Li̇neer cebi̇r 08

MATRİSLER ve DETERMİNANTLAR

Öğretmenin :
Adı Soyadı :

devam etmek için tıklayınız

MATRİSLER

DETERMİNATLAR


Tanım: m,n ∈ N+ için (i=1,2,3...,m; j=1,2,3...,n) olmak üzere,
aij reel sayılarından oluşturulan;

a11 a12 ... a1j ... a1n
a21 a22 ... a2j ... a2n
. . . .

. . . .

. . . .
i. satır
ai1 ai2 ... aij ... ain tablosuna, m x n biçiminde
matris denir.
. . . .
1
. . . .

am1 am2 ... sütun
j. amj ..amn devam etmek için tıklayınız

 A matrisindeki her sayıya,matrisin elemanı yada
bileşeni ve aij elemanındaki i sayısına indis, j sayısına
da ikinci indis denir. aij elemanı, A matrisinin i. satır ile
j. sütunun kesim noktasında bulunur. Tablo biçiminde
gösterilen A matrisine kısaca A= [aij]m x n şeklinde
gösterilir. Burada, m matrisin sayısını, n de sütun
sayısını gösterir.
 A matrisinin, ai1 ai2 ... aij ... ain elemanlarına i.satır
elemanları; ai1 ai2 ... aij ... ain elemanlarına da j.sütun
2
elemanları denir.

Satır Matris
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her satırına, satır matrisi denir.

B1 = [a11 a12 ... a1n] (1.satır matrisi)
B2 = [a21 a22 ... a2n] (2.satır matrisi)
. . . .
. . . .
. . . .
Bm = [am1 am2 ... amn] (m.satır matrisi)
 B1 
B 
A matrisi satır A= [aij]m x n =
 2
 .  şeklinde 3
matrisine bağlı olarak,   gösterilir.
 . 
 Bm 
  devam etmek için tıklayınız

Sütun Matris
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin her sütununa, sütun matrisi denir.

 a11   a12   a1n   A1 :1.satır matrisi
 a21   a12   a2 n   A2 : 2.satır matrisi
A1 =   , A2 =   ,......, An =    ...
 ....   ....   ....   ...
 am1 
   am 2 
   amn 
   An : n.satır matrisi

 A matrisi sütun matrisine bağlı olarak ,
4
 A= [aij]m x n = [A1 A2 A3 ... An] şeklinde gösterilir.

Kare Matris
Tanım: n x n tipindeki A= [aij]m x n matrisine, n. basamaktan
kare matris denir.
 Örneğin;

3 − 4 matrisi , 2.sıradan bir kare matrisidir.
1 5 
 
5

Sıfır Matrisi
Tanım: Bütün elemanları sıfır olan matrise,sıfır matrisi denir
ve O harfi ile gösterilir.
 Örneğin;

0 0 0 matrisi , 2x3tipinde bir sıfır matristir.
0 0 0 
  2 x3
6

Asal Köşegen , Yedek Köşegen
Tanım : A= [aij]n x n kare matrisine a11,a22,a33,...,ann elemanlarının
oluşturduğu köşegene, asal köşegen; an1,a(n-1)2,...,a1n terimlerinin
oluşturduğu köşegene, yedek köşegen denir.
 Örneğin;
 a11,a22,a33 : asal köşegen

 a11 a12 a13   a31,a22,a13 : yedek köşegen

a a22 
a23 
 21
a31
 a32 a33 

7
Yedek köşegen Asal köşegen

Köşegen Matris
Tanım: A= [aij]n x n kare matrisinde asal köşegen üzerindeki
elemanların sıfır ise, bu tip kare matrise, köşegen matris denir.
 Örneğin;

3 0 0 
0 − 4 0 matrisi, 3.sıradan bir köşegen
  matrisidir.
0 0 0
 
8

Skalar Matris
Tanım: A= [aij]n x n köşegen matrisinde a11 = a22 = a33 ...= ann = k
ise,(k ∈ R) bu matrise, skalar matris denir.
 Örneğin;

5 0  matrisi, 2.sıradan bir skalar matristir.

0 5 
 
9

Birim Matris
Tanım: Asal köşegen üzerindeki elemanları bir, diğer
elemanları sıfır olan kare matrise, birim matris denir. n x n
tipindeki bir birim matris In ile gösterilir.
 Örneğin;

1 0 0 0
0 1 0 
0
matrisi , 4.sıradan bir birim

I4 =  matrisidir. I4 ile gösterilir.

