2. MATRİS
İki Matrisin Eşitliği
Matrislerde Toplama İşlemi
Matrislerin Skalarla Çarpımı
Matrislerde Çarpma İşlemi
Bir Matrisin Çarpma İşlemine Göre Tersi
Bir Matrisin Transpozu (Devriği)
Örnekler
DETERMİNANT
Minör ve Kofaktör (Eş Çarpan)
Determinant Fonksiyonu
Determinantların Özellikleri
Ek Matris
Örnekler
3. TANIM: m,n ∈için, (i=1,2,3,...,m ; j=1,2,3,...,n) olmak üzere , a ij reel
+
N
sayılarından oluşturulan;
a11 a12 . . . a1 j . . . a1n
a 21 a 22 . . . a 2 j . . . a 2 n → i.satır
a i1 a i 2 . . . a ij . . . a in
a m1 a m 2. . . a mj . . . a mn
↓
j.sütun
tablosuna, m * n biçiminde (tipinde) bir matris denir.
A matrisindeki her sayıya, matrisin elemanı ya da bileşeni ve a ij
elemanındaki i sayısına birinci indis, j sayısına da ikinci indis denir. a ij
elemanı, A matrisinin i. satır ile j. sütununun kesim noktasında bulunur.
[a ]m*nij
Tablo biçiminde gösterilen A matrisi kısaca A= şeklinde
gösterilir. Burada, m matrisin satır sayısını, n de sütun sayısını gösterir.
A matrisinin a i1 , a i 2 , a ij , a in elemanlarına i.satır elemanları;
a1 j , a 2 j , a ij , a mj elemanlarına da j. sütun elemanları denir.
İLERİ MENÜ
4. Satır Matrisi: [ ]
A = a ij mxn
matrisinin her satırına denir.
Sütun Matrisi: A = [a ] ij m x n matrisinin her sütununa denir.
Kare Matris: n x n tipindeki a ij [ ] n x n matrisine, n. sıradan kare matris denir.
Sıfır Matris: Bütün elemanları sıfır olan matrise denir ve O harfi ile gösterilir.
Asal Köşegen: [a ]
ij n x n kare matrisinde a 11 , a 22 , a 33 , ....., a nn elemanlarının
oluşturduğu köşegene denir.
Yedek Köşegen: a n1 , a (n -1)2 ,....., a 1n terimlerinin oluşturduğu köşegene denir.
[ ]
Köşegen Matris: A = a ij n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki
elemanların dışında, diğer elemanları sıfır ise, bu tip kare matrise denir.
Skalar Matris: A = a ij [ ] n x nköşegen matrisinde, a 11 = a 22 = a 33 = ..... = a nn = k (k ∈ R)
ise bu matrise denir.
Birim Matris: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer elemanları sıfır olan
kare matrise denir. n x n tipindeki bir matris In ile gösterilir.
MENÜ
5. İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ
Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrislere, eşit
[ ] [b ]
matrisler denir.
∀ i, j ) ∈MxN için, a ij = bij ⇔ a ij
( = ij mxn
mxn
a
Örnek: A = 5 3a +b2b ve B = 4 x olmak üzere A = B ise, x/y = ?
y 2
a + 2b 5
a
Çözüm: A = B ⇒ 5 3a +b2b = 4
x
matrislerinin eşitliğinden
a + 2b
5 y
2
a b
5 = 4, 5 = 2, 3a + 2b = x , a + 2b = y olduğundan,
a a 2b x
5 =2 ⇒5 = 5 den , a = 2b Bulunan değer de yerine
2
y
b 2b
5 = 2 ⇒ 5 = 22
x 3a +2b 3( 2b) 8b
= = = =2 bulunur.
y a +2b 2b +2b 4b
MENÜ
6. MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Tanım: A =[a ij]mxn ve B =[bij]mxn matrisleri verilmiş olsun.
[ ]
A +B = a ij
mxn
[ ]
+ bij
mxn
[
= a ij +bij ]
mxn matrisine, A ve B matris-
lerinin toplamı denir.
Örnek: A matrisi, (m+1)x2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B matrisi 3xk
biçiminde ise, (m+p+k) kaçtır?
Çözüm: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalıdır. Buna göre;
m+1=n+1 ∧ p-2=2 ⇒ m=n ∧ p=4
3xk=(m+1)x2 den m+1=3 ∧ k=2
m=n=2 , p=4 , k=2 olmalıdır. m+p+k=2+4+2=8 dir.
MENÜ
7. MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI
C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına, skalar denir.
[a ]
Örneğin; k=5 bir reel skalardır.
Tanım:k skalar sayısı ve A = matrisi verilmiş olsun.
