695.
ν = − − =( )( )3 1 4 1 6
χ²=55.695 > χ²0.05,6 =12.592 Ho Red
Farklı olan köyleri belirlemek için köyler birbirleriyle ikişerli olarak ayrı ayrı
karşılaştırılırlar.
Örneğimizde, bu karşılaştırmaların sonucunda;
A ve C köylerinin 0 ile 1-14, 0 ile 15-50 ve 1-14 ile 15-50 yaş gruplarında,
B ve C köylerinin de 0 ile 15-50,1-14 ile 15-50 yaş gruplarında
farklılık gösterdikleri belirlenmiştir.
Bağımsızlık Testi
• Sıralar bir değişkeni ve sütunlar da başka bir
değişkeni temsil etmek üzere oluşturulan bir rxc
tablosunda iki değişken arasında bir bağımlılığın
olup olmadığını kontrol etmek için kullanılan bir
testtir.
• Örneğin, eğitim durumu ile annelerin sahip
oldukları çocuk sayıları arasındaki ilişkiler
bağımsızlık testi ile kontrol edilirler.
• Değişkenlerin alt grupları olan kategorilerin bir
sıra içinde ya da üstünlük sırasına göre
sıralanmaları gerekmez. Bunların yerleri
değiştiği zaman da sonuç aynıdır.
• Bağımsızlık testi için hipotezler şu şekilde
kurulur.
H0: İki değişken arasında bir bağımlılık yoktur.
H1: İki değişken birbirleriyle bağımlıdır.
• Test için kullanılacak ki-kare değeri aynı
formülle ve aynı yolla hesaplanır.
• Ki kare değeri göz sayısı ile doğru orantılı
olarak değişebildiği için ki karenin büyük
ya da küçük çıkması bağımlılığın büyük ya
da küçük olduğunu göstermez.
• Bağımlılığın derecesini anlamak için, ki-kare ve
birim sayısına bağlı olarak bir değer hesaplanır.
• Bu değer uygunluk katsayısı olarak bilinir. n,
örnekteki birim sayısı olmak üzere uygunluk
katsayısı,
• 0<C<1 , C sıra ve sütun sayısına göre değişir.
• Sıra ve sütun sayısı eşit kxk tablosu için C'nin
maksimum alabileceği değer,
• Uygunluk katsayısının anlamlı olup olmadığını
kontrol eden bir test yoktur. Bunun anlamlılığı ki-
C
n
=
+
χ
χ
2
2
C
k
k
max =
−1
χ²>χ²0.05,4 Ho RED Beslenme bozukluğu ile okullar arasında bir ilişki mevcuttur.
Bu örnek için uygunluk katsayısı,
Böyle bir tablo (3x3) için C'nin maksimum değeri,
χ
ν χ
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
0 05 4
2
10 15
15
30 23
23
15 17
17
15 19
19
35 30
30
20 21
21
30 21
21
20 32
32
25 22
22
14 522
3 1 3 1 4 9 488
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
= − − = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
.
( )( ) , .. ;
C =
+
=
14 522
14 522 200
0 260
.
.
.
Cmax .=
−
=
3 1
3
0 816
2x2 Tablolarında Ki Kare Değeri
• 2x2’lik tablolarda, beklenen değer hesaplanmadan
gözlerdeki değerlere göre doğrudan ki- kare değeri
hesaplanabilmektedir.
2x2 Tablolarında Kesin Ki Kare Testi
(Fisher'in Kesin Ki Kare Testi )
• 2x2 tablolarında, gözlerden birinin
beklenen frekans değeri 5'den küçük
olduğu zaman uygulanan bir testtir.
• Test iki sıradaki birimlerin, iki sütuna,
belirli bir dağılımındaki olasılığını verir. Bu
olasılık P değeridir.
• P değeri ile karşılaştırılarak kurulan
hipotez hakkında karar verilir.
Bağımlı Gruplarda Ki Kare Testi ( Mc Nemar Testi)
• Kategorik özellikteki iki değişken bağımlılık
gösteriyorsa, ve değişkenlerin aldıkları
değerler iki kategoride toplanıyorsa (2x2)
bu değişkenlerin karşılaştırmasında
McNemar testi kullanılır.
• Örneğin;
– Bir grup insanın sahip oldukları
alışkanlıklarından, bir eğitimden sonra
vazgeçip vazgeçmediklerinin araştırılması
– Bir sağlık ocağı bölgesinde annelerin bebek
bakımında mevcut alışkanlıklarının eğitimle
değişip değişmediğinin araştırılması
• Mc Nemar testi olarak da bilinen bu testin
uygulanabilmesi için bir gruptan alınan
bilgiler
– bir işlemden önce-sonra
ya da
– değişik iki işleme göre, belirli bir özelliği
gösterenler (+) ve göstermeyenler (-) olarak
iki ayrı grup oluşturmak üzere,
biçiminde düzenlenebilir.
1.İşlem
2.İşlem + -
+ A B
- C D
A, B, C, D, gözlere ait frekans değerleridir.
Böyle bir tabloda iki grup arasındaki farkı belirleyen değerler C ve B'dir.
Eğer iki grup arasında bir fark yoksa, her iki yönde grup değiştiren (+'dan -'ye ve -'den
+'ya) birimlerin sayısı eşit oranda olup bunlara ait beklenen değer de (B+C)/2 olacaktır.
Normal ki kare formülünde B ve C'ye ait gözlenen ve beklenen değerleri yerlerine koyup
gerekli sadeleştirme yapılırsa,
χ2
2
=
−
+
( )B C
B C
Küçük örneklerde süreklilik için bir düzeltme yapmak gerekir.
χ2
2
1
=
− −
+
( )B C
B C
ki kare(fazlası için www.tipfakultesi.org)