0 0 1 0
  10
0 0 0 1
(asal köşegen) devam etmek için tıklayınız

İKİ MATRİSİN EŞİTLİĞİ

Tanım: Tipleri aynı ve karşılıklı elemanları eşit olan matrisler,
eşit matrisler denir.
∀ (i, j) ∈ M x N için, aij = bij ⇔ [aij]m x n = [bij]m x n

ÖRNEK:
 5a 3a + 2b  4 x
A=  ve B= 
a + 2b
b
5   y 2

x 11
olmak üzere, A = B ise kaçtır ?
y

 5a 3a + 2b  4 x  matrislerinin
ÇÖZÜM : A = B ⇒   = 
 a + 2b b
5   y 2 eşitliğinden,

5a = 4, 5b = 2 , 3a + 2b = x ,a + 2b = y olduğundan

5a = 22
⇒ 5a = 52b den,a =2b olur. Bulunan değer
5b = 2 ⇒ 52b = 22 x/y de yerine yazılırsa;

x 3(2b) + 2b 8b
= = = 2 bulunur. 12
y 2b + 2b 4b

MATRİSLERDE TOPLAMA İŞLEMİ
Tanım: A= [aij]m x n ve B= [bij]m x n matrisleri verilmiş olsun.
A + B = [aij]m x n + [bij]m x n= A= [aij+ bij]m x n matrisine, A ve B
matrislerinin toplamı denir.

O halde, matrisleri toplarken sadece karşılıklı elemanlar toplanır.
ÖRNEK: A matrisi, (m+1) x 2 ; B matrisi, (n+1)x(p-2) ve A+B
matrisi 3 x k biçimindeyse; (m+p+k) kaçtır?
ÇÖZÜM: İki matrisin toplanabilmesi için tipleri aynı olmalı idi.
Buna göre;
m+1 = n+1 ∧ p-2 = 2 ⇒ m=n ∧ p=4
3xk = (m+1)x 2 den m+1 = 3 ∧ k=2
13
m =n 2 , p=4 , k = 2 olmalıdır. m+p+k = 2+4+2 = 8 dir.için tıklayınız
devam etmek

MATRİSİN TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
Tanım: A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun.
- A= [aij]m x n matrisine, A= [aij]m x n matrisinin toplamı işlemine göre
tersi denir.
 Örneğin;

− 4 1 3 
A=   matrisinin toplama işlemine göre tersi,
 2 5 − 6

 2 − 1 − 3
− 4 − 5 6 
 
matrisidir. 14

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

1. Matrisler kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.

A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrisleri için;

A+B = [aij]m x n + [bij]m x n
= [aij+ bij]m x n = [bij + aij]m x n
= [bij]m x n + [aij]m x n
=B+A
15


2. Matrisler kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

A = [aij]m x n , B = [bij]m x n C = [cij]m x n matrisleri için;

A+(B+C) = [aij]m x n + ( [bij]m x n + [cij]m x n )
= [aij]m x n + [bij + cij]m x n = [aij+ (bij + cij)]m x n
= [(aij+ bij) + cij]m x n = [aij + bij ]m x n + [cij]m x n
= (aij]m x n + [ [bij]m x n ) + [cij]m x n
16
= (A+B) + C olur. devam etmek için tıklayınız


3. Sıfır matrisi toplama işleminin etkisiz elemanıdır.

A = [aij]m x n ve O = [O]m x n matrisleri için;

A+O = [aij]m x n + [O]m x n = [aij+ O]m x n = [aij]m x n = A

O + A = [O]m x n + [aij]m x n = [O + aij]m x n = [aij]m x n = A dır.
17

4.. A = [aij]m x n matrisinin toplama işlemine göre ters matrisi,
-A = [aij]m x n matrisidir.


A+(-A) = [aij]m x n + [-aij]m x n = [aij - aij]m x n = [0ij]m x n
A+(-A) = [-aij]m x n + [aij]m x n = [- aij+aij]m x n = [0ij]m x n dir.

18

İki Matrisin Farkı
Tanım: A = [aij]m x n ve B = [bij]m x n matrislerinin farkı,
A - B = A +(-B) = [aij]m x n + [-bij]m x n = [aij - bij]m x n dir.

19

MATRİSLERİN SKALARLA ÇARPIMI
Tanım: k skalar sayısı ve A= [aij]m x n matrisi verilmiş olsun.
k.A = k. [aij]m x n = A= [k.aij]m x n matrisine, k skalar sayısı ile A
matrisinin çarpımı denir.