[a ] [ ]
ij mxn
k.A = k ij mxn
= k. a ij matrisine, k skalar sayısı ile A matrisinin
mxn
çarpımı denir.
2 − 3
Örnek: 4 1 matrisi ve k=2 sayısı için, k.A matrisini bulalım.
2 −3 2.( 2) −3.( 2) 4 −6 bulunur.
Çözüm: k.A = 2.
4 = 4.( 2)
1 = 8
1.( 2) 2
Skalarla Çarpmanın Özellikleri
Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k, k ,k olsun. Her A = [a ] ve
B = bij [ ] mxn
matrisleri için:
1 2 ij mxn
1. k.(A + =
B) k.A +k.B
2. (k + ).A = .A + .A
k1 k 2 k 1 2
3. k .( k .A ) = . k ).A
1
(k
2 1 2
MENÜ
8. MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ
Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için 1. Matrisin sütun sayısı, 2. Matrisin sütun
sayısına eşit olmalıdır. A =
n
[a ]B=
ij mxn
[b ]
olmak üzere;
jk nxp
elemanları c = ∑ a .b = a .b + a .b
ik
j=1
ij jk i1 1k i2 2k
+ ... + a in . bnk toplamıyla bulunan
[ ]
C = cik mxpmatrisine, A ve B matrislerinin çarpımı denir ve C mxp
= Amxn . Bnxp
biçiminde gösterilir.
2 1 3 4
Örnek: A = B=
3 0 0 1
olduğuna göre A.B ve B.A ’ yı bulalım.
2 1 3 4 2.3 + 1.0 2.4 + 1.1 6 9
A.B = . 0 1 = 3.3 + 0.0 3.4 + 0.1 = 9 12
3 0
3 0 2 1 3.2 + 4.3 0.2 + 1.3 18 3
B.A = . 3 0 = 0.2 + 1.3 0.1 + 1.0 = 3 0
4 1
Buna göre A.B ve B.A birbirine eşit değildir.
İLERİ MENÜ
9. MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur.
2. A ve B 0’a eşit olmadığı halde , A.B=0 olabilir.
3. A.0=0.A=0’dır. Buna göre sıfır matrisi yutan elemandır.
4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır. A.I=I .A=A
5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır. A.(B.C)=(A.B).C
6. Matrislerde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
7. A ve B birer matris , k bir sayı ise ; k.(A.B)=A.(k.B)=(k.A).B dir.
8. A sıfır değilken ve A.B=A.C iken, B=C olmayabilir.
3 2 1 3 3 1 matrisleri veriliyor.A.B=B.C olduğunu
Örnek: A = ,B= ,C =
6 4 4 1 1 4 gösterelim.
3 2 1 3 11 11 1 1
Çözüm: A.B = . = = 11. A.B=A.C dir. Dikkat edilirse B , C
6 4 4 1 22 22 2 2 ye eşit değildir.
6 4 1 4 22 22
A.C = . = = 11. 2 2
3 2 3 1 11 11 1 1
MENÜ
10. BİR MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
Tanım: n. Sıradan bir A kare matrisi için, A.B=B.A= koşulunu sağlayan n. Sıradan B
kare matrisi varsa; B matrisine , A matrisinin çarpma işlemine göre tersi denir.
Çarpma İşlemine Göre Ters Matrislerin Özellikleri
1. k ∈ R - 0{ } olmak üzere , n. Sıradan bir A kare matrisinin çarpma işlemine
göre tersi varsa,
1
( k.A) -1 = . A -1
k
−1 −1
2. n. Sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre tersleri, A ve B ise;
( A.B)-1 =B − .A -1
1
a b 1 d − b
3. A =
−1
ise, A = ad − bc − c a
dır.
c d
Eğer adc-b=0 ise, A −1 yoktur.
MENÜ
11. BİR MATRİSİN TRANSPOZU(DEVRİĞİ)
Tanım: A = [a ] matrisinin sütunları satır ya da satırları sütun haline
[a ]
ij mxn
getirmekle
elde edilen ji matrisine A matrisinin devriği denir ve A T veya A d ile gösterilir.
nxm
− 3 2
− 3 4 5
Örneğin; A = matrisinin devriği, A T = A d = 4 − 1 dır.
2 − 1 6
5 6
Teorem: A ve B matrisleri mxn türünden iki matris ve k bir skalar ise;
2. (A + B) = A + B 3. (k.A) = k.A
T T T T
1. (A T ) T =A
Teorem: [ ]
A = a ij mxn ve B = [b ]jk nxp
matrisleri için, (A.B) T = BT .A T dir.
Teorem: A tersi olan bir matris ise, (A T ) −1 = (A −1 ) T dir.