More Related Content

What's hot

Gizem Başak Berk - Yüksek Lisans Tez Sunumu
Gizem Başak Berk - Yüksek Lisans Tez SunumuGizem Başak Berk - Yüksek Lisans Tez Sunumu
Gizem Başak Berk - Yüksek Lisans Tez Sunumu
G. Basak Berk
 
Parametrik Testlerin Sayıltıları
Parametrik Testlerin SayıltılarıParametrik Testlerin Sayıltıları
Parametrik Testlerin Sayıltıları
Gülşah Başol
 
Parametrik ve Parametrik Olmayan İstatistikler
Parametrik ve Parametrik Olmayan İstatistiklerParametrik ve Parametrik Olmayan İstatistikler
Parametrik ve Parametrik Olmayan İstatistikler
Gülşah Başol
 
Ki kare ve kolmogorov smirnov uygunluk testlerinin simülasyon ile elde edilen...
Ki kare ve kolmogorov smirnov uygunluk testlerinin simülasyon ile elde edilen...Ki kare ve kolmogorov smirnov uygunluk testlerinin simülasyon ile elde edilen...
Ki kare ve kolmogorov smirnov uygunluk testlerinin simülasyon ile elde edilen...
Andy Samthre
 
üSt ekstremite muayenesi (fazlası için www.tipfakultesi.org )
üSt ekstremite muayenesi (fazlası için www.tipfakultesi.org )üSt ekstremite muayenesi (fazlası için www.tipfakultesi.org )
üSt ekstremite muayenesi (fazlası için www.tipfakultesi.org )
www.tipfakultesi. org
 
non parametric(fazlası için www.tipfakultesi.org)
non parametric(fazlası için www.tipfakultesi.org)non parametric(fazlası için www.tipfakultesi.org)
non parametric(fazlası için www.tipfakultesi.org)
www.tipfakultesi. org
 

What's hot (20)

Gizem Başak Berk - Yüksek Lisans Tez Sunumu
Gizem Başak Berk - Yüksek Lisans Tez SunumuGizem Başak Berk - Yüksek Lisans Tez Sunumu
Gizem Başak Berk - Yüksek Lisans Tez Sunumu
 
Bi̇r Olguya Kavram Haritası ile Hemşirelik Yaklaşımı
Bi̇r Olguya Kavram Haritası ile Hemşirelik YaklaşımıBi̇r Olguya Kavram Haritası ile Hemşirelik Yaklaşımı
Bi̇r Olguya Kavram Haritası ile Hemşirelik Yaklaşımı
 
Parametrik Testlerin Sayıltıları
Parametrik Testlerin SayıltılarıParametrik Testlerin Sayıltıları
Parametrik Testlerin Sayıltıları
 
Parametrik ve Parametrik Olmayan İstatistikler
Parametrik ve Parametrik Olmayan İstatistiklerParametrik ve Parametrik Olmayan İstatistikler
Parametrik ve Parametrik Olmayan İstatistikler
 
Ki kare ve kolmogorov smirnov uygunluk testlerinin simülasyon ile elde edilen...
Ki kare ve kolmogorov smirnov uygunluk testlerinin simülasyon ile elde edilen...Ki kare ve kolmogorov smirnov uygunluk testlerinin simülasyon ile elde edilen...
Ki kare ve kolmogorov smirnov uygunluk testlerinin simülasyon ile elde edilen...
 
z testi
z testiz testi
z testi
 
Kanıt seviyeleri
Kanıt  seviyeleri Kanıt  seviyeleri
Kanıt seviyeleri
 
Parametrik Olmayan (Non-Parametric) Hipotez Testleri
Parametrik Olmayan (Non-Parametric) Hipotez TestleriParametrik Olmayan (Non-Parametric) Hipotez Testleri
Parametrik Olmayan (Non-Parametric) Hipotez Testleri
 
ANOVA
ANOVAANOVA
ANOVA
 
Gözlem formu 1
Gözlem formu 1Gözlem formu 1
Gözlem formu 1
 
Preanestezik degerlendirme
Preanestezik degerlendirmePreanestezik degerlendirme
Preanestezik degerlendirme
 