C bir cisim olmak üzere, bu cismin elemanlarına skalar denir.
ÖRNEK: 2 − 3
4  matrisi ve k = 2 sayısı için, k . A matrisini bul.
1 

ÇÖZÜM:  2 − 3  2.(2) − 3(2)  4 − 6 bulunur.
= 2.   =  4.(2) 1.(2)  =  8 2 
4 1     
20

SKALARLA ÇARPMANIN ÖZELLİKLERİ
Teorem: Bir C cismindeki üç skalar sayı; k,k1,k2 olsun. Her

• k . (A+B) = k . A + k . B

• (k1+k2) . A = k1 . A + k2 . A

• k1 .(k2 . A) = (k1. k2) . A
21

MATRİSLERDE ÇARPMA İŞLEMİ
Tanım: İki matrisin çarpılabilmesi için 1.matrisin sütun
sayısı,2.matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. A= [aij]m x n ve
B= [bij]m x n olmak üzere;
n
elemanları cik = Σ
j =1
a ij . b jk
= ai1 .b1k +ai2 . b2k + ... +ain . bnk
toplamıyla bulunan C=[cik]mxp matrisine, A ve B matrislerinin
çarpımı denir ve Cmxp = Amxp . Bmxp şeklindedir.

Buna göre,A . B matrisinin i.satır j.sütun elemanı c jk ise, bu eleman Bi
satır vektörü ile Aj sütun vektörünün skalar çarpımıdır. O halde birinci
matrisin her satırı, ikinci matrisin her sütununa karşılık gelen
elemanlarıyla çarpılıp toplanır.
22

MATRİSTE ÇARPMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
1. Çarpma işleminin değişme özelliği yoktur. A . B ≠ B.A
2. A ≠ O ve B ≠ O olduğu halde, A . B = O olabilir.
 Örneğin;

 2 − 1  1 1
A=   ve B=  olup;
− 2 1   2 2

 2− 2 2 − 2   0 0
A.B =   =  0 0 dır. 23
 − 2 + 2 − 2 + 2  


3. A . O = 0 . A = 0 dır. Buna göre,sıfır matrisi çarpma işleminde
yutan elemandır.

4. Birim matris çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.
I birim matris olmak üzere, A . I = I . A = A dır.

24

5. Matrislerde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]p x r olmak üzere ;
A.(B .C) = (A .B) . C dir.

6. Matrislerde çarpma işleminin dağılma özelliği vardır.

a. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine soldan
dağılma özelliği;

A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p , C = [cjk]n x p olmak üzere ;
25
A.(B +C) = A .B + A . C dir.

b. Matrislerde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine sağdan
dağılma özelliği;

A ve B matrisleri m x n türünde, C matrisi n x p türünde
iseler,
(A +B) C . = A .C + B . C olur.

7. A = [aij]m x n ve B = [bjk]n x p ve k = R sayı ise, k.(A.B)=A.
(k.B)=(k.A).B dir.
26

8. A ≠ O ve A . B = A . C iken, B = C olmayabilir.

3 2 1 3 3 1 
, B = 4 1, C = 1 4
ÖRNEK:
6 4
    
matrisleri veriliyor. A . B= A . C olduğunu gösterelim.

ÇÖZÜM:
3 2  1 3  11 11  1 1
A.B=  . 4 1 =  22  = 11.  2 2
6 4    22  
3 2 3 1   11 11  1 1
A . C = 6 .1 4 =  22
4  22 = 11.  2 2
     27
O halde, A . B = A .C dir.dikkat edilirse, A . B = A .C iken B ≠ C dir.


Kare Matrisin Kuvveti
Tanım: n.sıradan bir A kare matrisi verilmiş olsun. K ∈N+
olmak üzere; A0=In , A1=A , A2= A . A ,A3=A.A2 ,...,Ak=A.Ak-1 dir.
 Örnek; n.sıradan A ve B kare matrisleri için, A2 - B2 =
(A-B).(A+B) eşitliği doğru olmayabilir. Açıklayalım.

 Çözüm; (A-B).(A+B) = A . A + A . B - B . A - B . B
= A2 + A.B-B.A - B2 dir.

Matrislerde çarpma işleminin değişme özelliği olmadığından,A.B=B.A
yazılamaz. Bu nedenle A2 - B2 = (A-B).(A+B) ifadesi doğru
olmayabilir. Aynı şekilde,(A+B)2=A2+2AB+B2 eşitliği de
28
doğru değildir.