Simetrik-Antisimetrik-Ortogonal
T
1. A =A ise, A matrisine simetrik matris denir.
2. A T =-A ise A matrisine antisimetrik matris denir.
3. A T = A −1 ise A matrisine ortogonal matris denir.
MENÜ
12. Örnek 1)
a 2 − 1 − 3b 1 2 − 11 3 1
3 b − 4 + 1 2a − 4 = 4 − 1 − 8
olması için, (a,b) ikilisi ne olmalıdır?
A) –1,3 B)-2,4 C)2,-3 D)-2,3
ÇÖZÜM MENÜ
13. Çözüm: Verilen eşitliğin birinci yanındaki matrisleri toplarsak,
a − 3b 3 1 − 11 3 1
4 =
2a + b − 8 4 − 1 − 8
elde edilir. Bu eşitlikten,
a-3b=-11
denklemleri yazılır. Bu denklemler çözülürse, (a,b)=(-2,3) bulunur.
2a+b=-1
ÖRNEK 2 MENÜ
14. Örnek 2)
2 1
1
A = , B = 4
3
1 3 4
1 3 1
5 2 x 4
6 3 x 2
0
matrisleri veriliyor. A.B matrisini bulalım.
ÇÖZÜM MENÜ
16. Örnek 3)
cos x sinx
A = ise,
−sin x cosx
3
A matrisini hesaplayalım.
ÇÖZÜM MENÜ
17. Çözüm:
2 cos x sin x cos x sin x
A = A.A = − sin x cos x . − sin x cos x
2 cos 2 x − sin 2 x 2sinx cosx cos 2x sin 2x
A = − 2 sin x cosx cos 2 x − sin 2 x = − sin 2x cos 2x olur.
3 2 1 cos 2 x sin 2x cos x sin x
A = A . A = − sin 2x cos 2x . − sin x cos x
cos 2x. cos x − sin 2x. sinx cos 2x. sin x + sin 2x. cos x
=
− sin 2x. cos x − cos 2x. sin x − sin 2 x. sin x + cos 2x. cos x
cos(2x + x ) sin(2x + x ) cos 3x sin 3x
= = − sin 3x cos 3x bulunur.
− sin(2x + x ) cos(2x + x )
MENÜ
18. Tanım:1x1 biçimindeki A = [a ]
11
matrisinin determinantı, A = a 11
dir.
Örneğin; A=[7] matrisi için A = 7 dir.
a11 a
Tanım: 2x2 biçimindeki A = 12
matrisinin determinantı
a 21 a 22
A = a 11 a 12
= a11 . a 22 −a12 . a 21
dir.
a 21 a 22
11
a a 12 a 13
Tanım: 3x3 biçimindeki A = a 21
a 22 a 23 matrisinin determinantı;
a a a
31 32 33
a 11 a 12 a 13
A =a 21 a 22 a 23
= (a11 . a 22 . a 33 + a 21 . a 32 . a13 + a 31 . a 22 . a 31)
a 31 a 32 a 33 − (a13 . a 22 . a 31 + a 23 . a 32 . a11 + a 33 . a12 . a 21)dir.
MENÜ
19. MİNÖR VE KOFAKTÖR (EŞ ÇARPAN)
Tanım: n. sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j. Sütun atıldıktan sonra geriye kalan
matrisin determinantına, a ij elemanının Minör’ü denir ve M ij ile gösterilir.
A ij = (−1) i + j .M ij ifadesine, a ij elemanının Kofaktör’ü ya da işaretli minörü denir.
a11 a 12 a 13
Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi M 3 olsun. A = a 21 a 22 a 23 ∈ M 3
a a a
31 32 33
olmak üzere, det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ile tanımlı D : M 3 → R
fonksiyonuna, determinant fonksiyonu denir.
3001 3003
Örnek: A = determinantını hesaplayalım.
2997 2999
3001 3003 a + 1 a + 3
Çözüm: 3000=a dersek, A = = olur. Buna göre, açılımını
2997 2999 a − 3 a − 1
A =(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8
MENÜ
20. DETERMİNANT FONKSİYONU
Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi olsun.
11
a a 12 a 1n
a
21 a 22 a 2n
∈ n olmak üzere
M
a a a
n1 n2 nn
det(A) = A = a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n ile tanımlı D : M → R
3
fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= A ifadesine de A matrisinin
determinantı denir.
− 1 0 2 0
1 −1 0 1
Örnek: A = değerini bulalım.
0 1 2 1
− 1 3 2 4
− 1 0 1 1 −1 1
Çözüm: A =− .( − ) 2 . 1
1 1 2 1 +2.( − ) 4 . 0
1 1 1
3 2 4 − 1 3 4
A =-1.(-8+2+2-6)+2.(4+1+1-3) ⇒ A = -1.(-10)+2.(3)=16 bulunur.
MENÜ
21. DETERMİNANTLARIN ÖZELLİKLERİ
1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.