Doktora Tezimin Savunma Slaytları
Doktora Tezimin Savunma SlaytlarıDoktora Tezimin Savunma Slaytları
Doktora Tezimin Savunma Slaytları
 
Agri, sedasyon ve paralizi monitorizasyonungre adana 2008
Agri, sedasyon ve paralizi monitorizasyonungre adana 2008Agri, sedasyon ve paralizi monitorizasyonungre adana 2008
Agri, sedasyon ve paralizi monitorizasyonungre adana 2008
 
üSt ekstremite muayenesi (fazlası için www.tipfakultesi.org )
üSt ekstremite muayenesi (fazlası için www.tipfakultesi.org )üSt ekstremite muayenesi (fazlası için www.tipfakultesi.org )
üSt ekstremite muayenesi (fazlası için www.tipfakultesi.org )
 
Uyku Düzeninde Bozulma Kavram Haritası
Uyku Düzeninde Bozulma Kavram HaritasıUyku Düzeninde Bozulma Kavram Haritası
Uyku Düzeninde Bozulma Kavram Haritası
 
DENEYSEL ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ
DENEYSEL ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİDENEYSEL ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ
DENEYSEL ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ
 
Meta analizi
Meta analiziMeta analizi
Meta analizi
 
non parametric(fazlası için www.tipfakultesi.org)
non parametric(fazlası için www.tipfakultesi.org)non parametric(fazlası için www.tipfakultesi.org)
non parametric(fazlası için www.tipfakultesi.org)
 
6.bölüm i̇ş anali̇zi̇
6.bölüm i̇ş anali̇zi̇6.bölüm i̇ş anali̇zi̇
6.bölüm i̇ş anali̇zi̇
 
Akut Ağrı Sunum
Akut Ağrı SunumAkut Ağrı Sunum
Akut Ağrı Sunum
 

More from www.tipfakultesi. org

More from www.tipfakultesi. org (20)

Oksijen tedavisi
 Oksijen tedavisi Oksijen tedavisi
Oksijen tedavisi
 
Noninvaziv mekanik ventilasyon
Noninvaziv mekanik ventilasyonNoninvaziv mekanik ventilasyon
Noninvaziv mekanik ventilasyon
 
astım
astım astım
astım
 
Mekanik ventilasyon
Mekanik ventilasyonMekanik ventilasyon
Mekanik ventilasyon
 
Konsültasyon
KonsültasyonKonsültasyon
Konsültasyon
 
Koah
KoahKoah
Koah
 
Dr önder tani ve siniflama
Dr önder tani ve siniflamaDr önder tani ve siniflama
Dr önder tani ve siniflama
 
Diyabetes mellitus
Diyabetes mellitusDiyabetes mellitus
Diyabetes mellitus
 
Bronşektazi
BronşektaziBronşektazi
Bronşektazi
 
Bbh'da pnömoni
Bbh'da pnömoniBbh'da pnömoni
Bbh'da pnömoni
 
Astım tanı ve sınıflama
Astım tanı ve sınıflama Astım tanı ve sınıflama
Astım tanı ve sınıflama
 
Astım ve koah ilaç farmakolojisi
Astım ve koah ilaç farmakolojisiAstım ve koah ilaç farmakolojisi
Astım ve koah ilaç farmakolojisi
 
Astim tedavileri
Astim tedavileriAstim tedavileri
Astim tedavileri
 
Astim tani ve tedavi rehberi
Astim tani ve tedavi rehberiAstim tani ve tedavi rehberi
Astim tani ve tedavi rehberi
 
Astım ilaçları
Astım ilaçlarıAstım ilaçları
Astım ilaçları
 
Ape
ApeApe
Ape
 
bronkoskopi ünitesi yönetimi
bronkoskopi ünitesi yönetimi bronkoskopi ünitesi yönetimi
bronkoskopi ünitesi yönetimi
 
Akciğer kanseri
Akciğer kanseriAkciğer kanseri
Akciğer kanseri
 
Akut ve subakut öksürük
Akut ve subakut öksürükAkut ve subakut öksürük
Akut ve subakut öksürük
 
bronşit ve bronlşektazi alevlenme tedavisi
bronşit ve bronlşektazi alevlenme tedavisibronşit ve bronlşektazi alevlenme tedavisi
bronşit ve bronlşektazi alevlenme tedavisi
 

ki kare(fazlası için www.tipfakultesi.org)