MATRİSİN ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ
Tanım: n.sıradan bir A matrisi için, A.B=B.A=In koşulunu
sağlayan n. sıradan B kare matrisi varsa, B matrisine, A matrisinin
çarpma işlemine göre tersi denir.

 A matrisinin çarpma işlemine göre ters matrisi, A-1 ile gösterilir. A. A-1 = A-1.A = In

 Örnek:

 3 − 1
A=   matrisinin çarpma işlemine göre tersi
29
− 2 1  matrisini bulalım.


ÇÖZÜM:
a b
A -1=  c  olsun. A. A-1 = A-1.A = I2 olduğundan
d

 3 − 1  a b   1 0
 − 2 1  . c  =  0 1 yazalım:
d 
  

 3a − c 3b − d   1 0
 − 2a + c − 2b + d  =  0 1 elde edilir. Matrislerin eşitliğinden,
   
3a − c = 1 3b − d = 0
− 2a + c = 0 − 2b + d = 1 1 1
a =1 b =1
bulunur. O halde, A = 
-1

 2 3

30
c=2 d =3

ÇARPMA İŞLEMİNE GÖRE TERS MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ

1. k ∈ R-{0} olmak üzere, n.sıradan bir A kare matrisinin
çarpma işlemine göre tersi varsa (k.A)=1/k.A-1dir.

2. n. sıradan A ve B kare matrislerinin çarpma işlemine göre
tersleri, A-1 ve B-1 ise; (A.B)-1 = A-1 . B-1 dir.

3. a b  −1 1  d − b
A=   ise, A = ad − bc  − c a  dır.
c d    31
Eğer, ad - bc = 0 ise ,A-1 yoktur.

BİR MATRİSİN TRANSPOROZU (DEVRİĞİ)
Tanım: A= [aij]m x n matrisinin sütunları ya da satırları sütun
haline getirmekle elde edilen A = [aij]m x n matrisine,A matrisinin
transporozu denir ve AT veya Ad ile gösterilir.
 Örneğin;

− 3 2 
 − 3 4 5
A=   matrisinin transporozu, AT = Ad =  4 − 1 dır.
 
 2 − 1 6 5 6
 
32

Teorem: A ve B matrisleri m x n türünden iki matris ve k bir
skalar ise;

1. (AT)T = A , 2. (A+B)T = AT + BT , 3. (k.A)T = k.AT dir.

33

Teorem: A= [aij]m x n ve B = [bij]n x p matrisleri için,
(A.B)T = AT . BT dir.

 1 2 0 
Örnek: A=  , B=  ise, (A.B)T = BT . AT

−1 3  4 olduğunu gösterelim.

 1 2 0  8 
.  =   ⇒ ( A.B ) = [8 12]
T
Çözüm: A.B = 
− 1 3 4 12

 

 1 − 1  1 − 1
B = [ 0 4] A = 
T T T T
( )
 ⇒ B . A = [ 0 4]. 2 3  = [ 8 12] olur.
2 3   

( A.B ) T
= B .A T T
dir.
34

Teorem: A tersi olan bir matris ise, (AT)-1 =(A-1)T dir.

1 − 1 2
Örnek: A.B =  ise, BT . AT matrislerini bulalım.
3 4 5

 

 Çözüm:

T  1 3
 1 − 1 2  − 1 4 dir.
( A.B ) = B .A için, B . A = 
T T T T T
=
 3 4 5 

 2 5
 
35

Tanım: A , n x n tipinde bir kare matris olsun;
1. AT = A ise, A matrisine, simetrik matris denir.
2. AT = -A ise, A matrisine, antisimetrik matris denir.

3. AT = A-1 ise, A matrisine, ortogonal matris denir.
36

0 3 4
 2 3
A=  , B =  − 3 0 − 6 matrislerinin hangisinin
3 5
 Örnek:  
  − 4 6 0 
 
simetrik hangisinin antisimetrik olduğunu görelim.
 Çözüm: 2 3
A=  simetrik bir matristir. Çünkü, A = AT dir.
3 5
0 3 4
B = − 3 0 − 6 matrisi, antisimetrikmatristir. Çünkü, AT = -A dır.
 
4 6 0
 
Antisimetrik matrislerde,asal köşegen üzerindeki elemanlar
sıfırdır. Asal köşegenlere göre simetrik elemanların toplamı sıfırdır.
37

Tanım:1x1 biçimindeki A = [a ]
11
matrisinin determinantı, A = a 11 dir.