A karesel matris ise, A = A dir.
T
2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin
determinantının değeri sıfırdır.
2a 2b 2c
A = a b c a, b, c ∈R - {0} determinantı verilmiş olsun. Bu
1 1 1
determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı olarak
orantılı olduğu için, A = 0 dır.
3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır ise,
determinantın değeri sıfırdır.
4 -2 0
A =4 -1 0 =0 dır.
3 4 0
İLERİ MENÜ
22. 4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır ise
determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu çarpımın ters
işaretlisine eşittir.
a 11 a 12 a 13
A = 0 a 22 a 23
= a11 . a 22 . a 33 (Asal köşegen altındaki
0 0 a 33
elemanlar sıfırdır.)
5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse, determinant
işaret değiştirir.
a b c d
=6 ise = −6 dır. (1. Satır ile 2. Satır yer değiştirmiştir.)
c d a b
6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın değeri de
k katına çıkar.
a b ka kb
A= ise k. A = olur.
c d c d
İLERİ MENÜ
23. 7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm terimlerin k
katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla toplanarak elde edilen yeni
determinantın değeri değişmez.
a b a b
= dir. (1. satırın k katı 2. satıra
c d c + ka d + kb eklenmiştir.
8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki terimin
toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın toplamı
biçiminde yazılabilir.
a 1
+x b +y c +z
1 1
determinantı aynı sıradan iki
A = a 2 b c
2 2
a 3 b c
3 3
a 1 b 1 c 1
x y z
determinantın toplamı biçiminde A =a 2 b 2 c 2
+a2 b 2 c
2 olur.
yazılırsa;
a 3 b 3 c 3 a 3 b 3 c
3
İLERİ MENÜ
24. 9) Bir determinantın herhangi bir satır veya sütununa ait terimler, bir başka satır
veya sütunun terimlerine ait eş çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar
toplanırsa, toplam sıfır olur.
a11.A 21 + a12 .A 22 + a13 .A 23 = 0 dır.
10) n. mertebeden A ve B matrisleri için, A.B = A . B dir.
a b x y
A= =4 ve B= =7 ise,
c d z t
A.B = A . B = 4.7 = 28 dır.
MENÜ
25. EK MATRİS
[ ] a
Tanım: n. mertebeden A = a ij nxn kare matrisi verilmiş olsun. ij elemanının
[ ]
kofaktörü A ij ise A T matrisine, A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile
ij
gösterilir.
a11 a 12 a 13
matrisinin ek matrisi bulunurken, tanıma
A = a 21 a 22 a 23
göre matriste her elemanın yerine kofaktörü
yazılır ve elde edilen matrisin transpozu
a a a
31 32 33 alınır.
T
A11 A 12 A13 A11 A 12 A 13
Ek ( A) = A21 A 22 A23 = A 21 A 22 A 23
A A A33 A31 A A
31 32 32 33
MENÜ
26. Örnek 1)
2 3 a
b 1 0
4 c
5 =
d 0
1
ise, a+b+c+d kaçtır?
ÇÖZÜM MENÜ
27. a b 2 3 -1
Çözüm: A.A = I için,
-1
matrisi A = matrisinin tersi olan A dir.
c d 4 5
1 5 − 3 − 5 / 2 3 / 2 a b
det(A)=10-12=-2 A =−
-1
= 2 = c d
2 − 4 2 −1
5 3
a + b + c + d = − + + 2 −1 = 0 dır.
2 2
ÖRNEK 2 MENÜ
28. Örnek 2)
- 1 −3 4
A = 2
5 8 matrisi için;
- 7
6 −2
a 21 elemanının minörü nedir?
ÇÖZÜM MENÜ
29. Çözüm: a 21 elemanının minörü M 21ise, A matrisinde 2. satır ve 1. sütun atıldıktan
sonra geriye kalan matrisin determinantı;
-1 − 3 4
2 5
A= 8 ⇒ M = − 3 4 = 6 − 24 = −18 bulunur.
21
6 −2
- 7 6 − 2
ÖRNEK 3 MENÜ
30. Örnek 3)
1 4 − 3 1 4 − 3 1 4 − 3
A = 3 1 5 , B = 3 1 5 , C = 3 1 5
a b − 3
- b a 4
7 3 1
matrisleri için; A+B=C ise, a ve b kaçtır?
ÇÖZÜM MENÜ
31. Çözüm: Bu üç matrisin ilk ikişer satırları aynıdır. A ve B nin üçüncü satırları toplamı
C nin üçüncü satır elemanlarıyla karşılıklı eşit olmalıdır. O halde;
a-b=7
⇒ a=5 ve b=-2 bulunur.
a+b=3
MENÜ