  • 2. • z ve t testleri parametrik testlerdir. • Ki kare testi ise parametrik olmayan bir testtir. • Parametrik olmayan testlerde hipotezler, toplumların dağılımlarıyla ilgili olarak kurulurlar. • Ki kare testinde, teste girecek olan değerler sayarak elde edilmiş olgu sayısı gruplarıdır. • Gruplar tek bir sıra halinde (bir yönlü) olabileceği gibi birden fazla sıra ve sütunun (iki yönlü) oluşturduğu tablolar şeklinde de olabilir. • Test, gruplardaki gözlenen değerler ile beklenen değerleri karşılaştırır. • Ki-kare testi ile öncekilerden farklı olarak iki ve daha fazla gruba düşen değerlerin dağılımı aynı anda karşılaştırılabilmektedir.
  • 3. • Ki kare testinde, teste girecek olan değerler sayarak elde edilmiş olgu sayısı gruplarıdır. • Gruplar tek bir sıra halinde (bir yönlü) olabileceği gibi birden fazla sıra ve sütunun (iki yönlü) oluşturduğu tablolar şeklinde de olabilir.
  • 4. • Test, gruplardaki gözlenen değerler ile beklenen değerleri karşılaştırır. • Ki-kare testi ile iki ve daha fazla gruba düşen değerlerin dağılımı aynı anda karşılaştırılabilmektedir.
  • 5. Ki Kare Dağılımının Fonksiyonu ve Eğrisi Normal bir toplumdan seçilen bir birimin x değeri için birim normal dağılımında hesaplanacak olan Z değerinin karesi bir ki-kare değeri olur. Bu şekilde tek bir birimden elde edilen ki-karelerin dağılımı bir serbestlik derecelidir. Toplumdan aynı anda υ tane birim seçip bunlara karşı gelen υ tane Z2 'nin toplanmasıyla bulunan ki kare değerlerinin dağılımı da υ serbestlik dereceli bir dağılım olur.
  • 6. Ki-kare değerlerinin dağılımının fonksiyonu f A e( ) . .( )χ χ χ ν 2 2 2 2 1 2 = − − χ2 ki kare değerini sembolize eder. A ise serbestlik derecesi υ'ye bağlı bir sabittir.
  • 7. Değişik υ değerleri için değişik dağılım fonksiyonları ve bunlara bağlı olarak da değişik dağılım eğrileri mevcuttur. • υ ≤2 için eğri ters j şeklinde olup, ∀ υ>2 için artan değerlerine göre simetrik ∀ υ≥30 durumunda değerlerinin dağılımı, ortalaması ve standart sapması 1 olan normal dağılıma yaklaşır. Bu nedenle, bu koşulu sağlayan ki kare değerleri için hipotez testi olarak z testi kullanılır. P(x) 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 ν=2 ν=5 ν=10 ν=30
  • 8. • Ki kare değerleri, serbestlik derecelerine bağımlı olduklarından, verilirken serbestlik dereceleri de yanında belirtilir. χ2 υ • Olasılık fonksiyonu yardımıyla χ2 'nin bir değere eşit ve ondan daha büyük olma olasılıkları hesaplanabilmektedir.
  • 9. • Hipotez testleri için değişik serbestlik derecelerinde bazı olasılık değerleri için kritik ki-kare değerleri tablo olarak hazırlanmıştır.
  • 10. ∀ υ serbestlik dereceli bir eğri üzerinde, bir değerinin dışında kalan alan (olasılık) α ise, bu noktadaki ki kare değeri χ2 α,υ olarak gösterilir. • Bunun anlamı, υ serbestlik dereceli bir ki kare dağılımında χ2 α,υ 'nin sağ ucunda kalan alanın α 'ya eşit olduğudur. • Bunu olasılık olarak değerlendirirsek, ∀ υ serbestlik dereceli bir ki-karedağılımında χ2 değerlerinin χ2 α,υ 'ye eşit veya daha büyük olma olasılığı α 'ya eşittir. αχχ να =≥ )( 2 ; 2 P
  • 11. Tabloda 1-30 serbestlik derecelerine karşı α'nın 0.90, 0.50, 0.20, 0.10, 0.05, 0.025, 0.01, 0.001 değerleri için kritik ki kare değerleri verilmiştir. 