Örneğin; A=[7] matrisi için A =7 dir.

 a11 a 
Tanım: 2x2 biçimindeki A= 12
 matrisinin determinantı
a 21 a 22 

A = a 11 a 12
= a11 . a 22 −a12 . a 21 dir.
a 21 a 22

 3 − 6
Örnek : A =   olduğldu göre, A yı hesaplayalım
− 2 8 
 3 − 6
38
Çözüm : A =   = 3.8 - (-2).(-6) = 24 - 12 = 12
− 2 8 

 a11 a 12 a13

 
Tanım : 3 × 3 biçimindeki A = a 21 a 22 a23 
matrisinin determinantıı
a a a 
 31 32 33 

a a 11 12 a 13
A=a a 21 22 a 23
= (a11 . a 22 . a33 + a 21 . a32 . a13 + a31 . a12 . a 23)
a a 31 32 a 33

− (a13 . a 22 . a31 + a23 . a32 . a11 + a33 . a12 . a21) dir.

39

- 1 0 3 
 
Örnek : A =  2 1 0  olduğuna göre, A yı hesaplayalım.
 0 5 - 4
 
-1 0 3
Çözüm : A = 2 1 0
0 5 -4

= [( −1).1.( −4) + 2.5.3 + 0.0.0]− [ .1.0 + 0.5.( −1) + ( −4).0.2]
3

= (4 + 30 + 0) − (0 + 0 + 0) = 34 bulunur. 40

Tanım: n.
sıradan bir A kare matrisinin i. Satır ve j.
Sütun atıldıktan sonra geriye kalan matrisin
determinantına, a ij elemanının Minör’ü denir ve
M ij ile gösterilir. (−1) i + j .M ij
A ij =

41

Tanım: 3x3 türünden bütün matrislerin kümesi M 3
olsun.
a11 a 12 a 13

 
A = a 21 a a 23
∈ M3
22
a a a
 31 32 33 

olmak üzere, det(A) = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 ile
tanımlı D : M → R fonksiyonuna , determinant
3
fonksiyonu denir. 42

3001 3003
Örnek: A = determinantını hesaplayalım.
2997 2999

3001 3003 a + 1 a + 3
Çözüm: 3000=a dersek, A = = olur. Buna göre,
2997 2999 a − 3 a − 1

açılımını A =(a+1).(a-1)-(a-3).(a+3)=[(a.a)-1]-[(a.a)-9]=8

43

Tanım: n. Mertebeden kare matrislerin kümesi olsun.
 11
a a 12 a 1n

 
a
 21 a 22 a 2n 
∈ n olmak üzere
M
a a a 
 n1 n2 nn 

det(A) = A = a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n ile tanımlı D : M 3 → R
fonksiyonuna, determinant fonksiyonu; D(A)= A ifadesine de A matrisinin
determinantı denir.

44

−1 0 2 0
1 −1 0 1
Örnek: A = değerini bulalım.
0 1 2 1
−1 3 2 4

Çözüm:
− 1 0 1 1 −1 1
A =− .( − ) 2 . 1
1 1 2 1 + .( − ) 4 . 0
2 1 1 1
3 2 4 − 1 3 4

A = -1.(-8+2+2-6)+2.(4+1+1-3) ⇒ A = -1.(-10)+2.(3)=16
bulunur.

45

1) Bir kare matrisin, determinant değeriyle devriğinin determinant değeri eşittir.
A karesel matris ise, A = A dir.
T

2) Bir kare matrisin iki satır veya sütun elemanları orantılı ise, bu matrisin
determinantının değeri sıfırdır.
2a 2b 2c
A = a b c a, b, c ∈R - {0} determinantı verilmiş olsun. Bu
1 1 1
determinantın birinci satırındaki terimlerle ikinci satırındaki terimler, karşılıklı
olarak orantılı olduğu için, A = 0 dır.
3) Bir kare matrisin herhangi bir satır veya sütununda buluna tüm terimler sıfır
ise, determinantın değeri sıfırdır.

4
A =4
-2
-1
0
0 =0 dır. 46
3 4 0

4) Bir kare matriste bir köşegenin üstündeki yada altındaki tüm elemanlar sıfır
ise determinantın değeri köşegen üzerindeki elemanların çarpımı ya da bu
çarpımın ters işaretlisine eşittir.

a 11 a 12 a 13
A = 0 a 22 a 23
= a11 . a 22 . a 33 (Asal köşegen altındaki
0 0 a 33
elemanlar sıfırdır.)