30 için dağılım normale yaklaştığından, bunun üstündeki değerlere yer verilmemiştir. EK 5 Kİ KARE T ABLOSU α S.D. .90 .50 .20 .10 .05 .025 .01 .001 1 0.0158 0.455 1.642 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 2 0.211 1.386 3.219 4.605 5.991 7.378 9.210 13.816 3 0.584 2.366 4.642 6.251 7.815 9.348 11.341 16.266 4 1.064 3.357 5.989 7.779 9.488 11.143 13.277 18.467 5 1.610 4.351 7.289 9.236 11.070 12.832 15.086 20.515 6 2.204 5.348 8.558 10.645 12.592 14.449 16.812 22.458 7 2.833 6.346 9.803 12.017 14.067 16.013 18.475 24.322 8 3.490 7.344 10.03 13.362 15.507 17.535 20.090 26.115 9 4.168 8.343 12.242 14.648 16.919 19.023 21.666 27.877 10 4.865 9.342 13.442 15.987 18.307 20.483 23.209 29.588 11 5.578 10.341 14.631 17.275 19.675 21.920 24.725 31.264 12 6.304 11.340 15.812 18.549 21.026 23.336 26.217 32.909 13 7.042 12.340 16.985 19.812 22.362 24.736 27.688 34.528 14 7.790 13.339 18.151 21.064 23.685 26.119 29.141 36.123 15 8.547 14.339 19.311 22.307 24.996 27.488 30.578 37.697 16 9.312 15.338 20.465 23.542 26.296 28.845 32.000 39.252 17 10.085 16.338 21.615 24.769 27.587 30.191 33.409 40.790 18 10.865 17.338 22.760 25.989 28.869 31.526 34.805 42.312 19 11.651 18.338 23.900 27.204 30.144 32.852 36.191 43.820 20 12.443 19.337 25.038 28.412 31.410 34.170 37.566 45.315 21 13.24 20.337 26.171 29.615 32.671 35.479 38.932 47.797 22 14.041 21.337 27.301 30.813 33.924 36.781 40.289 48.268 23 14.848 22.337 28.429 32.007 35.172 38.076 41.638 49.728 24 15.659 23.337 29.553 33.196 36.415 39.364 42.980 51.179 25 16.473 24.337 30.675 34.382 37.652 40.646 44.314 52.620 26 17.292 25.336 31.795 35.563 38.885 41.923 45.642 54.052 27 18.111 26.336 32.912 36.741 40.113 43.194 46.963 55.476 28 18.939 27.336 34.027 37.916 41.337 44.461 48.278 56.892 29 19.768 28.336 35.139 39.087 42.557 45.722 49.588 58.302 30 20.599 29.336 36.250 40.216 43.773 46.773 50.892 59.703
  • 12. Şekil 16.2: Eğri üzerinde χ2 α,υ ve α 'nın durumu.
  • 13. Ki-kare Değeri • Ki kare sayarak elde edilen verilere uygulandığı için ki kare değerinin bulunuşunda oranlar için kullanılan Z eşitliği kullanılacaktır. • Binomial toplumlarda birimler bir özelliği gösterip göstermemelerine göre iki kategoride yer alır. • İki kategorili ya da tek örneklem durumundaki bir örnekte H0'a göre her iki kategori için de beklenen oran değeri 1/2 dir.
  • 14. Örnek • n birimli bir örnekte iki kategorideki değerleri x ve y ile gösterirsek (n=x+y) her iki kategoride beklenen değerlerin oranı, x/n=y/n=1/2 olacaktır. • n tane yeni doğan bebeğin bir kısmı erkek (x) ve bir kısmı da kız (y) olacaktır. Böyle bir doğum olayı için hipotezler,
  • 15. H0: Kızların ve erkeklerin oranı birbirlerine eşittir. (x/n=y/n=1/2=P) H1: Oranlar birbirlerinden farklıdır. (x/n≠y/n ya da x/n≠1/2, y/n≠1/2)
  • 16. • Erkeklerin oranını =x/n ve P=Q=1/2 alarak oranlara ilişkin Z formülünde bu değerleri yerine koyup Z2 'yi yazarsak, x ve y'ler her iki kategoride gözlenen frekans değerlerini ve (1/2)n de beklenen frekans değerlerini temsil etmektedir. Z x n n y n n 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 = − + −( ) ( ) Pˆ
  • 17. • Gözlenen frekans değerlerini fgi ve beklenen frekans değerlerini de fbi ile göstererek χ2 eşitliğini aşağıdaki şekilde yazabiliriz… χ2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 = − + − = − = ∑ ( ) ( ) ( )fg fb fb fg fb fb fg fb fb i i ii
  • 18. • Dağılımın serbestlik derecesi, kategori sayısının bir eksiği olmaktadır. • Örnekte iki tane kategori ya da frekans olduğundan, serbestlik derecesi υ=2-1=1'dir. χ2 0,05,1 =3.841 Z0.05=1.96 k=2 ise Z2 = χ2
  • 19. Ki-karenin Özellikleri • Dağılımın şekli serbestlik derecesine bağlı olarak değişir. υ≤2 için ters j şeklinde ve büyüdükçe dağılım simetrik bir şekil alır. • Ki-kare 0≤χ²≤∞ aralığında değişir. • Ki-kare dağılımı süreklidir. • Ki kare değeri, frekans (göz sayısı) sayısı ile doğru orantılı olarak değişir.
  • 20. Ki Karenin Özellikleri • Ki kare değerinin toplanabilirlik özelliği vardır. χ χ ν ν 2 2 1 1 = = = = ∑ ∑i i k i i k ve
  • 21. • Ki-kare testinin geçerli olabilmesi için beklenen değerlerin 1’den büyük olmaları ve en fazla %20’si 5'den küçük olabilir. – Bu mümkün olmadığı zaman, gözlenen küçük frekanslı iki veya daha fazla sıra-sütun değerleri ile birleştirilerek beklenen değerlerin büyük olmaları sağlanır.
  • 22. Yates Düzeltmesi • Sürekli olan ki-kare dağılımı kesikli örnek verilerine uygulandığı zaman bir düzeltmenin yapılması zorunludur. Bu düzeltmeye Yates Düzeltmesi denir. • Yates düzeltmesi yalnız υ=1 için yapılır. • Büyük örnekler (N≥50) için Yates düzeltmesine gerek yoktur.
  • 23. • Ancak ki-kare değeri, kritik değere yakın çıktığı zaman düzeltilmiş olan geçerlidir. • Beklenen değerlerin 5-10 arasında bulunduğu küçük örnekler için, düzeltilmiş ve düzeltilmemiş olan ki kare değerlerinin her ikisinin de kabul ya da ret bölgelerinde bulunmaları halinde sorun olmaz. Ancak, bunlar ayrı bölgelerde bulunurlarsa örnek büyüklüğünü artırmak gerekir.
  • 24. • Yates düzeltmesi, gözlenen ve beklenen değerlerin farkının mutlak değerinden 0.5 çıkarılıp kareleri alınarak yapılır. • Düzeltilmiş Ki kare değeri; ∑= −− =χ v i bi bigi f ).ff( 1 2 2 50
  • 25. Hipotez Testi • Ki kare testinde kurulacak olan H0 hipotezi, gözlenen frekans değerleri ile beklenen frekans değerlerinin birbirlerine eşitliği şeklindedir (fgi=fbi). • Dağılımla ilgili kurulan hipotezden sonra H0 hipotezine göre beklenen frekans değerleri ve bunlar yardımıyla ki kare değerleri bulunur.
  • 26. • Bulunan değer kritik ki kare değerine eşit ya da daha büyükse H0 hipotezi düzeyinde reddedilir. Bunun anlamı, en az bir tane gözlenen frekans ile beklenen frekans değeri birbirlerinden farklıdır demektir. χ ² ≥χ²α;υ • Ki kare testi değişik amaçlarla kullanılmaktadır.
  • 27. Uyum Testi • Bir örneğin frekans dağılımının, parametresi bilinen bir kuramsal dağılıma uygunluk gösterip göstermediğini test etmek için kullanılır. • Ffrekanslar, gözlenen frekans değerleri ve bunlara karşı gelen kuramsal dağılım için hesaplanacak olan frekans değerleri de beklenen değerler olarak alınır.
  • 28. • Tek sıra ya da sütun şeklinde frekanslardan oluşan durumlar için yapılan teste tek örneklem testi de denir. Bu testte eğer frekans sayısı ya da kategori sayısı 2 olursa beklenen değerlerin en az 5'e eşit ve daha büyük olmaları gerekir. • Frekans sayısı ikiden fazla (k>2) olduğu zaman beklenen değerlerin %20'sinden fazlasının 5'den küçük küçük olması durumunda bu test uygulanamaz. • Beklenen değerleri büyütmek için frekansları birleştirmek gerekir. Eğer frekans sayısı 2'ye indiği halde hala beklenen değer 5'den küçük ise ki kare testi yerine binomial test uygulanır. • Tek örneklem testinde, serbestlik derecesi, frekans sayısının bir eksiğine eşittir.
  • 29. Örnek16.1: Örnek alınan en çok 4 çocuğu olan 64 ailede erkek çocuk sayıları aşağıda verilmiştir. Örneğe ait frekans dağılımı, aşağıda verilen olasılık dağılımına uyar mı? Bu hipotezi α=0.05 için kontrol edelim. Hipotez: H0: Örnek dağılımı kuramsal dağılıma uyar. (fg1=fb1,fg2=fb2, ....,fg5=fb5) H1: Dağılımlar birbirlerinden farklıdır. H0'da verilen eşitliklerin en az bir tanesi gerçekleşmez.
  • 30. • 5 tane beklenen frekanstan 2 tanesi (%20'den fazlası) 5'den az olduğu için küçük olan 0 sırasındaki 3 ile 1 sırasındaki 15 değerinin birleştirilip tek göz olarak alınması gerekir. • Yine, son sıradaki 5'den küçük beklenen değer, oran olarak %20'den büyük olduğu (1/4) için son iki sıranın da aşağıda görüldüğü gibi birleştirilmesi gerekmektedir.
  • 31. χ2 2 2 2 18 20 20 25 24 24 21 20 20 0 292= − + − + − = ( ) ( ) ( ) . Serbestlik derecesi frekans sayısının bir eksiğidir. υ=3-1=2'dir. χ² < χ²0.05,2=5.991 Ho Kabul Örnekteki frekans dağılımının, kuramsal dağılıma uymaktadır. H0: Örnek dağılımı kuramsal dağılıma uyar. (fg1=fb1,fg2=fb2, ....,fg5=fb5) H1: Dağılımlar birbirlerinden farklıdır. H0'da verilen eşitliklerin en az bir tanesi gerçekleşmez