5) Bir determinantın iki satırı veya sütunu aralarında yer değiştirilirse,
determinant işaret değiştirir.

a b c d ise (1. Satır ile 2. Satır yer değiştirmiştir.)
=6 = −6
c d a b
6) Bir determinantın bir satır veya sütunu k sayısı ile çarpılırsa, determinantın
değeri de k katına çıkar.

A=
a b
ise k. A =
ka kb
olur. 47
c d c d

7) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütununda bulunan tüm
terimlerin k katı alınarak, başka bir satırın veya sütunun elemanlarıyla
toplanarak elde edilen yeni determinantın değeri değişmez.
a b a b dir. (1. Satırın k katı 2. Satıra
=
c d c + ka d + kb eklenmiştir.)

8) Bir determinantın herhangi bir satırında veya sütunundaki her eleman iki
terimin toplamından oluşuyorsa, bu determinant aynı sıradan iki determinantın
toplamı biçiminde yazılabilir.
a +x b +y c +z
1 1 1
Determinantı aynı sıradan iki
A= a b 2c 2 2 determinantın toplamı biçiminde
a b 3c 3 3
yazılırsa ;

a b c x y z
1 1 1
olur.
A=a b c +a b c
2 2 2 2 2 2
48
a b c a b c
3 3 3 3 3 3


9. Bir determinantın herhangi bir satır yada sütunun ait
terimler, bir başka satır veya sütunun terimlerine ait eş
çarpanlar ile karşılıklı çarpılır ve çarpımlar toplanırsa, toplam
sıfır olur.
3. Sıradan bir determinantta a11*A21+a12*A22+a13*A23 = 0 dır.

10. N. Mertebeden A ve B matrisleri A.B = A . B dir.
için,
a b x y
A= = 4 ve B = = 7 ⇒ A.B = A . B = 4.7 = 28
c d z t

49

Tanım: n. mertebeden
A= [ ]
aij n*n Kare matrisi
[ ]
verilmiş olsun. aij elemanının kofaktörü Aij T ise ;

matrisine, A matrisinin ek matrisi denir ve Ek(A) ile
gösterilir.
a11 a12 a13  Matrisinin ek matrisi bulunurken,
 
A = a 21 a 22 a 23 tanıma göre matriste her elemanın
a 
 31 a32 a33 yerine kofaktörü yazılır ve elde edilen
matrisin transpozu alınır.
T
 A11 A 12 A 13
 A 11A A 
21 31
   
A= A  21 A 22 A 23
= A 12A A 
22 32
 A A A   A A A 
 31 32 33  13 23 33

a b  d − b
A =  matrisi için ek matris , Ek(A) = − c
c d  a 
 50
İşaretleri değişir. Yerleri değişir.

A.Ek(A)=Ek(A).A= A .I

a b 
Yukarıdaki özelliği, A=   Matrisi için gösterelim:
c d 
 a b   d − b  ad − bc − ab + ab   ad − bc 0 
 c d  . − c a  =  cd − cd − bd + ad  =  0 
− bc + ad 
     

1 0
=(ad-bc)   = A .I 2 ' dıı
0 1

51

Teorem: A matrisi A ≠ 0 olan bir matris olmak üzere,
A = Ek ( A) ‘dır.
−1

A

52

 1 0 2
Örnek: A =  2 − 1 3
  matrisinin tersini bulalım.
 4 1 8
 

Ek ( A)
−1
Çözüm: A = olduğu için , det(A) yı ve Ek(A) yı
det( A)
bulalım.
1 0 2 - 11 2 2 
det( A) = 2 − 1 3 = 1 ≠ 0 olduğlduğu , A -1 var dıır Ek(A) =  - 4 0 1 
 
4 1 8  6 - 1 - 1
 
- 11 2 2 
Ek(A) 
olarak bulunur. O halde, A -1 = =  - 4 0 1  olur.

det(A)
 6 - 1 - 1
 
ab
Sonuç :   matrisinde , det(A) = ad - bc ≠ 0 ise ;
cd

A =
-1 Ek(A)
=
1 d − b 53
det(A) ad - bc − c  dıır
a 

Sunum sona ermiştir. Arz ederim

54

Li̇neer cebi̇r 08

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (12)

Similar to Li̇neer cebi̇r 08

Similar to Li̇neer cebi̇r 08 (9)

More from matematikcanavari

More from matematikcanavari (20)

Li̇neer cebi̇r 08