  • 32. • Tek örneklem durumunda, her zaman bir kuramsal dağılıma uygunluk aranmaz. • Bunun yerine, frekansların birbirlerine eşit olup olmadığı da araştırılabilir. • Bu durumda, her frekans için beklenen değerler birbirlerine eşit olur. • Eğer belirlenmiş bir beklenen değer belirtilmemişse, verilen frekansların eşit olduğu varsayımına göre, beklenen değer olarak frekansların ortalaması alınarak işlem yapılır. • Örneğin, bir polikliniğe gelen hasta sayılarının haftanın günlerine dağılımı, doğum sayılarının, ölüm sayılarının vb. aylara dağılımı durumunda beklenen değerler birbirlerine eşit varsayılır.
  • 33. Örnek 16.2: Bir bölgede, mevsimlere göre bebek ölümleri dağılımı verilmiştir. Mevsimler arasında sayı bakımından bir fark olup olmadığını α=0.05 düzeyinde kontrol edelim. H0: Her mevsimde gözlenen değerler beklenen değerlere eşittir. H1: En az bir mevsimde bu eşitlik sağlanmaz. H0'da verilen eşitliklerin en az bir tanesi gerçekleşmez. Ho: mevsimlere göre dağılımda fark yoktur Hı: Mevsimlere göre dağılımda fark vardır. χ2 2 2 2 2 20 25 25 15 25 25 30 25 25 35 25 25 10 00= − + − + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) . υ=4-1=3 HoRED815.710 2 3;05.0 2 =>= χχ
  • 34. İki Ya da Daha Fazla Grubun Dağılımlarının Karşılaştırılması • Kategori sayısı 2 ve daha fazla olan grupların karşılaştırılmasında, gruplardaki frekans dağılımlarının karşılaştırılması yapılır. • Veriler aynı zamanda frekans kategorilerine ve gruplarına göre dağıldığı için iki yönde sınıflandırılmış olurlar. Bu şekildeki tablolar sıra ve sütunlardan oluşur. • Her sıra ve sütun birleşimi için bir frekans değeri mevcuttur.
  • 35. • Frekans dağılımları olarak sıralar karşılaştırılabildiği gibi sütunlar da karşılaştırılabilir. Her ikisinde bulunacak olan toplam ki kare değeri aynıdır. • Hipotezin durumuna göre, sıraların mı yoksa sütunların mı karşılaştırılacağına karar verilir. • Test sonucunda, iki sıra arasındaki dağılım farklı çıkarsa, bu farklılığın hangi sütun veya sütunlarda olduğunu anlamak için sütunlar arasındaki dağılımı da karşılaştırmak gerekir. • İki yönlü sınıflandırılmış tablolar, r sıra sayısını ve c de sütun sayısını göstermek üzere rxc şeklinde gösterilir.
  • 36. • Gözlenen frekanslar için beklenen frekans değeri pratik olarak, • Her sıra ve sütun içindeki beklenen değerlerin toplamı o sıra ve sütundaki gözlenen frekans değerlerinin toplamına eşittir. • rxc tablolarında serbestlik derecesi, ToplamGenel )ToplamıSütunnin'GF()ToplamıSıra)GF(FrekansınGözlenen( fb × = ν = − −( )( )c r1 1
  • 37. Örnek 16.3: Bir bölgeden seçilen üç köyün nüfusunun yaş gruplarına göre dağılımı aşağıda verilmiştir. Nüfusun yaş gruplarına göre dağılımı bakımından köyler arasında bir farklılık olup olmadığını α=0.05 düzeyinde test edelim
  • 38. χ χ χ χ A B C Toplam 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 15 19 19 500 503 503 650 600 600 200 243 243 12 636 20 15 15 400 394 394 500 470 470 150 191 191 12 473 25 26 26 650 653 653 700 780 780 400 316 316 30 586 = − + − + − + − = = − + − + − + − = = − + − + − + − = ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) . ________________________________________________________ = 55 695. ν = − − =( )( )3 1 4 1 6 χ²=55.695 > χ²0.05,6 =12.592 Ho Red Farklı olan köyleri belirlemek için köyler birbirleriyle ikişerli olarak ayrı ayrı karşılaştırılırlar. Örneğimizde, bu karşılaştırmaların sonucunda; A ve C köylerinin 0 ile 1-14, 0 ile 15-50 ve 1-14 ile 15-50 yaş gruplarında, B ve C köylerinin de 0 ile 15-50,1-14 ile 15-50 yaş gruplarında farklılık gösterdikleri belirlenmiştir.
  • 39. Bağımsızlık Testi • Sıralar bir değişkeni ve sütunlar da başka bir değişkeni temsil etmek üzere oluşturulan bir rxc tablosunda iki değişken arasında bir bağımlılığın olup olmadığını kontrol etmek için kullanılan bir testtir. • Örneğin, eğitim durumu ile annelerin sahip oldukları çocuk sayıları arasındaki ilişkiler bağımsızlık testi ile kontrol edilirler. • Değişkenlerin alt grupları olan kategorilerin bir sıra içinde ya da üstünlük sırasına göre sıralanmaları gerekmez. Bunların yerleri değiştiği zaman da sonuç aynıdır.
  • 40. • Bağımsızlık testi için hipotezler şu şekilde kurulur. H0: İki değişken arasında bir bağımlılık yoktur. H1: İki değişken birbirleriyle bağımlıdır. • Test için kullanılacak ki-kare değeri aynı formülle ve aynı yolla hesaplanır. • Ki kare değeri göz sayısı ile doğru orantılı olarak değişebildiği için ki karenin büyük ya da küçük çıkması bağımlılığın büyük ya da küçük olduğunu göstermez.
  • 41. • Bağımlılığın derecesini anlamak için, ki-kare ve birim sayısına bağlı olarak bir değer hesaplanır. • Bu değer uygunluk katsayısı olarak bilinir. n, örnekteki birim sayısı olmak üzere uygunluk katsayısı, • 0<C<1 , C sıra ve sütun sayısına göre değişir. • Sıra ve sütun sayısı eşit kxk tablosu için C'nin maksimum alabileceği değer, • Uygunluk katsayısının anlamlı olup olmadığını kontrol eden bir test yoktur. Bunun anlamlılığı ki- C n = + χ χ 2 2 C k k max = −1
  • 42. χ²>χ²0.05,4 Ho RED Beslenme bozukluğu ile okullar arasında bir ilişki mevcuttur. Bu örnek için uygunluk katsayısı, Böyle bir tablo (3x3) için C'nin maksimum değeri, χ ν χ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 05 4 2 10 15 15 30 23 23 15 17 17 15 19 19 35 30 30 20 21 21 30 21 21 20 32 32 25 22 22 14 522 3 1 3 1 4 9 488 = − + − + − + − + − + − + − + − + − = = − − = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( )( ) , .. ; C = + = 14 522 14 522 200 0 260 . . . Cmax .= − = 3 1 3 0 816
  • 43. 2x2 Tablolarında Ki Kare Değeri • 2x2’lik tablolarda, beklenen değer hesaplanmadan gözlerdeki değerlere göre doğrudan ki- kare değeri hesaplanabilmektedir.
  • 44.
  • 45. 2x2 Tablolarında Kesin Ki Kare Testi (Fisher'in Kesin Ki Kare Testi ) • 2x2 tablolarında, gözlerden birinin beklenen frekans değeri 5'den küçük olduğu zaman uygulanan bir testtir.
  • 46. • Test iki sıradaki birimlerin, iki sütuna, belirli bir dağılımındaki olasılığını verir. Bu olasılık P değeridir. • P değeri ile karşılaştırılarak kurulan hipotez hakkında karar verilir.
  • 47.
  • 48.
  • 49. Bağımlı Gruplarda Ki Kare Testi ( Mc Nemar Testi) • Kategorik özellikteki iki değişken bağımlılık gösteriyorsa, ve değişkenlerin aldıkları değerler iki kategoride toplanıyorsa (2x2) bu değişkenlerin karşılaştırmasında McNemar testi kullanılır.
  • 50. • Örneğin; – Bir grup insanın sahip oldukları alışkanlıklarından, bir eğitimden sonra vazgeçip vazgeçmediklerinin araştırılması – Bir sağlık ocağı bölgesinde annelerin bebek bakımında mevcut alışkanlıklarının eğitimle değişip değişmediğinin araştırılması
  • 51. • Mc Nemar testi olarak da bilinen bu testin uygulanabilmesi için bir gruptan alınan bilgiler – bir işlemden önce-sonra ya da – değişik iki işleme göre, belirli bir özelliği gösterenler (+) ve göstermeyenler (-) olarak iki ayrı grup oluşturmak üzere, biçiminde düzenlenebilir.
  • 52. 1.İşlem 2.İşlem + - + A B - C D A, B, C, D, gözlere ait frekans değerleridir. Böyle bir tabloda iki grup arasındaki farkı belirleyen değerler C ve B'dir. Eğer iki grup arasında bir fark yoksa, her iki yönde grup değiştiren (+'dan -'ye ve -'den +'ya) birimlerin sayısı eşit oranda olup bunlara ait beklenen değer de (B+C)/2 olacaktır. Normal ki kare formülünde B ve C'ye ait gözlenen ve beklenen değerleri yerlerine koyup gerekli sadeleştirme yapılırsa, χ2 2 = − + ( )B C B C Küçük örneklerde süreklilik için bir düzeltme yapmak gerekir. χ2 2 1 = − − + ( )B C B C